TEKNIK INTEGRATEKNIK INTEGRALLINTEGRAL PARSIALINTEGRAL PARSIALINTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Oleh:Oleh:

Tim Kalkulus 1Tim Kalkulus 1

Tahun Akademik 2010/2011Tahun Akademik 2010/2011

Integral Parsial (Integral Parsial (Integration by Integration by partsparts))

Jika f dan g fungsi differensiabel, maka

Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi

)(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

dxxfxgdxxgxfdxxgxfdx

d )(')()(')()()(

)(')()(')()()( dxxfxgdxxgxfCxgxf

Integral Parsial (Integral Parsial (Integration by Integration by partsparts))

Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta lain, maka dapat dinyatakan

Rumus ini merupakan Integral ParsialIntegral Parsial.

Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx

v = g(x) dv = g(x) dx

Cdxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

Integral Parsial (Integral Parsial (Integration by Integration by partsparts) )

Sehingga bentuk tersebut menjadi

Integral parsial untuk integral tertentu: 

Contoh: Selesaikan integralContoh: Selesaikan integrala. b.

duvuvdvu

b

a

b

aduv

a

buvdvu

dxex x2

2

0

3 dxex x

Integral Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri adalah bentuk integral dengan f(x) merupakan fungsi: dxxf )(

)cos()cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

csccot

sectan

cossin

nxmx

nxmx

nxmx

xx

xx

xx

nm

nm

nm

Rumus ReduksiRumus Reduksi

Jika n adalah bilangan bulat positif dan n≥2, maka integral parsial dapat digunakan untuk menyatakan rumus reduksi

dxx

n

nxx

ndxx nnn 21 sin

1cossin

1sin

dxx

n

nxx

ndxx nnn 21 cos

1sincos

1cos

xdxn

xxdx n

nn 2

1

tan1

tantan

1,sec1

2

1

tansecsec 2

2

nxdxn

n

n

xxxdx n

nn

Rumus ReduksiRumus Reduksi

Untuk mendapatkan , misalkanu = cosn-1 x dv = cos x dx

du = (n-1) cosn-2 x (-sin x) dx

= - (n-1) cosn-2 x . sin x dx

dxxncos

xdxxv sincos

xdxn

dxxnxx

dxxxnxx

dxxxnxx

duvuvdvudxxxdxx

n

nn

nn

nn

nn

cos)1(

cos)1(sincos

cos)cos1()1(sincos

cossin)1(sincos

coscoscos

21

221

221

1

Contoh:Contoh:Selesaikan integral berikutSelesaikan integral berikut

a.

b. dxx2cos

dxx3sin

dxxn

n

n

xxdxx

dxxm

xdxx

nn

n

mm

m

22

21

csc1

2

1

cotcsccsc

cot1

cotcot

Rumus ReduksiRumus Reduksi

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

a. Bentuk Untuk n dan m ganjilUntuk n dan m ganjil

Uraikan

Gunakan hubungan Substitusi u = sin x atau u = cos x

Bmndxxdxx mn ,,cosdansin

dxxxdxx

dxxxdxx

mm

nn

coscoscos

sinsinsin

1

1

1cossin 22 xx

ContohContoh:: Selesaikan integral a. b.

Untuk n dan m genapUntuk n dan m genap Gunakan rumus setengah sudut, yakni

Contoh : SelesaikanContoh : Selesaikan

dxx5sin dxx2cos3

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxx4cos

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

b. Bentuk m ganjilm ganjil

uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = sin x

n ganjiln ganjil Uraikan Gunakan hubungan

Substitusi u = cos x

Bmndxxx mn ,,cossin

dxxxxdxxx genapmnmn coscossincossin )1(

xx 22 sin1cos

dxxxxdxxx mgenapnmn cossinsincossin )1(

xx 22 cos1sin

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

n dan m genapn dan m genapGunakan rumus setengah sudut

ContohContoh::

Selesaikan integralSelesaikan integral

2

2cos1cosatau

2

2cos1sin 22 x

xx

x

dxxx 23 cossin

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

c. Bentuk integral:

Contoh:Contoh:

Selesaikan integralSelesaikan integral

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

dxxnmxnmdxnxmx

dxxnmxnmdxnxmx

dxxnmxnmdxnxmx

)(cos)(coscoscos

)(cos)(cossinsin

)(sin)(sincossin

21

21

21

dxxx 3cos2sin

d. Bentuk

n genapn genap - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = tan x

m ganjilm ganjil - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = sec x

Bmnxdxx nm ,,sectan

1tansec 22 xx xdxxxxdxx nmnm 22 secsectansectan

dxxxxxdxxx nmnm sectansectansectan 11

1sectan 22 xx

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

m genap dan n ganjilm genap dan n ganjil- Gunakan hubungan - Gunakan rumus reduksi untuk sec x

Contoh Contoh

Selesaikan integral Selesaikan integral

1sectan 22 xx

xdxx 33 sectan

Bentuk-bentuk Bentuk-bentuk Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi Trigonometri

Latihan

Selesaikan integral berikut:1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

dxxx 53 cossin

dxx 5cos

dxxx 22 cossin

dxxx 2sin)sin( 21

dxxx 2cos4cos

dxxx 42 sincos

dxxx 42 sectan

dxxx sectan2

dxxx 53 sectan

dxxx 3cos5cos