Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).

P(X,f(X))

f(x+h)-f(x)

h Q(x+h,f(x+h))

x x+hl

g

Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah

mQ = =

=

=

Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka gradien garis singgungnya adalah

Persamaan garis singgung pada kurva di titik dengan gradien m dimana

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik P (x, f(x)) pada kurva adalah

Contoh

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x

Jawab

f(x) = yf(1) = 4

f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1 = 9

Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah

y – 4 = 9 (x – 1) y = 9x – 5.

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3

Jawab

4x + y = 3y= -4x + 3m2= -4

y = 3 + 2x – x2

f’(x) = -2x + 2

m1 = m2

-2x+2 = -4 -2x = -6 x = 3

x = 3f(x) = 3 + 2(3) – (3)2

f(x) = 0 y = 0

Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah

y – 0 = -4 (x – 3) y = -4x + 12

1. Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = –

LATIHAN SOAL

Jawaban no 1

1. Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)

y = f(x) = x2 – 3x + 4 f’(x)= 2x – 3

a. Gradien di titik A (3,4)m = f’(x) = 2x – 3

= 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1) y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5

Jawaban no 2

y = 2x3 tegak lurus terhadap garis y = – maka m1. m2 = -1(– ) . m2 = -1 m2 = 24 f’(x1) = 24

y = 2x3

f '(x) = 6x2

f '(x1) = 6x12

24 = 6x12

4 = x12

X1= ± 2.

Untuk x1 = 2, f (x) = 2x3

f (x1) = 2(23) = 16

Untuk x1 = - 2, f (x) = 2x3

f (x1) = 2((-2)3) = - 16

Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – adalah

y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) y – 16 = 24 (x – 2) y = 24x – 32

y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) y – (-16) = 24 (x – (-2)) y + 16 = 24 (x + 2) y = 24x + 32

1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu jika seiring pertambahan nilai x ke kanan, maka nilai f(x) semakin bertambah atau f ‘(x)>0.

x2 > x1 f(x2) > f(x1)

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

1x 2x

y=f(x)

)f(x1 )f(x2

Fungsi Naik

(a)

2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan, maka nilai f(x) semakin berkurang atau f ‘(x)<0

x2 > x1 f(x2) < f(x1)1x

y=f(x)

2x

)f(x1 )f(x2

Fungsi Turun

(b)

Contoh Soal

1. Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan:a. Fungsi naikb. Fungsi turun

Jawab:

f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4f’(x) = 3x2 + 18x + 15

Syarat fungsi naik f’(x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5 Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > -1

Nilai Stationer

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping. Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

Jenis-Jenis Stasioner

1. Nilai stasioner maksimum

Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsi yang demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner belok

a. Nilai stasioner di titik B

Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

b. Nilai Stasioner di titik D

Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok.

3. Nilai stasioner minimum

Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum.

Contoh

1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x

Jawab :

f(x) = x2 + 2xf’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1)Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1

Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

x = 1x2 ( x + 1 )f’(x)

-1- -1 -1+

- 0 + - 0 +

Bentuk grafik

Titik balik minimum

LATIHAN SOAL

3. Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari

4. Diketahui f(x) = - x3 + 3x2 - 1a). Tentukan titik stasionernyab). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Jawaban no 3

f ' (x) = 2x - x2

a. Interval f(x) naik

f(x) naik jika f’(x) > 02x – x2 > 0x (2 – x) > 0(x) naik pada interval : 0 < x < 2b. Interval f(x) turun

f(x) turun jika f’(x) < 02x – x2 < 0x (2 – x) < 0f(x) turun pada interval : x < 0 atau x > 2

c. Interval f(x) stasioner

f(x) stationer jika f’(x) = 02x – x2 = 0x (2 – x) = 0x = 0 atau x = 2

Untuk x = 0 maka nilai y y y = 2

Untuk x = 2 maka nilai y y y = 2 + 4 - y =

Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,

Jawaban no 4

a. Untuk mencapai titik stasioner , maka f’(x) = 0 f(x) = - x3 + 3x2 – 1 f’(x) = -3x2 + 6x -3x2 + 6x = 0 (-3x1 + 0)(x2 – 2) = 0Diperoleh : x1 = 0 dan x2 = 2

Sehingga titik stasioner yang didapat adalah x1 = 0 f(0) = -(0)3 + 3(0)2 – 1

f(0) = -1 jadi titik stasioner yang pertama = (0,1) x2 = 2 f(2) = -(2)3 + 3(2)2 – 1

f(2) = 3 jadi titik stasioner yang kedua = (2,3)

b. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Didapatkan x1 = 0 dan x2 = 2, jadi daerah asal Df terbagi menjadi tiga interval :

- - - - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - - - Interval I 0 Interval II 2 Interval III

Interval II = misalkan ambil x = 3f’(x) = -3x2 + 6xf’(3) = -3(3)2 + 6(3) = - 9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif.

Kesimpulannya :f(x) naik pada interval 0 < x < 2f(x) turun pada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞

Interval I = misalkan ambil x = -1 , f’(x) = -3x2 + 6xf’(-1) = -3(-1)2 + 6(-1) = -9f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif.

Interval II = misalkan ambil x = 1

f’(x) = -3x2 + 6xf’(1) = -3(1)2 + 6(1) = 3f’(x) > 0 ,maka interval II naik diberi tanda (+) positif

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagaiberikut:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.3. Tentukan beberapa titik pada kurva.4. Gambarlah kurva.

Gambarlah grafik Jawab

Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0y

Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan

b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0y y y = -5titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)

Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya.Dari y Maka Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga :Untuk = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x1 = 3 atau x2 = 4

Untuk x1 = 3 f(x) f(x) =

Untuk x2 = 4f(x) f(x) =

f(x) naik jika f’(x) > 0, maka :x2 - 7x +12 > 0(x - 3)(x - 4) > 0x < 3 atau x > 4f(x) turun jika f’(x) < 0, maka :

x2 - 7x +12 < 0(x - 3)(x - 4) < 03 < x < 4

Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu

1 2 3 4 5

Langkah 4 : Gambarlah grafiknya

Buatlah grafiknya dari persamaan y = f(x) = 3x – x3

LATIHAN SOAL

Jawab:i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. y = 0 = 3x – x3

0 = x (3 – x2) 0 = x (1 - x ) (1 + x)

ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3

y = 3.0 - 03

y = 0 Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0 f’ (x) = 3 – 3x2

= (1 - x 2) = 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1

untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2

nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)

titik potong sumbu x adalah (0,0), (1,0), (-1,0)

titik potong sumbu y adalah (0,0)

x -2 2 -3 3 ...

y 2 -2 18 -18 ...

d. gambarlah grafiknya

c. titik bantu