Disusun Oleh :

Kutsiyeh

Lisnadia Elpida

Mira

Siti Mariani

Sri Fatmawati

Wilda Herawati

PROGRAM STUDI AKUTANSIFAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS PAMULANG2014

Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deretsering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangandan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatugejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuahderet, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya.

Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Barisdan Deret. Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikutiperubahan baris hitung.

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatanusaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisisperkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitungmaksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambahsecara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang sebenarnyadapat diselesaikan dengan menggunakan deret aritmetika atau deret geometri.Namun, Anda harus mampu mengidentifikasi permasalahan tersebut danmenerjemahkannya ke dalam bahasa matematika.

Jika permasalahan tersebut berkaitan dengan penambahan ataupengurangan (selisih) secara tetap, makadapat diselesaikan dengan menggunakanderet aritmetika. Sedangkan deret geometri dapat digunakan untukmenyelesaikan permasalahan yang berkaitandengan perbandingan tetap.Setelahpermasalahan teridentifikasi, Anda harus mampu menyatakan besaran–besaranyang ada dalam permasalahan sebagai variabel–variabel dalam deret, misalnya :

a = sebagai suku pertama,b = sebagai beda, danr = sebagai rasio.

Selanjutnya adalah merumuskan deret yang merupakanmodelmatematika dari permasalahan, menentukan penyelesaiannya, danmenafsirkan hasil yang diperoleh

Dasar Teori Deret HitungDeret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkanpenjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Rumus Suku ke-n dari Deret HitungSuku ke-n dari suatu Deret Hitung dirumuskan sebagai berikut :Un = a + (n – 1)b

Rumus Jumlah n SukuJumlah sebuah Deret Hitung dengan suku tertentu dirumuskansebagai berikut :Sn = n/2 (a + Un)

Deret GeometriJumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jikasuku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: an = a1r

n – 1, maka deret geometri dapatdituliskan sebagai :

Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya denganderet aslinya, kita mendapatkan:

Sehingga kita memperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan

tersebut untuk Sn, kita mendapatkan

Hasil di atas merupakan rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri.

1. Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulanpertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatanproduktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buahsetiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah gentengyang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

2. Besarnya penerimaan P.T Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabilaperkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitungberapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaanpada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?

Contoh Soal yang Berkaitan denganBaris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha

1. Dik : a = Suku Pertama = 3.000b = Pembeda = 500n =Suku Yang Dicari = 5

Dit : U5 dan S5 ?

Jawab :U5 = a + (n – 1 )b

= 3.000 + (5 – 1 ) 500= 3.000 + 2.000= 5.0000

Jadi hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng

S5 = n/2 (a + U5 )= 5/2 (3.000 + 5.000)= 5/2 ( 8.000)= 20.000

Jadi jumlah produksi genteng selama 5 bulan adalah 20.000

2. Dik :Penerimaan Tahun Ke-5 (U5) = 720U5 = a + (5 – 1 )b720 = a + 4b

Penerimaan Tahun Ke-7 (U7) = 980U7 = a + (7 – 1) b980 = a +6b

a + 4b = 720 a + 4b = 720a + 6b = 980 - a + 4.130 = 720-2b = -260 a = 720 – 520

b = 130 a = 200

Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta

Penerimaan Tahun Ke-n = 460Un = a + (n – 1) b460 = 200 + ( n – 1 )130260 = 130n – 130390 = 130n

n = 3Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga

Contoh Lain :

1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertamaproduksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produkyang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampumenambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jikaperkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramikyang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?

2. Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliarpada tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabilaperkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ketahun, berapakah perkembangan penerimaannya per tahun, berapakahpenerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapapenerimaannya mencapai Rp. 2,7 miliar ?

Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12U12 = a + (n – 1) b

= 5.000 + (12 – 1) 300= 5.000 + (11) 300= 5.000 + 3.300 = 8.300

Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik

Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satutahun pertama.S12 = n/2 (a + U12 )

= 12/2 (5.000 + 8.300)= 6 (13.300)= 79.800

Dik : U7 = 1,8 miliarU5 = 1,2 miliarb = (1,8 miliar – 1,2 miliar) + 0,3 miliar

U7 = a + (7 – 1) b 1,8 = a + 6b1,2 = a + 4b -0,6 = 2b

Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :

a + 4b = 1,2a + 4(0,3) = 1,2a + 1,2 = 1,2

a = 0Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapunpenerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :Un = a + (n-1) b2,7 = 0 + (n-1) 0,32,7 = 0 + 0,3n – 0,32,7 + 0,3 = 0,3n n = 3 / 0,3 n = 10 (Tahun Ke 10)

Soal : Menyelesaikan Penerapan Barisan Geometri: Bandul

Bandul adalah sembarang obyek yang digantungkan pada suatu titik tertentudan dibiarkan untuk mengayun dengan bebas di bawah pengaruh dari gayagravitasi. Misalkan ayunan suatu bandul masing-masing panjangnya 0,8 dariayunan sebelumnya. Lama kelamaan, ayunan bandul tersebut akan semakinpendek dan akan berhenti (walaupun secara teoritis tidak akan pernahberhenti)

1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjangayunan pertamanya adalah 125 cm?

2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebutsampai ayunan yang ke-6?

PembahasanKarena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunansebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandultersebut membentuk barisan geometri.Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a1 = 125 danrasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya denganmenggunakan rumus:

Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S6.

Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.