Metode Statistika

Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu. Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di bidang statistika.

dan nilai x mempunyai batas - < x < , maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal

Karena nilai x mempunyai batas - < x < , sehingga peluang terjadinya yaitu :

Grafik Distribusi Normal

Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar xBentuknya simetrik terhadap x = Mempunyai satu modus

Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = +3 ke kanan dan x = -3 ke kiriLuas daerah grafik selalu sama dengan satu unit

Untuk setiap pasang dan , sifat-sifat distribusi normal selalu dipenuhi hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika makin besar, kurvanya makin rendah dan jika makin kecil, kurvanya makin tinggi

Peluang Kejadian a Sampai Kejadian b

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b , yakni P (a < X < b), berlaku :

Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan mean =0 dan standart deviasi =1 .

Transformasi :

memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standart dengan variabel z ini memiliki mean = 0 dan standart deviasi = 1 sehingga diperoleh :

Grafik Distribusi Normal Standart

Hitung z sehingga dua desimalGambarkan kurvanyaLetakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurvaLuas tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis sumbu x dengan garis tegak di titik nolCari tempat harga z pada kolom paling kiri hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atasDari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun kebawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari . Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0. x x x x (bentuk 4 desimal)

Distribusi z

Contoh :

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada :a. berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram ?b. berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi ?

Penyelesaian :

a. dengan X = berat bayi dalam gram(4.500 gram) , = 3.750 gram , = 325 gram berat yang lebih dari 4.500 gram dengan z = 2,31 maka luas daerahnya yaitu 0,5 0,4896 = 0,0104 .Karena yang diminta dalam persen maka yang beratnya lebih dari 4.500 gram sebesar 1,04%

b. dengan X1= 3.500 gram dan X2 = 4.500 gram, didapat :

luas daerahnya yaitu 0,2794 + 0,4896 = 0,7690Jadi, banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan ada (0,7690).(10.000) = 7.690

N cukup besar= = P(A) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol

Distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata = N dan simpangan baku = Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal baku dapat dipakai, maka digunakan transformasi :

dengan X = variabel acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. Karena di sini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi binom menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi normal , maka nilai-nilai X perlu mendapat penyesuaian

Contoh :

10% penduduk tergolong kategori A.Sebuah sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil.Tentukan peluangnya akan terdapat :a. paling banyak 30 orang tergolong kategori Ab. antara 30 dan 50 orang tergolong kategori A

Penyelesaian :

kita ambil X = banyak penduduk termasuk kategori Amaka dari segi X ini didapat : = 0,1 x 400 orang = 40 orang

orang = 6 orang

a) paling banyak 30 orang dari kategori A, berarti X= 0,1,2,..30 . Melakukan penyesuaian terhadap X, maka sekarang X menjadi -0,5 < X < 30,5 , sehingga dan

Luas daerahnya adalah 0,5 0,4429 = 0,0571. Peluangnya terdapat paling banyak 30 orang termasuk kategori A adalah 0,0571

b) untuk distribusi normal disini berlaku 30,5< X< 49.5 bilangan standart z-nya masing-masing :

dan

dari daftar distribusi normal baku terdapat peluang yang ditanyakan = 2(0,4429) = 0,8858

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normal ialah distribusi student atau distribusi t .Fungsi densitasnya :

n : banyaknya aggota sampeln1:derajat kebebasan () atau dk

Fungsi tersebut berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi - < t < dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.

Makin besar derajat bebasnya makin mendekati distribusi normalv (nu) = derajat bebas t , nilai v adalalah > 30Simetrik terhadap t = 0Bentuk grafiknya seperti grafik distribusi normal standart

Distribusi t

Contoh :

Tentukan nilai t jika n=13 dan p=0,95

penyelesaian : N = 13 v= 13 1 = 12maka dari daftar distribusi t dengan jalan kekanan dari 12 dan menurun dari 0,95 diperoleh nilai t = 1,78