bab i deret tak hingga dan deret pangkat

download on www.enggar.tk

BAB 1

DERET TAK HINGGA dan DERET PANGKAT

1.1. Pendahuluan

Suatu proses yang terjadi berulang dengan waktu dapat dirumuskan dalam bentuk

deret. Banyak persoalan fisika yang dirumuskan melalui deret, diantaranya

peristiwa peluruhan bahan radio aktif, pencemaran lingkungan karena proses

pengecatan, pertumbuhan bakteri, dan lain-lain.

Bab ini akan membahas tentang notasi deret, sifat konvergen dan divergen dari

suatu deret, uji konvergensi dan divergensi, deret bolak-balik (alternating series),

dan deret pangkat.

Pada akhir bab ini dibahas tentang penjabaran suatu fungsi ke dalam bentuk deret,

dan contoh-contoh deret.

Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal bentuk deret,

melakukan uji konvergensi dan divergensi pada suatu deret, dan menjabarkan

suatu fungsi ke dalam bentuk deret.

1.2. Definisi dan Notasi

Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari

banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas, dan ada

juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa

rumus tertentu (misal deret pangkat), juga ada yang berupa bilangan yang tak

dapat dirumuskan.

Contoh :

4

1

3

1

2

11

Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk perulangan

(looping) yang bergantung pada suatu nilai variabel yang membesar ketika


berulang. Seperti contoh di atas, dapat dilihat penyebut dari bilangan penyusunnya

membesar dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan penyusunnya

(penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan deret di atas dapat digunakan

variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut

bilangan penyusun deret, dan operasi penjumlahan digunakan notasi

1n

atau

sigma yang artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak hingga. Perumusan

deret di atas adalah :

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

Contoh lain :

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

1nn

24

1

6

1

2

11

!n

1

1n

n

1

4

1

3

1

2

11

n

1 1n

1n

1n

1.3. Deret Konvergen dan Deret Divergen

Tijau suatu deret berikut :

n432

0n

n

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1


Namakan deret dengan Sn :

n

n2

1

16

1

8

1

4

1

2

11S

Kita kalikan Sn dengan ½, akan didapat :

1n

n2

1

16

1

8

1

4

1

2

1S

2

1

Jumlahkan Sn dengan (-½) Sn, akan didapat :

n

n2

1

16

1

8

1

4

1

2

11S

1n

n2

1

16

1

8

1

4

1

2

1S

2

1

+

1n

n2

11S

2

1

dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas :

2

1

2

11

1n

nS

2SlimS nn

Oleh karena nilai S dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut

dinamakan deret konvergen. Jika nilai S tidak dapat dihitung atau bernilai tak

hingga maka deretnya dinamakan deret divergen.


1.4. Uji Deret Konvergen dan Divergen

Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diuji dengan beberapa jenis uji

yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji

konvergensi bagi deret, diantaranya :

a. Uji Awal (Preliminary Test)

Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen

atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan

bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dan

harus dilakukan uji lain untuk mementukan sifat konvergen dari deret tersebut.

0a lim nn , ada kemungkinan deret konvergen

0a lim nn , deret pasti divergen

Tinjau suatu deret berikut :

(i).

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

0a lim nn , deret belum pasti divergen tetapi memberikan

kemungkinan deret konvergen (walaupun akhirnya

deret divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat

memastikan deret konvergen.

(ii).

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

1

n!

11

1 lima lim nnn

, deret pasti divergen


b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)

Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji

perbandingan untuk memastikan deret konvergen.

Suatu deret

1nnb yang telah diketahui bersifat konvergen digunakan untuk

membandingakan (uji perbandingan) deret

1nna , dimana

1nna <

1nnb , deret

1nna konvergen

1nna >

1nnb , digunakan uji lain untuk menentukan

1nna konvergen

atau divergen


Telah diketahui bahwa deret

1nn2

1 merupakan deret yang konvergen ( sebagai

deret

1nnb ). Ada deret lain

1n n!

1yang hendak diuji apakah konvergen atau

divergen.

1nnb =

4nn

3

1nn

1nn 2

1

2

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

1nna =

4n

3

1n1n n!

1

n!

1

720

1

120

1

24

1

6

1

2

1

1

1

n!

1


Dapat dilihat, bahwa :

(i). Untuk nilai n mulai dari 4 ke atas berlaku

4nna <

4nnb

(ii). 8

7

8

1

4

1

2

1b

3

1nn

(iii). 24

19

8

7

6

10

6

1

2

1

1

1a

3

1nn

Dengan demikian :

1nna <

1nn

24

19b

Dari hasil diatas maka deret

1nna =

1n n!

1 dinyatakan bersifat konvergen

c. Uji Integral

an

a1

a2

a3

n

1 2 3 4

Luas persegi panjang yang

diarsir menunjukkan nilai :

a1x1 = a1

Nilai

1nna merupakan

jumlah luas semua persegi

panjang tersebut.


an

a1

a2

a3

n

1 2 3 4

Terlihat bahwa :

1

n dn a <

1nna

Dengan demikian dapat diambil kesimpulan :

(i). Jika

1

n dn a maka

1nna bersifat divergen

(2). Jika

1

n dn a bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain.


4

1

3

1

2

11

n

1

1n

Lakukan integrasi :

nln limdn n

1dn a

11

n n

Luas daerah di bawah kurva

merupakan hasil integrasi :

1

n dn a


Karena

1n n

1 >

1

n dn a , dan

1

n dn a , maka

1n n

1 bersifat divergen.

d. Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)

Uji ini sering diterapkan pada deret pangkat.

didefinisikan nilai ratio () :

n

1nn

a

a

nnlim

Penentuan deret konvergen atau divergen adalah :

(i). < 1 , deret konvergen

(ii). = 1 , harus digunakan uji yang lain

(iii). > 1 , deret divergen


24

1

6

1

2

11

!n

1

1n

!n

1an , dan

!1n

1a 1n

1n

1

a

a

n

1nn

101n

1limlim nnn

Dengan demikian deret

24

1

6

1

2

11

!n

1

1n

bersifat konvergen.


Contoh lain :

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

n

1an , dan

1n

1a 1n

1n

n

a

a

n

1nn

1

n

11

1limlim nnn


1n n

1 tidak dapat diuji dengan ratio test, dan harus

digunakan uji lain, yakni uji integral seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

1.5. Deret Bolak-Balik ( Alternating Series )

Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) an yang selalu berubah tanda

untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.

n

1

4

1

3

1

2

11

n

1 1n

1n

1n

Untuk mengetahui apakah deret konvergen atau divergen, dilakukan uji

konvergensi sebagai berikut :

(i). 0a lim nn


(ii). n1n aa

Jika suatu deret bolak-balik memenuhi kedua uji di atas dikatakan sebagai deret

konvergen, sebaliknya jika deret bolak-balik tidak memenuhi salah satu atau

kedua uji di atas dikatakan deret divergen.


n

1

4

1

3

1

2

11

n

1 1n

1n

1n

(i). 0n

1lima lim nnn

(ii). n

1a,

1n

1a n1n

Terlihat bahwa untuk semua nilai n berlaku n1n aa


1n

1n

n

1 bersifat konvergen.

1.6. Deret Konvergen Absolut

Suatu deret dikatakan konvergen absolut jika

(i). Deret dalam bentuk deret bolak-balik bersifat konvergen.

(ii). Deret dalam bentuk bukan deret bolak-balik bersifat konvergen

Contoh :

1n

1n

n

1 merupakan deret bolak-balik yang bersifat konvergen.

1n n

1 merupakan deret bukan bolak-balik yang bersifat divergen.



1n

1n

n

1 bersifat konvergen saja, bukan konvergen

mutlak. Deret semacam ini dinamakan deret Konvergen Bersyarat

1.7. Deret Pangkat (Power Series)

Deret pangkat tersusun oleh bentuk nx atau nax . Deret pangkat (Power

Series) dirumuskan sebagai berikut :

nn

33

22

0n10

nn xaxaxaxaaxa

Perumusan lain :

nn

22

0n10

nn a)-(xaa)-(xaa)-(xaaa)-(xa

Untuk mengetahui apakah deret pangkat bersifat konvergen atau divergen

dilakukan :

(i). Uji Awal (Preliminary Test)

(ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)


n

n32

0nn

n

2

x

8

x

4

x

2

x1

2

x

(i). Uji Awal

0

2

xlim

2

x lima lim

n

n

nn

n

nnn

jika 12

x



2

x

x

2

2

x

a

a

n

n

1n

1n

n

1nn

Agar konvergen haruslah :

12

xlim nn atau 2x

Untuk x = 2, deret menjadi :

n

n32

0nn

n

2

2

8

2

4

2

2

21

2

2

Deret ini bersifat divergen

Untuk x = -2, deret menjadi

n

n32

0nn

n

2

2

8

2

4

2

2

21

2

2


Dikatakan bahwa deret

n

n32

0nn

n

2

x

8

x

4

x

2

x1

2

x

bersifat konvergen untuk 2x .

Interval 2,2 dikatakan sebagai Interval Konvergensi bagi deret tersebut.

Tinjau suatu deret lain sebagai berikut :

n

x1

4

x

3

x

2

x x

n

x1 n1n432

0n

n1n

(i). Uji Awal

0

n

xlim

n

x lima lim

n

n

n

nnn

jika 1x



1n

nx

x

n

1

x

a

a

n

1n

n

1nn

n

Agar konvergen haruslah :

1xlim nn

Dikatakan bahwa deret :

n

x1

4

x

3

x

2

x x

n

x1 n1n432

0n

n1n

bersifat konvergen untuk 1x .

Untuk x = 1, deret menjadi :

n

1

4

1

3

1

2

11

n

1 1n

0n

1n

Deret in bersifat konvergen

Untuk x = -1, deret menjadi :

n

1

4

1

3

1

2

11-

n

1-1 1n

0n

n1n


Interval konvergensi bagi deret tersebut adalah –1 < x 1

Perumusan deret pangkat seperti di atas dapat berubah menjadi deret geometrik

(geometric series) dengan mengambil nilai an yang sama untuk semua nilai n.

nn

33

22

0n10

nn xaxaxaxaaxa ,

an = a, maka


n32

0n

nnn axaxaxaxaxaS

Untuk mencari nilai Sn dapat dilakukan proses seperti berikut :

1-n32n axaxaxaxaS

n32n axaxaxaxSx

)x(1 a xaaS x1 nnn

x1

)xa(1S

n

n

x1

aS limS nn

1.8. Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat

Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk deret

Taylor.

0n

nn axaf(x)

nn

2210 a)-(xaa)-(xaa)-(xaa

na merupakan konstanta yang harus dicari dengan jalan mendifferensialkan f(x)

beberapa kali dan mengambil nilai x = a.

1-nn

2321 a)-(xnaa)-(x3aa)-(x2aa(x)'f

2-nn

2432 a)-(xa1-nna)-(x3.4aa)-(x2.3a2a(x)''f

nn a12-n1nn(x)f

Jika diambil nilai x = a, akan didapat :

0af(a)

1a(a)'f

2a2(a)''f


33 a3!2.3a(a)'''f

dan seterusnya hingga didapat

nnn an!a12-n1nn(a)f

Jika disusun kembali, akan didapatkan :

nn2 a)-(x (a)f!n

1a)-(x a''f

!2

1a)-(x a'faff(x)

Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :

nn2 x(0)f!n

1 x0''f

!2

1 x0'f0ff(x)

1.9. Contoh-contoh :

(i). Sin xf(x)

xCos(x)'f

Sin x(x)''f

xCos(x)'''f

Sin x(x)''''f

dan seterusnya, sehingga

!7

x

!5

x

!3

xxSin x

753

(ii). xCosf(x)

-Sin x(x)'f

x-Cos(x)''f

Sin x(x)'''f

xCos(x)''''f



!6

x

!4

x

!2

x1Sin x

642

(iii). xef(x)

xe(x)'f

xe(x)''f

xe(x)'''f

xe(x)''''f


!4

x

!3

x

!2

xx1e

432x

Dengan menggantikan x dengan –x2, akan didapat :

!3

x

!2

xx1e

642x- 2

(iv). x1lnf(x)

1x1(x)'f

2x1-(x)''f

3x12(x)'''f

4x1!3-(x)''''f


4

x

3

x

2

xxx1ln

432


Dengan mengalikan deret x1ln dengan x

1 akan didapat :

4

x

3

x

2

xx

1x1ln

x

1 432

x

Jika disederhanakan menjadi :

4

x

3

x

2

xx

1x1ln

x

1 432

x

(v). px1f(x)

1px1p(x)'f

2px11-pp(x)''f

3px12p1-pp(x)'''f

4px13p2p1-pp(x)''''f


!3

x2-p1-pp

!2

x1-pppx1x1

32p

(vi). x1

1x1f(x) 1-

2x1(x)'f

3x12(x)''f

4x13.2(x)'''f

5x14.3.2(x)''''f



321- xxx-11

1x1

x

Bentuk ini dinamakan deret Binomial.

(vii). tan xarc0

x| tant arc

p1

dpx

02

Dari contoh no. 6 didapat :

32 xxx-11

1

x

Dengan menggantikan x dengan x2, didapat :

642

2xxx-1

1

1

x

sehingga

dpxxx-1p1

dp tan xarc

x

0

x

0

642

2

0

x|

7

p

5

p

3

p-p

753

7

x

5

x

3

x-x

753

1.10. Rangkuman

(i). Deret dapat dirumuskan dengan notasi seperti contoh berikut :

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

1nn


(ii). Jika deret dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut dinamakan

deret konvergen. Jika deret tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga maka

deretnya dinamakan deret divergen.

(iii). Uji Deret Konvergen dan Divergen

a. Uji Awal (Preliminary Test)

0a lim nn , ada kemungkinan deret konvergen

0a lim nn , deret pasti divergen

b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)

Jika

1nnb konvergen, maka

1nna <

1nnb , deret

1nna konvergen

1nna >

1nnb , digunakan uji lain untuk menentukan

1nna konvergen

atau divergen

c. Uji Integral

(1). Jika

1

n dn a maka

1nna bersifat divergen

(2). Jika

1

n dn a bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain

d. Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)

n

1nn

a

a


nnlim

Penentuan deret konvergen atau divergen adalah :

(1). < 1 , deret konvergen

(2). = 1 , harus digunakan uji yang lain

(3). > 1 , deret divergen

(iv). Deret Bolak-Balik ( Alternating Series )

Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) an yang selalu berubah

tanda untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.

n

1

4

1

3

1

2

11

n

1 1n

1n

1n

uji konvergensi bagi deret bolak-balik :

1. 0a lim nn

2. n1n aa

Jika kedua uji di atas dipenuhi, dikatakan sebagai deret konvergen, sebaliknya

jika salah satu atau kedua uji di atas tidak dipenuhi, dikatakan deret divergen.

(v). Deret Pangkat (Power Series)

Deret pangkat tersusun oleh bentuk nx atau nax . Deret pangkat (Power

Series) dirumuskan sebagai berikut :

nn

33

22

0n10

nn xaxaxaxaaxa

Perumusan lain :

nn

22

0n10

nn a)-(xaa)-(xaa)-(xaaa)-(xa

uji konvergensi bagi deret pangkat :

(1). Uji Awal (Preliminary Test)


(2). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)

(vi). Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat

Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk

deret Taylor.

0n

nn axaf(x)

nn2 a)-(x (a)f!n

1a)-(x a''f

!2

1a)-(x a'faf

Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :

nn2 x(0)f!n

1 x0''f

!2

1 x0'f0ff(x)

1.11. Latihan Soal

(i). Tuliskan anggota dari deret di bawah ini :

a.

1n 1n

n

b.

1nnn 32

1

c.

1n2 1n

1

d.

1n 1)!(n

!n

(ii). Gunakan notasi deret untuk menuliskan deret di bawah ini :

a. 25

1

16

1

9

1

4

1


b. 13

4

11

3

9

2

7

1

c. 37

36

26

25

17

16

10

9

5

4

2

1

d. 5

1

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

(iii). Gunakan uji konvergensi untuk menentukan deret konvergen atau divergen :

a.

1nnn

n

32

1-

b.

1n25

3n

5n-n

n3

c.

1n34

2

36n7nn

43nn

d.

1n2 3)(n2)(n

1)n(n

(iv). Tentukan interval konvergensi bagi deret berikut :

a.

1n

nn

1)n(n

x1-

b.

1n3/2

2nn

(2n)

x1-

c.

1n

n/2n

nln n

x1-

d.

1n

nn

n

1)(x1-


e.

1n

nn

n

x1-

f.

1n2

n

1n

x-n

g.

1n

nn

(2n)!

x1-

1.12. Daftar Pustaka

1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New

Yook , 2 nd ed .,1970.

2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second

Edition , John Wily and sons, 1983 .

3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in

the Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984.

4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System

Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966.

5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice – Hall,

Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.

6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,

Publishing Company , 1981.

7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John

Wiley and Sons , 1979.

8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and

Modern Engineering , Mc Graw – Hill 2 nd ed . , 1966.

9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar – Dasar Matematika untuk Fisika , ITB ,

Bandung , 1993 .

bab i deret tak hingga dan deret pangkat

Documents