resume pembelajaran rina anggraini 06111008018

Resume Pembelajaran

Materi Trigonometri

Disusun oleh :

Rina Anggraini

(06111008018)

Prodi :

Pendidikan Matematika

Dosen Pengasuh :

DR. Budi Santoso

Haris Kurniawan, M.Pd.

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

Resume Pembelajaran

TRIGONOMETRI

Trigonometri merupakan salah satu pokok bahasan yang terdapat dalam pelajaran

Matematika pada Sekolah Menengah Atas (SMA) yang tersebar di kelas X, XI, dan XII sesuai

dengan Kompetensi Dasar yang ada dalam lampiran kompetensi inti dan kompetensi dasar

Kurikulum 2013. Resume ini dibuat dengan pertimbangan bahwa siswa sebelumnya sudah

mempelajari dan memahami beberapa materi beserta konsep yang berkaitan dengan materi

trigonometri, yaitu pada SMP kelas VII, VIII, dan IX sesuai dengan kompetensi dasar yang ada

dalam Kurikulum 2013, kompetensi dasar yang dimaksud adalah :

Kelas VII

Kompetensi Dasar

2.4 Menunjukkan perilaku disiplin dalam

melakukan aktivitas di rumah, sekolah, dan

masyarakat sebagai wujud implementasi

pelaksanakan prosedur dalam menggambar

segitiga, garis tinggi, garis bagi, garis berat,

dan garis sumbunya menggunakan penggaris,

jangka, dan busur

3.6 Memahami sifat-sifat bangun datar dan

menggunakannya untuk menentukan keliling

dan luas

3.4 Memahami konsep perbandingan dan

menggunakan bahasa perbandingan dalam

mendeskripsikan hubungan dua besaran

3.7 Mendeskripsikan lokasi benda dalam

koordinat Kartesius

4.4 Menggunakan konsep perbandingan untuk

menyelesaikan masalah nyata dengan

menggunakan tabel dan grafik

Siswa sudah mampu mengetahui segitiga

dengan sudut 30, 45, 60 dan 90 derajat.

Siswa sudah mengetahui sifat-sifat bangun

datar (segitiga) untuk menentukan luas dan

keliling bangun datar (yaitu segitiga)

Siswa sudah mengetahui konsep perbandingan

Siswa sudah mengetahui apa itu koordinat

kartesius.

Siswa sudah mampu menggunakan konsep

perbandingan dalam menyelesaikan masalah.

Kelas VIII

Kompetensi Dasar

2.1 Menunjukkan perilaku teliti dan sesuai

prosedur dalam melakukan ativitas di rumah,

sekolah, dan masyarakat sebagai wujud

implementasi menggambar sketsa grafik fungsi

aljabar sederhana pada sistem koordinat

Kartesius mengikuti prosedur

3.6 Memahami unsur, keliling, dan luas dari

lingkaran

3.7 Memahami hubungan sudut pusat, panjang

busur, dan luas juring

3.8 Memahami Teorema Pythagoras melalui

alat peraga dan penyelidikan berbagai pola

Siswa mengingat kembali dan lebih memahami

tentang koordinat kartesius

Siswa sudah mengetahui dan memahami

konsep lingkaran

Siswa sudah memahami konsep Teorema

Pythagoras

bilangan

3.12 Memahami konsep perbandingan dengan

menggunakan tabel, grafik, dan persamaan


menyelesaikan masalah nyata dengan


4.5 Menggunakan Teorema Pythagoras untuk

menyelesaikan berbagai masalah

Siswa mengingat kembali kkonsep

perbandingan, dan lebih memahami lagi

tentang konsep perbandingan.

Siswa sudah bisa Menggunakan Teorema

Pythagoras untuk menyelesaikan berbagai

masalah

Kelas IX

Kompetensi Dasar

2.1 Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam

melakukan aktivitas di rumah, sekolah, dan

masyarakat sebagai wujud implementasi

mempelajari sifat-sifat segitiga sebangun dan

kongruen

3.6 Memahami konsep kesebangunan dan

kekongruenan geometri melalui pengamatan


menyelesaikan masalah nyata mencakup

perbandingan bertingkat dan persentase dengan


4.5 Menyelesaikan permasalahan nyata hasil

pengamatan yang terkait penerapan

kesebangunan dan kekongruenan

Siswa sudah mengenal apa itu segitiga yang

sebangun dan kongruen

Siswa sudah mengetahui konsep kesebangunan

dan kekongruenan dalam geometri

Pemahaman dan kemampuan siswa dalam

konsep perbandingan sudah baik dan

meningkat, serta sangat paham.

Siswa sudah mampu memanipulasi

penyelesaian suatu permasalahan dengan

menggunakan konsep kesebangunan dan

kekongruenan.

Dengan kompetensi-kompetensi dasar yang telah didapatkan siswa pada SMP sesuai

dengan kompetensi yang berkaitan dengan materi trigonometri, maka siswa diharapkan sudah

mengetahui beberapa konsep yang diperlukan dalam pemahaman materi trigonometri. Konsep-

konsep tersebut yaitu tentang segitiga, koordinat kartesius, lingkaran, perbandingan pada

segitiga, teorema Pythagoras, kesebangunan dan kekongruenan.

Selanjutnya, guru tidak perlu lagi menjelskan konsep tersebut kepada siswa. Jika

diperlukan, guru hanya mengingatkan kembali tentang konsep tersebut. Berikut ini merupakan

tahap-tahap pemberian materi untuk setiap KD yang terpisah pada kelas X, XI, dan XII.

Kelas X

Bidang Trigonometri

2.6 Menunjukkan sikap kritis, jujur dan bekerjasama dalam menganalisis dan memecahkan

masalah terkait persamaan trigonometri sederhana

3.12 Memahami konsep persamaan Trigonometri dan membuktikan sifat-sifat persamaan

Trigonometri sederhana dan menerapkannya dalam pemecahan masalah

4.7 Memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, membuat model berupa fungsi dan

persamaan Trigoniometri serta menggunakannya dalam menyelesaikan masalah

4.8 Membangun strategi dengan melakukan manipulasi aljabar dalam persamaan Trigonometri

untuk membuktikan kebenaran identitas Trigonometri serta menerapkannya dalam pemecahan

masalah kontekstual

Kelas XI

3.10 Memahami dan menganalisis konsep dan sifat-sifat limit fungsi trigonometri dan nilai limit

fungsi aljabar menuju ketakhinggaan dan menerapkannya dalam pemecahan berbagai masalah

3.11 Memahami konsep turunan fungsi trigonometri dan menurunkan sifat-sifatnya serta

menggunakannya dalam memecahkan masalah

Kelas XII

2.5 Menunjukkan sikap kritis dalam memeriksa kebenaran penurunan dan atau pembuktian

identitas trigonometri

3.6 Memahami identitas penjumlahan sinus, identitas selisih sinus, identitas penjumlahan

kosinus, identitas selisih dan menerapkannya dalam pemecahan masalah

4.5 Menggunakan identitas penjumlahan sinus, identitas selisih sinus, identitas penjumlahan

kosinus, identitas selisih dalam pengubahan dan pembuktian berbagai identitas trigonometri

1. Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah

sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik

seperti sinus, cosinus, dan tangen.

2. Sejarah Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban

Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis

penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga

trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang

menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya

Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk

menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100

mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Istilah Sinus, Cosinus dan Tangen meski bagian dari trigonometri, namun ketiganya jauh

lebih tua ketimbang istilah Trigonometri itu sendiri dalam sejarah penemuannya. Istilah

Trigonometri pertama kali digunakan tahun 1595. Sedang istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen

sudah muncul pada tahun 600-an. Trigonometri sebagai alat utama astronomi telah menjadi

bidang kajian yang sangat diminati oleh ahli-ahli matematika islam sehingga trigonometri

dapat berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Orang islam adalah orang yang pertama

kali menekankan pengkajian prinsip-prinsip cahaya. Ia adalah al-Haitham, yang telah

menulis risalah-risalah penting tentang topik. Al-Haitham membina bentuk awal prinsip-

prinsip cahaya yang akhirnya menjadi hukum Snell tentang pembiasan cahaya. Prinsip al-

Haitham memberui suatu insipirasi supaya perhatian terhadap astronomi dan trigonometri

lebih diutamakan.

3. Tokoh-tokoh dalam Trigonometri

a. Al-Khawarizmi

Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh matematika besar yang [ernah

dilahirkan islam dan disumbangkan pada peradaban dunia. Mungkin

tak seratus tahun sekali akan lahir kedunia orang-orang seperti

beliau. Al-Khawarizmi selain terkenal dengan teori algoritmanya,

beliau juga membangun teori-teori matematika lain. dalam bidang

trigonometri beliau menemukan pemakaian sin, cos, tangent dan

secan.

b. Al-Battani

Nama lengkap al-Battani adalah Mohammad Ibn Jabir Ibn Sinan

Abu Abdullah Al-Battani, dilahirkan di Battan Mesopotamia

pada tahun 850 M dan meninggal meninggal dunia di Damsyik

pada tahun 929 M. Beliau adalah putera raja Arab, juga gubernur

Syria yang dianggap sebagai ahli astronomi dan ahli matematika

islam yang tekemuka. Al-Battani yang bertanggung jawab

memperkenalkan konsep-konsep modern, perkembangan fungsi-

fungsi dan identity trigonometri. Beliau biasanya menggunakan

formula sinus dengan lebih jelas dibandingkan penjelasan dari

orang Yunani.

c. Abu Al-Wafa

Nama lengkapnya adalah Abu al-Wafa Muhammad Ibn

Muhammad Ibn Yaya Ibn Ismail al-Buzjani lahir di Buzjan,

Nishapur, Iraq tahun 940 M. sejak kecil, kecerdasannya sudah

mulai nampak dan hal tersebut ditunjang dengan minatnya yang

besar di bidang ilmu alam.

Setelah berhasil menyelesaikan pendidikan dasar dan menengahnya, Abu al-Wafa

memutuskan untuk meneruskan ke jenjang yang lebih tinggi di Baghdad pada tahun

959 M. Berkat bimbingan sejumlah ilmuwan terkemuka masa itu, tak berapa lama ia

menjelma menjadi seorang pemuda yang berotak cemerlang. Dia pun lantas banyak

membantu para ilmuwan serta secara pribadi mengembangkan teori terutama dalam

bidang trigonometri. Konstruksi bangunan trigonometri versi abu al-Wafa diakui

sengat besar manfaatnya. Beliau mengembangkan metode baru tentang konstruksi

segi empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan memakai delapan decimal. Abu al-

Wafa pun mengembangkan hubungan sinus.

Banyak buku dan karya ilmiah telah dihasilkannya dan mencakup banyak bidang

ilmu. Namun, tak banyak karyanya yang tertinggal hingga saat ini. Sejumlah

karyanya hilang, sedang yang masih ada sudah dimodifikasi. Abu al-Wafa juga

banyak menuangkan karya tulisnya di jurnal ilmiah Euclid, Diophantus dan al-

Khawarizmi, tetapi sayangnya banyak yang telah hilang. Karena konstribusinya yang

besar terhadap bidang trigonometri, beliau dijuluki sebagai peletak dasar ilmu

trigonometri.

d. Ibn Al-Shatir

Nama lengkapnya adalah Ala Al-Din Abu’I-Hasan Ali

ibnu Ibrahim ibnu al-Shatir. Ia merupakan seorang astronomer

Muslim Arab, ahli matematika, ahli mesin teknik dan penemu.

Ibnu Al-Shatir merombak habis Teori Geosentris yang

dicetuskan Claudius Ptolomaeus (90 SM-168 SM). Secara

matematis, al-Shatir memperkenalkan adanya epicycle yang

rumit (system lingkaran dalam lingkaran).

4. Manfaat mempelajari trigonometri

a. Untuk menemukan jarak dari suatu pantai ke suatu titik di laut

b. Untuk mencari ketinggian menara dan pegunungan

c. Trigonometri digunakan dalam bidang oceanografi yaitu untuk menghitung

ketinggian gelombang air laut.

d. Trigonometri dipergunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda di luar

angkasa

5. Mengingat kembali konsep kesebangunan

Berapa nilai z di atas?

z bisa dicari dengan menggunakan rumus dari Teorema Pythagoras

Maka, didapatlah nilai z = 13

Lalu bagaimana dengan segitiga berikut ini?

Berapakah nilai k?

Coba cari nilai k tanpa menggunakan rumus dari Teorema Pythagoras.

Bagaimana caranya?

Coba perhatikan panjang sisi-sisi tegak dan sisi-sisi datar dari kedua segitiga tersebut!

Bukankah panjang sisi alas dan sisi tinggi segitiga berwarna oranye itu adalah 5x panjang sisi

alas dan sisi tinggi dari segitiga berwarna biru?

Maka, dapat dikatakan segitiga oranye itu kelipatan 5 dari segitiga biru.

Lalu, buatlah perbandingan untuk ketiga sisi-sisi segitiga tersebut!

Jika kita buat perbandingan antara sisi alas, sisi tegak, dan sisi miringnya, akan terlihat

seperti berikut :

Tadi kan sudah diketahui bahwa:

Panjang sisi alas = 60 didapat dari 12 x 5

Panjang sisi tegak = 25 didapat dari 5 x 5

Maka,

Panjang sisi tegak = k didapat dari 13 x 5 = 65

6. Perkenalkan sinus, cosinus, dan tangen dalam perbandingan identitas trigonometri

Perhatikan segitiga di bawah ini !

Misalkan sudut antara ruas garis AB dan AC adalah (dibaca: teta)

Sisi disebelah / disamping dari sudut adalah x

Sisi didepan dari sudut adalah y

Sisi disebelah / disamping yang miring dari sudut adalah r

Sinus perbandingan antara sisi depan dari sudut dengan sisi yang miring terhadap

Atau bisa dibuat dalam bentuk :

Cosinus perbandingan antara sisi di samping sudut dengan sisi yang miring terhadap


Tangen perbandingan antara sisi di depan sudut dengan di amping sudut


Rumus Identitas trigonometri

Atau bisa diingat :

Dari rumus identitas di atas, bentuknya dapat kita ubah menjadi :

dan

Perhatikan !

Perhatikan lagi segitiga tadi!

dengan menggunakan aturan dari Teorema Pythagoras, maka kita dapatkan :

Tadi kita sudah mendapatkan nilai x dan y, lalu substitusikan kedalam persamaan

in

…(5)

Perlu diketahui bahwa, selain Sin, Cos, dan Tan

Ada juga , , dan Secan Cosecan Cotangen

𝑆𝑖𝑛 𝜃 𝑦

𝑟 ,𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝑥

𝑟,𝑇𝑎𝑛 𝜃

𝑦

𝑥

𝑆𝑖𝑛 𝜃 𝒅𝒆𝒎𝒊 ,𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝒔𝒂𝒎𝒊,𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝒅𝒆𝒔𝒂

Cosecan Merupakan kebalikan dari Sinus


Secan Merupakan kebalikan dari Cosinus


Cotangen Merupakan kebalikan dari Tangen


Perhatikan !

in

(kalikan dengan 1/

)

1+ Tan2 θ Sec2 θ

Perhatikan !

in

in (kalikan dengan 1/ in

)

In

in

in

Cot2 θ + 1 Cosec

2 θ

7. Memperkenalkan beberapa sudut istimewa dalam trigonometri

Sudut istimewa adalah sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan

secara langsung tanpa harus menggunakan tabel / kalkulator.

Berikut ini adaah tabel nilai sudut istimewa dalam trigonometri

8. Pengenalan Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius, dan dibagi dalam 4

daerah.

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan

seperti pada gambar berikut :

Kuadran I :

Kuadran II :

Kuadran III :

Kuadran IV :

Penjelasan gambar :

Kuadran I

Kuadran ini untuk besar sudut 0-90 derajat. Pada kuadran ini semua nilai

( ) bernilai positif. Besar sudut dapat ditulis sin,cos,tan,cosec,sec,cot

Kuadran II

Kuadran ini untuk besar sudut 90-180 derajat. Pada kuadran ini nilai yang (+) adalah sinus

dan , selain itu maka nilainya (-). Besar sudut dapat ditulis cosecan

Kuadran III

Kuadran ini untuk besar sudut 180-270 derajat. Pada kuadran ini nilai yang (+) adalah

dan , selain itu maka nilainya (-). Besar sudut dapat ditulis tangen cotangen

Kuadran IV

Kuadran ini untuk besar sudut 270-360 derajat. Pada kuadran ini nilai yang (+) adalah

dan , selain itu maka nilainya (-). Besar sudut dapat ditulis Cosinus secan

Contoh : Tentukanlah nilai cos 240 !

9. Rumus jumlah dan selisih trigonometri

Perhatikan segitiga berikut :

AD = b.sin

BD = a.sin

D = a.c β = b.c

Untuk mencari cos (α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

Rumus Perkalian Fungsi Sinus Dan Kosinus

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai

berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

Rumus Jumlah Dan Selisih Fungsi Sinus Dan Kosinus

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi

sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

Contoh-contoh soal:

(1) Tanpa menggunakan daftar, buktikan bahwa:

(2) Buktikan bahwa dalam segitiga ABC berlaku:

Sumber :

Catatan SMA;

http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasi-trigonometri-dalam-kehidupan-nyata/

http://rumus-matematika.com/rumus-trigonometri-serta-cara-memperolehnya/

http://matematikablogscience.blogspot.com/2012/03/trigonometri.html

http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasi-trigonometri-dalam-kehidupan-nyata/

http://rumus-matematika.com/rumus-trigonometri-serta-cara-memperolehnya/

http://matematikablogscience.blogspot.com/2012/03/trigonometri.html

resume pembelajaran rina anggraini 06111008018

Documents