Barisan dan deret bilangan

A N G G O TA K E LO M P O K

1. A L E K H I N

2. A LYA

3. A S S Y I FA

4. D I V YA N A

5. FA RA H

6. FA D L I

7. J U S T I N U S

8. R I Z KY

9. S E K A R

A.Menemukan pola barisan dan deret

PENGERTIAN Pola barisan bilangan adalah susunan bilangan yang di urutkan menurut aturan/pola tertentu.

Tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku barisan. Suku pertama dilambangkan dengan U1, suku kedua dengan U2, dan seterusnya sehingga suatu barisan bilangan secara umum, U1, U2,U3,U4,U5………, Un-1,Un

U1 1 U3 8 Un 32

U2 4 U4 12

Contoh pola barisan bilangan

a) Barisan Bilangan dengan aturan ditambah

1. Barisan bilangan dengan tingkat satu

1 4 7 10,........

+3 +3 +3

Aturan/pola bilangannya ditambah 3, Barisan bilangan 1,4,7,10…. Merupakan barisan bertingkat satu.

2. Barisan bilangan bertingkat dua

1 5 10 16 23,........

+4 +5 +6 +7

+1 +1 +1

Barisan bilangan 1,5,10,16,23,…. Merupakan barisan tingkat 2.

3. Barisan bertingkat 3

1 4 9 18 33

+3 +5 +9 +15

+2 +4 +6

+2 +2

Barisan bilangan 0,4,9,18,33,………. Merupakan barisan bertingkat tiga.

b) Barisan Bilangan dengan Aturan Dikali

1 5 25 125

x5 x5 x5

c) Barisan Bilangan dengan Aturan Dipangkatkan

1, 8, 27, 64, ...

12 22 32 42

Pola barisan bilangan khusus

a) Pola barisan bilangan asli

Pola barisan bilangan asli yaitu 1,2,3,4,5,6,7,….

Bilangan 8(suku) berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 1 pada bilangan suku sebelumnya.

Gambar pola:

1 2 3 4 5 6

1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1

b) Pola Bilangan Ganjil

Pola barisan ganjil yaitu: 1,3,5,7,9,11,13,15,….

Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya.

c) Pola barisan bilangan genap

Pola barisan bilangan genap yaitu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,....

Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya

d) Pola barisan bilangan segitiga

Pola barisan bilangan segitiga yaitu 1,3,6,10,15,......

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4

e) Pola barisan bilangan persegi panjang

Salah satu pola barisan bilangan persegi panjang yaitu 2, 6,12, 20,.....

1x2 2x3 3x4 4x5

f) Pola barisan bilangan persegi

Pola barisan bilangan persegi yaitu 1, 4, 9, 16, 25..... Pola bilangan persegi sering disebut pola bilangan kuadrat

12 22 32 42 52

g) Pola barisan bilangan fibonacci

Pola barisan fibonanci ditemukan oleh Leonardo da pissa(1175-1250) atau dikenal sebagai Leonardo Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

1+1 2+1 2+3 5+3 5+8 8+13 12+21

Bilangan di urutan ketiga dan selanjutnya merupakan jumlah dua bilangan sebelumnya. Bilangan 2 merupakan hasil penjumlahan 1 dengan 1. Bilangan 3 merupakan hasil jumlah 1 dengan 2.

h) Pola barisan bilangan segitiga pascal

Sifat dari segitiga pascal:

Pada setiap baris diawali dan diakhiri dengan bilangan 1.

Setiap bilangan diperoleh dengan menjumlah 2 bilangan dua bilangan diatasnya, kecuali bilangan pada baris pertama dan kedua.

Bilangan-bilangan dalam satu diagonal membentuk suatu pola

Diagonal 1 : 1,1,1,1,1…. (pola konstan)

Diagonal 2 : 1,2,3,4…. (pola bilangan asli)

Diagonal 3 : 1,3,6,10…. (pola bilangan segitiga)

i. Pola Bilangan Fibonaci

Aturan :

Tetapkan dua suku pertama (bebas)

Suku berikutnya dengan menjumlah dua suku sebelumnya,

Contoh :

Bilangan Fibonaci

1) 2,4,6,10,16,26,42,68,110,....

2) -1,2,1,3,4,7,11,18,29,47,.....

3) -5,-1,-6,-7,-13,-20,-33,.....

Menemukan rumus suku ke-n (Un)

Prinsip dasarnya untuk menentukan rumus suku ken-n adalah mencari kaitan antara bilangan satu dengan suku kesatu.

Contoh:

Barisan bilangan 2,4,8,16…

U1 : 2 =21

U2 : 4 = 22

U3 : 8 =23

U4 : 16= 24

Deret BilanganDeret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan. Jika U1,U2,U3,U4….

Maka bentuk penjumlahan U1+U2+U3+U4

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dilambangkan Sn.

Sn = U1+U2,U3,U4+………+Un-1

Sn = Un-1 + Un atau Un= Sn-Sn-1

Barisan Aritmatika

Induksi Aritmatika Deret

Aritmatika

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika : barisan bilangan yang memiliki selisih antar suku yang berutan adalah sama.

Deret arimetika : bentuk penjumlahan bilangan-bilangan pada barisan aritmetika.

1. Barisan AritmetikaBarisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berutan adala sama.

Contoh :

Rumus :b = U2-U1 = U4-U3 = Un-Un-1

Jika dan ingin mencari suku berapa saat angka tersebut

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran sifat, dalil, rumus, atau teorema dalam matematika.

B. Barisan dan Deret aritmetikaBarisan aritmetika : barisan bilangan yang memiliki selisih antar suku yang berutan adalah sama.

Deret arimetika: bentuk penjumlahan bilangan-bilangan pada barisan aritmetika.

1. Barisan AritmetikaBarisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berutan adalah sama.

Contoh :

Rumus :

b = U2-U1 = U4-U3 = Un-Un-1 b = beda

n = nomor suku

Jika

dan ingin mencari suku berapa saat angka tersebut rumus : Un= a= (n-1)b

a = U1 n = banyak suku barisan arimetika b = bedanya

rfff

C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Rasio dinotasikan r merupakan nilai pembandingan dua suku berurutan.

Nilai r dinyatakan:

Jika merupakan susunan suku-suku barisan geometri dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri, maka rumus suku ke-n dinyatakan:

Un = arn-1

2. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1

r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn (keduanya dikurangkan)———————————————————————————Sn – rSn = a – arn

Sn (1-r) = a (1-rn)

Berlaku juga Un = Sn – Sn-1

Rumus mencari suku tengah barisan geometri, jika n ganjil

Ut = a.U2t-1

Ut = Suku tengah

U2t-1 = Suku terakhir

a = Suku pertama

Dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q disisipkan k buah bilangan dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah Keterangan

K = P = q =

Contoh soal sisipan geometri:

Di antara dua suku yang berurutan pada deret geometri yaitu 6 dan 162 disisipkan dua buah bilangan. Rasio deret baru dapat kita tentukan dengan cara:

p = 6, q = 162

k = 2

r= = = 3

3. Deret Geometri tak hingga

Deret geometri tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga.

Dapat dirumuskan sebagai berikut:

SOAL BARIS DAN DERET GEOMETRI

1. Jika diketahui barisan 5, 10, 20, 40, 80,.... maka 20480 adalah suku ke?

2. Jika 3p, 4p+4, 5p+14,.... merupakan barisan geometri, maka nilai p adalah?