Turunan dan Garis Singgung

Definisi Garis Singgung

• Secara Geometry– Sbh garis pada lingkaran– Memotong pada tepat satu titik

• Bagaimana dengan garis singgung pada fungsi f(x)?

Slope garis singgung pada kurva

• Gunakan titik potong– dua titik yang memotong kurva

• Jika titik yang kedua dibuat sedekat mungkin dengan titik yang pertama, sehingga akan membentuk garis singgung

•• •

Animasi Garis Singgung

Slope garis singgung pada kurva

• Ingat konsep limit• Gunakan konsep tersebut

••

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

x∆

Definisi GarisSinggung

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

• ∆x mengecil darikiri

Definisi GarisSinggung

• ∆x mengecil darikanan

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

Slope adl Limit

• Diberikan f(x) = x3 Tentukan garis singgung pada x0= 2

• selesaikan …

0

3 3

0

2 3

0

(2 ) (2)lim

(2 ) 2lim

8 12 6( ) ( ) 8lim

x

x

x

f x fmx

xmxx x xm

x

∆ →

∆ →

∆ →

+∆ −=

∆+∆ −

=∆

+ ∆ + ∆ + ∆ −=

∆

Animasi Garis Dari Titik Potong Kecepatan Rata-rataDiberikan s(t) adalah posisi (jarak) dari sebuah benda pada saat t, dimana a ≤ t ≤ b. Rata-rata kecepatan atau tingkat rata-rata beda jarak (s) dibandingkan waktu (t) adalah

Perubahan jarak s(b) - s(a)

Perubahan waktu b - aRata-rata kecepatan = =

Perubahan Waktu

Jika ∆t didefinisikan sebagai b - a, maka b = a + ∆t, dan

s(b) - s(a)

b - aRata-rata kecepatan = = s(a + ∆ t) - s(a)

∆ t

Kecepatan SesaatKecepatan sesaat atau tingkat perubahan sesaat dari jarak (s) terhadap waktu (t) padat = a adalah

lim∆t→ 0

s(a + ∆t) - s(a)

∆t

Asalkan nilai limitnya ada

Definisi Turunan

• Turunan adalah persamaan yang memberikan slope dari garis singgung pada titik x di fungsi f(x)

• Cat: limit harus ada

0 0

0

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xx∆ →

+ ∆ −=

∆

Turunan adalah limit !Turunan adalah limit !

0

( ) ( )'( ) limh

f x h f xf xh→

+ −=

Notasi Turunan

• Untuk fungsi y = f(x)• Turunan dituliskan sebagai …

f”(x) “dibaca f prime x”dy/dx “dibaca turunan y terhadap x”

Contoh

• Contoh 1:

Contoh• Contoh 2

Contoh• Contoh 3

Contoh• Contoh 4

Contoh• Contoh 4 (lanjutan)

Teorema

• Fungsi yang dapat diturunkan pada titik x= c merupakan fungsi yang kontinu pada titik c

• Jika f’(c) ada maka f(x) kontinu di titik c