BAB 7DISTRIBUSI

NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL

Pengantar

Kebanyakan peristiwa, kejadian atau gejala yang ada di dunia ini memiliki

sifat-sifat yang relatif sama atau mendekati keadaan umum, sedangkan yang

menyimpang dari keadaan umum tersebut relatif sedikit, dan semakin jauh

penyimpangannya proporsinya akan semakin sedikit. Keadaan demikian disebut

mengikuti sifat distribusi normal. Karena hampir semua gejala atau nilai variabel itu

bersifat seperti distribusi normal, maka prinsip-prinsip distribusi normal dapat

diberlakukan dan menjadi penting untuk diketahui.

Distribusi normal sebenarnya merupakan distribusi teoritik yang disusun

berdasarkan distribusi peluang. Oleh karena itu dalam pembahasan mengenai

distribusi normal tentu tidak terlepas dari distribusi peluang.

Bagi peneliti pembahasan distribusi normal akan memberikan bekal

mengenai dasar-dasar mengapa seseorang dapat menggunakan data dari sampel

yang relatif kecil untuk menjelaskan populasi yang jauh lebih besar.

Setelah mempelajari pokok bahasan ini pembaca diharapkan dapat

memperoleh pemahaman tentang :

1. makna probabilitas.

2. hubungan probabilitas teoritis dengan probabilitas empiris.

3. ciri-ciri distribusi probabilitas binomial.

4. ciri-ciri distribusi normal.

5. penggunaan prinsip-prinsip kurve normal untuk mengolah dan menganalisa

data penelitian.

85

DISTRIBUSI NORMAL

A. Distribusi Peluang

Peluang atau probabilitas adalah perbandingan antara banyaknya

kejadian yang muncul dengan banyaknya kejadian yang mungkin muncul.

Contoh : Probabilitas munculnya K (kepala) dari sebuah Coin (yang memiliki dua

sisi, masing-masing sisi bergambar kepala atau ekor) yang dilempar secara

bebas adalah 1 : 2 ( 1 menunjukan bahwa yang pasti muncul hanya satu

kejadian, yaitu K atau E dan 2 adalah banyaknya kemungkinan, yaitu K dan E).

Jadi probabilitas munculnya K atau probabilitas munculnya E adalah 1 : 2 = ½.

Contoh lain ; Probabilitas munculnya mata dadu 3 dari sebuah dadu

yang dilempar secara bebas adalah 1 : 6. Satu karena yang pasti muncul hanya

1 kejadian, dan enam adalah banyaknya kemungkinan (= banyaknya sisi dadu

yaitu sisi , 1, 2, 3, 4, 5, dan 6). Jadi karena probabilitas munculnya semua mata

dadu masing-masing adalah sama, maka probabilitas munculnya mata dadu 3

adalah = 1/6. Probabilitas munculnya kartu A dari satu set kartu bridge yang

diambil secara bebas adalah 4/52 ( 4 = banyaknya kartu A dan 52 = jumlah

seluruh kartu), sedang peluang munculnya kartu A hati adalah 1/52 (1

banyaknya kartu A hati dan 52 jumlah seluruh kartu).

B. Probabilitas Teoritik dan Probabilitas Empirik

Jika sebuah coin dilemparkan 10 kali secara bebas, maka diharapkan

atau secara teoritik akan muncul K 5 kali dan munculnya E juga 5 kali.

Probabilitas ini dinyatakan dalam bilangan pecahan dengan jumlah keseluruhan

= 1,00. Jadi probabilita muncul K adalah 5/10 = 0,5 dan probabilita muncul E

juga 5/10 = 0,5. Probabilta yang demikian itu disebut probabilita teoritik karena

berdasarkan nilai teoritik atau nilai harapan. Probabilita teoritik ini belum tentu

sama dengan probabilita empirik, karena adanya factor kebetulan yang berada

diluar kekuasaan manusia.

86

Apa yang dimaksud dengan probabilita empirik tidak lain adalah

probabilita munculnya suatu gejala dari sejumlah besar observasi. Misalnya dari

10 kali percobaan diperoleh 7 K dan 3 E, berarti probabilita empirik muncul K =

7/10 = 0,7 dan E = 3/10 = 0,3. Namun demikian jika percobaan kita lakukan

lebih banyak lagi, perbedaan probabilitas teoritik dan probabibiltas empiriknya

semakin kecil. Misalnya kita lemparkan 10 kali lagi coin tersebut dan diperoleh 5

K maka probabilitas empirik muncul K dari 20 kali lemparan adalah (0,7 + 0,5) : 2

= 0,6. Jika coin kita lemparkan 10 kali lagi, dan muncul 4 K, maka probabilitas

muncul K dari 30 kali percobaan adalah (0,7 + 0,5 + 0,4) : 3 = 0,533.

C. Distribusi Probabilitas Gejala Diskrit dan Probabilitas Gejala Kontinum.

Jika sebuah coin dilempar secara bebas maka ada 2 kemungkinan,

yaitu muncul 0 K atau 1 K. Perbandingan peluang ke duanya adalah 1 : 1 atau

besarnya peluang masing-masing adalah ½, artinya peluang muncul 0 K = ½

dan peluang muncul 1 K juga = ½. Bilangan pecahan ½ + ½ = 1 disebut

probabilitas.

Jika kita melemparkan dua buah coin secara bebas, maka ada 22

kemungkinan kejadian yaitu KK, KE, EK, EE, dengan perbandingan

kemungkinannya 1 : 1 : 1 : 1. Karena EK sama dengan KE, maka probabilitas

muncul 2K, 1K dan 0K adalah ¼, 2/4, dan ¼.

Tiga pembilang dari distribusi probabilitas tersebut, yaitu 1, 2, 1

dengan penyebut yang sama yaitu 4 = 22.

Tabel 7.1.

Gejala (G) Probabilitas (P)

KK = 2K P1 = ¼

KE, EK = 1K P2 = 2/4

EE = 0K P3 = ¼

87

3/4

2/4

1/4

K 2 1 0

E 0 1 2

Grafik 7.1.

Jika banyaknya coin diberi simbol N, maka banyaknya kemungkinan

kejadian menjadi 2N. Jadi kalau kita lemparkan 3 coin secara bebas banyaknya

kemungkinan kejadian adalah 23 = 8, yaitu KKK, KKE, KEK, EKK, EEK, EKE,

KEE, EEE. Besarnya probabilitas masing-masing adalah 1/8. Karena KKK = 3k,

KKE, KEK, dan EKK = 2K, dan EEK, EKE, dan KEE = 1k, dan EEE = 0K, maka

probabilitas munculnya 3K, 2K, 1K dan 0K atau probabilitas munculnya 0E, 1E,

2E dan 3E adalah 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.

3/8

2/8

1/8

E 0 1 2 3

K 3 2 1 0

Grafik 7.2.

88

Tabel 7.2.Gejala (G) Probabilitas

KKK = 3K 0E P1 = 1/8

KKE, KEK, EKK = 2K 1E P2 = 3/8

EEK, EKE, KEE = 1K 2E P3 = 3/8

EEE = 0K 3E P4 = 1/8

Dari uraian di atas, perhatikanlah bahwa distribusi probabilitas :

a. Berupa bilangan rasio; ada pembilang dan penyebut.

b. Penyebutnya = 2N.

c. Pembilangnya sesuai dengan segitiga pascal.

d. Banyaknya probabilitas kejadian = 2N.

Segitiga Pascal.

(K + E)0 ……………..... 1 ... ………..……….../1

(K + E)1 ……………… 1 1 ………………….…./2

(K + E)2 ……………... 1 2 1 ……………………/4

(K + E)3 ……………… 1 3 3 1 …………………../8

(K + E)4 ……………….1 4 6 4 1 ………………../16

…………………….... dan seterusnya ……………………….

Berdasar hal tersebut, maka kita dapat dengan mudah menentukan

distribusi probabilitas dari 4 coin yang dilempar secara bebas. Penyebut dari

probabilitas tersebut aalah 24 = 16, dan pembilangnya adalah 1, 4, 6 , 4 , dan 1,

sehingga distribusi probabilitasnya adalah 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16.

Cara yang sama dapat untuk menentukan probabilitas diperoleh 2

anak laki-laki dari satu keluarga dengan 4 orang anak. Jika probabilitas kelahiran

anak laki-laki (L) sama dengan probabilitas kelahiran anak perempuan (W),

maka probabilitas diperolehnya 4L, 3L, 2L, 1L, 0L adalah 1/16, 4/16, 6/16, 4/16,

1/16. Jadi probabilitas diperolehnya 2 anak laki-laki adalah 6/16 = 0,375.

Disamping dengan segitiga pascal untuk menentukan besarnya

probabilitas kejadian pada gejala diskrit ini dapat juga menggunakan rumus :

89

………(Rumus 6.1) ………….. (Rumus 7.1)

X = Suatu bilangan antara 0 sampai NN = Jumlah kejadian, cacah kasus.p = Probabilitas sukses.q = Probabilitas kegagalan (1-p)N! = N faktorial

Dengan rumus 7.1.,maka probabilitas diperoleh 2 anak laki-laki dari empat

kelahiran adalah :

Contoh lain, berapakah besarnya probabilitas untuk memperoleh 2

orang anak wanita dari keluarga dengan 6 orang anak, jika peluang kelahiran

wanita adalah sama dengan peluang kelahiran anak laki-laki ?

Distribusi probabilitas dari kasus ini adalah : banyaknya probabilitas

adalah 26 = 64, sehingga penyebut dari bilangan probabilitasnya juga = 64,

sedang pembilangnya (dari segitiga pascal) untuk probabilitas kelahiran 6W,

5W, 4W, 3W, 2W, 1W, dan 0W berturut-turut adalah 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Sehingga distribusi probabilitasnya adalah 1/64, 6/64, 15/64, 20/64, 15/64, 6/64,

1/64. Jadi probabilitas untuk memperoleh 2 anak perempuan dari 6nam

kelahiran adalah 15/64 = 0,234.

Dengan rumus 7.1.juga akan diperoleh hasil yang sama.

90

Perhatikan juga contoh berikut ini :

Ketua panitia ujian masuk suatu perguruan tinggi menyatakan bahwa

hanya 40 % dari peserta ujian yang akan diterima di perguruan tinggi tersebut.

Jika diambil sampel 14 orang secara random dari peserta ujian masuk

perguruan tinggi tersebut, berapa probabilitasnya :

a. 4 orang akan lulus

b. Paling banyak 8 orang akan lulus

c. Paling sedikit 5 orang akan lulus

d. 4 sampai 9 orang yang lulus.

Cara penyelesaiannya adalah :

1. Diketahui :

n = 14 p = 40% (0,4) dan q = 60 % (0,6)

a.

= 0,1549

b. P(X≤8) = P(X=0) + P(X=1) + ……. + P(X=8) =

= 0,0008 + 0,0073 + 0,0317 + 0,0845 + 0,1549 + 0,2066 + 0,2066 +

0,1574 + 0,0918 = 0,9417

c. P(X≥5) = 1 – P(X≤4)

= 1- (P(X=0) + P(X=1) + ……. + P(X=4)

= 1 – 0,2793 = 0,7207

d. P(4≤X≤9)= P(X=4) + P(X=5) + ……. + P(X=9)

= 0,1549 + 0,2066 + 0,2066 + 0,1574 + 0,0918 + 0,0408 = 0,8581

Distribusi gejala diskrit dengan dua kategori ini disebut juga Distribusi

Binomial atau Distribusi Bernoulli. Distribusi ini mempunyai cirri-ciri :

91

Contoh :

Jika probabilitas kelahiran anak laki-laki dan anak perempuan adalah

sama, maka rerata kelahiran anak laki-laki dari 100 kelahiran adalah :

ML = Np = (100)(1/2) = 50

Dan simpangan baku kelahiran anak laki-laki adalah:

SD = = = 5

Perlatihan 7.1.

1. Sepuluh persen mahasiswa fakultas psikologi tergolong sangat pandai. Sebuah

sampel berukuran n = 10 telah diambil secara acak. Berapakah peluang didalam

sample itu terdapat mahasiswa yang sangat pandai:

a. Semuanya

b. Seorang

c. Dua orang

d. Paling sedikit 4 0rang

2. Jika 20 % dari baut yang diproduksi dengan suatu mesin diketahui rusak, hitung

probabilitasnya bahwa dari 4 baut yang diambil secara random :

a. Satu rusak

b. Tidak ada saupun yang rusak

c. Kurang dari 3 rusak

D. Kurve Normal

Pemahaman mengenai distribusi binomial di atas dapat juga diperluas

untuk gejala-gejala kontinum dengan cara mengubah gejala-gejala G1, G2,

92

Rerata(M) = Np

Simpangan(SD) =

Varian(SD2) = Npq

…….Gn menjadi sekor-sekor X1, X2, ……Xn dan probabilitas p1, p2,….pn, menjadi

frekuensi-frekuensi f1,f2,……fn. Dinyatakan dalam poligon menjadi seperti grafik

6.3.

Frekuensi dari sekor X1 sampai X2 dalam grafik 6.3. dicerminkan oleh

luas daerah kurva yang diarsir. Dari grafik 6.3. diketahui pula bahwa sekor-sekor

atau gejala-gejala yang ditengah-tengah menpunyai frekuensi tinggi, sedang

gejala atau sekor yang terletak di ujung kiri maupun kanan grafik frekuensinya

rendah.

Distribusi probabilitas seperti di atas, jika kita gambarkan dalam

poligon, akan selalu berupa kurva simetris, karena berdasarkan kejadian yang

diharapkan. Tetapi kejadian-kejadian itu pada kenyataannya tidak selalu sama

dengan yang diharapkan. Oleh karena itu jika didasarkan pada kejadian yang

diamati, poligonnya tidak selalu simetris.

X1 X2

Grafik 7.3.

Distribusi probabilitas gejala kontinum yang paling penting dan banyak

digunakan adalah distribusi normal atau Distribusi Gauss. Distribusi normal ini

menunjukkan persamaan :

………… (Rumus 7.2)

π = 3,14159…….e = 2,71828…….

Persamaam tersebut merupakan fungsi kepekatan normal. Berdasarkan

persamaan tersebut maka, jika SD makin besar kurvanya makin rendah

(platikurtik) dan jika SD makin kecil kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

93

SD = 0,5

SD = 1

SD = 2,24

M

Gambar 7.1. Kurva Normal dengan M sama dan SD berbeda

Disamping memenuhi persyaratan rumus 6.2. distribusi normal

mempunyai cirri-ciri yang penting lainnya yaitu :

a. Rerata = modus = median (M = Mo = Me)

b. Grafiknya diatas sumbu datar

c. Bentuk grafiknya simetris terhadap X = M

d. Uni modus pada X = M sebesar 0,3989/SD

e. Grafiknya mendekati sumbu datar pada M – 3SD di sebeleh kiri dan M + 3

SD disebelah kanan.

f. Luas kurva = 1

Untuk kegunaan praktis distribusi normal umumnya dapat dirubah

menjadi distribusi normal baku, dengan cara mentransformasikan nilai-nilai X

kedalam nilai Z dengan rumus :

94

-3 -2 -1 M 1 2 3 M ≠ 0 ≠ 1

Gambar 7.2. Kurva Normal Umum

-3 -2 -1 M 1 2 3 M = 0 = 1

Gambar 7.3. Kurva Normal Baku

Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan M = 0 dan SD =

1. Luas daerah kurve normal menunjukkan proporsi atau besarnya probabilitas

gejala. Untuk menentukan besarnya probabilitas secara praktis dapat

menggunakan table kurve normal baku atau table nilai Z, dengan cara :

a. Hitung Z sampai dua desimal.

b. Gambarkan kurvanya.

c. Letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical sampai

memotong kurva.

d. Luas kurva yang tertera dalam tabel kurva normal adalah luas daerah antara

vertikal ini dengan garis tengah pada titik nol.

e. Dalam tabel kurva normal, cari harga Z pada kolom paling kiri(sampai satu

desimal) dan desimal kedua dicari pada baris paling atas.

Kurva normal baku adalah kurva simetrik pada M = 0, maka luas dari garis

tengah pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5 = 50%.

Contoh penggunaan tabel kurva normal :

1. Tentukan luas daerah antara Z = 0 dan Z = 1,02

95

0 1,02 Gambar 7.4.

Setelah kurva digambar dan harga Z sudah diletakkan pada absis,

selanjutnya periksa tabel dengan cara sebagai berikut :

Z 0 1 2 …………….. 9 0,0 0,1

1,0 . 3461

3,9

Ternyata ditemukan angka .3461. Ini berarti luas daerah antara Z = 0 dan Z =

1,02 sama dengan 0,3461 atau 34,61%.

2. Tentukan luas antara Z = -1,5 dan Z = 1,82.

-1,5 0 1,82 Gambar 7.5.

Dari gambar 7.5. tampak bahwa kita perlu mencari luas dua kali, yaitu mencari

luas P1 dan luas P2, kemudian dijumlahkan. Dengan cara yang sama seperti

diatas dari tabel kurva normal, luas P1 + P2 = 0,4332 = 0,8988 atau 89,88%.

2. Tentukan luas antara Z = 1,40 dan Z = 2,65

96

0 1,4 2,65

Gambar 7.6

Yang dicari adalah luas Z = 0 sampai Z = 2,65, dikurangi luas dari Z = 0

sampai Z = 1,40. Luas dari Z = 0 sampai Z = 2,65, dikurangi luas dari Z = 0

sampai Z = 1,40 adalah 0,4192. Jadi luas yang dicari = 0,4960 – 0,4192 =

0,0768 atau 7,68%.

4. Tentukan luas dari Z = 1,96 kekiri.

0 1,96

Gambar 7.7.

Dari gambar tampak bahwa luas yang dicari sama dengan luas P1 ditambah

P2. Dari tabel diperoleh bahwa luas P1 = 0,4750 dan luas P2 = 0,5. Jadi luas

dari Z = 1,96 ke kiri adalah0,4750 + 0,50 = 0,9750 = 97,50%.

5. Rerata berat bayi yang baru lahir = 3000 gram dengan simpangan baku 250

gram. Jika berat bayi yang baru lahir berdistribusi normal maka tentukanlah :

a. Berapa persen bayi yang lahir dengan berat badan antara 3000 gram an

3500 gram?

b. Berapa persen bayi yang beratnya 3600 gram keatas?

c. Berapa bayi yang beratnya kurang dari 3250 gram jika semuanya ada 1000

bayi?

Cara penyelesaiannya adalah :

X = berat bayi dalam gram

M = 3000 gram

97

SD = 250 gram, maka:

a. Berat badan bayi antara 3000 gram – 3500 gram :

0 2,0

Gambar 7.8.

Dari tabel diatas diperoleh Z = 2. Luasnya sama dengan 0,4772 atau

47,72%. Jadi bayi yang beratnya antara 3000 gram dan 3500 gram adalah

0,4772 atau 47,72%.

b. Bayi yang beratnya 3600 gram keatas :

0 2,4

Gambar 7.9.

Luas titik nol kekanan = 0,5. Luas dari titik nol sampai Z = 2,4 adalah 0,4918

atau 49,18%. Jadi bayi yang beratnya 3600 gram keatas = 0,50 – 0,4918 =

0,0082 atau 0,82%.

c. Bayi yang beratnya kurang dari 3250 gram :

98

………… Tabel = 0,3413

P2 P1

0 1

Gambar 7.10.

Dari gambar tampak bahwa luas dari Z = 1 ke kiri adalah sama dengan P1 +

P2. P2 = 0,5 sedang P1 dari tabel diperoleh 0,3413. Jadi bayi yang beratnya

kurang dari 3250 gram adalah = (0,5 + 0,3413) x 1000 bayi = 841,3 bayi

dibulatkan 841 bayi.

Perlatihan 7.2

1. Dari hasil intelegensi terhadap 10000 orang diperoleh M = 100 dan SD = 15. Jika

distribusi hasil test tersebut adalah normal, tentukanlah :

a. Berapa orang yang mempunyai IQ kurang dari 90?

b. Berapa orang yang mempunyai IQ lebih dari 120?

c. Berapa orang yang mempunyai IQ antara 80 dan 125?

d. Sepuluh persen teratas mempunyai IQ berapa?

e. Seratus orang terbawah mempunyai IQ berapa?

2. Diketahui suatu distribusi normal dengan M = 200 dan SD = 10. Tentukanlah :

a. Luas daerah dibawah 214

b. Luas daerah diatas 179

c. Luas daerah 188 sampai 206

d. Nilai X yang mempunyai luas 80% dibawahnya

e. Dua nilai X yang terletak 50% ditengahnya

99

3. Suatu mesin pengisi minuman ringan di atur sedemikian rupa sehingga rata-rata

mengisi setiap botol 250 ml. Jika volume minuman tersebut berdistribusi normal

dengan simpangan baku 20ml, ditanyakan :

a. Berapa bagian yang berisi lebih dari 60 ml.

b. Berapa probabilitas botol akan terisi 225 ml sampai 240 ml.

c. Berapa banyak botol minuman yang terisi lebih dari 255 ml bila produksi

diketahui 1000 botol.

d. Di bawah nilai berapa untuk diperoleh 25% isi terendah.

4. Dalam ujian matematika diketahui bahwa nilai rerata adalah 82 dengan

simpangan baku = 5. Semua siswa dengan nilai dari 88 sampai 94 mendapat nilai

B. Bila nilai-nilai matematika tersebut berdistribusi normal, dan 8 siswa mendapat

nilai B. Berapa banyak siswa yang menempuh ujian matematika tersebut?

5. Dari sebuah majalah olahraga dilaporkan bahwa dari penyelidikan terhadap 800

orang atlet diperoleh rerata dan simpangan baku tinggi loncatan tanpa galah

masing-masing 170cm dan 15cm. Ditanyakan :

a. Berapa banyak orang yang tidak dapat meloncat setinggi 180 cm?

b. Berapa proporsi yang tidak dapat meloncat setinggi 150 cm?

c. Mereka yang tergolong 10% peloncat tertinggi, dapat meloncat berapa cm

tingginya?

d. Berapa orang yang eapat meloncat setringgi 170 cm sampai 190 cm?

100