PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

A. Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0)

1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan : y =

mx + b maka

x + b2 + 4px = 0

4p )x + b2 = 0

Garis menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0,

sehingga b2 – 4ac = 0

(2mb + 4p )2 – 4 m2 b2 = 0

= 0

16mbp =

mb =

Subtitusi Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px

dengan gradien m adalah Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py

dan

: y = mx+b, maka

Garis menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0,

sehingga: b2 – 4ac = 0

Subtitusi pada persamaan garis , diperoleh y = mx

y

x

y1 = mx – pm 2

y = mx + c

P(x,y)

Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py

dengan gradien m adalah

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis

singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1. y2 = 4px y = mx +

2.

3.

4.

2. Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x1 , y1)

o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada

parabola , dapat dinyatakan sebagai:

Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai

berikut:

2

Dititik (x1, y1) : m =

nilai m = didistribusikan ke persamaan diperoleh

Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y1y = -2p (x +x1 )

o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang terletak

pada parabola x2 = - 4py, dapat dinyatakan sebagai

dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai

berikut:

3

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis

singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 y2 = 4px y1 y =2p (x + x1)

2 y2 = - 4px y1 y = - 2p (x + x1)

3 x2 = 4py x1 x = 2p (y + y1 )

4 x2 = - 4py x1 x = - 2p (y + y1 )

B. Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b)

1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b)

4

Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis

singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan

parabola

(x –a)2 = 4p (y – b)

Subtitusi y = mx + n

(x –a)2 = 4p (mx + n – b)

x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)

x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0

x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0

x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0

( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0

4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0

16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0

--------------------------------------------------------------------- : 16p

ma + pm2 + (n – b) =0

(n – b) = -ma – pm2

n = -ma – pm2 + b

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh

dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n

y = mx + n

y = mx + ( -ma – pm2 + b)

y = mx – ma – pm2 + b

y – b = m( x – a ) – pm2

Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis

singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan

mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola

(y – b)2 = 4p( x – a)

5

y

x

y-b = m(x-a) – pm 2

y = mx + n

P(x,y)

((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)

(mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)

m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)

m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0

4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn –

4m2n2 – 4m2b2 = 0

- 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0

---------------------------------------------------------- : 16p

- mn + mb + p – m2a = 0

- mn = - mb + m2a – p

- mn = m (ma – b) – p

n = - (ma – b) –

Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n

y = mx + n

y = mx + (- ma + b) –

(y – b) = m(x – a) -

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung

parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 (y – b)2 = 4p( x – a)

2 (y – b)2 = - 4p( x – a)

6

3

4

2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)

Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P (x1,

y1)

(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)

y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)

y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)

Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)

adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Jadi m di titik P (x1, y1) =

Subtitusi (iii) ke (ii)

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)

7

Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1,

y1)

Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah

(y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

jadi m =

Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1,

y1)

(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)

8

Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung

parabola seperti tabel dibawah ini:

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 (y – b)2 = 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)

2 (y – b)2 = - 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)

3 (x – a)2 = 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)

4 (x – a)2 = - 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)

9