persamaan garis singgung - … · o persamaan garis singgung y melalui titik p (x 1, y 1 ... 1 ) 4...
TRANSCRIPT
Matematika XI MIA Peminatan
Persamaan Garis Singgung Parabola
Di Susun Oleh :
Markus Yuniarto, S.Si
SMA Santa Angela
Bandung
Tahun Pelajaran 2016 – 2017
2
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
A. Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Puncak (0,0)
1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan
: y = mx + b maka
x + b2 + 4px = 0
4p )x + b2 = 0
Garis menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0,
sehingga b2 – 4ac = 0
(2mb + 4p )2 – 4 m2 b2 = 0
2222 416164 mpmbpbm 2b = 0
16mbp = 216 p
mb = p
p
16
16 2
mb = - p
b = m
p
Subtitusi b = m
p pada persamaan garis ,
diperoleh y = mx + m
p
3
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px dengan
gradien m adalah y = mx + m
p
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py dan
: y = mx+b, maka
044
44
)(4
2
2
2
pbpmxx
pbpmxx
bmxpx
Garis menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0,
sehingga: b2 – 4ac = 0
2
22
22
22
2
16
16
1616
01616
0)4(4)4(
pmb
p
mpb
pbmp
pbmp
pbpmx
Subtitusi 2pmb pada persamaan garis , diperoleh y =
mx 2pm
Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py dengan
gradien m adalah y = mx 2pm
y
x
y1 = mx – pm 2
y = mx + c
P(x,y)
4
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut
ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1. pxy 42 y = mx + m
p
2. pxy 42 m
pmxy
3. pyx 42 y = mx 2pm
4. pyx 42 pmmxy
Ex. 1
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola :
a. xy 82 dengan gradien 3
b. xy 62 dengan gradien – 2
c. yx 22 dengan gradien – 1
5
2. Persamaan garis singgung parabola melalui titik(x1 , y1)
o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x1, y1) yang
terletak pada parabola pxy 42 , dapat dinyatakan sebagai:
)( 11 xxmyy
Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai
berikut:
y
p
dx
dymjadi
y
p
dx
dy
p
y
dy
dx
p
y
dy
dx
p
yx
2,
2
2
4
2
4
2
Dititik (x1, y1) : m = 1
2
y
p
nilai m = 1
2
y
p didistribusikan ke persamaan
)( 11 xxmyy diperoleh
6
)(2
22
224
22)4(
)4(22
22)(
)(2
11
11
11
11
2
11
2
11
111
1
1
1
xxpyy
pxpxyy
pxpxpxyy
pxpxpxyy
pxyingatpxpxyyy
pxpxyyy
xxy
pyy
Dengan demikian persamaan garis singgung yang
dimaksud adalah
y1y = -2p (x +x1 )
o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang
terletak pada parabola x2 = - 4py, dapat dinyatakan sebagai
)( 11 xxmyy
dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai
berikut:
7
:)(
2:)(
2,
2
4
2
4
4
11
11
2
2
diperolehxxmyy
nkepersamaaikandisubtitusp
xmxxDititik
p
x
dx
dymJadi
p
x
dx
dy
p
x
dx
dy
p
xy
pyx
)(2
22
422
)4(22
)4(22
)(2
)(2
11
11
111
111
1
2
1
2
111
2
111
1
1
1
yypxx
pypyxx
pyxxpypy
pyxxpypy
pyingatxxxxpypy
xxxyyp
xxp
xyy
8
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 y2 = 4px y1 y =2p (x + x1)
2 y2 = - 4px y1 y = - 2p (x + x1)
3 x2 = 4py x1 x = 2p (y + y1 )
4 x2 = - 4py x1 x = - 2p (y + y1 )
Ex. 2
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola :
a. xy 82 di titik A(2, 4)
b. xy 42 di titik B(-1, 2)
c. yx 62 di titik C
2
3,3
B. Persamaan garis singgung parabola dengan puncak (a.b)
1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m
Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b)
Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan
garis singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam
persamaan parabola
9
(x –a)2 = 4p (y – b)
Subtitusi y = mx + n
(x –a)2 = 4p (mx + n – b)
x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)
x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0
x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0
x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0
( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0
4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0
16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0
--------------------------------------------------------------------- : 16p
ma + pm2 + (n – b) =0
(n – b) = -ma – pm2
n = -ma – pm2 + b
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b)
diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b
pada y = mx + n
y = mx + n
y = mx + ( -ma – pm2 + b)
y = mx – ma – pm2 + b
y – b = m( x – a ) – pm2
10
Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis
singgung y = mx + n dapat kita peroleh garis singgungnya
dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan
parabola
(y – b)2 = 4p( x – a)
((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)
(mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)
m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)
m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0
y
x
y-b = m(x-a) – pm 2
y = mx + n
P(x,y)
11
4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa +
8m2bn – 4m2n2 – 4m2b2 = 0
- 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0
---------------------------------------------------------- : 16p
- mn + mb + p – m2a = 0
- mn = - mb + m2a – p
- mn = m (ma – b) – p
n = - (ma – b) – m
p
Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n
y = mx + n
y = mx + (- ma + b) – m
p
(y – b) = m(x – a) - m
p
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 axpby 42
m
paxmby
2 axpby 42
m
paxmby
12
3 aypbx 42
2pmaxmby
4 aypbx 42
2pmaxmby
Ex. 3
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola :
a. 2612
xy dengan gradien 2
1
b. 1422
xy dengan gradien – 3
c. 2832
yx dengan gradien 3
2
2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)
Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P
(x1, y1)
(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)
y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)
y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)
Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)
adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
13
)(
2
2
)()(
)(2.4
1)(
)(4
1)(
)(4)(
2
2
by
p
dx
dy
p
by
dy
axd
bypdy
axd
byp
ax
axpby
Jadi m di titik P (x1, y1) = )........()(
2
1
iiiby
p
Subtitusi (iii) ke (ii)
)).......((2
)(2)((
)()(
2
)(
11
2
11
111
1
1
1
11
ivxxpbyybyyy
xxpbyyy
xxby
pyy
xxmyy
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)
)2(2))((
242))((
2244
22))(42(
22
11
11
11
2
11
111
2
11
11
2
11
axxpbyby
pxappxbyby
pxpxpapxbbybyyy
pxpxbyaxpbbybyyy
pxpxbyybyyy
14
Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik
P (x1, y1)
)).......((42
)(42
)(4)(
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
ibypaaxx
bypaaxx
bypax
Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah
(y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
p
ax
dx
dy
axpdx
by
axp
by
bypax
2
)(
)(2.4
1)(
)(4
1)(
)(4)(
1
1
1
2
11
1
2
1
jadi m = ).........(2
1 iiip
ax
Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)
).......(.)(2
))(()(2
)(2
)()(
)()(
1
2
111
111
1
1
1
11
ivaxaxxxxyyp
xxaxyyp
xxp
axyy
xxmyy
15
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)
122 pypy 1
2
11 axaxxxx
))(()2(2
422
4422
))(42(22
11
2
111
2
1111
11
2
111
axaxpyyp
aaxaxxxpbpypy
aaxaxxxpbpypypy
axaxbypaaxxxpypy
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik
P (x1, y1)
(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung
parabola seperti tabel dibawah ini:
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 (y – b)2 = 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2 (y – b)2 = - 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3 (x – a)2 = 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4 (x – a)2 = - 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)
16
Ex. 4
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola :
a. 1322
xy di titik A(4, - 1)
b. 2422
xy di titik B(-2, 3)
c. 4832
yx di titik C(1, 2)
17
Latihan Soal
Pada soal 1 – 6 tentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik
A(x1, y1) yang diberikan dan yang mempunyai kemiringan m yang
diberikan.
1. y2 = 6x, m = 2, A(2, 2/3)
2. x2 + 4y = 0, m = ½ , A(2, –1)
3. x + 2y2 = 1, m = 3/4, A(1, –1)
4. 8x2 – 3y = 0, m = –2, A(1/2, 4/3)
5. 2x2 + 3y – 6 = 0, m = –3/4, A(1, 4/3)
6. y2 + 2y + 6x + 4 = 0, m = 1, A(–2, 4)
7. Tentukan persamaan parabola yang menyinggung garis x = 2 di titik
(2, 0) dan titik fokusnya (4, 0).
8. Puncak parabola menyinggung garis y = 2. Tentukan persamaan
parabola tersebut jika titik fokusnya (5, 2).
18
9. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = –16x yang
sejajar garis x – y = 3.
10. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 + 2y + 6x + 4 = 0
yang tegak lurus garis x + 2y = 6.
11. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = –8y yang memuat
titik (4, 0).
12. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 – 4x = 0 yang
memuat titik (–2, –1).