BARISAN DAN DERET, KEKONVERGENAN BARISAN DAN DERET, DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

TUJUAN:a. Mahasiswa dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan kompleksb. Mahasiswa dapat memahami tentang deret Taylor dan deret Maclaurinc. Mahasiswa dapat memahami tentang deret Laurentd. Mahasiswa dapat memahami tentang deret Taylor, deret Maclaurin dan deret Laurent dalam soalPada makalah ini akan disajikan dua konsep dasar yaitu barisan dan deret bilangan kompleks. Konsep-konsep tersebut sebagai landasan dalam pembahasan selanjutnya. Dalam penyajiannya akan diuraikan pengertian barisan dan deret bilangan kompleks serta kekonvergenannya, dan beberapa teorema yang menyangkut kekonvergenan. Selanjutnya akan di bahas pula tentang deret Taylor, deret Maclaurin dan deret Laurent.A. Barisan Bilangan KompleksSebelum membicarakan kekonvergenan barisan bilangan kompleks, terlebih dahulu akan di perkenalkan pengertian barisan bilangan kompleks yang disajikan pada definisi berikut.

DEFINISI A.1 (Barisan Bilangan Kompleks)Diberikan himpunan . Barisan bilangan kompleks adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan untuk setiap .Nilainilai fungsi dengan untuk setiap dapat dinyatakan dengan , , ...,. Fungsi dengan untuk setiap adalah suatu barisan yang dapat dinyatakan dengan notasi . Bilanganbilangan disebut sukusuku barisan dan suku disebut suku umum (suku ke-) barisan. Sebagai contoh, fungsi dengan untuk setiap adalah suatu barisan yang dinotasikan dengan yang sering pula dinyatakan dengan .Secara geometri ini berarti bahwa untuk nilai yang cukup besar, titik terletak dalam lingkungan tertentu dari . Karena kita dapat memilih yang sangat sangat kecil, ini berarti bahwa titik akan berubah-ubah di dekat karena kenaikan indeks . Nilai secara umum akan tergantung pada nilai Untuk mengetahui apakah suatu barisan itu konvergen atau tidak, perlu diperiksa apakah barisan tersebut mempunyai limit atau tidak. Hal ini disebabkan bahwa suatu barisan dikatakan konvergen jika barisan tersebut mempunyai limit (limitnya ada).

DEFINISI A.2 (Barisan yang Konvergen):Diberikan barisan bilangan kompleks . Barisan dikatakan konvergen ke jika dan hanya jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku .

Bilangan kompleks z yang memenuhi definisi di atas disebut limit barisan . Notasi barisan konvergen ke z adalah .Barisan dikatakan divergen, jika barisan tidak konvergen. Dengan kata lain, barisan divergen ( tidak konvergen ke z ) jika dan hanya jika untuk setiap terdapat bilangan sehingga untuk setiap bilangan asli terdapat bilangan kompleks sehingga berlaku .

Contoh 1 :Selidiki kekonvergenan barisan .Penyelesaian :Diberikan . Diperoleh untuk .Jadi terdapat bilangan asli sehingga berlaku

Jadi barisan konvergen ke 1 .

TEOREMA 1Diberikan bilangan untuk setiap dan . jika dan hanya jika dan

Bukti : Diberikan bilangan sebarang. Diketahui , berarti terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku Dengan demikian untuk sebarang di atas, terdapat bilangan asli sehingga jika n berlakudan.Jadi terbukti bahwa

Diberikan bilangan sebarang.Diketahui dan , berarti terdapat bilangan asli dan sehingga jika n berlaku Dan jika n berlaku Diambil = maks , sehingga jika n berlaku

Jadi terbukti bahwa .Dari teorema di atas dapat kita tuliskan bahwa

Contoh 2 : Periksa kekonvergenan barisan .Penyelesaian :Namakan dengan dan , sehingga diperoleh dan Akibatnya ,

Jadi barisan konvergen ke 2 .

Contoh 3 :Periksa kekonvergenan barisan Penyelesaian:Namakan dengan dan , sehingga diperoleh

Jadi barisan konvergen ke .

B. Deret Bilangan KompleksDiberikan barisan bilangan kompleks . Kemudian dari barisan di bentuk barisan lain yang suku-sukunya didefinisikan dengan

.........................................

........................................dan seterusnya .Jika seterusnya barisan mempunyai limit, diperoleh jumlah tak berhingga

Jadi dalam simbol dituliskan dengan disebut deret tak berhingga (deret bilangan kompleks). Bilangan-bilangan dinamakan suku-suku deret, dan dinamakan suku ke-n (suku umum). Barisan dengan dinamakan jumlah bagian ke dari deret .Sebuah deret tak hingga bilangan kompleks konvergen ke jika barisan jumlah bagiannya konvergen ke , dapat dituliskan

Catatan bahwa sebuah barisan dapat mempunyai paling banyak satu limit (limit tunggal), sebuah deret dapat mempunyai paling banyak satu jumlah. Ketika sebuah deret tidak konvergen, maka disebut divergen.Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau tidaknya limit barisan jumlah bagiannya . Kekonvergenan deret tersebut disajikan pada definisi berikut ini.

DEFINISI B.1Deret dikatakan konvergen ke jika dan hanya jika .Deret dikatakan divergen ke jika dan hanya jika tidak ada .

Contoh 4 :Tunjukkan bahwa deret konvergen ke .Penyelesaian :.Jumlah bagiannya adalah

............................................................................................. Diperoleh,

Jadi terbukti bahwa konvergen ke i . Dengan kata lain deret konvergen ke .

TEOREMA 2 (Kekonvergenan Deret Kompleks)Diberikan barisan untuk dan maka jika dan hanya jika dan .

Teorema ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika diketahui bahwa dua deret di kanan dan di kiri sama-sama konvergen.

Bukti:Untuk membuktikan teorema ini, kita tulis jumlah parsialnya

dimana dan .Dari definisi dikatakan konvergen jika dan hanya jika dan dari teorema 1 maka berlaku dan .Karena dan adalah jumlah bagi dari deret maka teorema terbukti.

Dengan mengingat dalam kalkulus bahwa suku ke- dari deret konvergen bilangan real mendekati nol ketika cenderung tak hingga. Dengan kata lain sebuah kondisi yang diperlukan agar deret konvergen adalah

Kita asumsikan bahwa deret adalah konvergen mutlak. Yaitu ketika , maka deretnya sebagai berikut

dari bilangan real konvergen, karena dan Kita tahu bahwa dari uji perbandingan dalam kalkulus bahwa dua deret dan harus konvergen. Selain itu, karena konvergensi mutlak dari deret bilangan real mengimplikasikan konvergensi dari deret itu sendiri, berarti bahwa ada bilangan real dan yang konvergen. Menurut teorema maka deret konvergen. Akibatnya konvergensi mutlak dari deret bilangan kompleks menyiratkan konvergensi dari deret itu.Dalam membangun fakta bahwa jumlah deret bilangan yang diberikan maka kita tentukan sisa setelah suku yaitu

Jadi dan karena , kita lihat bahwa deret konvergen ke sebuah bilangan jika dan hanya jika barisan sisa cenderung mendekati nol. Bentuk deretnya

dimana dan koefisien adalah konstanta kompleks dan mungkin setiap titik yang menyatakan daerah yang memuat . Dalam deret tersebut melibatkan variabel , kita akan menunjukkan jumlah, jumlah bagian dan sisa dengan , dan berturut-turut.

Contoh 5 :Dengan bantuan sisa akan ditunjukkan bahwa dimana Kita ingat kembali identitas (Exercise 10, Sec 7)

Untuk menuliskan jumlah bagiannya

Karena jika maka

Jadi .dan jelas bahwa sisa cenderung ke nol ketika tetapi tidak ketika . Jadi rumus penjumlahan ada.

C. Deret Taylor dan Deret MaclaurinDeret pangkat dengan jari-jari kekonvergenan tidak nol dapat dinyatakan sebagai fungsi analitik di setiap titik pada daerah kekonvergenannya. Pada pasal ini akan dibahas bahwa setiap fungsi analitik dapat dinyatakan dengan suatu deret pangkat. Situasi tersebut disajikan pada teorema berikut.

TEOREMA 3 (Deret Taylor)Jika fungsi analitik pada daerah terbuka , maka untuk setiap dapat dinyatakan ke dalam deret pangkat. , (1)dengan

Dengan mengekspansikan ke dalam deret Taylor pada titik pusat . Seperti yang telah kita kenal deret Taylor dalam Kalkulus, juga digunakan pada variabel kompleks. Dengan ketentuan bahwa dan Maka deret (1) dapat ditulis

dengan disebut deret Taylor di titik dan daerah disebut daerah kekonvergenan atau keanalitikan deret. Bila fungsi entire maka daerah keanalitikan deret yaitu

Bukti:Diambil lintasan , , dan Karena Maka

Menurut pengintegralan Cauchy, jika analitik ada dan , Maka dan oleh karena itu, dengan .(1)akan dibuktikan . Dari persamaan (1), diperoleh

Karena analitik pada , maka terdapat bilangan real sehingga berlaku untuk setiap . Oleh karena itu diperoleh , Sedangkan untuk setiap berlakuMenurut teorema bahwa dengan Oleh karena itu diperoleh

dengan Karena , maka jadi (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

.Deret analitik pada daerah disebut deret taylor untuk fungsi disekitar .

Jika , diperoleh deret analitik pada daerah disebut deret Maclaurin.

Dalam mengekspansikan suatu fungsi kompleks, akan lebih mudah dilakukan asalkan kita sudah mempunyai perderetan dari fungsi tertentu. Caranya dengan melihat pola dasar bentuk perderetan suatu fungsi tertentu tersebut dan daerah keanalitikannya.

Contoh 6:1. Nyatakan dalam deret Maclaurin.Penyelesaian:Fungsi merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikannya dan maka Oleh karena itu .(1)Jika maka persamaan (1) menjadi , 2. Nyatakan dalam deret MaclaurinPenyelesaian:Fungsi merupakan fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan .Dengan menggunakan bentuk ( maka diperoleh deret :(. Oleh karena itu, didapatkan: dengan mengganti dengan kita peroleh

Contoh 7:Tentukan deret Maclaurin dari dan Penyelesaian:Ingat kembali definisi pada fungsi trigonometri

Untuk menemukan deret Maclaurin dari fungsi , kita bisa mengekspansikannya menjadi

Tetapi jika genap, dan dengan demikian kita dapat mengganti Karena dan Sehingga fungsinya menjadi ..(*)Untuk nilai , kita dapat dengan menurunkan persamaan (*) diperoleh

..(**)

Contoh 8:Tentukan deret Taylor dari fungsi dan Penyelesaian:Ingat subbab fungsi hiperbolik kita hanya perlu mensubstitusi dengan pada setiap ruas dari persamaan (*) dan kalikan hasilnya dengan sehingga diperoleh

Dengan cara yang sama, karena , maka dari persamaan (**) diperoleh

Contoh 9:1. Ekspansikan fungsi ke dalam deret MaclaurinPenyelesaian:Fungsi gagal analitik di , sehingga daerah keanalitikannya .

.

Jadi , 2. Ekspansikan fungsi ke dalam deret MaclaurinPenyelesaian:fungsi tidak analitik di sehingga daerah keanalitikan , 3. Ekspansikan fungsi ke dalam deret MacLaurinPenyelesaian:Kita tahu bahwa ..Dengan mengganti dengan diperoleh..|z-1|