1. Parabola    a. Gradien  Garis  Singgung  Pada  Titik   𝑥!,𝑦!  Pada  Parabola  

 Pada  pelajaran  tentang  garis,  gradien  adalah  𝑚 = ∆!

∆!  dan  pada  pelajaran  

tentang  limit  dan  turunan  jika  ∆𝑥 → 0  maka  gradien  suatu  fungsi  𝑦 = 𝑓(𝑥)  adalah  𝑚 = !"

!"  

Suatu  fungsi  𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑏 ! ⟹ !"!"= 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑏 !!!  sehingga  

 !"!"

= 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑏 !!!

𝑑𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑏 !!!𝑑𝑥𝑑 𝑎 𝑥 − 𝑏 ! = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑏 !!!𝑑𝑥

   

 𝑑 𝑎 𝑥 − 𝑏 ! = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑏 !!!𝑑𝑥  

   Gradien  parabola         Gradien  parabola  4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !         4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !    4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !

4𝑝 𝑦 − 𝑘 ! = 𝑥 − ℎ !

𝑑 4𝑝 𝑦 − 𝑘 ! = 𝑑 𝑥 − ℎ !

4𝑝 𝑦 − 𝑘 !!!𝑑𝑦 = 2 𝑥 − ℎ !!!𝑑𝑥4𝑝 𝑦 − 𝑘 !𝑑𝑦 = 2 𝑥 − ℎ !𝑑𝑥4𝑝𝑑𝑦 = 2 𝑥 − ℎ 𝑑𝑥!"!"

= ! !!!!!

𝑚 = !!!!!

   

4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !

4𝑝 𝑥 − ℎ ! = 𝑦 − 𝑘 !

𝑑 4𝑝 𝑥 − ℎ ! = 𝑑 𝑦 − 𝑘 !

4𝑝 𝑥 − ℎ !!!𝑑𝑥 = 2 𝑦 − 𝑘 !!!𝑑𝑦4𝑝 𝑥 − ℎ !𝑑𝑥 = 2 𝑦 − 𝑘 !𝑑𝑦4𝑝𝑑𝑥 = 2 𝑦 − 𝑘 𝑑𝑦!!

! !!!= !"

!"!!!!!

= 𝑚

   

                                 

Gradien  garis  singgung  di  titik   𝑥!,𝑦!  yang  terletak  pada  parabola      4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !    adalah    

𝑚 =𝑥! − ℎ2𝑝  

 Gradien  garis  singgung  di  titik   𝑥!,𝑦!  yang  terletak  pada  parabola  4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !  adalah    

𝑚 =2𝑝

𝑦! − 𝑘  

 

Untuk  mendapatkan  persamaan  garis  singgung  di  titik   𝑥!,𝑦!  subtitusikan  ke  persamaan  garis  𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!      

b. Persamaan  Garis  Singgung  Dengan  Gradien  𝑚  Pada  Parabola    Jika  garis  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛  menyinggung  parabola  4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !  maka  sesuai  yang  sudah  dipelajari  pada  sistem  persamaan  liner  dan  kuadrat  adalah    4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !

4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘 !

4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘 !

4𝑝𝑥 − 4𝑝ℎ = 𝑚!𝑥! + 2𝑚 𝑛 − 𝑘 𝑥 + 𝑛 − 𝑘 !

0 = 𝑚!𝑥! + 2𝑚 𝑛 − 𝑘 𝑥 − 4𝑝𝑥 + 𝑛 − 𝑘 ! + 4𝑝ℎ0 = 𝑚!𝑥! + 2𝑚 𝑛 − 𝑘 − 4𝑝 𝑥 + 𝑛 − 𝑘 ! + 4𝑝ℎ

   

 Persamaan  di  atas  adalah  persamaan  kuadrat  dengan    𝑎 = 𝑚! 𝑏 = 2𝑚 𝑛 − 𝑘 − 4𝑝 𝑐 = 𝑛 − 𝑘 ! + 4𝑝ℎ      Garis  menyinggung  lingkaran  jika  𝐷 = 0    𝐷 = 0𝑏! − 4𝑎𝑐 = 02𝑚 𝑛 − 𝑘 − 4𝑝 ! − 4𝑚! 𝑛 − 𝑘 ! + 4𝑝ℎ = 04𝑚! 𝑛 − 𝑘 ! − 16𝑝𝑚 𝑛 − 𝑘 + 16𝑝! − 4𝑚! 𝑛 − 𝑘 ! − 16𝑚!𝑝ℎ = 0−16𝑝𝑚 𝑛 − 𝑘 + 16𝑝! − 16𝑚!𝑝ℎ = 0−𝑚 𝑛 − 𝑘 + 𝑝 −𝑚!ℎ = 0−𝑚𝑛 +𝑚𝑘 + 𝑝 −𝑚!ℎ = 0𝑚𝑘 + 𝑝 −𝑚!ℎ = 𝑚𝑛𝑘 + !

!−𝑚ℎ = 𝑛

   

 Sehingga  persamaan  garisnya  adalah    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 + !

!−𝑚ℎ

𝑦 − 𝑘 = 𝑚𝑥 −𝑚ℎ + !!

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ + !!

   

       

   

Persamaan  garis  singgung  dengan  gradien  𝑚  pada  parabola    4𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑦 − 𝑘 !    adalah    

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ +𝑝𝑚  

 

Jika  garis  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛  menyinggung  parabola  4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !  maka  sesuai  yang  sudah  dipelajari  pada  sistem  persamaan  liner  dan  kuadrat  adalah    4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !

4𝑝 𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘 = 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ!

4𝑝𝑚𝑥 + 4𝑝 𝑛 − 𝑘 = 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ!

0 = 𝑥! − 2ℎ𝑥 − 4𝑝𝑚𝑥 + ℎ! − 4𝑝 𝑛 − 𝑘0 = 𝑥! − 2ℎ + 4𝑝𝑚 𝑥 + ℎ! − 4𝑝 𝑛 − 𝑘

   

 Persamaan  di  atas  adalah  persamaan  kuadrat  dengan    𝑎 = 1 𝑏 = − 2ℎ + 4𝑝𝑚 𝑐 = ℎ! − 4𝑝 𝑛 − 𝑘      Garis  menyinggung  lingkaran  jika  𝐷 = 0    𝐷 = 0𝑏! − 4𝑎𝑐 = 0− 2ℎ + 4𝑝𝑚 ! − 4 ℎ! − 4𝑝 𝑛 − 𝑘 = 04ℎ! + 16𝑝𝑚ℎ + 16𝑝!𝑚! − 4ℎ! + 16𝑝 𝑛 − 𝑘 = 016𝑝𝑚ℎ + 16𝑝!𝑚! + 16𝑝 𝑛 − 𝑘 = 0𝑚ℎ + 𝑝𝑚! + 𝑛 − 𝑘 = 0𝑚ℎ + 𝑝𝑚! + 𝑛 − 𝑘 = 0𝑚ℎ + 𝑝𝑚! − 𝑘 = −𝑛𝑘 −𝑚ℎ − 𝑝𝑚! = 𝑛

   

 Sehingga  persamaan  garisnya  adalah    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 −𝑚ℎ − 𝑝𝑚!

𝑦 − 𝑘 = 𝑚𝑥 −𝑚ℎ − 𝑝𝑚!

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ − 𝑝𝑚!

   

           

       

Persamaan  garis  singgung  dengan  gradien  𝑚  pada  parabola    4𝑝 𝑦 − 𝑘 = 𝑥 − ℎ !    adalah    

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ − 𝑝𝑚!