materi baris dan deret kelas xii_sem.2
TRANSCRIPT
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 1
(ASMONI_06.02031.616)
BARISAN dan DERET, NOTASI SIGMA
SERTA INDUKSI MATEMATIKA
A. BARISAN DAN DERET
1) PENGERTIAN BARIS DAN DERET BILANGAN
Pada pembahasan kali ini anda akan mengetahui perbedaan antara barisan
bilangan dan deret bilangan.
a. Barisan Bilangan
Sebelum mempelajari barisan bilangan, pelajarilah ilustrasi berikut. An-
di dan Sandi adalah dua orang yang berprofesi sebagai salesman di sebuah pe-
rusahaan produk alat-alat rumah tangga. Keduanya biasa menjual atau me-
nawarkan barang dagangannya secara door to door langsung mendatangi
rumah calon konsumennya. Suatu hari pada rumah-rumah yang terletak di
Jalan Delima, mereka berdua berbagi tugas. Andi memasarkan produk di sisi
Utara, sedangkan Sandi memasarkan di sisi Selatan.
Secara kebetulan Andi mendatangi rumah-rumah bernomor 1, 3,
5,...dan seterusnya. Adapun Sandi mendatangi rumah- rumah bernomor 2,
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 2
(ASMONI_06.02031.616)
4, 6,...dan seterusnya. Nomor-nomor rumah yang didatangi Andi dan Sandi
dapat dituliskan dalam urutan bilangan berikut.
Nomor rumah yang didatangi Andi :1, 3, 5,...
Nomor rumah yang didatangi Sandi : 2, 4, 6,...
Selanjutnya, nomor-nomor rumah yang didatangi Andi disebut urutan
bilangan (1) dan nomor-nomor rumah yang didatangi Sandi disebut urutan
bilangan (2). Oleh karena itu, dapat dituliskan:
Urutan bilangan (1) : 1, 3, 5,...
Urutan bilangan (2) : 2, 4, 6,...
Coba Anda perhatikan. Jika Andi telah mendatangi rumah nomor 5 dan
kemudian ia melanjutkan ke rumah di sebelahnya, dapatkah Anda menye-
butkan nomor rumah bernomor yang didatangi Andi?
Untuk menjawabnya, Anda harus menemukan pola atau aturan dari
urutan bilangan (1). Dapatkah Anda menemukan polanya?
Secara intuitif Anda dapat melihat polanya, yaitu "ditambah 2" Perhati-
kanlah pola urutan bilangan berikut.
Bilangan 1, 3, dan 5 terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Bilangan yang
terletak pada urutan ke-2 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang
terletak pada urutan ke-1 dengan 2, demikian juga bilangan yang terletak
pada urutan ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak
pada urutan ke-2 dengan 2. Setelah Anda menemukan pola urutan bilangan
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 3
(ASMONI_06.02031.616)
(1) maka rumah yang didatangi Andi setelah ia mendatangi rumah nomor 5
adalah rumah bernomor 5 + 2 = 7.
Dalam matematika, urutan bilangan yang memiliki pola disebut barisan
bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah pengertian barisan bilangan beri-
kut.
Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki po-
la atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.
(sumber:www.lombokgilis.com).
Barisan bilangan adalah susunan bilangan – bilangan yang memiliki atu-
ran tertentu dan dipisahkan dengan koma. (sumber:LKS Hayati Tumbuh Subur).
Dalam pembahasan mengenai barisan bilangan, dikenal istilah suku. Is-
tilah suku di sini tidak sama dengan istilah suku dalam ilmu-ilmu sosial atau
budaya yang merujuk pada pengertian etnis atau ras.
Untuk memahami istilah suku dalam konsep barisan bilangan, coba
Anda perhatikan kembali urutan bilangan (1). Pada urutan bilangan (1),
angka 1, 3, dan 5 masing-masing terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Den-
gan demikian dapat dikatakan bahwa 1 merupakan suku ke-1, 3 merupakan
suku ke-2, dan 5 merupakan suku ke-3 dari urutan bilangan (1).
Dalam konsep barisan bilangan, suku ke-n disimbolkan dengan Un.
Dengan demikian, pada barisan bilangan 1, 3, 5,... dapat dituliskan U1= 1,
U2= 3, dan U3= 5.
Un = U1 , U2, U3,…
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 4
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 1 :
Ana seorang Manajer di sebuah perusahaan elektronika. Ia mendapat tu-
gas dari atasannya untuk menjadi panitia dalam acara seminar mengenai
"Strategi Pemasaran Barang-Barang Elektronika". Dalam ruang seminar itu,
kursi-kursi para peserta disusun seperti pada gambar berikut.
Berdasarkan ilustrasi tersebut tentukan:
a. Jika pada barisan terakhir terdiri atas 15 kursi, tentukan jumlah barisan
yang disusun dalam ruangan tersebut.
b. Jika untuk tamu undangan diperlukan tambahan 2 baris kursi maka ten-
tukan jumlah tamu undangan tersebut.
Jawab:
a. Jumlah kursi yang disusun pada masing-masing barisan dalam ruang
seminar adalah sebagai berikut.
baris ke-1 = 3 kursi
baris ke-2 = 5 kursi
baris ke-3 = 7 kursi
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 5
(ASMONI_06.02031.616)
Jika Anda cermati, ternyata untuk setiap barisnya jumlah kursi ber-
tambah dengan pola "ditambah 2", berarti jumlah kursi pada setiap baris-
nya, dapat disusun menggunakan barisan bilangan berikut.
3, 5, 7, 9, 11, 13,15
Pada barisan tersebut, angka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti jum-
lah barisan yang disusun pada ruangan tersebut terdapat 7 baris.
b. Jumlah tamu undangan dapat dihitung dari jumlah kursi dari 2 baris te-
rakhir, yaitu baris ke-8 dan ke-9.
Dengan melihat pola barisan bilangan yang menyatakan jumlah kursi
pada setiap baris pada soal a dan kemudian ditambah 2 suku maka dipe-
roleh barisan bilangan berikut.
Berdasarkan barisan bilangan di atas, diperoleh jumlah suku ke-8 dan
ke-9 besarnya adalah U8 + U9 = 17 + 19 = 36.
Jadi, jumlah tamu undangan adalah 36 orang.
CONTOH 2:
4 7 10 13, …….. Keterangan :
4 : disebut suku ke-1
+3 +3 +3 7 : diesbut suku ke-2
Dari suku ke-1, menuju suku ke-2 bertambah 3 dan seterusnya.
Maka dari kedua contoh di atas dapat disimpulkan bagaimana bentuk
umun dari penyelesaian di atas : Un = U1, U2, U3, …………. (Un : suku ke-n)
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 6
(ASMONI_06.02031.616)
b. Deret Bilangan
Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 1. Jumlah kursi pada setiap
barisnya dalam ruang seminar tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bi-
langan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan bilan-
gan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2". Pada pembahasan kali ini, An-
da akan diperkenalkan dengan konsep deret bilangan.
Deret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan
bilangan. (sumber:www.lombokgilis.com). Deret bilangan adalah operasi bilan-
gan pada susunan bilangan – bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.
(sumber: LKS Hayati Tumbuh Subur).
Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5
+ 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Jika dalam ruang seminar pada Contoh Soal
1, terdapat 7 baris kursi maka jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar
tersebut dapat dihitung dengan cara: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63
Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar ter-
sebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku pada suatu deret disimbol-
kan dengan S7 maka pada deret 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... dipero-
leh S7 = 63.
Uraian tersebut memperjelas definisi deret berikut.
Jika U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku suatu barisan maka U1 + U2 + U3
+ … + Un dinamakan deret. Disimbolkan dengan Sn. Jadi, U1+ U2 + U3 + …+
Un = Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + ….
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 7
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 3:
Biro Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa
Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember, selama
tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18,…. Nilai suku
ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Ja-
nuari, Februari, sampai Desember. Berdasarkan ilustrasi tersebut,
a. Temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18,…dan tentukan pula nilai
suku ke-4 sampai suku ke-6,
b. Tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan Juni.
Jawab:
a. Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, … Nilai suku ke-2 barisan bi-
langan tersebut sama dengan hasil perkalian nilai suku ke-1 dengan
3. Demikian juga nilai suku ke-3 adalah hasil perkalian nilai suku
ke-2 dengan 3.
U1 = 2
U2 = 2 × 3 = 6
U3 = 6 × 3 = 18 Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4, U5, dan U6
barisan bilangan tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan beri-
kut.
U4 = 18 × 3 = 54
U5 = 54 × 3 = 162
U6 = 162 × 3 = 486
b. Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni membentuk
barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486. Jadi, jumlah seluruh kelahi-
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 8
(ASMONI_06.02031.616)
ran dari bulan Januari hingga Juni besarnya adalah 2 + 6 + 18 +
54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.
2) BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Secara umum, Anda telah mempelajari perbedaan antara barisan dan deret
bilangan pada pembahasan di atas. Pada pembahasan selanjutnya, Anda akan
mempelajari barisan dan deret yang khusus, yaitu barisan dan deret aritmetika.
a. Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya
diperoleh dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap (konstanta).
(sumber: Persepektif Mat. SMA 3 IPA).
Ciri barisan aritmetika adalah antara bilangan pada suku- suku yang
berdampingan memiliki selisih atau beda yang tetap. Perhatikan barisan beri-
kut.
(i) 0, 2, 4, 6,…
(ii) 8, 5, 2, –1, –4,…
Jika Anda cermati, setiap suku-suku yang berdampingan pada barisan
bilangan (i) selalu memiliki beda yang tetap, yaitu 2.
2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2.
Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut.
U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un-1 = b
Pada barisan aritmetika, beda disimbolkan dengan b, dan suku ke-1 yai-
tu U1 disimbolkan dengan a. Berdasarkan uraian tersebut, ciri barisan aritme-
tika adalah sebagai berikut
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 9
(ASMONI_06.02031.616)
b. Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika
Jika suku pertama suatu barisan aritmetika (U1) dilambangkan dengan
a dan beda dilambangkan dengan b maka rumus suku ke-n barisan itu dapat
diturunkan seperti berikut.
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
Un = a + (n - 1) b
Maka rumus suku ke-n dinyatakan dengan persamaan:
Keterangan :
Un : suku ke-n
a : suku pertama
b : beda
n : banyak suku
Un – Un-1 = b
Un = a + (n – 1)b
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 10
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 4:
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan -3, 2, 7, 12 ….
Jawab :
-3, 2, 7, 12 …
Suku pertama adalah a = -3 dan bedanya b = 2 – (−3) = 5. dengan
menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = −3 + (n – 1) 5.
Suku ke-8 : U8 = −3 + (8 – 1) 5 = 32
Suku ke-20 : U20 = −3 + (20 – 1) 5 = 92
CONTOH 5:
Misal barisan (i) memiliki a = 0, dan b = 2. Suku-suku pada barisan itu
dapat dinyatakan sebagai berikut.
U1 = 0 + (1 – 1) . 2 = 0
U2 = 0 + (2 – 1) . 2 = 2
U3 = 0 + (3 – 1) . 2 = 4
U4 = 0 + (4 – 1) . 2 = 6
Maka diperoleh rumus suku ke-n pada barisan (i) adalah sebagai berikut.
Un = a + (n – 1)b
= 0 + (n – 1) . 2
= 0 + 2n – 2
= 2n – 2
c. Suku Tengah Barisan Aritmetika (Uk)
Sedangkan untuk mengetahui suku tengah barisan aritmatika (Uk),
misal:
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 11
(ASMONI_06.02031.616)
Barisan U1, U2, U3, …., Un untuk n ganjil
a, U2, U3, …, Un
Suku tengah
CONTOH 6:
Diketahui barisan 2, 7, 12, …, 152. Tentukan suku tengahnya!
Jawab :
Uk = 𝐔𝐧+ 𝐚
𝟐
Uk = 𝟏𝟓𝟐+𝟐
𝟐=
𝟏𝟓𝟒
𝟐 = 77
CONTOH 7:
Diketahui barisan 3, 6, 9, …, 39. Tentukan suku tengahnya!
Jawab:
Uk = 𝟑𝟗+𝟑
𝟐=
𝟒𝟐
𝟐 = 21
d. Sisipan Pada Barisan Aritmetika
Sedangkan untuk mengetahui sisipan pada barisan aritmatika, misal:
Jika di antara dua bilangan a dan Un disisipkan k bilangan a, …., …., ….,
Un. Maka setelah disisipi k bilangan, banyaknya suku pada barisan ada (k
+ 2) = n
Un = a + (n - 1) b
Pada barisan baru Un = a + (k+2-1)b
Un = a + (k+1)b
Uk = 𝐔𝐧+ 𝐚
𝟐
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 12
(ASMONI_06.02031.616)
⇔
CONTOH 8:
Diantara bilangan 2 dan 38 disisipkan 8 bilangan sehingga membentuk
barisan aritmetika. Tentukan bedanya!
Jawab:
Diketahui:
a = 2, Un = 38, dan k = 8
beda baru b = Un − a
k+1
b = 38− 2
8+1
b = 36
9 = 4
Jadi, bedanya adalah 4.
e. Deret Aritmetika
Andi ingin membeli sepeda motor seharga Rp. 500.000,-, ia berusaha
menabung di celengan dengan perincian sebagai berikut :
Minggu ke-1 = Rp. 5.000,- ⇒ U1
Minggu ke-2 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- = Rp. 6.000,- ⇒ U2
Minggu ke-3 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- + Rp. 1.000,- = Rp. 7.000,- ⇒ U3
Minggu ke-3 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- + Rp. 1.000,- Rp. 1.000,- = Rp.
8.000,- ⇒ U3
.
. dan seterusnya
b = 𝐔𝐧− 𝐚
𝐤+𝟏
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 13
(ASMONI_06.02031.616)
Apabila kita buat menjadi suatu barisan maka diperoleh sebagai berikut.
5.000, 6.000, 7.000, 8.000 …..
Barisan tersebut mempunyai beda atau selisih 1.000 dan merupakan
barisan aritmetika, sedangkan jumlah uang yang ada dalam celengan itu
sampai dengan minggu berikutnya adalah sebagai berikut :
Sampai dengan minggu ke-1 : 5.000
Sampai dengan minggu ke-2 : 6.000
Sampai dengan minggu ke-3 : 7.000
Sampai dengan minggu ke-4 : 8.000
.
.
. dan seterusnya
Kita anggap jumlah uang sampai dengan minggu pertama sebagai S1,
jumlah uang sampai dengan minggu ke-2 sebagai S2, jumlah uang sampai
dengan minggu ke-3 sebagai S3, jumlah uang sampai dengan minggu ke-4
sebagai S4 dan seterusnya sehingga diperoleh.
S1 = U1
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
S4 = U1 + U2 + U3 + U4
.
.
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 …. + Un
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 14
(ASMONI_06.02031.616)
Jumlah seluruhnya uang yang diperoleh dari tiap minggu tersebut me-
rupakan deret matematika.
Dari ilustrasi di atas, terlihat bahwa jika suku – suku barisan aritmetika
dijumlahkan, akan diperoleh deret matematika. Secara umum, deret mate-
matika didefinisikan sebagai berikut.
Deret matematika dari n suku barisan aritmetika ditulis dengan notasi
Sn. dengan demikian rumus umum untuk Sn dapat ditentukan dengan lang-
kah sebagai berikut.
Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :
Un = a + (n – 1)b, maka
U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U4 = a + 3b
.
.
Un = a + (n – 1)b
Dengan demikian diperolah
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + (a + (n – 1)b) …………(1)
Misalkan U1, U2, U3, U4, …Un, merupakan suku – suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + U4 …+ Un
disebut Deret Matematika, dengan Un = a + (n-1)b
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 15
(ASMONI_06.02031.616)
Dapat pula dinyatakan bahwa nilai setiap suku adalah b kurang dari
suku berikutnya.
Un-1 = Un – b
Un-2 = Un – b = Un – 2b
Un-3 = Un – b = Un – 3b
demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan
Sn = a + (a + b) + …. + (Un – 2b) + (Un – b) + Un ………………… (2)
dari persamaan (1) dan (2) jika kita jumlahkan, diperoleh
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … +(Un – b) + Un
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + b) + a +
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un)
n suku
dengan demikian , 2Sn = n (a + Un)
⟺ Sn = 1
2 𝑛 (𝑎 + 𝑈𝑛)
⟺ Sn = 1
2 𝑛 (𝑎 + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 )
⟺ Sn = 1
2 𝑛 (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)
jadi rumus umum jumlah 𝑛 suku pertama deret aritmetika adalah
keterangan :
Sn : jumlah 𝑛 suku pertama 𝑈𝑛 : suku ke-n
Sn = 𝟏
𝟐 𝒏 (𝒂 + 𝑼𝒏)
Sn = 𝟏
𝟐 𝒏 (𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃)
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 16
(ASMONI_06.02031.616)
𝑎 : suku pertama 𝑛 : banyak suku
𝑏 : beda
CONTOH 9:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ….
Jawab :
diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100
Sn = 1
2 𝑛 (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)
S100 = 1
2 100 (22 + 100 − 1 2)
= 50 (4 + 198) = 50 × 202
= 10. 100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100
CONTOH 10:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari
100.
Jawab :
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, …,
99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut :
Un = a + (n – 1) b
⇔ 99 = 3 + (n – 1)3
⇔ 3n = 99
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 17
(ASMONI_06.02031.616)
⇔ n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah
Sn = 1
2 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛
⇔ 𝑆33 = 1
2 × 33 3 + 99
= 1.683
jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah
1.683.
Sedangkan untuk menentukan suku ke-n barisan arimetika jika diketa-
hui rumus jumlah n suku pertamanya. suku ke-n dapat ditentukan dengan
rumus :
Namun selain dengan rumus itu dapat juga ditentukan dengan cara
lain. misalkan jumlah n suku pertama Sn = an2 + bn.
CONTOH 11:
Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 4 n.
Tentukan suku ke-n dan bedanya dari deret tersebut.
Jawab :
Sn = 2n2 – 4n → a = 2, b = −4
Un = Sn – Sn-1
Un = 2an + (b – a); beda = 2a
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 18
(ASMONI_06.02031.616)
Un = 2an + (𝑏 – 𝑎)
= 2 . 2 . n + (−4 − 2 )
= 4n – 6
beda = 2a
= 2 . 2 = 4
3) BARISAN dan DERET GOMETRI
a. Pengertian Barisan Geometri
Baris geometri adalah suatu barisan yang perbandingan atau rasio dua suku
yang berurutan selalu tetap. Perbandingan yang selalu tetap disebut rasio (di-
lambangkan r).
Coba kalian perhatikan barisan berikut.
1 2 4 8
× 2 × 2 × 2
Barisan tersebut mempunyai pembanding yang sama, yaitu 2. barisan
seperti contoh di atas disebut barisan geometri.
Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, …. Terlihat, suku berikutnya dipe-
roleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk ba-
risan geometri. Jadi, secara umum barisan geometri adalah suatu barisan bi-
langan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebleumnya dikalikan den-
gan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan
rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.
Perhatikan contoh – contoh barisan – barisan berikut :
1) 3, 6, 12, 24, …..
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 19
(ASMONI_06.02031.616)
2) 2, 1, 1
2,
1
4, …
3) 2, -4, 8, - 16, ….
Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. untuk barisan di
atas, dapat dihitung rasionya, yaitu.
1) 6
3=
12
6=
24
12= ⋯ = 2. jadi, r = 2
2) 1
2=
1
2
1=
1
41
2
= ⋯ =. jadi, r = 1
2
3) −4
2=
8
−4= −2. jadi, r = -2
Dengan demikian dapat disimpulkan jika U1, U2, U3, …. Un barisan
geometri dengan Un adalah rumus ke-n, dan rasio r, berlaku
b. Suku ke-n Barisan Geometri (Un)
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1)
dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.
U1 = a
U2 = U1 × r = ar
U3 = U2 × r = ar2
U4 = U3 × r = ar3
.
.
Un = Un-1 × r = ar n-2 × r = ar n-1
Dengan demikian diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, …., ar n-1
r = 𝑼𝒏
𝑼𝒏−𝟏
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 20
(ASMONI_06.02031.616)
Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah .
Keterangan :
Un : Suku ke-n
a :suku pertama
r : rasio
n : banyak suku.
CONTOH 12:
Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri be-
rikut.
a. 2, 6, 18, 54.
b. 9, -3, 1, −1
3.
Jawab :
a. 2, 6, 18, 54
Dari barisan geometri di atas, diperoleh
1) Suku pertama ; a : 2
2) Rasio ; r = 𝑈2
𝑈1=
6
2= 3
Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = ar n-1 maka
U7 = 2 (37-1)
= 2 × 729
= 1.458
b. 9, -3, 1, −1
3.
Un = ar n-1
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 21
(ASMONI_06.02031.616)
Dari barisan ini, diperoleh
1) Suku pertama ; a =9
2) Rasio ; r = 𝑈2
𝑈1=
−3
9= −
1
3
3) suku ke-7; U7 = 9(−1
3)7−1 = 9(−
1
3)6 =
9
(−3)6=
1
81
c. Rumus Suku Tengah (Uk) Barisan Geometri
Sedangkan untuk mengetahui rumus suku tengah (Uk)barisan geome-
tri, misal:
Suatu barisan geometri dengan n suku, n bilangan ganjil, maka suku
tengah (Uk) dinyatakan:
atau
CONTOH 13:
Barisan geometri 1, 2, 4, …., 64. Tentukan suku tengahnya!
Jawab:
Un = arn – 1 ⇔ 64 = 1 . 2 n – 1
⇔ 64 = 2 n – 1
⇔ 26 = 2 n – 1
⇔ n = 6+1
n = 7
Jadi, suku tengah Uk = 𝑎. 𝑈𝑛
= 1 (64)
Uk = 8
Uk2 = U1. Un = a. Un 𝐔𝐤= 𝐔𝟏 . 𝐔𝐧
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 22
(ASMONI_06.02031.616)
Tentukan x jika (x-3), (x+1), dan (4x-2) tiga bentuk suku mem-
bentuk barisan geometri.
Barisan geometri (x-3), (x+1), dan (4x-2)
Berlaku
(x+1)2 = (x-3)(4x-2)
x2+2x+1 = 4x2 – 2x – 12x + 6
⇔ 3x2 – 16x + 5 = 0
(3x - 1) = 0 atau x – 5 = 0
x = 1
3 x = 5
Jadi, x = 1
3 atau x = 5.
d. Sisipan Pada Barisan Geometri
Pada barisan geometri a, ……., ……., ……., Un, disisipkan k suku.
k suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah (k+2)
Jadi, Un = arn-1 ⇔ Un = ar(k + 2 - 1)
Un = ark + 1
𝑈𝑛
𝑎= rk + 1
Keterangan :
r : rasio
Uk2 = a. Un
𝒓 = 𝑼𝒏
𝒂
𝒌+𝟏
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 23
(ASMONI_06.02031.616)
a : suku ke-1
k : banyaknya bilangan yang disisipkan
Un : suku terakhir
CONTOH 14:
Diantara bilangan 1
4 dan 64 disisipkan 7 bilangan, sehingga menjadi
barisan geometri.
Tentukan :
a. Rasio
b. Suku tengahnya
Jawab :
a. Diketahui a=1
4, Un = 64, dan k = 7
𝑟 = 𝑈𝑛
𝑎
𝑘+1⟹ 𝑟 =
641
4
7+1
𝑟 = 64(4)8
𝑟 = 2568
= 2
Jadi rasionya adalah 2.
b. 𝑈𝑘 = 𝑎 × 𝑈𝑛
𝑈𝑘 = 1
4× (64)
𝑈𝑘 = 16 = 4
Catatan : Hubungan rasio (r) dan banyaknya suku (n) pada barisan geome-
tri lama dan barisan geometri baru adalah:
𝑟1 = 𝑟𝑘+1
𝑛1 = 𝑛 + (𝑛 − 1)𝑘
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 24
(ASMONI_06.02031.616)
Keterangan :
r : rasio barisan lama
r1 : rasio barisan baru
n : banyaknya suku barisan lama
n1 : banyaknya suku barisan baru
k : banyaknya suku yang disisipkan
CONTOH 15:
Diketahui tiga buah suku membentuk barisan geometri 1
4, 4, 6. di-
antara tiap dua saku disisipkan 3 buah suku, sehingga membentuk
barisan gometri baru.
Tentukan :
a. Rasio barisan geometri baru
b. Banyaknya suku barisan geometri baru
c. Suku ke-10 barisan geometri
Jawab :
a. Barisan geometri 1
4, 4, 6
𝑟1 = 𝑈𝑛
𝑎
𝑘+1
⟹ 𝑟1 = 64
4
3+1
⟹ 𝑟1 = 164
= 2
Jadi, rasio baru adalah 2.
b. 𝑛1 = 𝑛 + 𝑛 − 1 𝑘 ⟹ 𝑛1
= 3 + 3 − 1 3
= 9
c. 𝑈𝑛1 = 𝑎𝑟1 𝑛1 − 1
𝑈101 =1
4× 2 10−1
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 25
(ASMONI_06.02031.616)
𝑈101 =1
4× 29 = 128
Jadi, suku ke-10 adalah 128
e. Deret Geometri
Jika U1, U2, U3, ….. Un merupakan bagian geometri maka U1 + U2 +
U3 + … + Un adalah deret geometri dengan Un = ar n-1.
Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret
geometri dapat diturunkan sebagai berikut.
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
Sn = U1 + U2 + …. + Un = 𝑈𝑖𝑛𝑖=1
Sn = a + ar + … + ar n-2 + ar n-1 ………………………………………… 1)
Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh
rSn = ar + ar2 + ar3 + …. + ar n-1 + arn ……………………………….. 2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh
rSn = ar + ar2 + ar3 + …. + ar n-1 + arn
Sn = a + ar + … + ar n-2 + ar n-1 -
rSn – Sn = - a + arn
⇔ (r – 1) Sn = a (rn – 1)
⇔ Sn = 𝑎 (𝑟𝑛−1)
𝑟−1
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah
sebagai berikut.
𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)
𝑟 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1
𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)
𝑟 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 26
(ASMONI_06.02031.616)
Keterangan :
Sn : Jumlah n suku pertama
a :suku pertama
r : rasio
n : banyak suku
CONTOH 16 :
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut
a. 2 + 4 + 8 + 16 +… (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 3
2 +… (6 suku)
Jawab:
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ….
Dari deret tersebut, di peroleh a = 2 dan r = 4
2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8
𝑆𝑛 =𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑟−1 ⇔ 𝑆8 =
2(28−1)
2−1
= 2(256 - 1)
= 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
b. 12 + 6 + 3 + 3
2 +…
Dari deret itu, di peroleh a = 12 dan r = 6
12 =
1
2 (r < 1)
Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6
𝑆𝑛 = 𝑎(1 − 𝑟𝑛 )
1− 𝑟 ⇔ 𝑆6 =
12 (1− (1
2)6)
1− 1
2
= 24 (1 - 1
64)
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 27
(ASMONI_06.02031.616)
= 24 × 63
64 = 23
5
8
f. Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya dis-
ebut deret geometri tak berhingga. Perhatikan deret geometri berikut.
1) 1 + 2 + 4 + 8 + …
2) 5 – 10 + 20 – 40 + …
3) 1 + 1
2 +
1
4 +
1
8 + …
4) 9 – 3 + 1 - 1
3 + …..
Deret – deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.
Perhatikan contoh 1) dan 2). Deret tersebut tidak menuju ke satu nilai terten-
tu. Deret demikian disebut deret divergen. Deret divergen memiliki rasio r den-
gan 𝑟 > 1.
Selanjutnya, deret pada contoh 3 dan 4 menuju ke suatu nilai tertentu
sehingga disebut deret konvergen. Deret konvergen rasionya r dengan 𝑟 < 1.
Pada deret konvergen, jumlah suku – sukunya tidak akan melebihi sua-
tu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini
disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan 𝑆∞ Nilai 𝑆∞ me-
rupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n meneka-
ti tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturun-
kan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r, dan n → ∞.
𝑆∞ = lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim𝑛→∞
𝑎(1−𝑟𝑛 )
1−𝑟= lim
𝑛→∞
𝑎−𝑎𝑟 𝑛
1−𝑟
Karena deret konvergen ( 𝑟 < 1), untuk n → ∞ maka 𝑎𝑟𝑛 → 0 sehingga
𝑆∞ =𝑎−0
1−𝑟=
𝑎
1−𝑟 .
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 28
(ASMONI_06.02031.616)
Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah
CONTOH 17 :
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a. 1 +1
2+
1
4+
1
8+ ⋯
b. 21+0,5+0,25+0,125+⋯
Jawab:
a. 1 +1
2+
1
4+
1
8+ ⋯
Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = 1
2 sehingga
𝑆∞ =𝑎
1−𝑟=
1
1−1
2
=11
2
= 2
b. 21+0,5+0,25+0,125+⋯
Perhatikan deret 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ⋯
Dari deret tersebut, diperoleh a= 1dan r = 1
2.
𝑆∞ =𝑎
1−𝑟=
1
1−1
2
= 2
Jadi, 21+0,5+0,25+0,125+⋯ = 22 = 4.
B. SUKU ke-n dan JUMLAH n SUKU PERTAMA BEBERAPA DERET KHUSUS
1. Deret Bilangan Asli
Deret bilangan asli 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n
Suku ke-n → Un = n
Jumlah n suku pertama Sn = 𝟏
𝟐n(n+1)
𝑆∞ =𝑎
1 − 𝑟, dengan r < 1
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 29
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 18 :
Diketahui deret bilangan asli 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….
Tentukan:
a. Suku ke – 780,
b. Jumlah 50 suku pertama!
Jawab:
a. Un = n ⟹ U780 = 780
b. Sn = 1
2 n(n+1)
S50 = 1
2 (50)(50+1)
S50 = 25(51)
S50 = 1275
Jadi, jumlah 50 suku pertama adalah 1275
2. Deret Kuadrat Bilangan Asli
Deret kuadrat bilangan asli 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2
Suku ke-n → Un = n2
Jumlah n suku pertama Sn = 𝟏
𝟔 n(n + 1)(n + 2)
CONTOH 19 :
Diketahui deret kuadrat bilangan asli 12 + 22 + 32 +… +n2
Tentukan:
a. Suku ke -27,
b. Jumlah 10 suku pertama!
Jawab:
a. Un = n2 ⟹ U27 = 272
= 729
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 30
(ASMONI_06.02031.616)
b. Sn = 1
6 n(n + 1)(2n + 1)
S10 = 1
6 10(10 + 1)(2(10)+1)
S10 = 10
6 (11)(21)
S10 = 385
3. Deret Kubik n Bilangan Asli
Deret kubik bilangan asli 13 + 23 + 33 + … + (n – 1)3 + n3
Suku ke-n → Un = n3
Jumlah n suku pertama Sn = 𝟏
𝟐𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
CONTOH 20 :
Diketahui deret pangkat tiga (kubik) bilangan asli 13 + 23+ 33 +…
Tentukan:
a. Suku ke -10,
b. Jumlah 5 suku pertama!
Jawab:
a. Un = n3 ⟹ U10 = 103
= 1000
b. Sn = 1
2𝑛 𝑛 + 1
2
S5 = 1
2. 5 5 + 1
2
= 152
= 225
4. Deret n Bilangan Persegi Panjang
Deret bilangan persegi panjang 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … + n(n + 1)
Suku ke-n → Un = n(n + 1)
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 31
(ASMONI_06.02031.616)
Jumlah n suku pertama, Sn = 𝟏
𝟑 n(n + 1)(n + 2)
CONTOH 21 :
Deret bilangan persegi panjang 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + …
Tentukan:
a. Suku ke -6,
b. Jumlah 6 suku pertama!
Jawab:
a. Un = n(n + 1) → U6 = 6(6 + 1)
= 42
b. Sn = 1
3 6(6 + 1)(6 + 2)
= 2(7)(8)
= 112
5. Deret Bilangan Balok
Deret bilangan balok 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Suku ke-n, Un = n(n + 1)(n + 2)
Jumlah n suku pertama, Sn =𝟏
𝟒 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
CONTOH 22 :
Deret bilangan balok .2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …
Tentukan:
a. Suku ke -10,
b. Jumlah 15 suku pertama!
Jawab:
a. Un = n(n + 1)(n + 2)
U10= 10(10 + 1)(10 + 2)
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 32
(ASMONI_06.02031.616)
= 1320
b. Sn =1
4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
S15 = 1
4 15(15 + 1)(15 + 2)(15 + 3)
= 15
4 (16)(17)(18) = 18360
6. Deret Bilangan Segitiga
Deret bilangan segitiga 1 + 3 + 6 + … + 1
2 n(n + 1)(n + 2)
Suku ke-n, Un = 𝟏
𝟐(n + 1)
Jumlah n suku pertama, Sn = 𝟏
𝟔 n(n + 1)(n + 2)
CONTOH 23 :
Deret bilangan balok 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + …
Tentukan:
a. Suku ke -6,
b. Jumlah 6 suku pertama!
Jawab:
a. Un = 1
2 n (n + 1)
U6 = 1
2 6(7) =
42
2
= 21
b. Sn = 1
6 n(n + 1)(n + 2)
S6 = 1
6 6(6 + 1)(6 + 2)
= 1(7)(8)
= 56
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 33
(ASMONI_06.02031.616)
C. PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET
Kidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian
perhitungan, misalnya bunga bank, keanikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha.
Untuk menyelesaikan saol tersebut, kita hrus dapat membedakan apakah per-
soalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika
ataupun deret geometri. Kemudian, selanjutnya kita dapat menyelesaikan persoalan
tersebut menggunakan rumus – rumus yang belaku.
CONTOH 24:
Setiap minggu, Agnes memasukkan uang ke celengan. Akhir minggu
pertama, ia memasukkan Rp. 1.000,00. Akhir minggu kedua, ia
meamsukkan Rp. 1.500,00. Akhir minggu ketiga, ia memasukkan Rp.
2.000,00, demikian seterusnya. Berapa besar uang yang dimasukkan
Agnes pada akhir bulan ke-20?
Jawab:
Kasus di atas adalah kasus baris aritmetika dengan suku awal, a =
1.000 dan beda b = 500
Untuk n = 20 maka
𝑆𝑛 = 1
2𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
𝑆20 = 1
2(20)(2(1.000) + (20 − 1)500)
= 115.000
D. NOTASI SIGMA
Salah satu karaktristik matematika adalah digunakannya lambang untuk
mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika di-
ungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 34
(ASMONI_06.02031.616)
adalah “ ∑ ” (dibaca sigma). Lambang ini digunakan untuk menulis secara singkat
penjumlahan n suku.
1. Pengertian Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini.
1 + 2 + 3 + 4 + …. + 50
Jika semua suku – sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut
jeas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan semakin
besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan tersebut dapat diper-
singkat menjadi 𝑘50𝑘=1 (dibaca: sigma k yang bergerak mulai dari k = 1 sampai
dengan k = 50 ).
Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang akan bergerak
mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas ba-
wah (nilai awal) dan 50 disebut batas atas (nilai akhir) penjumlahan.
Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.
Keterangan :
1 : batas bawah
n : batas atas
k : indeks
Uk : suku umum
𝑼𝒌
𝒏
𝒌=𝟏
= 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + ⋯ + 𝑼𝒏
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 35
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 25 :
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan 𝑘(𝑘 + 1)5𝑘=1
Jawab :
𝑘 𝑘 + 1
5
𝑘=1
= 1 1 + 1 + 2 2 + 1 + 3 3 + 1 + 4 4 + 1 + 5 5 + 1
= 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6
= 2 + 6 + 12 + 20 + 30
2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma
Untuk menentukan nilai penjumlahan notasi sigma, nyatakan notasi
sigma itu ke dalam bentuk lengkapnya terlebih dahulu, kemudian jumlah-
kan. Agar lebih jelas, perhatikan contoh – contoh berikut.
CONTOH 26 :
Tentukan nilai dari
a. 𝑝;10𝑝=1
b. 2𝑛26𝑛=3
Jawab :
a. 𝑝 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 1010𝑝=1
= 55
b. 2𝑛26𝑛=3 = 2(3)2 + 2(4)2 + 2(5)2 + 2(6)2
= 18 + 32 + 50 + 72
= 172
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 36
(ASMONI_06.02031.616)
3. Sifat – Sifat Notasi Sigma
Coba kalian perhatikan contoh berikut
CONTOH 27 :
Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa.
a. 𝑈𝑘6𝑘=1
b. 𝑈𝑖6𝑖=1
c. Bandingkan hasil antara a dan b. apa kesimpulanmu?
Jawab :
a. 𝑈𝑘6𝑘=1 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + 𝑈5 + 𝑈6
b. 𝑈𝑖6𝑖=1 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + 𝑈5 + 𝑈6
c. Dari hasil a dan b terlihat bahwa 𝑈𝑘6𝑘=1 = 𝑈𝑖
6𝑖=1
CONTOH 28 :
Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasii sigma
berikut.
a. 5, 𝑎𝑝𝑎𝑘𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 (7 − 3 + 1) × 57𝑘=3
b. 3𝑘5𝑘=2
c. 3 𝑘5𝑘=2
d. Bandingkan hasil antara c dan d. Apa kesimpulanmu?
Jawab :
a. (i) 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 257𝑘=3
U3 U4 U5 U6 U7
(ii) 7 − 3 + 1 × 5 = 5 × 5 = 25
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 37
(ASMONI_06.02031.616)
Jadi, 5 = (7 − 3 + 1) × 57𝑘=3
b. 3𝑘5𝑘=2 = 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 + 3 × 5
= 6 + 9 + 12 + 15
= 42
c. 3 𝑘5𝑘=2 = 3(2 + 3 + 4 + 5)
= 3 × 14
= 42
Terlihat dari hasil b dan c bahwa 3𝑘5𝑘=2 = 3 𝑘5
𝑘=2
Dari beberapa contoh di atas, kita dapat memperoleh sifat notasi sigma.
Secara umum, sifat – sifat itu adalah sebagai berikut.
Jika Uk dan Vk adalah rumus umum suku ke-k dan p, q ∈ B maka berla-
ku sifat berikut.
a. 𝑈𝑘𝑞𝑘=𝑝 = 𝑈𝑖
𝑞𝑖=𝑝
b. 𝑐 = 𝑞 − 𝑝 + 1 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑞𝑘=𝑝
c. 𝑐𝑈𝑘𝑞𝑘=𝑝 = 𝑐 𝑈𝑘
𝑞𝑘=𝑝
d. 𝑈𝑘 ± 𝑉𝑘 = 𝑈𝑘𝑞𝑘=𝑝
𝑞𝑘=𝑝 ± 𝑉𝑘
𝑞𝑘=𝑝
e. 𝑈𝑘 + 𝑈𝑛𝑞𝑘=𝑛+1
𝑛𝑘=𝑝 = 𝑈𝑘
𝑞𝑘=𝑝
f. 1) 𝑈𝑘𝑞𝑘=𝑝 = 𝑈𝑘−𝑎
𝑞+𝑎𝑘=𝑝+𝑎 2) 𝑈𝑘
𝑞𝑘=𝑝 = 𝑈𝑘+𝑎
𝑞−𝑎𝑘=𝑝−𝑎
g. 𝑈𝑘𝑝𝑘=𝑝 = 𝑈𝑝
h. (𝑈𝑘 ± 𝑉𝑘)2𝑞𝑘=𝑝 = 𝑈𝑘
2𝑞𝑘=𝑝 ± 2 𝑈𝑘
𝑞𝑘=𝑝 𝑉𝑘 + 𝑉𝑘
2𝑞𝑘=𝑝
Dengan memahami sifat – sifat notasi sigma di atas secara baik, kita akan
dapat menyelesaikan permasalahan notasi sigma secara lebih mudah.
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 38
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 29 :
Hitunglah nilai dari 𝑘2 − 4𝑘 4𝑘=1
Jawab :
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di
atas.
Cara 1 :
𝑘2 − 4𝑘 4𝑘=1 = 12 − 4 1 + 22 − 4 2 + 32 − 4 3 + 42 − 4 4
= 1 − 4 + 4 − 8 + 9 − 12 + 16 − 16
= −3 − 4 − 3 + 0
Cara 2 :
𝑘2 − 4𝑘 4𝑘=1 = 𝑘24
𝑘=1 − 4𝑘4𝑘=1
= 𝑘24𝑘=1 − 4 𝑘4
𝑘=1
= 12 + 22 + 32 + 42 − 4(1 + 2 + 3 + 4)
= (1 + 4 + 9 + 16) − 4(10)
= 30 − 40
= −10
4. Menyatakan Suatu Deret dalam Notasi Sigma
Notasi sigma dapat mepermudah kita dalam menuliskan jumlah bilan-
gan – bilangan yang terpola, misalnya 2+4+6+8+…. Seperti kalian ketahui,
deret aritmetika dan geometri merupakan deret dengan suku – sukunya ter-
pola tetap. Deret – deret seperti ini dapat kita sajian dalam notasi sigma. Agar
kalian lebih paham, perhatikan contoh berikut.
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 39
(ASMONI_06.02031.616)
CONTOH 30 :
Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut.
a. (2𝑛 + 1)10𝑛=1
b. 2𝑛6𝑛=1
Jawab :
a. 2𝑛 + 1 = 2 1 + 1 + 2 2 + 1 2 3 + 1 + ⋯ + (2 10 + 1)10𝑛=1
= 2 + 1 + 4 + 1 + 6 + 1 + ⋯ + (20 + 1)
= 3 + 5 + 7 + ⋯ + 21
Tampak bahwa deret itu memiliki suku – suku yang selisihnya
tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dengan suku
awal a = 3, beda b = 2, dan U2 = 21. Nilai (2𝑛 + 1)10𝑛=1 sama
dengan nilai jumlah 10 suku pertama, yaitu S10. Dengan mengguna-
kan rumus jumlah 10 suku pertama deret aritmetika, diperoleh.
𝑆𝑛 = 1
2𝑛(𝑎 + 𝑈𝑛)
⟺ 𝑆10 =1
2 10 (3 + 𝑈10)
=1
2 10 (3 + 21)
= 5 24 = 120
Jadi, 2𝑛 + 1 = 12010𝑛=1
b. 2𝑛6𝑛=1 = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r=2. Jadi,
deret ini termasuk deret geometri dengan suku awal a=2 dan rasio
r=2.
Oleh karena itu, 2𝑛6𝑛=1 = 𝑆6
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 40
(ASMONI_06.02031.616)
Karena 𝑟 = 2 > 1, 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠
𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 −1)
𝑟−1
⟺ 𝑆6 =2(26−1)
2−1
⟺ 𝑆6 =2(64−1)
1
⟺ 𝑆6 = 2(63)
⟺ 𝑆6 = 126
Jadi, 2𝑛6𝑛=1 = 126
E. INDUKSI MATEMATIKA
Misalkan Sn merupakan jumlah n suku barisan bilangan berikut.
S1 = 1
S2 = 1+3=4
S3 = 1+3+5=9
S4 = 1+3+5+7=16
Perhatika pola di atas baik – baik. Amatilah, apakah S1 = 12, S2 = 22, S3 = 32,
dan S4 = 42? Jawabnya adalah ya. Selanjutnya, dapatkah kalian simpulkan bahwa
Sn = n2, yaitu 1+3+5+7+….(2n – 1) = n2?
Di dalam matematika, pembuktian yang digunakan adalah dengan metode de-
duksi, yaitu berangkat dari hal – hal umum untuk membuktikan hal – hal yang
khusus. Namun, tidak seluruhnya dapat dilakukan demikian. Bahkan sebaliknya,
pembuktian yang digunakan berangkat dari hal – hal khusus untuk mencoba me-
nyimpulkan hal yang umum. Di dalam matematika, cara pembuktian semacam ini
merupakan suatu hal yang sangat khusus dan dikenal dengan induksi matematika.
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 41
(ASMONI_06.02031.616)
Induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus
yang memuat variabel n dan berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.
Misalkan P(n) suatu rumus, untuk bilangan asli n.
1. Misalkan P(n) benar untuk n=1
2. Jika diasumsikan P(n) benar, untuk n=k dan dapat ditunjukkan bahwa P(n)
benar untuk n=k+1 maka P(n) benar untuk bilangan asli n.
Misalkan P(n) merupakan suatu rumus untuk bilangan asli n yang akan dibuk-
tikan, langkah – langkah dalam induksi matematika sebagai berikut.
1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1
2. P(n) diasumsikan benar untuk n=k
3. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=k+1
Jika setiap langkah tersebut sudah dilakukan dan diuji kebenarannya
maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilan-
gan asli.
CONTOH 31 :
Buktikan bahwa 1 + 3 +5 + 7 + … + (2n - 1)= n2 berlaku untuk
setiap 𝑛 ∈ 𝐴.
Jawab :
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n - 1)= n2.
Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut.
1) Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1
1 = 12 ⟺ 1 = 1
Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET Page_ 42
(ASMONI_06.02031.616)
Jadi, P(n) benar untuk n = 1
2) P(n) diasumsikan benar untuk n = k sehingga.
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)=k2 (benar)
3) Dibuktikan P(n) benar untuk n = k+1, berarti harus dibuktikan
bahwa 1+ 3 + 5 + 7 + …. + (2k – 1)+ (2(k + 1) – 1)= (k + 1)2
(benar).
Dari langkah kedua, diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)= k2.
Jika kedua ruas ditambah (2(k + 1) – 1), diperoleh
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)+ (2(k + 1) – 1)= k2 + (2(k + 1) – 1)
= k2 + (2k + 1) – 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Jadi, P(n) benar untuk n = k + 1
Karena langkah 1, 2, dan 3 benar, berarti P(n) berlaku untuk
setiap 𝑛 ∈ 𝐴.