persamaan garis singgung
TRANSCRIPT
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
A. Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0)
1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan : y =
mx + b maka
x + b2 + 4px = 0
4p )x + b2 = 0
Garis menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0,
sehingga b2 – 4ac = 0
(2mb + 4p )2 – 4 m2 b2 = 0
= 0
16mbp =
mb =
Subtitusi Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px
dengan gradien m adalah Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py
dan
: y = mx+b, maka
Garis menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0,
sehingga: b2 – 4ac = 0
Subtitusi pada persamaan garis , diperoleh y = mx
y
x
y1 = mx – pm 2
y = mx + c
P(x,y)
Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py
dengan gradien m adalah
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis
singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1. y2 = 4px y = mx +
2.
3.
4.
2. Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x1 , y1)
o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada
parabola , dapat dinyatakan sebagai:
Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai
berikut:
2
Dititik (x1, y1) : m =
nilai m = didistribusikan ke persamaan diperoleh
Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y1y = -2p (x +x1 )
o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang terletak
pada parabola x2 = - 4py, dapat dinyatakan sebagai
dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai
berikut:
3
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis
singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 y2 = 4px y1 y =2p (x + x1)
2 y2 = - 4px y1 y = - 2p (x + x1)
3 x2 = 4py x1 x = 2p (y + y1 )
4 x2 = - 4py x1 x = - 2p (y + y1 )
B. Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b)
1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b)
4
Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis
singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan
parabola
(x –a)2 = 4p (y – b)
Subtitusi y = mx + n
(x –a)2 = 4p (mx + n – b)
x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)
x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0
x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0
x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0
( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0
4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0
16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0
--------------------------------------------------------------------- : 16p
ma + pm2 + (n – b) =0
(n – b) = -ma – pm2
n = -ma – pm2 + b
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh
dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n
y = mx + n
y = mx + ( -ma – pm2 + b)
y = mx – ma – pm2 + b
y – b = m( x – a ) – pm2
Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis
singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan
mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola
(y – b)2 = 4p( x – a)
5
y
x
y-b = m(x-a) – pm 2
y = mx + n
P(x,y)
((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)
(mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)
m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)
m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0
4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn –
4m2n2 – 4m2b2 = 0
- 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0
---------------------------------------------------------- : 16p
- mn + mb + p – m2a = 0
- mn = - mb + m2a – p
- mn = m (ma – b) – p
n = - (ma – b) –
Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n
y = mx + n
y = mx + (- ma + b) –
(y – b) = m(x – a) -
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 (y – b)2 = 4p( x – a)
2 (y – b)2 = - 4p( x – a)
6
3
4
2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)
Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P (x1,
y1)
(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)
y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)
y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)
Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)
adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
Jadi m di titik P (x1, y1) =
Subtitusi (iii) ke (ii)
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)
7
Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1,
y1)
Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah
(y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
jadi m =
Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1,
y1)
(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)
8
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung
parabola seperti tabel dibawah ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 (y – b)2 = 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2 (y – b)2 = - 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3 (x – a)2 = 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4 (x – a)2 = - 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)
9