1. KAPITA SELEKTA MATEMATIKA BARISAN DAN DERET BILANGAN DISUSUN OLEH : PUTRI AFRI FAUZIAH E1R 012 041 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2013

2. BARISAN DAN DERET BILANGAN Kelas : IX Semester : II StandarKompetensi : 6. Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah KompetensiDasar : 6.1Menentukan polabarisanbilangansederhana 6.2 Menentukansukuke-n barisanaritmatikadanbarisangeometri 6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri 6.4Memecahkan masalah yang berkaitandenganbarisandanderet

3. MATERI A. POLA BILANGAN 1. PengertianPolaBilangan Polabilanganadalahurutanbilangan-bilangantertentu membentuksuatubarisanbilangan.Berikutiniadalahjenis-jenispolabilangan : a. PolaBilanganGanjil Barisan 1, 3, 5, 7, 9, disebutpolabilanganganjil. Rumussukuke-n adalah Un = 2n-1 Gambarpola: b. PolaBilanganGenap Barisan 2, 4, 6, 8, disebutpolabilangangenap. Rumussukuke-n adalah Gambar pola: Un = 2n yang

4. c. PolaBilanganSegitiga Barisan 1, 3, 6, 10, 15, disebutpolabilangansegitiga Rumussukuke-n adalah Un = n (n+1) Gambarpola: Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut. 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 d. PolaBillanganPersegi Barisan1, 4, 9, 16, disebutpolabilanganpersegi. Rumus suku ke-n adalah Gambarpola: Un = n2

5. e. PolaBilanganPersegiPanjang Barisan2, 6, 12, 20, disebutpolabilanganpersegipanjang. Rumus suku ke-n adalah Un = n (n + 1) Gambarpola: 2. PolaBilanganpadaSegtiga Pascal a. MengenalSegitiga Pascal Untukmengetahuibagaimanasusunanbilangan-bilanganpadasegitigapascal, makaperluterlebihdahulukitamemperhatikanpapanpermainanberikut. Susunanbilangan-bilangansepertipadagambardisebutsegitigapascal.Kata segitigadiberikanmengingatsusunanbilanganbilanganitumembentuksebuahsegitiga.Sedangkan pascaldiberikanuntukmengenangBlaise seorangahlimatematikabangsaPerancis bilangantersebut.Jika Pascal yang di kata (1623 - 1662), menemukansusunanbilanganperhatikan, ternyataterdapathubunganantarasuatubilangandenganjumlahbilanganberdekatan yang terdapatpadabaris yang adatepat di atasnya.

6. b. JumlahBilanganpadaSetiapBarispadaSegitga Pascal Penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris dalam segitiga pascal, akan diperoleh hasil yang menunjukkan barisan bilangan. Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris pada segitiga pascal berikut. jumlah Dari jumlahbilangan-bilanganpadasetiapbarisdaribilangansegitigapascal di atas, makadapatdinyatakanbahwa: Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn= 2n-1 Contoh : Berapakahjumlahbilanganpadasegitigapascalpadabaris ke-10. Penyelesaian: n = 10 Sn= 2n1 S10= 2101 = 29 = 512 Jadi, jumlahbilangansegitigapascalpadabaris ke-10 adalah 512.

7. c. PenerapanBilanganSegitiga Pascal pada Binomial Newton Segitiga Pascal dapatdigunakanuntukmenentukankoefisienpadasukubanyak (x+y)ndengan n bilanganasli. Misalnya, a) (x + y)1 = 1x + 1y = x + y b) (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x2 + 2xy + y2 c) (x + y)3 = 1x3 + 3x2 y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2+y3 d) (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 3. MenemukaPoladariPerhitunganBilangan PadaBagian 1, telahkitapelajaripolabilanganganjil. Jumlah bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil yang pertama)akanmemilikipolatertentu, yaitu : 1+ 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1+ 3 + 5 + 7 = 16 = 42, danseterusnya. Jikakitaperhatikan, akandiperoleh : a. Jumlahduabilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 2, b. Jumlahtigabilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 3, c. Jumlahempatbilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 4, danseterusnya. Sekarang, amatilahpolabilangandariperhitunganberikutini. 22 12 = 4 1 = 3 = 2 + 1, 32 22 = 9 4 = 5 = 3 + 2, 42 32 = 16 9 = 7 = 4 + 3, 52 42 = 25 16 = 9 = 5 + 4, danseterusnya.

8. Polabilangantersebutmenunjukkanbahwaselisihdarikuadratbilanganberuruta nsamadenganjumlahdaribilanganberurutantersebut. Hal inidapatditunjukkandengancaraaljabarberikutini. Misalkan, bilangan yang berurutanituadalaha dana + 1 maka (a + 1) a2 = a2 + 2a + 1 a2 2 = 2a + 1 = (a + 1) + a Polabilangantersebutselalubenaruntuksetiapa bilanganasli. B. BARISAN DAN DERET BILANGAN 1. BarisanBilangan Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu. Misalnya : a. 40, 44, 48, 52, b. 1, 3, 5, 7, 9, c. 2, 4, 6, 8, 10, Bilangan-bilangan yang membentuksuatubarisanbilangandisebutsukubarisantersebut.Misalnya, padabarisanbilanganganjil 1, 3, 5, 7, ...suku ke-1 daribarisantersebutadalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, danseterusnya. Jadi, suatubarisanbilangandapatdikatakansebagaisuatubarisan yang dibentukolehsuku-sukubilangan. Suatubarisanbilangandapat pula dibentukdaribilangan-bilangan yang tidakmempunyaipola (aturan) tertentu, misalnyabarisanbilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4, ...Barisanbilangansepertiinidisebutbarisanbilangansebarang. 2. DeretBilangan Amati kembalibarisan-barisanbilanganberikut.

9. a. 40, 44, 48, 52, b. 1, 3, 5, 7, c. 2, 4, 6, 8, Berdasarkanpolaketigabarisantersebut, dapatdiperolehpenjumlahanberikut. a. 40 + 44 + 48 + 52+ b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + Penjumlahansuku-sukudaribarisan-barisantersebutdinamakanderet. Olehkarenaitu, jikaU1, U2, U3, ...,Un adalahsuatubarisanbilanganmakaU1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakanderet. 3. BarisanAritmatika Amati keempatbarisanbilanganberikut. a. 1, 3, 5, 7, 9, ...,Un b. 99, 96, 93, 90, ...,Un c. 1, 2, 5, 7, 12, ...,Un Selisihduasukuberurutanpadabarisan (a) selalutetap, yaitu 2.Demikian pula selisihduasukuberurutanpadabarisan (b) selalutetap, yaitu 3.Barisanbilangan yang demikiandinamakanbarisanaritmetika.Adapunselisihduasukuberurutanpadabarisan (c) tidaktetap.Barisanbilangan (c) bukanmerupakanbarisanaritmetika. Padabarisanaritmetika, selisihduasukuberurutandinamakanbedadandilambangkandenganb. Secaraumum, barisanaritmetikadidefinisikansebagaiberikut. SuatubarisanU1, U2, U3, ...,Un, Un + 1 dinamakanbarisanaritmetikajikauntuksetiapn bilanganaslimemenuhi Un+ 1 Un = Un Un1 = ... = U2 U1 = b. Jikasukupertamabarisanaritmetikaadalaha denganbedab makabarisanaritmetikaU1, U2, U3, ...,Un menjadi a, a + b , a + 2b , ..., a + (n 1) b

10. a = U1 a + b = U2 a + 2b = U3 a + (n 1)b = Un Dengandemikian, sukuke-n barisanaritmetikadirumuskansebagaiberikut. Un = a + (n 1) b Menetukan Un jika Sn diketahui U =S S n n n-1 Contoh : 1. DiketahuiSukuke 5 barisanAritmatikaadalah 23, dansukuke 9 adalah 35. Tentukansukuke 20 barisantersebut? Penyelesaian : U5 = a + 4b = 23 U9= a + 8b = 35 - 4b = -12 b = 3 ; a = 11 U20 = a + 19b = 11 + 19.3 = 11 + 27 = 38 2. Tentukansuku ke-20 daribarisanbilanganaslikelipatan 3 kurangdari 100. Penyelesaian: Barisanbilanganaslikelipatan 3 yang kurangdari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99. a = 3 dan b = 3 Un = a + (n 1)b U20 = 3 + (20 1)3 = 3 + 57 = 60

11. Jadi, suku ke-20 daribarisanbilanganaslikelipatan 3 kurangdari 100 adalah 60. 4. DeretAritmatika BerdasarkanpolapertamabarisanaritmetikapadaBagian dapatdiperolehpenjumlahansebagaiberikut. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + Un. DeretinidinamakanderetaritmetikanaikkarenanilaiUn semakinbesar. 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un. DeretinidinamakanderetaritmetikaturunkarenanilaiUn semakinkecil. Kitadapatmenentukansuku-sukupadaderetaritmetikasebagaiberikut. Misalkan, jumlahn sukupertamaderettersebutdilambangkandenganSnmaka Sn= a + (a + b) + ... + (a + (n 2)b) + (a + (n 1)b) Sn= (a + (n 1)b) + (a + (n 2)b) + ... + (a + b) + a 2Sn = (2a + (n 1)b) + (2a + (n 1)b) + ... + (2a + (n 1)b) nfaktorsama 2Sn = n(2a + (n 1)b) makaSn = (2a + (n 1)b) Jadi, jumlahn sukupertamaderetaritmetikaadalah Sn= (2a + (n 1)b) OlehkarenaUn = a + (n 1)b, rumusSndapatdituliskansebagaiberikut. Sn = (a + Un) atauSn= (U1 + Un) Contoh: 3,

12. 1. Tentukanjumlahbilanganbulatantara 250 dan 1.000 yang habisdibagi 7. Penyelesaian: Jumlahbilanganbulatantara 250 dan 1.000 yang habisdibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994. Deretbilanganinimerupakanderetarimetikadengana = 252, b = 7, danUn= 994 sehingga Un = a + (n 1)b 994 = 252 + (n 1)7 994 = 252 + 7n 7 994 = 245 + 7n 7n = 994 245 7n = 749 n = 107 Sn= (a + Un)makaS107 = (252 + 994) = 66.661 Jadi, jumlahnyaadalah 66.661 2. DiketahuiSn = 2n2 + 3n. TentukanSukuke 10 Derettersebut. Penyelesaian: Sn = 2n2 + 3n Un = Sn Sn-1 S10 = 2.102 + 3.10 = 200 + 30 = 230 S9 = 2.92 + 3.9 = 162 + 27 = 189

13. U10 = 230 189 = 52 5. BarisanGeometri Amatilahketigabarisanberikutini. 5, 15, 45, 135, 160, 80, 40, 20, 2, 8, 24, 120. Padabarisan (a) tampakbahwa = 3. Jadi, perbandinganduasuku yang berurutanpadabarisantersebutsama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memilikiperbandingan yang samauntukduasuku yang berurutan, yaitu . Barisanbilangan (a) dan (b) dinamakanbarisangeometri.Adapunperbandinganduasuku yang berurutanpadabarisan (c) tidaksama. Barisan (c) bukanmerupakanbarisangeometri. Perbandinganduasuku yang berurutanpadabarisangeometridinamakanpembandingataurasio, dilambangkandenganr. Secaraumum, barisangeometrididefinisikansebagaiberikut. SuatubarisanU1, U2, U3, ...,Un, Un+1 dinamakanbarisangeometriapabilauntuksetiapn bilanganasliberlaku = Jikasukupertamabarisangeometriadalaha denganpembandingnyar makabarisangeometriU1, U2, U3, ...,Un dinyatakandengan a, ar, ar2, ..., arn1, ... U1, U2, U3, ...., Un sehinggarumussukuke-n barisangeometriadalahsebagaiberikut.

14. Un= arn1 Contoh: Tentukanpembanding (rasio) dansuku ke-8 daribarisan 2, 6, 18, 54, ..., 39.366 Penyelesaian: a = 2 danr = = =3 Un = arn1sehingga U8 = 2 381 = 2 37 = 4.374. Jadi, pembanding (rasio) = 3 dansuku ke-8 = 4.374. 6. DeretGeometri Seperti yang telahkamuketahui, jikaU1, adalahbarisangeometrimakasuku-sukunyadapatditulisa, U2, ar, ar2, U3, ar3, ...,Un ..., arn-1. Daribarisangeometritersebut, dapatdiperolehbarisanpenjumlahanberikut. a + ar+ ar2 + ar3 + ... + arn-1 Barisanpenjumlahaninidisebutderetgeometri. Misalkan, jumlahn sukupertamaderetgeometridilambangkandenganSnmakaberlakuhubunganberikut. Sn = a + ar+ ar2 + ... + arn2+ arn1 rSn = ar+ ar2 + ar3 + ... + arn1 + arn (1 r)Sn = a arn = a(1 rn) Dengandemikian, jumlahn sukupertamaderetgeometriadalahsebagaiberikut. Sn = Sn= Contoh : Kertas yang dibutuhkan Maher untukmenggambarsetiapmingguberjumlah 2 kali lipatdariminggusebelumnya.Jikaminggupertamamahermembutuhkan kertas.Banyakkertas yang dipergunakanselama 6 mingguadalah Penyelesaian : 10

15. Dik: U1 = a = 10 r=2 Dit : S6 Jawab : S6= = = 10 x 31 = 310 Jadi, Jumlahselama 6 minggu = 310 lembar