Slide 1

BAB 4 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

Standar Kompetensi: Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya.Kompetensi Dasar:Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukanMenentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINGKARANLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar.Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y disebut persamaan lingkaran.

Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh: letak pusat lingkaran M dan panjang jari-jari r.Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari rYXPOP(x, y) y x r x2 + y2 = r2 Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a, b) dan Berjari-jari rAP =(AP)2 + (PP)2 r =(x a)2 + (y b)2 r2 = (x a)2 + (y b)2 (x a)2 + (y b)2 = r2L {(x y) l (x a)2 + (y b)2 = r2}Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah (x a)2 + (y b)2 = r2

Bentuk Umum Persamaan LingkaranMenyatakan Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, dan C bilangan-bilangan real) Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, dan D bilangan-bilangan bulat, A 0). atau Bentuk umum persamaan lingkaran memiliki ciri-ciri khususPeubah x dan peubah y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dengan y (suku xy).Koefisien x2 sama dengan koefisien y2.Menentukan Pusat dan Jari-Jari LingkaranPusat dan jari-jari lingkaran L x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ditentukan dengan rumus: o) pusatA,2(2B)o) jari-jari r =4A24B2+CProses menentukan bentuk umum persamaan lingkaran

POSISI SUATU TITIK TERHADAP LINGKARANPosisi suatu Titik terhadap Lingkaran L x2 + y2 = r2Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran L a2 + b2 r2.Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L a2 + b2 r2.Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran L a2 + b2 r2.OYXOYXOYXP(a, b) P(a, b) P(a, b) rrrP(a, b) di dalam L P(a, b) pada L P(a, b) di luar L Posisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L (x + a)2 + (y b)2 = r2Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika

Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika

Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran jika dan hanya jika(h a)2 + (k b)2 r2(h a)2 + (k b)2 = r2(h a)2 + (k b)2 r2rrrYYYXXXLLLA(a, b) A(a, b) A(a, b) P(h, k) P(h, k) P(h, k) P(h, k) di dalam L P(h, k) pada L P(h, k) di luar L OOOPosisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L x2 + y2 + Ax + By + C = 0Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L K 0.Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L K = 0.Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran L K 0.Di mana k = h2 + k2 + Ah + Bk + C.Jika titik P(h, k) di luar lingkaran L x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka panjang garis singgung yang dibuat melalui titik P(h, k) terhadap lingkaran L ditentukan dengan rumus:

dengan S adalah titik singgung dan K adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L. pPS =h2 + k2 + Ah + Bk+ CPS =KpatauPOSISI GARIS TERHADAP LINGKARANsYYYXXXA(x , y ) B(x , y ) 2112S(x , y ) sOOOLLLgggMemotong lingkaran di dua titik yang berlainanMemotong lingkaran di satu titik atau menyinggung lingkaranTidak memotong maupun menyinggung lingkaranMisalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan:g ax + by + c = 0,L x2 + y2 + Ax + By + C = 0,Posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagi berikut.Langkah 1Pada bagian persamaan garis (berbentuk linear), nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagi fungsi x.Langkah 2Subtitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran (berbentuk kuadrat). Subtitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam peubah x atau y (disebut: persamaaan kudarat gabungan). Kemudian hitunglah nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu.Langkah 3Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan D.D 0 garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan.D = 0 garis g menyinggung lingkaran L.D 0 garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARANPersamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaranUntuk Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan Jari-Jari rPersamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 = r2 yang melalui titik P(x1 , y1 ) pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut. x1x + y1y = r2Untuk Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan Jari-Jari rPersamaan garis singgung lingkaran L (x a)2 + (y b)2 = r2 yang melalui titik P(x1 , y 1) ditentukan dengan rumus sebagi berikut.(x1 a)(x a) + (y1 b)(y b) = r2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennnya Diketahui Untuk Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan Jari-Jari rPersamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 = r2 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut. y = mx r1+ m2 Untuk Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan Jari-Jari rPersamaan garis singgung lingkaran L (x a)2 + (y b)2 = r2 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus sebagi berikut.(y b) = m(x a) r1+ m2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang melalui Sebuah Titik di Luar LingkaranCara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaranLangkah 1:Persamaan garis yang melalui P(x 1 , y 1 ), gradiennya m. Persamaannya adalah y y 1 = m(x x 1 ) atau y = mx mx 1 + y .Langkah 2:Subtitusikan y = mx mx1 + y ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu dihitung.Langkah 3:Karena garis lingkaran, nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m. Subtitusikan niali-nilai m ke persamaan y = mx mx1 + y , sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.