Distribusi probabilitas dan normal

Statisitik Farmasi 2013

Part 1. DISTRIBUSI PROBABILITAS

Statisitik Farmasi 2013

Tujuan PerkuliahanSetelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa

mampu: Membuat distribusi probabilitas untuk variabel

acak. Menentukan rata-rata, varians, dan deviasi

standar, untuk variabel acak diskrit. Menentukan probabilitas yang tepat untuk

keberhasilan X dalam n percobaan dari suatu eksperimen binomial.

Menentukan mean, varians, dan standar deviasi untuk variabel dari binomial distribusi.

Outline Pengantar Distribusi Probabilitas Mean, Varians, dan Deviasi Standar Distribusi Binomial

Pengantar Banyak keputusan dalam situasi kehidupan nyata

yang dibuat dengan menetapkan probabilitas untuk semua hasil yang mungkin berkaitan dengan situasi dan kemudian mengevaluasi hasilnya.

Sebagai contoh, pramuniaga dapat menghitung probabilitas bahwa ia akan membuat 0, 1, 2, atau 3 atau lebih penjualan dalam satu hari

Setelah probabilitas ini dihitung, statistik seperti varians, rata-rata, dan standar deviasi dapat dihitung untuk peristiwa ini. Dengan statistik ini, berbagai keputusan dapat dibuat. Pramuniaga akan dapat menghitung rata-rata jumlah penjualan ia buat per minggu, pendapatan per bulan dsb.

Distribusi ProbabilitasVariabel acak adalah variabel yang nilainya berkaitan dengan probabilitas.

Variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung.

Variabel acak kontinyu diperoleh dari data yang dapat diukur bukan dihitung

Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas diskrit terdiri dari nilai-

nilai variabel acak yang mengasumsi dan mengaitkan probabilitas dari nilai-nilai. Probabilitas ditentukan secara teoritis atau dengan observasi.

Contoh: Buatlah distribusi probabilitas untuk melempar

sebuah dadu Jawab: Karena ruang sampel adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan

hasil masing-masing memiliki probabilitas 1/6, distribusinyaditunjukkan sbb:

2 persyaratan distribusi probabilitas1. Jumlah dari probabilitas semua kejadian

dalam ruang sampel harus sama dengan 1, yaitu, ∑P(X) = 1.

2. Probabilitas setiap peristiwa dalam ruang sampel harus antara atau sama dengan 0 dan 1. Artinya, 0 ≤ P(X) ≤ 1.

Soal: Tentukan manakah yang merupakan distribusi

probabilitas.

Rata-rata, Varians, dan Deviasi Standar

Rata-rata, varians, dan deviasi standar untuk sebuah distribusi probabilitas dihitung berbeda dari rata-rata, varians, dan deviasi standar untuk sampel.

Rumus rata-rata pada distribusi probabilitas:

Dimana X1,X2, .....,Xn adalah hasil dan P(X1),P(X2),....,P(Xn) adalah probabilitasnya

Rata-rata Contoh soal 1: tentukan rata-rata nomor spot

yang muncul jika sebuah dadu dilempar. Jawaban:

Rata-rata Contoh soal 2: In a family with two children, find the mean of

the number of children who will be girls. Jawaban:

Varians dan deviasi standar Rumus varians pada distribusi probabilitas:

Rumus deviasi standar pada distribusi probabilitas:

Varians dan deviasi standar Contoh soal 1: hitung varians dan deviasi

standar dari data pada contoh soal 1 untuk rata-rata.

Jawaban:

Distribusi Binomial Banyak masalah probabilitas hanya memiliki dua hasil atau

dapat dikurangi menjadi dua hasil. Sebuah pertanyaan pilihan ganda, meskipun ada empat atau

lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan sebagai benar atau salah. Situasi seperti ini disebut eksperimen binomial.

Suatu eksperimen binomial dan hasilnya menghasilkan distribusi probabilitas khusus yang disebut distribusi binomial.

Sebuah eksperimen binomial adalah eksperimen probabilitas yang memenuhi empat persyaratan sebagai berikut:1. Harus ada jumlah percobaan yang tetap2. Setiap percobaan hanya dapat memiliki dua hasil atau hasil yang dapat dikurangi menjadi dua hasil. Hasil-hasil ini dapat dianggap sebagai baik keberhasilan atau kegagalan.3. Hasil dari setiap percobaan harus independen satu sama lain.4. Probabilitas sukses harus tetap sama untuk setiap percobaan.

Dalam percobaan binomial, hasil biasanya diklasifikasikan sebagai keberhasilan atau kegagalan.

Contoh soal 3:

Contoh soal 3 dari sudut pandang distribusi binomial:

Contoh 4: A survey found that one out of five

Indonesians say he or she has visited a doctor in any given month. If 10 people are selected at random, find the probability that exactly 3 will have visited a doctor last month.

Jawaban:

Penyelesaian contoh soal 3 dengan menggunakan Tabel Distribusi Binomial. Since n = 3, X = 2, and p = 0.5, the value

0.375 is found as shown in Figure.

Contoh soal:

Contoh2:

Distribusi Multinomial Agar percobaan menjadi binomial, hasil dua

diperlukan untuk setiap percobaan. Tapi jika setiap percobaan dalam percobaan memiliki lebih dari dua hasil, distribusi yang disebut distribusi multinomial harus digunakan.

Sebagai contoh, survei mungkin memerlukan tanggapan "menyetujui", “tidak setuju" atau "tidak ada opini“

Karena situasi ini memiliki lebih dari dua hasil yang mungkin untuk setiap percobaan, distribusi binomial tidak dapat digunakan untuk menghitung probabilitas.

Contoh soal:

Part 2.DISTRIBUSI NORMAL

Statistik Farmasi 2013

Tujuan PerkuliahanSetelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa mampu: Mengidentifikasi distribusi simetris atau miring. Mengidentifikasi sifat dari distribusi normal. Menentukan area di bawah distribusi normal standar. Menentukan probabilitas untuk variabel berdistribusi

normal dengan mengubahnya menjadi variabel normal standar.

Menentukan nilai-nilai tertentu data untuk persentase yang diberikan, menggunakan distribusi normal standar.

Menggunakan teorema limit sentral untuk memecahkan masalah yang melibatkan rata-rata sampel untuk sampel besar.

.

Outline Pengantar Distribusi Normal Aplikasi Distribusi Normal Teorema Limit Pusat

Pengantar Distribusi Normal : kurva berbentuk bel,

simetris, simetris terhadap sumbu yang melalui nilai rata-rata

Distribusi simetris dan miring Distribusi normal adalah simetris "Ekor" kurva menunjukkan arah kemiringan

(kanan adalah positif, kiri negatif).

Distribusi Normal Bentuk dan posisi kurva distribusi normal

tergantung pada dua parameter: rata-rata dan deviasi standar. Setiap variabel berdistribusi normal memiliki

distribusi sendiri kurva normal, yang tergantung pada nilai-nilai dari rata-rata variabel dan deviasi standar.

Distribusi Normal Kurva distribusi normal berbentuk lonceng. Rata-rata, median, dan modus adalah setara dan terletak di pusat

distribusi. Kurva distribusi normal unimodal (ia hanya memiliki satu modus). Kurva simetris terhadap rata-rata, yaitu bentuknya adalah sama pada

kedua sisi garis vertikal melewati pusat. Kurva kontinu, yaitu, tidak ada gap atau lubang. Untuk setiap nilai X,

ada nilai dari Y. Kurva tidak pernah menyentuh sumbu x. Secara teoritis, tidak peduli

seberapa jauh di kedua arah kurva meluas, tidak pernah menyentuh sumbu-x tapi akan semakin dekat.

Total area dibawah kurva distribusi normal adalah sama dengan 1,00 atau 100%.

Area dibawah kurva normal yang ada pada 1 deviasi standar dari rata-rata adalah sekitar 0,68 atau 68%; pada 2 deviasi standar, sekitar 0,95 atau 95%; dan pada 3 standar deviasi, sekitar 0,997 atau 99,7%.

Area dibawah kurva distribusi normal

Distribusi Normal Standar Distribusi normal standar adalah distribusi

normal dengan rata-rata 0 dan deviasi standar 1.

Menentukan Area Di bawah Kurva Distribusi Normal Standar Langkah 1: Buatlah kurva distribusi normal dan arsir daerah

tersebut. Langkah 2: Cari gambar yang sesuai pada ‘Procedure

Table’ dan ikuti petunjuk diberikan.

Misalnya, area di sebelah kiri nilai z dari 1,39 ditemukan dengan melihat 1,3 di kolom kiri dan 0,09 di baris atas. Dimana dua garis bertemu memberikan area 0,9177

Contoh soal 1Tentukan area di kiri z = 2,06 Jawab:

Langkah 1: buat gambar

Langkah 2: untuk mencari area di bawah distribusi normal standar di kiri z = 2,06. Cari area ini di tabel, ditemukan 0,9803. Oleh karena itu, 98,03% adalah area kurang dari z = 2,06.

Contoh soal 2 Tentukan area antara z = 1,68 dan z = – 1,37 Jawab

Langkah 1: buat gambar

Langkah 2: Karena daerah yang diinginkan adalah antara dua nilai z yang diberikan, mencari daerah sesuai dengan dua nilai z dan kurangi area yang lebih kecil dari area yang lebih luas. (Jangan mengurangi nilai-nilai z). Daerah untuk z = 1,68 adalah 0,9535, dan daerah untuk z = – 1,37 adalah 0,0853. Daerah antara dua nilai z adalah 0,9535 – 0,0853 = 0,8682 atau 86,82%.

Kurva Distribusi Normal sebagai Kurva Distribusi Probabilitas Kurva distribusi normal dapat digunakan

sebagai kurva distribusi probabilitas untuk variabel terdistribusi normal.

Distribusi normal adalah distribusi kontinu Untuk probabilitas, digunakan notasi khusus.

Misalnya, untuk menentukan probabilitas dari setiap nilai z antara 0 dan 2,32, probabilitas ini ditulis sebagai P(0 < z < 2.32).

Contoh soal: Tentukan probabilitas untuk:

Jawaban soal a. P (0 < z < 2.32) berarti untuk menentukan

area di bawah distribusi normal standar kurva antara 0 dan 2,32. Pertama mencari area sesuai dengan 2.32 yaitu 0,9898. Kemudian cari area sesuai dengan z = 0 yakni 0,500. kurangi dua area: 0,9898 - 0,5000 = 0,4898. Oleh karena itu probabilitasnya adalah 0,4898 atau 48,98%.

b. P(z < 1.65). Look up the area corresponding to z =1.65 in Table E. It is 0.9505. Hence, P(z <1.65) = 0.9505,or 95.05%.

c. P(z > 1.91). Look up the area that corresponds to z = 1.91. It is 0.9719. Then subtract this area from 1.0000. P(z >1.91) = 1.0000 - 0.9719 = 0.0281, or 2.81%.

Gambar b. Gambar c.

Aplikasi Distribusi Normal Kurva distribusi normal standar dapat

digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah praktis.

Satu-satunya persyaratan adalah bahwa variabel tersebut menjadi normal atau didistribusikan mendekati normal.

Untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan distribusi normal standar, lakukan dengan mengubah variabel asli ke variabel distribusi normal standar dengan menggunakan rumus:

Contoh soal Sebuah survei menemukan bahwa wanita

menghabiskan rata-rata $ 146,21 pada produk kecantikan selama musim panas. Asumsikan deviasi standar $ 29,44. Cari persentase perempuan yang menghabiskan kurang dari $ 160,00. Asumsikan variabel terdistribusi secara normal.

Jawab: Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya

seperti yang ditunjukkan pada Gambar berikut:

Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan $ 160,00.

karena $ 160,00 adalah 0,47 dari standar deviasi di atas rata-rata $ 146,21, seperti ditunjukkan dalam distribusi z pada Gambar berikut:

Langkah 3. Tentukan area tersebut, dengan menggunakan Tabel E. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = 0,47 adalah 0,6808.

Oleh karena itu 0,6808 atau 68,08%, dari wanita menghabiskan kurang dari $ 160,00 pada produk kecantikan selama musim panas.

Contoh soal 2. Orang Solo mengkonsumsi rata-rata 1,64

gelas teh per hari. Asumsikan variabel adalah distribusi yang mendekati normal dengan standar deviasi 0,24 gelas. Jika dipilih 500orang, kira-kira berapa banyak yang akan minum kurang dari 1 gelas teh per hari?

Jawab: Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya

seperti yang ditunjukkan pada Gambar berikut:

Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan 1.

Langkah 3. Tentukan area tersebut. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = –2,67 adalah 0,0038.

Langkah 4. Untuk mengetahui berapa banyak orang yang minum kurang dari 1 gelas teh, kalikan ukuran sampel 500 dengan 0,0038 untuk mendapatkan 1,9. Karena kita bertanya tentang orang, bulatkan jadi 2 orang. Oleh karena itu, sekitar 2 orang akan minum kurang dari 1 gelas teh sehari.

Contoh soal: Untuk penelitian medis, seorang peneliti ingin

memilih 60% pada pertengahan orang-orang dari penduduk berdasarkan tekanan darah. Jika tekanan sistolik rata-rata darah adalah 120 dan deviasi standar 8, tentukan tekanan atas dan bawah yang akan memenuhi syarat orang untuk berpartisipasi dalam studi.

Jawaban: Asumsikan bahwa pembacaan tekanan darah

terdistribusi normal, kemudian titik batas adalah sebagai ditunjukkan pada Gambar berikut:

Gambar menunjukkan bahwa dua nilai yang diperlukan, satu di atas rata-rata dan satu di bawah rata-rata. Untuk mendapatkan area di sebelah kiri nilai z positif, tambahkan 0,5000 + 0,3000 = 0,8000 (30% = 0,3000). Nilai z dengan luas di sebelah kiri terdekat dengan 0,8000 adalah 0,84.

Daerah di sebelah kiri nilai z negatif adalah 20%, atau 0,2000. Daerah yang paling dekat dengan 0,2000 adalah 0,84.

Oleh karena itu, 60% populasi ditengah akan memiliki pembacaan tekanan darah 113,28 < X < 126,72.

Menentukan Normalitas Ada beberapa tes matematika untuk menentukan

apakah suatu variabel terdistribusi secara normal. Cara termudah adalah untuk menggambar histogram

dari data dan memeriksa bentuknya. Jika histogram tidak berbentuk lonceng, maka data tidak terdistribusi normal.

Kemiringan dapat diperiksa dengan menggunakan koefisien kemiringan Pearson (PC) jugadisebut indeks kemiringan Pearson. Rumusnya adalah:

Jika indeks lebih besar dari atau sama dengan +1 atau kurang dari atau sama dengan –1, dapat disimpulkanbahwa data secara signifikan miring.

Contoh soal:

Jawaban:Step 1. Construct a frequency distribution and draw a histogram for the data.

Teorema Limit Pusat

Contoh soal

Jawab:

Thank you