st05 distribusi normal

STATISTIKA

Distribusi Normal

Distribusi Normal 2

Distribusi Normal

Distribusi normal, atau distribusi Gauss,

merupakan continuous probability

distribution yang paling penting dan paling

banyak dipakai.

Distribusi Normal 3

Distribusi Binomial (1)

Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan

(Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai

Distribusi BinomialHistogram Distribusi

Probabilitas Sukses

Distribusi Normal 4


Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan

Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).

Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?

Distribusi Normal 5


Setiap kali pemilihan

prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih

prob(As) = = 0.25 = p

prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih

prob(Ag) = 1 p = 0.75 = q

Dalam 5 kali pemilihan

peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah

088.075.025.03

525.0,5;3,; 23

XX fpnxf

Distribusi Normal 6


Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)

jumlah sukses jumlah kejadian peluang terjadi

0 1 0.237

1 5 0.396

2 10 0.264

3 10 0.088

4 5 0.015

5 1 0.001

1.000

koefisien

binomial

Distribusi Normal 7

0.24

0.40

0.26

0.09

0.010.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5

frekuensi perolehan dana

pro

ba

bilit

as

Distribusi probabilitas

Kegiatan A mendapatkan dana

n=

5 t

ahu

n

Distribusi Normal 8


Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu

yang lebih panjang

10 tahun

20 tahun

n tahun

diperoleh n + 1 kemungkinan hasil

Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah

n kali, n 1 kali, ... 0 kali

Distribusi Normal 9

0.06

0.19

0.28

0.25

0.15

0.06

0.02

0.00 0.00 0.00 0.000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


pro

bab

ilit

as



n=

10

tah

un

Distribusi Normal 10

0.00

0.02

0.07

0.13

0.19

0.20

0.17

0.11

0.06

0.03

0.010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


pro

ba

bilit

as



n=

20

tah

un


Distribusi Binomial vs

Kurva Normal

Apabila pemilihan (experimen) dilakukan

sejumlah n kali dan n >>

histogram distribusi probabilitas sukses

(Kegiatan A memperoleh dana) memiliki

interval kecil

garis yang melewati puncak-puncak histogram

kurva mulus berbentuk seperti lonceng

Kurva Normal


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


pro

ba

bilit

as



n=

20

tah

un


Kurva Normal

Distribusi Normal

Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu

tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal

Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal

Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal

Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan)

tabel distribusi normal

perintah dalam MS Excel


Distribusi Normal

Karakteristik

simetri terhadap nilai rata-rata (mean)

score mengumpul di sekitar nilai rata-rata

kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit

yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan

baku dari nilai rata-rata


Distribusi Normal

m m+s m+2s m+3sm-3s m-2s m-s

+

X

Luas = 1

m-4s m+4s


Distribusi Normal


+

X

Luas = 0.9973

Luas

= 0

.00135

Luas

= 0

.00135


pdf

m +

pX(x)

Nm,s2)

2212122 sm---s xX exp


pdf

m +

pX(x)m1 m2 m3s1


pdf

m +

pX(x)m1


Distribusi Normal

Jika X berdistribusi normal, N(m,s2), maka

probabilitas X x dapat dicari dengan:

-

sm---s

xt

X texPxX d2prob2221212

luas di bawah kurva pdf cdf


pdf - cdf

m

pX(x)

PX(x)

0

1

+


Distribusi Normal

Luas di bawah kurva

menunjukkan probabilitas suatu event

menunjukkan percentile rank

prob(X x) = prob( X x)= luas di bawah kurva antara s.d. x

prob( X +) = 1= luas di bawah kurva antara s.d. +

prob(X x) = prob(+ X x)= luas di bawah kurva antara x s.d. += 1 prob(X x)


Distribusi Normal

Probabilitas

prob(X m) = prob(X m) = 0.50

prob(m-x X m) = prob(m X m+x)


Distribusi Normal

Probabilitas

prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x

= 0

prob(X x) = prob(X < x)

prob(X x) = prob(X > x)

prob(xa X xb) = prob(xa < X < xb)


Distribusi Normal Standar

Distribusi normal umumnya disajikan dalam

bentuk distribusi normal standar

dipakai nilai z scores

s

m-

XzX

Z berdistribusi normal dengan m = 0 dan s = 1, N(0,1)

distribusi normal standar



+-

- zezp zZ22

2

1

-

-

zt

Z tezPzZ d2

1prob 2

2




+

0 1 2 3-1-2-3

X

Z


Tabel Distribusi Normal Standar

Tabel z vs ordinat kurva normal standar

z vs ordinat pdf (probability density function)

Tabel z vs luas di bawah kurva

z vs cdf (cumulative distribution function)

luas kurva dari 0 s.d. zx

luas kurva dari s.d. zx


Perintah (Fungsi) MS Excel

Distribusi Normal

NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative) x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya

mean = nilai rata-rata (aritmetik)

standard_dev = nilai simpangan baku

cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf

NORMINV(probability,mean,standard_dev) probability = probabilitas suatu distribusi normal

mean = nilai rata-rata (aritmetik)

standar_dev = nilai simpangan baku




NORMSDIST(z) menghitung nilai cdf distribusi normal standar

NORMSINV(probability) kebalikan dari NORMSDIST(z)

mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui

Ingat

Distribusi Normal Standar mean = 0

simpangan baku = 1



Contoh 1

NORMDIST(15,12,3,TRUE)

rata-rata = 12

simpangan baku = 3

prob(X < 15) = NORMDIST(5,12,3,TRUE) = 0.841

NORMINV(0.8,12,3)

prob(X < x) = 0.8

x = NORMINV(0.8,12,3) = 14.52



Contoh 2

NORMSDIST(3) rata-rata = 0

simpangan baku = 1

prob(Z 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987

prob(0 Z 3) = NORMSDIST(3) 0.5 = 0.4987

prob(1 Z 3) = NORMSDIST(3) NORMSDIST(1)

prob(Z 1.5) = 1 NORMSDIST(1.5)

NORMSINV(0.65) prob(Z z) = 0.65

z = NORMSINV(0.65) = 0.385



Tugas

Buatlah tabel distribusi normal standar

tabel pdf

tabel cdf

Dapat memakai perintah MS Excel untuk

mengerjakannya


Fungsi Linear Distribusi Normal

Variabel random X berdistribusi normal,

N(m,s2)

Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal

N(a + b m, b2s2)


Teorema Limit Sentral

Xi, i = 1,2,,n masing-masing variabel random yang berdistribusi normal N(m,s2)

Jika n distribusi sn mendekati (asimtotis) distribusi normal N(nm,ns2)

n

i

in Xs1


Kurva Normal Data Pengamatan

Perbandingan antara data pengamatan vs

distribusi normal

Contoh

data debit maximum (lihat tabel)

klas ke-2: 200 300 m3/s 250 m3/s

debit rata-rata 659 m3/s 660 m3/s

simpangan baku debit 212 m3/s 210 m3/s


Data Debit Puncak Sungai XYZTahun ke- Debit (m

3/s) Tahun ke- Debit (m

3/s) Tahun ke- Debit (m

3/s)

1 473 23 1110 45 843

2 544 24 717 46 450

3 872 25 961 47 284

4 657 26 925 48 460

5 915 27 341 49 804

6 535 28 690 50 550

7 678 29 734 51 729

8 700 30 991 52 712

9 669 31 792 53 468

10 347 32 626 54 841

11 580 33 937 55 613

12 470 34 687 56 871

13 663 35 801 57 705

14 809 36 323 58 777

15 800 37 431 59 442

16 523 38 770 60 206

17 580 39 536 61 850

18 672 40 708 62 829

19 115 41 894 63 887

20 461 42 626 64 602

21 524 43 1120 65 403

22 943 44 440 66 505


Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60 70

Tahun ke-

De

bit (

m3/s

)


Histogram Data Pengamatan

Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200

m3/s

Fre

ku

en

si

Rela

tif


Pengamatan vs Teoretik

Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200

m3/s

Fre

ku

en

si

Rela

tif

Distribusi Normal Teoretik

Data Pengamatan



Expektasi frekuensi relatif

klas ke-2

0293.0

4564.04857.0

210

660200

210

660300

200300

d2102

d2250

22

22

21066021

21300

200

2

21

21300

200

2

-

--

-

-

--

-

--

-

ZZ

QQ

q

sQqQQ

FF

FF

qe

qesqf Q



Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif

dalam suatu interval klas

Q

iZiZiQ

iQiiQ

zp

q

zzpqp

qpqqf

s

d

d



Cara lain (lanjutan)

028.0210

0593.0100

0593.0

95.1210

660250m 250

m 100

:2

3

3

--

iQ

iZ

ii

i

qf

zp

zsq

sq

i


Hitungan dan Penggambaran

Hitungan dan penggambaran dilakukan

dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit


Distribusi Normal vs

Distribusi Random Kontinu

Umumnya distribusi normal cukup baik untuk

mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik

distribusi diskrit atau kontinu

khususnya di bagian tengah distribusi

kurang baik di sisi pinggir (tail)

Apabila distribusi kontinu dipakai untuk

mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi

koreksi tengah interval, x , x +

misal: prob(X = x) prob(x < X < x + )


Distribusi Normal vs

Distribusi Random Kontinu

Diskrit

X = x

x X y

X x

X x

X < x

X > x

Kontinu

x - X x +

x - < X < y +

X < x -

X > x +

X x -

X x +

st05 distribusi normal

Documents