unit-08-oke

Metode Pembuktian

Rini Nurhakiki

PENDAHULUAN

Unit dari bahan ajar cetak ini merupakan implementasi dari

konsep-konsep yang telah dikaji dari unit-unit terdahulu. Dalam unit

ini akan dibahas mengenai beberapa pembuktian menggumakan

induksi matematika, bukti langsung dan bukti tidak langsung. Untuk

memudahkan pemahaman diberikan contoh-contoh dan soal-soal

latihan. Dalam kehidupan sehari-hari sering orang menarik

kesimpulan secara induktif, pada hal penarikan kesimpulan secara

induktif tidak selalu benar.

Rumusan kompetensi yang harus dikuasai setelah mempelajari

materi dalam unit ini mahasiswa diharapkan dapat:

1. melakukan pembuktian dengan induksi matematik,

2. menggunakan pembuktian dengan bukti langsung,

3. menggunakan pembuktian dengan bukti tidak langsung

Unit ini dilengkapi dengan latihan-latihan, agar anda dapat

semakin memahami konsep yang dipaparkan. Pelajari unit ini

dengan tuntas, kemudian untuk mengetahui tingkat penguasaaan

anda terhadap materi ini, kerjakan tes formatifnya. Untuk membantu

anda menyelesaikan, anda dapat melihat petunjuk yang ada di akhir

sub unit. Dari hasil perbandingan tersebut, anda bisa mengetahui

kemampuan anda sudah memenuhi standar yang dipersyaratkan

atau belum. Jika penguasaan anda belum memenuhi standar yang

dipersyaratkan, coba pelajari ulang, terutama pada konsep-konsep

yang belum anda pahami dengan benar. Jika anda mengalami

kesulitan, jangan segan-segan bertanya pada dosen atau rekan anda

yang lebih mampu. Manfaatkan sumber belajar lain yang

8 - 1

Unit 8

mendukung, misalnya bahan ajar berbasis web yang telah

disediakan.

Sub Unit 1Induksi Matematika

Sub Unit 1 dari Unit 7 ini akan membahas tentang induksi

matematika. Untuk memudahkan pemahaman diberikan contoh-

contoh dan soal-soal latihan. Dalam kehidupan sehari-hari sering

orang menarik kesimpulan secara induktif, pada hal penarikan

kesimpulan secara induktif tidak selalu benar. Untuk pembuktian

kebenaran dalam matematika secara formal salah satu cara yaitu

menggunakan induksi matematika

Perhatikan contoh berikut:

Bagaimanakah caranya menjumlahkan n bilangan ganjil yang

pertama?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .

Perhatikan pola penjumlahan berikut:

S1 = 1 = 1 = 12

S2 = 1 + 3 = 4 = 22

S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Secara umum diduga jumlah n suku pertama bilangan ganjil Sn = n2,

sehingga

(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n-1) = n2

Apakah dugaan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n? Untuk

meyakinkannya maka perlu dibuktikan bahwa pernyataan tersebut

benar untuk setiap bilangan asli n N, (N himpunan bilangan asli)

Untuk membuktikan apakah berlaku untuk setiap bilangan asli n

digunakan pembuktian dengan induksi matematika. Pembuktian ini

dimulai dari apakah pernyataan atau rumus berlaku untuk bilangan 1

karena 1 adalah bilangan asli terkecil. Jika pernyataan atau rumus itu

berlaku untuk sebarang bilangan asli, maka harus berlaku untuk

8 - 2

bilangan yang lebih dari bilangan asli tersebut. Berarti jika rumus

berlaku sebarang bilangan asli n=k, dan benar untuk n=k+1,

sehingga rumus berlaku untuk sebarang bilangan asli.

Adapun cara pembuktiannya sebagai berikut:

Jika suatu pernyataan atau rumus (dalam n) bersifat:

(i). benar untuk n = 1,

(ii) jika benar untuk n = k, harus benar untuk n = k+1, maka rumus

tersebut berlaku untuk n N

Contoh 1

Buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n-1)= n2, untuk setiap n

bilangan asli.

Penyelesaian:

Sn : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n-1)= n2

Harus dibuktikan benar untuk n = 1

S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1)

Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n=

k+1.

Anggap n =k berlaku, berarti Sk: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . + (2k

– 1) = k2

Untuk n= k+1, berlaku =

k2 + 2(k+1) -1= k2+ 2k+2 – 1=

k2+ 2k+1= (k+1)2,

ternyata benar untuk n=k+1

Sehingga Sn berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 2

Buktikan , berlaku untuk setiap bilangan asli

n.

Bukti :

Untuk membuktikan benar untuk setiap bilangan asli n,

8 - 3

langkah pertama apakah benar untuk n=1, ternyata

benar.

Andaikan benar untuk n=k, berati adalah

benar.

Harus dibuktikan benar juga untuk n=k+1.

Karena ,berarti

Dapat diperoleh

Kesimpulan untuk n=k+1 benar.

Sehingga terbukti Sn berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Latihan :

Buktikan pernyataan-pernyataan berikut benar untuk setiap n

bilangan asli dengan induksi matematika.

1). 1+ 2 + 3 + 4 + . . .+ n =

2). 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =

Petunjuk Jawaban Latihan :

1). Buktikan 1+ 2 + 3 + 4 + . . .+ n = benar untuk setiap n

bilangan asli.

Bukti:

Langkah 1: Selidikilah apakah S1 benar

Langkah 2: Andaikan benar untuk n=k, berarti

....................(benar)

Langkah 3: Buktikan benar untuk n=k+1

8 - 4

...........(apakah juga

benar)

Silakan dilanjutkan sendiri!

2). Buktikan 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = benar untuk setiap

n bilangan asli.

Bukti:

Sn : 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =

Langkah 1: Selidikilah apakah S1 benar

Langkah 2: Andaikan benar untuk n=k, berarti

Sk : 12 + 22 + 32 + . . .+ k2 = .......................(benar)

Langkah 3: Buktikan benar untuk n=k+1

12 + 22 + 32 + . . .+ k2 +(k + 1)= + (k + 1) = ................................

Silakan dilanjutkan ......!

Rangkuman

TES FORMATIF 1 8 - 5

Salah satu dari metode pembuktian adalah dengan induksi

matematika. Untuk membuktikan berlakunya rumus untuk

bilangan asli pembuktiannya sebagai berikut:

Jika suatu pernyataan atau rumus (dalam n) bersifat:

(i) benar untuk n = 1,

(ii) jika benar untuk n = k, harus benar untuk n = k+1, maka

rumus tersebut berlaku untuk n N

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut benar

untuk setiap n bilangan asli

1) 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = ( )2

2). 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . +

3). 1 + 3 + 6 + 10 + . . . + =

4)

Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 1, cocokkan jawaban Anda

dengan teman anda atau guru anda. Hitunglah skor pencapaian

Anda jika tiap jawaban benar dibobot 25, sehingga skor keseluruhan

soal bila dijawab benar adalah 100.

Untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi ini

gunakanlah rumus berikut:

Rumus:

Jika tingkat penguasaan Anda mencapai minimal 75%, Anda

dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda

melanjutkan mempelajari subunit berikutnya. Sebaliknya, jika

jawaban Anda kurang dari 75%, pelajari kembali uraian dalam sub

unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda pahami dengan

baik.

8 - 6

Sub Unit 2Bukti langsung

Setiap pembuktian langsung menggunakan bentuk , atau

kombinasi dari beberapa pernyataan. Jika pernyataan p benar, maka

q harus benar. Untuk membuktikan q benar dapat menggunakan

aksioma atau dalil-dalil sebelumnya yang telah diterima

kebenarannya atau telah dibuktikan . Secara matematis tidak boleh

pembuktian hanya menggunakan kasus-kasus tertentu saja,

misalnya dengan menunjukkan beberapa contoh .

Berikut ini adalah beberapa contoh pembuktian langsung.

Contoh 1:

Jika n adalah bilangan genap, buktikan n2 juga bilangan genap.

Bukti:

Jika n bilangan genap, berarti n= 2k, maka n2=(2k)2=4k2=2(2k)2.

Karena n2= 2(2k)2=2m, dengan m=(2k)2, dapat disimpulkan jika n

adalah bilangan genap, maka n2 juga bilangan genap.

Contoh 2:

Jika a, b R, buktikan bahwa (a+b)2=a2 + 2ab + b2

Bukti:

(a + b)2= (a + b) (a + b) ………..(definisi pangkat)

= (a + b)a + (a + b)b…..(hukum distributif)

= (a2 +ba) + (ab +b2)……( hukum distributif)

= a2 + (ba + ab) + b2 ……(hukum asosiatif)

= a2 + (ab + ab) + b2 ……(hukum komutatif)

= a2 + 2ab + b2

Contoh 3:

8 - 7

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A . Dari titik A dibuat garis tegak

lurus BC. Buktikan segitiga ABC sebangun dengan segitiga DBA

Bukti:

Latihan :

Buktikan dengan pembuktian langsung.

1. Buktikan kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

2. Buktikan jika suatu bilangan habis dibagi 6, maka bilangan

tersebut habis dibagi 3.

3. Diberikan a, b dan c bilangan bulat. Jika a membagi habis b

(ditulis a|b) dan b membagi habis c (ditulis b|c), maka a

membagi habis c (a|c)

4. Diketahui segitiga ABC, melalui titik P yang terletak pada sisi

AC, dibuat garis sejajar AB memotong BC pada titik Q.

Buktikan segitiga PQC sebangun dengan segitiga ABC.


1. Anda cermati kembali teori tentang pembuktian langsung.

Petunjuk nomor 1, nyatakan bilangan ganjil n = 2k +1, k

bilangan cacah,

8 - 8

C

BA

D

Perhatikan ∆ ABC dan DBA u (siku-siku)u (sudut yang sama)Kesimpulan ∆ ABC dan DBA sebangun

A

C

B

P Q

untuk nomor 2 pikirkan bagaimana menyatakan suatu

bilangan habis dibagi 6.

2. Petunjuk nomor 3, diberikan a|b dan b|c. Berarti ada bilangan

bulat q dan r sedemikian hingga aq = b dan br = c. Tentukan

bilangan bulat k dengan k = qr, maka ak= a(qr)=(aq)r=c. Karena

ak=c, berarti terbukti a|c

2. Petunjuk nomor 4 gambarlah sebagai berikut;

Untuk membuktikan PQC

sebangun dengan ABC. Jika

PQ//AB, perhatikan sudut –

sudut yang bersesuaian

dengan PQC dan ABC, .......

silakan dilanjutkan sendiri!

Rangkuman

TES FORMATIF 2

Dengan menggunakan bukti langsung, buktikan soal-soal berikut ini

1. Buktikan kuadrat bilangan yang terdiri 2 angka, adalah bilangan

yang terdiri dari 3 angka atau 4 angka.



8 - 9

Salah satu dari metode pembuktian adalah dengan pembuktian langsung. Untuk membuktikan berlakunya menggunakan bentuk , atau kombinasi dari beberapa pernyataan. Jika pernyataan p benar, maka q harus benar. Untuk membuktikan q benar dapat menggunakan aksioma atau dalil-dalil sebelumnya yang telah diterima kebenarannya atau telah dibuktikan kebenarannya.

3. Buktikan jarak A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah .

4. Buktikan jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga tersebut

sama kaki.








Rumus:






baik.

8 - 10

SubUnit 3Bukti Tidak Langsung

Untuk membuktikan dengan menggunakan bukti tidak langsung,

digunakan cara dengan membuat pernyataan pengingkaran dari

yang harus dibuktikan. Jika dari pernyataan yang diingkari tersebut

diperoleh suatu kontradiksi (bertentangan dengan ketentuan yang

diberikan) atau kemustahilan, berarti pernyataan yang harus

dibuktikan adalah benar. Untuk membuktikan p benar, kita harus

membuktikan jika ~p salah.

Berikut ini adalah contoh pembuktian tidak langsung.

Contoh1:

Buktikan bahwa bilangan irasional.

Bukti:

Andaikan bilangan rasional, = . Dengan m dan n bilangan

bulat yang relatif prima yaitu mempunyai faktor persekutuan

terbesar (FPB)= 1. Jika kedua ruas dikuadratkan diperoleh 2=

adalah bilangan genap adalah bilangan genap .

Berarti genap genap m dan n

mempunyai faktor persekutuan 2. Padahal m dan n prima relatif

mempunyai FPB =1. Jadi pengandaian bilangan rasional adalah

salah. Jadi tidak dapat dinyatakan sebagai , berarti adalah

bilangan irasional.

8 - 11

Contoh 2:

Buktikan jumlah 2 bilangan genap adalah bilangan genap.

Bukti:

Misalkan jumlah 2 bilangan genap adalah bilangan ganjil

Misalkan bilangan pertama = 2p, dan bilangan kedua = 2q, di mana

p dan q bilangan cacah. Jumlah bilangan pertama dan kedua = 2p +

2q = 2 (p+q)=2r,

dengan r = p+q sehingga r bilangan cacah. Ternyata jumlah 2

bilangan genap adalah bilangan genap. Hal ini bertentangan dengan

yang dimisalkan. Sehingga dapat disimpulkan jumlah 2 bilangan

genap adalah bilangan genap.

Latihan :

Buktikan dengan bukti tidak langsung

1. Buktikan pada segitiga sama kaki dua sudut pada kakinya

sama besar.

2. Buktikan kuadrat bilangan genap adalah genap.


1. Anda cermati kembali teori tentang pembuktian tidak

langsung. Untuk membuktikan soal nomor 1, perhatikan

gambar berikut

A

8 - 12

B D C

Diketahui segitiga ABC sama kaki, panjang sisi AB =panjang

sisi AC, harus dibuktikan besar ABC = ACB.

Dibuat garis bagi AD di mana D pada BC.

Andaikan ABC ACB

Perhatikan ABD dan ACD

Panjang sisi AB = AC ( ABC samakaki )

BAD = CAD (AD garis bagi)

AD = AD ( berimpit)

Kesimpulan ABD dan ACD kongruen.

Berarti ABC = ACB. Padahal pengandaian ABC

ACB. Terjadi kontradiksi. Apa yang dapat anda simpulkan?

2. Misalkan kuadrat bilangan genap bukan bilangan genap.

Misalkan bilangan tersebut n. Karena n genap berarti n=2k,

dengan k bilangan cacah, n2= (2k)2=4k2=2(2k2), ternyata n

bilangan genap. Hal ini bertentangan dengan yang dimisalkan.

Kesimpulan kuadrat bilangan genap adalah ........................

(lengkapi)

Rangkuman

8 - 13

Untuk membuktikan dengan menggunakan bukti tidak langsung, digunakan cara dengan membuat pernyataan pengingkaran dari yang harus dibuktikan. Jika dari pernyataan yang diingkari tersebut diperoleh suatu kontradiksi (bertentangan dengan ketentuan yang diberikan) atau kemustahilan, berarti pernyataan yang harus dibuktikan adalah benar. Untuk membuktikan p benar, kita harus membuktikan jika ~p salah.

TES FORMATIF 3

Gunakan bukti tidak langsung untuk membuktikan saol-soal

berikut ini.

1. Buktikan himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari

setiap himpunan.

2. Buktikan bahwa bilangan irasional.

3. Buktikan jika n2 bilangan ganjil, maka n ganjil (n bilangan asli)

4. Buktikan jika suatu segitiga siku-siku, maka dua sudut yang

lain lancip.








Rumus:






baik.

8 - 14

Kunci Tes Formatif I

1. Buktikan 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = ( )2 berlaku untuk

setiap n bilangan asli Bukti:

S(n): 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = ( )2

S(1): 13 = ( )2 ............(benar)

Andaikan S(k) benar

S(k): 13 + 23 + 33 + . . .+ k3 = ( )2

13 + 23 + 33 + . . .+ k3 +(k+1)3= ( )2+(k+1)3

=

=

=

Terbukti benar untuk S(k+1) :13 + 23 + 33 + . . .+ k3 +(k+1)3=

8 - 15

Jadi 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = ( )2 benar untuk setiap n

bilangan asli.

Berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Bukti:

S1: 1.2 = . . . . . (benar)

Andaikan benar untuk n=k berarti

Untuk n=k+1

= . Ternyata berlaku.

Terbukti Sn benar untuk setiap n bilangan asli.

3. Buktikan 1 + 3 + 6 + 10 + . . . + = berlaku

untuk setiap n bilangan asli.

Bukti:

Untuk n=1

S1: ...............(benar)

Andaikan n=k benar

8 - 16

Untuk n=k+1

=

Terbukti Sn berlaku untuk setiap n bilangan asli.

4). Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku

Bukti:

Untuk n=1

S1: ................(benar)

Andaikan benar untuk n=k berarti

Untuk n=k+1

Terbukti Sn benar untuk setiap n bilangan asli

Kunci Tes Formatif 2

1. Buktikan kuadrat bilangan yang terdiri 2 angka, adalah bilangan


Bukti: Misalkan bilangan yang terdiri 2 angka tersebut adalah

10a +b dengan dan bilangan cacah 1 dan

(10a + b)2 =100a2 +20ab +b2

Untuk nilai terendahnya jika dan , bilangannya adalah 10

kuadratnya 100. Nilai tertingginya terjadi jika a=9 dan b=9,

bilangannya adalah 99 kuadratnya 9801.

Terbukti kuadrat bilangan yang terdiri 2 angka, adalah bilangan


8 - 17



Bukti: Suatu bilangan habis dibagi 4, bilangan tersebut dapat

dinyatakan sebagai n=4k dengan k bilangan bulat. Bilangan

n=4k=2(2k), berarti bilangan tersebut habis dibagi 2 karena 2k

bilangan bulat.

3. Buktikan jarak A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah .

Bukti:

4. Buktikan jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga tersebut sama

kaki

Bukti:

Segitiga ABC sama sisi berarti panjang sisi AB=BC=CA. Suatu

segitiga sama kaki apabila segitiga tersebut mempunyai 2 sisi

yang sama panjang. Karena segitiga tersebut mempunyai 3 sisi

yang sama panjang, berarti 2 sisinya juga sa ma panjang.

Terbukti segitiga ABC sama kaki.

Kunci Tes Formatif 3

1. Buktikan himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari

setiap himpunan

Bukti:

8 - 18

C B

A A (x1, y1) dan B (x2, y2)Segitiga ABC siku-siku di CAB2 = AC2 + BC2

= (y2 – y1)2 + (x2 – x1)2

AB =

Misalkan A di mana A sebarang himpunan, berarti ada

anggota dari yang bukan anggota A, padahal tidak

mempunyai anggota, berarti pemisalan A salah.

Kesimpulan himpunan kosong merupakan himpunan bagian

dari setiap himpunan.

2. Buktikan bahwa bilangan irasional.

Bukti:

Andaikan bilangan rasional, = . Dengan m dan n bilangan

bulat yang relatif prima yaitu mempunyai faktor persekutuan

terbesar (FPB)= 1. Jika kedua ruas dikuadratkan diperoleh 3=

. Karena m dan n relatif prima berarti m2 dan n2 relatif

prima. Hal ini terjadi pertentangan dengan Berarti Jadi

pengandaian bilangan rasional adalah salah. Jadi tidak

dapat dinyatakan sebagai , berarti adalah bilangan

irasional.

3. Buktikan jika n2 bilangan ganjil, maka n ganjil (n bilangan asli)

Bukti:

Ingkaran dari jika n2 bilangan ganjil, maka n ganjil adalah ”n2

bilangan ganjil dan n genap”

Andaikan n2 ganjil dan n genap. Berarti n genap dapat

dinyatakan sebagai n=2k, k sebarang bilangan asli dan

diperoleh , berarti n2 genap hal ini

bertentangan dengan pengandaian.

Kesimpulan terbukti jika n2 bilangan ganjil, maka n ganjil (n

bilangan asli).

4. Buktikan jika suatu segitiga siku-siku, maka dua sudut yang lain

lancip.

8 - 19

Bukti: Seperti pada soal nomor 3 kita harus membuktikan

pernyataan Suatu segitiga siku-siku dan dua sudutnya tidak

lancip adalah salah.

Jika suatu segitiga siku-siku berarti salah satu sudutnya 900. Dua

sudutnya tidak lancip, berarti besar sudutnya lebih dari atau ,

berarti jumlah ketiga sudut segitiga tersebut lebih dari .

Terbukti jika suatu segitiga siku-siku, maka dua sudut yang lain

lancip.

DAFTAR RUJUKAN :

Lenchner George, (2008) Creative Problem Solving in School Mathematcs” 2ndEdition. :New York.

Leng Wee, Problem Solving Heruistics for Primary School Mathematics A Comprehensive Guide,(2008). Prentice Hall is an imprint of Pearson Education :South Asia.

Siswanto Hery, dkk.(2006). Napak Tilas Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP; Penerbit Universitas Negeri Malang: Malang

Tim Supermath, (2007) ”Strategi Pemecahan Masalah Matematika SD” :Jakarta

8 - 20

Glosarium.Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk dengan p dan q bilangan bulat .

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat d inyatakan

dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat .

Induksi matematik adalah suatu bentuk pembuktian deduktif. Untuk

membuktikan berlakunya rumus untuk bilangan asli harus

dibuktikan dengan cara (i) benar untuk n = 1, (ii) jika

benar untuk n = k, harus benar untuk n = k+1, maka rumus

tersebut berlaku untuk n N.

Kongruen: Dua bangun dikatakan kongruen apabila kedua bangun

tersebut besar dan ukurannya sama.

Relatif prima : Dua bilangan dikatakan relatif prima jika dua bilangan

tersebut FPBnya satu

Samakaki : segitiga dikatakan samakaki apabila segitiga tersebut

mempunyai dua sisi yang sama panjang.

Samasisi: segitiga dikatakan samasisi apabila segitiga tersebut

ketiga sisinya sama panjang.

Lancip: Suatu sudut dikatakan lancip apabila ukuran sudutnya

kurang dari 90o.

8 - 21

8 - 22

unit-08-oke

Documents