Bab 3 Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi MatematikaJenjang Sekolah Mata Pelajaran Kelas Program Studi : : : : SMA dan MA Matematika XlI Ilmu Alam

Barisan dan Deret AritmetikaA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. 2. Merumuskan masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Indikator Menjelaskan ciri barisan aritmetika dan barisan geometri. Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri. Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri. Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah. Menentukan penyelesaian dari model matematika. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah. Materi Pokok Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika Alokasi Waktu 6 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi a. Bertanya jawab tentang barisan aritmetika yang ada dalam keseharian. Misalkan penyusunan bola pada permainan biliar (bola sodok) yang semakin ke belakang banyak bola dalam satu baris semakin bertambah (bertambah 1 bola). b. Bertanya jawab untuk mengingatkan siswa tentang pola bilangan yang pernah dipelajari di SMP. 2. Kegiatan Inti a. Menanamkan konsep tentang barisan aritmetika melalui beberapa contoh, kemudian bersama-sama menyimpulkan pengertian barisan aritmetika. b. Menginformasikan kepada siswa tentang sifat bahwa dua kali suatu suku sama dengan jumlah dari suku sebelum dan suku sesudahnya. c. Secara berkelompok, siswa mendiskusikan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika. Kemudian bersama-sama menyimpulkannya. d. Siswa mencoba menentukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika menggunakan rumus yang telah ditemukannya dengan melengkapi isian. e. Menjelaskan pengertian dari deret aritmetika melalui suatu contoh. f. Bersama teman sebangkunya, siswa menurunkan rumus jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmetika, yaitu rumus deret aritmetika.

B.

C.

D. E. F.

48

Model Pembelajaran

g. h. i. j. 3.

Menugaskan kepada siswa untuk menentukan rumus deret aritmetika dari barisan-barisan aritmetika yang telah ada. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal latihan tentang barisan dan deret aritmetika, kemudian hasilnya dibahas bersama. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan barisan dan deret aritmetika, kemudian hasilnya dibahas bersama. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari dengan menggunakan pengetahuan tentang barisan dan deret aritmetika, kemudian hasilnya dibahas bersama.

Penutup Menekankan kepada siswa bahwa barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang pertambahannya tetap dan disebut beda.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 5359. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 179189. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengenal deret aritmetika; b. kemampuan merumuskan suku ke-n dari suatu deret aritmetika; c. kemampuan menentukan nilai suku ke-n dari suatu deret aritmetika; d. kemampuan menentukan jumlah n suku dari deret aritmetika; e. kemampuan membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmetika; dan f. kemampuan menyelesaikan permasalahan yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat dalam diskusi; c. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; dan d. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

Barisan dan Deret GeometriA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. 2. Merumuskan masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Indikator Menjelaskan ciri barisan aritmetika dan barisan geometri. Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri. Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri. Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah. Menentukan penyelesaian dari model matematika. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah. Materi Pokok Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

B.

C.

D.

PG Matematika Kelas XII

49

E. F.

Alokasi Waktu 4 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab tentang cerita atau keadaan yang berhubungan dengan deret geometri. Misalkan cerita tentang seorang raja yang menghadiahkan gandum kepada orang yang mengalahkannya dalam bermain catur sesuai dengan kotak-kotak pada papan catur, yaitu kotak pertama mendapat 20 gandum, kotak kedua mendapat 21, kotak ketiga mendapat 22, dan seterusnya pada kotak berikutnya dikalikan 2. Ternyata raja tidak mampu memberikan hadiahnya, karena kotak terakhir saja dia harus memberikan 263 butir gandum yang beratnya sampai berjuta-juta ton. 2. Kegiatan Inti a. Menjelaskan tentang pengertian barisan geometri melalui contoh barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya gandum untuk tiap kotak papan catur, kemudian bersama-sama menyimpulkannya. b. Secara terbimbing, siswa menentukan rumus umum suku ke-n dari barisan geometri. Kemudian mencoba menentukan rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri. c. Bersama teman sebangkunya, siswa mendiskusikan rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri serta sifat-sifat barisan dan deret geometri. d. Menugaskan siswa untuk mengerjakan permasalahan pada apersepsi, yaitu menghitung banyak gandum yang harus diberikan oleh raja. e. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal latihan yang berhubungan dengan barisan dan deret geometri, kemudian hasilnya dibahas bersama. f. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan yang model matematikanya berbentuk deret atau barisan geometri, kemudian hasilnya dibahas bersama. Penutup Menekankan pada siswa bahwa barisan geometri adalah barisan bilangan yang pengalinya tetap dan disebut rasio.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 6064. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 190197. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengenal deret geometri; b. kemampuan merumuskan suku ke-n dari deret geometri; c. kemampuan menentukan nilai suku ke-n dari suatu deret geometri; d. kemampuan menentukan jumlah n suku dari deret geometri; e. kemampuan membuktikan rumus jumlah n suku deret geometri; dan f. kemampuan menyelesaikan permasalahan yang model matematikanya berbentuk deret geometri. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat dalam diskusi; dan c. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

50

Model Pembelajaran

Deret Geometri Tak HinggaA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. Indikator Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga. Materi Pokok Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika Alokasi Waktu 3 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab tentang paradoks Zenon untuk memberi gambaran kepada siswa tentang deret geometri tak hingga. 2. Kegiatan Inti a. Bersama teman sebangkunya, siswa mendiskusikan syarat konvergen dari suatu deret geometri, yaitu dengan melihat nilai limit Sn untuk n mendekati tak hingga. Selanjutnya, bersama-sama menyimpulkan syarat konvergen dan rumus deret geometri tak hingga, yaitu S = 1 < r < 1 atau |r| < 1. b. c. d. e. 3. Siswa mencoba menggunakan rumus deret tak hingga S =a 1 r a 1 r

B. C.

D. E. F.

dengan syarat

dengan melengkapi isian.

Menugaskan siswa untuk menunjukkan bahwa paradoks Zenon yang dibahas pada apersepsi adalah salah. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal rutin tentang deret geometri tak hingga, kemudian hasilnya dibahas bersama. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan deret geometri tak hingga.

Penutup Menekankan kepada siswa bahwa deret geometri tak hingga dapat ditentukan nilainya apabila rasionya antara 1 dan 1, disebut dengan deret yang konvergen.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 6568. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 197203. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan deret geometri mempunyai jumlah atau tidak; b. kemampuan menentukan batas-batas rasio agar suatu deret mempunyai jumlah; dan c. kemampuan menghitung jumlah deret geometri tak hingga. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat dalam diskusi; c. kemampuan bekerja sama secara berpasangan; dan d. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.PG Matematika Kelas XII

51

Notasi SigmaA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Merumuskan dan menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. 2. Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian. Indikator Menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma. Materi Pokok Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Menginformasikan tentang kehidupan Gauss waktu masih kecil yang berhasil menjumlahkan bilangan 1 sampai 100 dalam waktu yang sangat singkat dengan menggunakan metode yang dia ciptakan sendiri. Kegiatan ini bertujuan untuk memberikan motivasi kepada siswa. 2. Kegiatan Inti a. Menjelaskan notasi sigma beserta bagian-bagian dan cara menggunakannya. b. Siswa mencoba menggunakan notasi sigma dengan melengkapi isian. Menggunakan di sini berarti menentukan hasil dari notasi sigma dan mengubah suatu deret ke dalam notasi sigma. c. Menugaskan siswa untuk menyelesaikan soal-soal notasi sigma yang berbentuk persamaan. Baik itu persamaan biasa, persamaan logaritma sederhana, maupun persamaan trigonometri. Tugas ini dapat dikerjakan secara berpasangan. d. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan notasi sigma, kemudian hasilnya dibahas bersama. Penutup Menekankan bahwa notasi sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk penjumlahan.

B.

C.

D. E. F.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 6971. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 204208. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan hasil dari operasi dengan menggunakan notasi sigma; b. kemampuan menyatakan suatu deret ke dalam bentuk notasi sigma. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan bekerja sama secara berpasangan; b. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

52

Model Pembelajaran

Induksi MatematikaA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian. Indikator Menjelaskan ciri rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian. Materi Pokok Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika Alokasi Waktu 3 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab tentang arti kata induksi, yaitu penarikan kesimpulan berdasarkan keadaan yang khusus untuk diperlakukan secara umum atau penentuan kaidah umum berdasarkan kaidah khusus. 2. Kegiatan Inti a. Menjelaskan prinsip pembuktian dengan induksi matematika, yaitu: i. sifat berlaku untuk n = 1; ii. jika sifat berlaku untuk n = k, maka sifat berlaku untuk n = k + 1. Perlu disampaikan bahwa induksi hanya dapat digunakan untuk membuktikan sifat atau rumus yang berlaku untuk bilangan asli. b. Secara terbimbing, siswa mencoba membuktikan sifat atau rumus dengan menggunakan induksi matematika. c. Menguji keterampilan siswa dalam membuktikan kebenaran sifat atau rumus dengan menggunakan induksi matematika. 3. Penutup a. Menekankan bahwa dengan membuktikan i dan ii berarti kita telah membuktikan untuk semua n bilangan asli, karena dari i dibuktikan untuk n = 1 dan dengan ii dibuktikan untuk n = 1 + 1 = 2, untuk n = 2 + 1 = 3, untuk n = 3 + 1 = 4, dan seterusnya. b. Mengingatkan siswa untuk mencari penerapan materi yang telah dipelajari pada bidang studi lain sebagai bahan proyek. c. Mengevaluasi kegiatan belajar yang telah dilakukan dengan menyelesaikan soal-soal latihan ulangan. d. Membimbing siswa melakukan refleksi diri untuk mengetahui pemahaman materi yang telah dipelajari. e. Menugaskan siswa untuk membuat ringkasan materi yang telah dipelajari.

B. C.

D. E. F.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 7177. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 208219. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika; b. kemampuan menggunakan induksi matematika dalam pembuktian. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan. 3. Penugasan (proyek) Aspek-aspek yang dinilai: kemampuan menerapkan materi pada bidang studi lain.PG Matematika Kelas XII

53

Bab 4 MatriksJenjang Sekolah Mata Pelajaran Kelas Program Studi : : : : SMA dan MA Matematika XlI Ilmu Alam

Penulisan MatriksA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya. Indikator Menjelaskan ciri suatu matriks. Menuliskan informasi dalam bentuk matriks. Materi Pokok Matriks Alokasi Waktu 4 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mendiskusikan penulisan informasi yang diperoleh ke dalam bentuk tabel (terdiri baris dan kolom). Kemudian menuliskan bilangan-bilangan dalam tabel ke dalam kurung besar dan posisi masing-masing bilangan tetap berupa baris dan kolom. Bentuk terakhir dikenalkan sebagai matriks. Kegiatan Inti a. Bertanya jawab untuk mengenalkan unsur-unsur matriks melalui sebuah contoh, kemudian bersamasama menyimpulkannya. b. Menugaskan siswa untuk menentukan unsur-unsur matriks yang telah diperoleh pada kegiatan apersepsi. c. Menguji keterampilan siswa dalam menuliskan informasi-informasi yang ada ke dalam bentuk matriks dan menyebutkan unsur-unsurnya. Penutup Menekankan kepada siswa bahwa matriks merupakan cara penulisan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom.

B.

C.

D. E. F.

2.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 7982. 2. Buku PG Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 221225.

54

Model Pembelajaran

H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menuliskan informasi ke dalam bentuk matriks; b. kemampuan menyebutkan menentukan unsur-unsur matriks. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam bertanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat dalam diskusi; dan c. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

Operasi Aljabar MatriksA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya. Indikator Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Menjelaskan sifat-sifat operasi matriks. Materi Pokok Matriks Alokasi Waktu 6 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab untuk mengingatkan siswa tentang kesamaan himpunan, yaitu banyak anggotanya sama dan anggota-anggotanya sama. 2. Kegiatan Inti Kesamaan Dua Matriks a. Menjelaskan pengertian kesamaan dua matriks melalui beberapa contoh, kemudian bersama-sama menyimpulkannya. b. Siswa mencoba menggunakan kesamaan dua matriks untuk menyelesaikan permasalahan dengan melengkapi isian. c. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan kesamaan dua matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks d. Menjelaskan cara menjumlahkan dua matriks, yaitu dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak, kemudian bersama-sama menyimpulkannya. e. Menjelaskan operasi pengurangan pada matriks, kemudian siswa mencoba mengurangkan suatu matriks dengan matriks lain yang ordonya sama dengan melengkapi isian. f. Menginformasikan tentang lawan dari suatu matriks, yaitu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks tersebut. g. Secara terbimbing, siswa menurunkan sifat-sifat operasi penjumlahan pada matriks. h. Menugaskan siswa untuk menunjukkan bahwa operasi pengurangan matriks tidak bersifat komutatif dan tidak bersifat asosiatif. i. Menguji keterampilan siswa dalam menjumlahkan dan mengurangkan dua matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama.PG Matematika Kelas XII

B.

C.

D. E. F.

55

Perkalian Matriks j. Mendiskusikan permasalahan sehari-hari yang berhubungan dengan operasi perkalian suatu bilangan dengan matriks. k. Secara terbimbing, siswa mencoba melakukan perkalian bilangan dengan matriks, kemudian bersamasama menyimpulkan cara mengalikan bilangan dengan matriks. l. Menguji keterampilan siswa menyelesaikan soal-soal dengan melakukan perkalian bilangan dengan matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. m. Menjelaskan cara mengerjakan perkalian dua buah matriks. Kemudian siswa mencoba mengerjakan perkalian dua buah matriks dengan melengkapi isian. n. o. p. q. r. 3. Menginformasikan tentang matriks identitas, yaitu matriks I = 0 1 . Untuk sembarang matriks A berlaku AI = IA = A. Menjelaskan sifat-sifat perkalian bilangan dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks, serta memberikan beberapa contoh. Menugaskan siswa untuk membuktikan beberapa sifat operasi perkalian matriks. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal tentang operasi perkalian matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berhubungan dengan operasi aljabar matriks. 1 0

Penutup Menekankan kepada siswa bahwa pada matriks pun ada operasi aljabarnya, seperti halnya pada bilangan, himpunan, dan lainnya yang telah dikenal. Dalam operasi matriks ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu penjumlahan dan pengurangan dua matriks harus berordo sama dan perkalian dua matriks, banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 8392. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 225241. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menjumlahkan dua matriks; b. kemampuan mengurangkan dua matriks; c. kemampuan mengalikan bilangan dengan matriks; d. kemampuan mengalikan dua matriks; dan e. kemampuan membuktikan sifat-sifat operasi matriks yang sederhana. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat; c. kemampuan bekerja secara berpasangan; dan d. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

2.

56

Model Pembelajaran

Determinan MatriksA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya. 2. Menggunakan determinan dan invers matriks persegi dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Indikator Menentukan determinan matriks persegi ordo 2 dan kaitannya dengan matriks mempunyai invers. Menentukan determinan matriks persegi ordo 3. (*) Materi Pokok Matriks Alokasi Waktu 3 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab untuk mengingatkan siswa tentang pengertian matriks persegi, karena yang mempunyai determinan hanya matriks persegi. Sedangkan yang akan dipelajari sekarang hanya determinan untuk matriks persegi berordo 2 dan berordo 3. 2. Kegiatan Inti a. Menjelaskan cara menentukan determinan matriks persegi berordo 2. Selanjutnya, menyampaikan trik untuk mengingatnya, yaitu dengan mengalikan elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal samping. b. Menjelaskan cara menentukan determinan matriks persegi berordo 3. c. Siswa mencoba menghitung determinan matriks berordo 2 dan berordo 3 dengan melengkapi isian. d. Menginformasikan kepada siswa tentang matriks singular (determinannya nol) dan matriks nonsingular. e. Menguji keterampilan siswa dalam menentukan determinan matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. Penutup Menekankan kepada siswa tentang cara untuk menentukan determinan. Perlu diingatkan juga bahwa determinan berbeda dengan diskriminan yang dipelajari pada persamaan kuadrat, yaitu D = b2 4ac.

B.

C.

D. E. F.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 9394. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 242244. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan determinan matriks persegi berordo 2; b. kemampuan menentukan determinan matriks persegi berordo 3. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam tanya jawab; b. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

PG Matematika Kelas XII

57

Invers MatriksA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi beserta pembuktian rumusnya. Indikator Menentukan invers matriks persegi ordo 2. Membuktikan rumus invers matriks ordo 2. Materi Pokok Matriks Alokasi Waktu 4 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Bertanya jawab tentang invers (kebalikan atau lawan) dalam matematika. Misalkan invers bilangan terhadap operasi penjumlahan yaitu lawannya, invers bilangan terhadap operasi perkalian yaitu kebalikannya, dan invers fungsi terhadap operasi komposisi fungsi. Kegiatan Inti Invers Matriks Persegi Ordo 2 a. Menjelaskan pengertian dari invers suatu matriks, kemudian menjelaskan cara menentukan invers matriks persegi berordo 2. b. Siswa mencoba menentukan invers matriks persegi berordo 2 dengan melengkapi isian. c. Secara terbimbing, siswa mencoba membuktikan kebenaran rumus invers matriks persegi berordo 2. Manfaat Invers Matriks dalam Menyelesaikan Persamaan Matriks d. Menjelaskan cara menentukan penyelesaian persamaan matriks dengan menggunakan invers matriks, yaitu: AX = B penyelesaiannya X = A1B XA = B penyelesaiannya X = BA1 Sifat-Sifat yang Berkaitan dengan Invers Matriks e. Menjelaskan sifat-sifat yang berhubungan dengan invers matriks, kemudian menugaskan siswa untuk membuktikan kebenaran sifat tersebut. f. Secara terbimbing, siswa mencoba menentukan penyelesaian dari persamaan matriks dan mencoba melihat kebenaran sifat invers melalui sebuah contoh. g. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan invers matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. 3. Penutup Menekankan pengertian dari invers matriks A, yaitu matriks B yang memenuhi AB = BA = I. Dengan adanya invers matriks, kita dapat menyelesaikan persamaan matriks.

B.

C.

D. E. F.

2.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XlI Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 9599. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 244250.

58

Model Pembelajaran

H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan invers matriks berordo 2; b. kemampuan membuktikan rumus invers matriks berordo 2; dan c. kemampuan menyelesaikan persamaan matriks. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam bertanya jawab; b. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; dan c. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan.

Penggunaan MatriksA. Standar Kompetensi Merancang dan menggunakan model matematika program linear, serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan determinan dan invers matriks persegi dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Indikator Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks. Menjelaskan sifat-sifat matriks yang digunakan dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel. Materi Pokok Matriks Alokasi Waktu 4 jam pelajaran Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mendiskusikan penyelesaian permasalahan sehari-hari yang dapat dimodelkan menjadi persamaan linear dua variabel. 2. Kegiatan Inti a. Siswa mencoba menyelesaikan sistem persamaan linear pada apersepsi dengan menggunakan operasi invers matriks dan dengan menggunakan determinan (metode Cramer). b. Secara terbimbing, siswa mendiskusikan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan determinan matriks. c. Menginformasikan syarat-syarat sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian dengan melihat diskriminannya. d. Menguji keterampilan siswa dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks, kemudian hasilnya dibahas bersama. e. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan linear dalam kehidupan sehari-hari dengan menggunakan matriks. 3. Penutup a. Menekankan kepada siswa bahwa selain dengan eliminasi atau substitusi, sistem persamaan linear juga bisa diselesaikan dengan metode matriks. b. Mengingatkan siswa untuk mencari penerapan materi yang telah dipelajari pada bidang studi lain sebagai bahan proyek. c. Mengevaluasi kegiatan belajar yang telah dilakukan dengan mengerjakan soal-soal latihan ulangan. d. Membimbing siswa melakukan refleksi diri untuk melihat materi-materi yang belum dikuasainya. e. Menugaskan siswa untuk membuat rangkuman. f. Memberikan ulangan blok dari materi bab 3 dan bab 4. g. Mengerjakan soal-soal sebagai latihan menghadapi ujian semester.PG Matematika Kelas XII

B. C.

D. E. F.

59

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 100107. 2. Buku PG Matematika kelas XIl Program Studi Ilmu Alam, Intan Pariwara, halaman 250275. H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks; b. kemampuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan; dan c. kemampuan menyelesaikan sistem persamaan tiga variabel dengan matriks. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam bertanya jawab; b. kemampuan menyampaikan pendapat; dan c. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal latihan. 3. Penugasan (proyek) Aspek-aspek yang dinilai: kemampuan menerapkan materi yang dipelajari pada bidang studi lain.

60

Model Pembelajaran