barisan&deret 1

34
NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET I. Notasi Sigma A. Tujuan Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menggunakan notasi sigma sebagai penjumlahan n suku. 2. Dapat merubah suatu penjumlahan bilangan ke dalam notasi sigma. B. Uraian Materi Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ………………………………….. (1) Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke- 2, 5 disebut suku ke-3 dan seterusnya. Perhatikan juga suku-suku bentuk (1) tersebut membentuk pola. Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1 Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1 Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1 Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1 Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1 Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1 Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 77

Upload: ferdinan93

Post on 26-Jun-2015

650 views

Category:

Documents


16 download

TRANSCRIPT

Page 1: BARISAN&DERET 1

NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

I. Notasi Sigma

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat menggunakan notasi sigma sebagai penjumlahan n suku.

2. Dapat merubah suatu penjumlahan bilangan ke dalam notasi sigma.

B. Uraian Materi

Konsep Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ………………………………….. (1)

Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut suku

ke-3 dan seterusnya. Perhatikan juga suku-suku bentuk (1) tersebut

membentuk pola.

Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1

Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1

Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1

Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1

Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1

Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1

Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1

dengan k = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Cara untuk menuliskan secara singkat bentuk jumlahan (1) adalah dengan

tanda (dibaca “sigma”) yang disebut dengan notasi sigma. Notasi sigma

berasal dari huruf Yunani untuk abjad S dari perkataan “sum” yang berarti

jumlah. Notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler pada tahun

1755 dalam buku “Institutiones Calculi Differentialis”.

Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 77

Page 2: BARISAN&DERET 1

6 suku

Bentuk dibaca “sigma k=1 sampai 6 dari 2k – 1” atau “jumlah

2k – 1 untuk k = 1 sampai k = 6”. Pada notasi sigma di atas 1 dan 6 masing-

masing disebut batas bawah dan batas atas, lambang k dinamakan indeks

(ada pula yang menyebut k sebagai variable). Sebarang huruf kecil dapat

digunakan sebagai indeks.

Secara umum

Contoh :

1.

2.

3.

C. Rangkuman.

“” dibaca sigma yang diartikan jumlah.

Secara umum

D. Tugas 1

Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok !

1. Nyatakan dengan menggunakan notasi sigma!

a. 3 + 5 + 7 + … + 51

b.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 78

Page 3: BARISAN&DERET 1

c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

d. 2 4 + 8 16 + 32 64

e. 9 + 27 + 81 + 243

f. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … + 10000

g. (2 3) + (3 4) + (4 5) + (5 6) + … + (16 17)

h.

i. ab + a2b2 + a3b3 + a4b4 + … + anbn

j. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9

2. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk lengkap

a. c.

b. d.

3. Sebuah tumpukan pipa disusun

membentuk segitiga sama sisi dengan n

buah pipa pada tiap sisinya. Nyatakan

banyaknya pipa dalam notasi sigma jika

terdiri atas n tumpukan.

Sifat-sifat Notasi Sigma

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Mengerti tentang sifat-sifat notasi sigma.

2. Dapat menggunakan sifat-sifat notasi sigma untuk mengerjakan soal-

soal.

3. Dapat membuktikan kebenaran rumus dengan menggunakan sifst-

sifst notasi sigma yang ada.

B. Uraian Materi

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 79

Page 4: BARISAN&DERET 1

Berikut ini adalah beberapa sifat notasi sigma.

a.

b. , c konstanta.

c. , c konstanta.

d.

e. dengan 1 < m < n

f.

Contoh soal:

1. Buktikan dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma.

Jawab:

2. Nyatakan dalam notasi sigma dengan 1 sebagai batas bawah.

Jawab:

Dengan menggunakan sifat diperoleh:

C. Rangkuman

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 80

Page 5: BARISAN&DERET 1

Sifat-sifat notasi sigma adalah :

a.

b. , c konstanta.

c. , c konstanta.

d.

e. dengan 1 < m < n

f.

D. Tugas

1. Buktikan sifat-sifat notasi sigma di atas!

2. Buktikan bahwa

Bentuk ruas kanan pada soal nomor 2 di atas disebut “Jumlah Monomial”

Kerjakan secara berkelompok!

E. Tes Formatif.

1. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk jumlah monomial

a. c.

b. d.

2. Ubahlah notasi sigma berikut dengan bilangan 1 sebagai batas bawah.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 81

Page 6: BARISAN&DERET 1

a. b.

c. d.

II. Barisan dan Deret Bilangan

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

i. Mengerti tentang barisan bilangan.

ii. Menentukan rumus suku ke n dari suatu barisan.

iii. Mengerti tentang deret bilangan.

B. Uraian Materi

1. Pengertian Barisan

Perhatikan gambar dan urutan bilangan di bawah,

Banyak lingkaran pada pola di bawah.

11, 3, 6, 10, 15, … ………………. (2)

Urutan bilangan pada kolom ke-3 kalender.

2, 22, 9, 16, 23, 30 ………………. (3)

Banyak bujursangkar satuan pada urutan gambar berikut.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 82

Page 7: BARISAN&DERET 1

1, 4, 9, 16, 25, … ………..………(4)

Urutan bilangan-bilangan pada (2), (3) dan (4) masing-masing mempunyai

aturan tertentu. Urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu disebut

barisan bilangan. Setiap bilangan pembentuk barisan disebut suku barisan.

Dalam barisan secara umum suku pertama dinyatakan dengan U1, suku ke-2

dinyatakan dengan U2, suku ke-3 dinyatakan dengan U3 dan seterusnya

sehingga suku ke-n dinyatakan dengan Un. Sebagai contoh pada barisan (2),

U1 = 1, U2 = 3, U3 = 6, U4 = 10, dan seterusnya.

Barisan biasanya didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyai domain

(daerah asal) bilangan asli. Pada barisan (2), fungsi untuk menyatakan

suku ke-n barisan tersebut adalah dengan n { 1, 2,

3, 4, 5, … }. Pendefinisian seperti ini dinamakan dengan definisi eksplisit.

Cara lain untuk mendefinisikan barisan bilangan adalah dengan definisi

rekursif. Contoh: diberikan barisan bilangan dengan definisi rekursif sebagai

berikut,

U1 = 3

Un = 2Un-1 + 1, n > 1

Suku-suku berikutnya dapat dicari dengan cara :

U2 = 2.U1 + 1 = 2.3 + 1 = 7

U3 = 2.U2 + 1 = 2.7 + 1 = 15

U4 = 2.U3 + 1 = 2.15 + 1 = 31

dan seterusnya.

Sebuah definisi rekursif memuat dua bagian, pertama adalah kondisi awal

untuk memulai barisan dan yang kedua adalah sebuah persamaan rekursif

(rumus rekursif) untuk menentukan hubungan antara setiap suku barisan

dengan suku berikutnya. Definisi rekursif ini banyak dipakai dalam aplikasi-

aplikasi komputer.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 83

Page 8: BARISAN&DERET 1

2. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan

Jika suatu barisan diberikan beberapa suku pertama, kadang-kadang bisa

ditentukan rumus untuk suku ke-n.

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n barisan berikut

a. 1, 3, 5, 7, …

b. 3, 9, 27, 81, …

Jawab :

a. U1 = 1 = 2.1 1 b. U1 = 3 = 31

U2 = 3 = 2.2 1 U2 = 9 = 32

U3 = 5 = 2.3 1 U3 = 27 = 33

U4 = 7 = 2.4 1 U4 = 81 = 34

….. …..

Un = 2.n 1 Un = 3n

Perlu diperhatikan juga bahwa jawaban rumus suku ke-n tidak selalu tunggal,

sebagai contoh barisan berikut.

2, 4, 8, …

Terlihat sekilas bahwa rumus suku ke-n barisan di atas adalah Un = 2n. Akan

tetapi ternyata rumus Un = n2 – n + 2, juga sesuai untuk barisan diatas.

Tidak semua barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-n. Sebagai

contoh adalah barisan bilangan prima. Bilangan prima ke 100 bisa dicari,

tetapi tidak ada rumus umum untuk menghasilkan bilangan prima ke-n.

C . Tugas 2

Kerjakan secara berkelompok !

1. Carilah 4 suku pertama dan suku ke sepuluh dari barisan bilangan dengan

rumus umum berikut.

a. Un 3n + 1 d.

b. e.

c. Un (n – 1)(n – 2)(n – 3)

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 84

Page 9: BARISAN&DERET 1

2. Untuk setiap barisan bilangan berikut tentukan rumus untuk suku ken.

a. 2, 4, 6, 8, 10, …

b. 1, 2, 3, 4, 5, …

c. 2, 1, 4, 7, 10, …

d.

e. 15, 5, 5, 15, …

f. 1, 2, 4, 8, 16, …

g.

h. 2, 4, 8, 16, …

i. 2, 6, 12, 20, …

3. Carilah lima suku pertama dari barisan dengan definisi rekursif berikut.

a. U1 2

Un 3(Un-1 – 1), untuk n > 1

b. U1 3

, untuk n > 1

4. Carilah definisi rekursif untuk barisan bilangan berikut.

a. 9, 13, 17, 21, …

b. 1, 3, 7, 15, 31, …

c. 81, 27, 9, 3, …

d. 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

3. Deret Bilangan

Konsep tentang deret bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum Masehi

yang dikenal dengan nama paradoks Zeno. Dalam paradoks tersebut

dikisahkan Achilles berpacu dengan kura-kura. Karena kecepatan Achilles 12

kali kecepatan kura-kura maka waktu start kura-kura diletakkan di depan

Achilles sejauh 1 stadion (suatu ukuran jarak pada masa itu, kira-kira 200

yard). Untuk dapat melampaui kura-kura maka Achilles harus menempuh

jarak 1 stadion terlebih dahulu (tempat kura-kura semula). Pada saat yang

bersamaan kura-kura telah merangkak maju sejauh stadion. Saat Achilles

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 85

Page 10: BARISAN&DERET 1

menempuh jarak stadion, kura-kura telah bergerak maju stadion.

Berikutnya saat Achilles menempuh jarak stadion, kura-kura telah bergerak

maju sejauh stadion. Begitu seterusnya proses ini berulang-ulang sampai

tak hingga sehingga disimpulkan bahwa Achilles tidak mungkin melampaui

kura-kura.

Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah

1 + + + + … …………………… (5)

Tanda titik-titik ini menunjukkan bahwa pola tersebut berulang untuk setiap

bentuk selalu diikuti oleh bentuk .

Bentuk penjumlahan pada (5) dalam matematika dikenal sebagai deret

bilangan atau dengan kata lain deret bilangan adalah penjumlahan dari

barisan bilangan.

Jika Sn melambangkan jumlah dari n suku pertama suatu barisan bilangan

maka Sn dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu :

- Definisi eksplisit untuk Sn : Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

- Definisi rekursif untuk Sn S1 = U1

Sn = Sn-1 + Un untuk n > 1

Dari sini diperoleh hubungan Un Sn Sn1 untuk n > 1

Contoh:

1. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn 2n 1, tentukan U1, U2,

U3, U4 dan U5.

Jawab:

U1 S1 21 1 2 1 1

U2 S2S1 (22 1) (21 1) 3 1 2

U3 S3 S2 (23 1) (22 1) 7 3 4

U4 S4 S3 (24 1) (23 1) 15 7 8

U5 S5 S4 (25 1) (24 1) 31 15 16

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 86

Page 11: BARISAN&DERET 1

2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari setiap deret bilangan jika diketahui

rumus suku ken berikut.

a. Un 2n + 3

b. Un n2 + 2

c. Un log 10n

Jawab:

a. S5 (2.1 + 3) + (2.2 + 3) + (2.3 + 3) + (2.4 + 3) + (2.5 + 3)

5 + 7 + 9 + 11 + 13 45

b. S5 (12 + 2) + (22 + 2) + (32 + 2) + (42 + 2) + (52 + 2)

3 + 6 + 11 + 18 + 27 65

c. S5 log 101 + log 102 + log 103 + log 104 + log 105

1 + 2 + 3 + 4 + 5 15

Cara lain untuk menentukan jumlah n suku pertama deret adalah dengan

mencari pola dari barisan S1, S2, S3, S4, …, Sn. Sebagai contoh pada contoh

2a di atas,

S1 5 5 1.5 1.(1 + 4)

S2 5 + 7 12 2.6 2.(2 + 4)

S3 5 + 7 + 9 21 3.7 3.(3 + 4)

S4 5 + 7 + 9 + 11 32 4.8 4.(4 + 4)

….

Sn n(n+4)

D. Rangkuman

Barisan adalah urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu.Un adalah suku ke- n dari suatu barisan dan Sn adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan atau dapat ditulis Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

E. Tes Formatif 2

1. Tentukan bentuk umum jumlah n suku pertama dari setiap deret bilangan

berikut.

a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …

b. 4 + 8 + 16 + 32 + …

c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + …

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 87

Page 12: BARISAN&DERET 1

d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + …

2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret bilangan

berikut.

a. Sn n2 + 2n

b. Sn n3 – 2

III. Barisan dan Deret Aritmetika

A. Tujuan

Setelah mempelajari keguatan belajar ini, Anda diharapkan:

1. Dapat menentukan beda dari suku-suku barisan aritmetika.

2. Dapat menentukan suku ke n

3. Dapat menentukan rumus suku ke n dari barisan aritmetika

4. Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret aritmetika

B. Uraian Materi

1. Barisan Aritmetika

Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut

barisan aritmetika jika Un Un1 selalu tetap untuk setiap n. Un Un1 yang selalu

tetap ini dinamakan beda dan dilambangkan dengan b.

Jadi :

Contoh :

2, 6, 10, 14, … beda = 6 2 = 10 6 = 14 – 10 = 4

10, 3, -4, -11, … beda = 3 – 10 = 4 3 = 11 (4) = 7

2. Suku ke-n Barisan Aritmetika

Misalkan a adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda dan Un

adalah suku ke-n,

Un Un1 = b Un = Un1 + b

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 88

b = Un Un-1

Page 13: BARISAN&DERET 1

U2 = U1 + b = a + b = a + 1b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

………

sehingga Un = a + (n1)b

Nama barisan aritmetika diberikan karena setiap suku (kecuali suku pertama)

dari barisan ini merupakan rata-rata aritmetik dari suku sebelum dan

sesudahnya. Dengan kata lain untuk setiap Uk, dengan k ≥ 2 berlaku

.

3. Deret Aritmetika

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat

berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss

(17771855) ketika ia masih kecil. Dikisahkan suatu ketika salah satu guru

Gauss menyuruh muridmuridnya untuk menghitung jumlah 100 bilangan asli

yang pertama, atau 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100.

Muridmurid yang lain di kelas memulai dengan menjumlah bilangan satu per

satu, tetapi Gauss menemukan metode yang sangat cepat. Ia menuliskan

jumlahan dua kali, salah satunya dengan urutan yang dibalik kemudian

dijumlahkan secara vertikal.

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 2 + 1

101 + 101 + 101 + … + 101 + 101

Dari jumlahan ini diperoleh 100 suku yang masingmasing bernilai 101,

sehingga 1 + 2 + 3 + … + 100 5050.

Jika a adalah suku pertama deret aritmetika, Un suku ke-n, Sn jumlah n suku

pertama dan b = beda maka rumus untuk jumlah n suku pertama deret

aritmetika bisa dicari dengan cara sebagai berikut.

Sn a + (a+b) + (a+2b) + …. + (Un-2b) + (Un-b) + Un

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 89

+

Page 14: BARISAN&DERET 1

Sn Un + (Un-b) + (Un-2b) + ….. + (a+2b) + (a+b) + a

2Sn (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) +… + (a+Un) + (a+Un)

n suku

2Sn n(a + Un)

karena Un a + (n – 1)b maka

Contoh:

1. Tentukan suku ke20 barisan bilangan berikut :

a. 2, 5, 8, 11, …

b. 9, 6, 3, 0, …

Jawab :

a. b 5 2 8 5 11 8 3

a 2

Un a + (n1)b

U20 2 + (201)3 2 + 19.3 63

b. b 6 9 3 6 0 3 3

a 9

Un a + (n1)b

U20 9 + (201).-3 9 + 19(3) 9 57 48

2. Suku ke 10 suatu barisan aritmetika adalah 24, sedangkan suku

pertamanya 6. Tentukan :

a. beda

b. rumus suku ken

Jawab :

a. U10 24, a 6

Un a + (n1)b

24 6 + (101)b

24 6 9b

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 90

Page 15: BARISAN&DERET 1

18 9b

b 2

b. Un a + (n1)b

Un 6 + (n1)2

Un 4 + 2n

3. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U2 6 dan U11 24

a. Carilah suku pertama dan beda

b. Tentukan U40

c. Hitung jumlah 40 suku pertama dari deret aritmetika yang

bersesuaian

Jawab:

a. U2 6 U11 24

a + b 6 ….. (1) a + 10b 24 ….. (2)

(2) dan (1) a + 10b 24

a + b 6

9b 18

b 2

a + b 6

a + 2 6

a 4

Suku pertama 4, beda 2

b. Suku ke-40 dicari dengan rumus Un a + (n1)b

U40 4 + (401).2 4 + 39.2 82

c.

C. Rangkuman

Rumus suku ke- n dan Jumlah n suku pertama adalah :

Un a + (n1)b

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 91

Page 16: BARISAN&DERET 1

D. Tes Formatif 3

1. Tentukan rumus umum setiap barisan aritmetika berikut dan tentukan suku

ke-25.

a. 10, 15, 20, 25, …

b. 2, –1, –4, –7, …

c. 8, 14, 20, …

2. Tentukan n (banyak suku) dari barisan aritmetika berikut.

a. 6, 3, 0, … , 81

b. 20, 18, 16, … , -98

c. 5, 10, 15, 20, …, 205

3. Tentukan beda, suku pertama dan rumus umum suku ke-n barisan

aritmetika berikut ini jika diketahui:

a. U4 17 dan U7 29

b. U2 11 dan U9 32

c. U3 + U5 60 dan U4 + U7 81

4. Tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21

dan 99

5. Hitunglah deret aritmetika berikut ini:

a. 3 + 7 + 11 + 15 + … (sampai 12 suku)

b. 20 + 23 + 26 + 29 + … (sampai 15 suku)

c. 100 + 95 + 90 + 85 … (sampai 16 suku)

IV. Barisan dan Deret Geometri

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat menentukan bilangan pembending atau rasio dari barisan geometri

2. Dapat menentukan suku ke- n

3. Dapat menentukan rumur suku ke- n

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 92

Page 17: BARISAN&DERET 1

4. Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret geometri

5. Dapat menentukan Jumlah tak hingga dari deret geometri konvergen.

B. Uraian Materi

1. Barisan Geometri

Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut

barisan geometri jika Un Un1 selalu tetap untuk setiap n. Un : Un1 yang selalu

tetap ini dinamakan rasio dan dilambangkan dengan r.

Sehingga

Contoh :

1, 3, 9, 27, … rasio 3 : 1 9 : 3 27 : 9 3

16, 8, 4, 2, … rasio 8 : 16 4 : 8 2 : 4 1/2

2. Suku ke-n barisan geometri

Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio dan Un

adalah suku ke-n,

U2 U1.r ar ar1

U3 U2.r (ar)r ar2

U4 U3.r (ar2)r ar3

U5 U4.r (ar3)r ar4

…….

Sehingga Un = arn-1

Barisan dengan sifat ini disebut barisan geometri karena untuk setiap Uk

dengan k ≥ 2 merupakan rata-rata geometrik dari suku sebelum dan

sesudahnya. Dengan kata lain untuk k ≥ 2 berlaku .

3. Deret geometri

Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio dan a adalah suku

pertama suatu deret geometri, maka :

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 93

Page 18: BARISAN&DERET 1

Sn a + ar + ar2 + … + arn2 + arn1

rSn ar + ar2 + … + arn2 + arn1 + arn (semua ruas dikali r)

Sn rSn a + 0 + 0 + … + 0 + 0 arn

(1 r)Sn a arn

4. Deret Geometri Tak Hingga

Contoh deret geometri tak hingga:

a. r

b. r

Perhatikan kembali rumus jumlah n suku pertama deret geometri

. Untuk nilai -1 < r < 1, jika n mendekati tak hingga (n ) maka rn mendekati

nol, sehingga

=

1. Pada paradoks Zeno, tentang Achilles dan kura-kura yang dibicarakan di

depan, tentukan jawaban yang benar setelah menempuh jarak berapa

Achilles melampaui kura-kura ?

Jawab : Jarak yang ditempuh Achilles stadion.

a = 1

r =

stadion.

2. Ubah bentuk decimal berulang berikut ke dalam pecahan

a. 0,33333…

b. 0,353535…

Jawab :

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 94

Page 19: BARISAN&DERET 1

a.0,33333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

a = 0,3

r = 0,03 : 0,3 = 0,003 : 0,03 = 0,0003 : 0,003 = 0,1

0,33333… =

b. 0,35353535… = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + …

a = 0,35

r = 0,0035 : 0,35 = 0,000035 : 0,0035 = 0,01

0,35353535… =

C. Rangkuman

Un = a.rn – 1

untuk r < 1

untuk r > 1

D. Tes Formatif 4.

1. Tentukan bentuk umum (Un) dari barisan berikut:

a. 64, 16, 4, …

b. 3, 9, 27, 81, …

c. 1, 3, 9, 27, 81, …

d.

e. 1000, 100, 10, 1, …

2. Tentukan lima suku pertama dari setiap barisan geometri berikut jika

diketahui:

a. a 4 dan r 2

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 95

Page 20: BARISAN&DERET 1

b. U3 27 dan U7 2187

c. U2 512 dan U8 8

d. U6 4 dan U8 1

e.

3. Tentukan x jika 2, 8, 3x + 5 membentuk barisan geometri

4. Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut:

a. 1 + 2 + 4 + 8 + … (sampai 12 suku)

b. (sampai 6 suku)

c. 1 3 + 9 27 + … (sampai 8 suku)

d.

5. Untuk derat , buktikan bahwa

EVALUASI

1. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 12 dan suku

ke-6 adalah 27. Tentukan jumlah 20 suku pertama.

2. Tentukan jumlah 25 bilangan asli pertama yang habis dibagi 4.

3. Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yang tidak habis

dibagi 5.

4. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlah ketiga bilangan itu 30,

hasil kalinya 840. Tentukan bilangan-bilangan itu.

5. Suatu perusahaan, pada bulan pertama berdiri memproduksi sebanyak

1000 unit barang. Kenaikan produksi pada bulan-bulan berikutnya adalah

kali produksi pada bulan pertama. Tentukan jumlah produksi selama satu

tahun.

6. Rumus suku ken suatu deret geometri adalah , hitunglah:

a. Suku pertama dan rasio deret geometri tersebut.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 96

Page 21: BARISAN&DERET 1

b. Rumus jumlah nsuku pertama.

7. Tiap tanggal 1 Januari, mulai 1 Januari 2000 Amir menabung uang di bank

sebesar Rp 100.000,00. Jika bank memberikan bunga 10 per tahun,

tentukan besar uang Amir di bank pada tanggal 31 Desember 2003.

8. Suatu deret geometri tak hingga mempunyai suku pertama 12 dan jumlah

tak hingganya 8. Tentukan rasionya.

9. Populasi penduduk sebuah kota pada tahun 1960 adalah 30.000 jiwa.

Populasi ini meningkat dua kali lipat tiap 10 tahun. Berapa perkiraan

populasi kota tersebut pada tahun 2010.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 97

Page 22: BARISAN&DERET 1

DAFTAR PUSTAKA

Brown, Richard G.. (1994). Advanced Mathematics. Boston: Houghton Mifflin

Company.

Gellert, W.. (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York:

Van Nostrand Reinhold Company.

Haryadi, Muh.. (2002). Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG

Matematika.

Keedy, Mervin Laverne. (1983). Algebra and Trigonometry. California: Addison-

Wesley Publishing Company.

Miller, Charles David. (1978). Mathematical Ideas. Glenview Illinois: Scott

Foresman and Company.

Prawiro, Justine Yudho. (2000). Matematika IPA. Jakarta: Widya Utama.

Raharjo, Marsudi. (2001). Notasi Sigma dan Induksi Matematika. Yogyakarta:

PPPG Matematika.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 98

Page 23: BARISAN&DERET 1

Kunci Jawaban:

Tugas 1

1. a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j.

2. a. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 b. 1 + 2 + 5 + 8 + 11 + 14

c. a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 d.

3.

Tes Formatif 1

1. a. b.

c.

d.

2. a. b.

c. d.

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 99

Page 24: BARISAN&DERET 1

Tugas 2

1. a. 4, 7, 10, 13 ; U10 31

b. ; U10

c. 0, 0, 0, 6 ; U10 504

d. U10

e. U10

2. a. Un 2n b. Un n c. Un 3n+5

d. Un e. Un 10n 25 f. Un 2n - 1

g. Un 4 h. Un -(-1)n2n i. Un n2 + n

3. a. 2, 3, 6, 15, 42 b. 3, 4, 6, 14, 30

4. a. U1 9, Un Un-1 + 4

b. U1 1, Un Un-1 + 2n-1

c. U1 81, Un

d. U1 1, Un Un-1 + n

Tes Formatif 2

1. a. Sn b. Sn 4(2n - 1) c. Sn n(n - 6)

d. Sn 3n - 1 e. Sn 2n(n + 2)

2. a. 3, 5, 7, U10 21 b. 1, 7, 19, U10 271

Tes Formatif 3

1. a. Un 5n + 5 b. Un 5 - 3n c. Un 6n+2

2. a. n 30 b. n 60 c. n 41

3. a. a 5, Un 4n + 1 b. a 8, Un 5 + 3n

c. a 9, Un 2 + 7n

4. 15

5. a. S12 300 b. S15 615 c. S16 1000

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 100

Page 25: BARISAN&DERET 1

Tes Formatif 4

1. a. b. Un 3n c. Un

d. Un e. Un

2. a. 4, 8, 16, 32, 64

b. 3, 9, 27, 81, 243 atau 3, -9, 27, -81, 243

c. 1024, 512, 256, 128, 64 atau -1024, 512, -256, 128, -64

d. -8 , -8, -4 , -4, -2 atau 8 , -8, 4 , -4, 2

e. 2 , 6, 6 , 18, 18

3. x 9

4. a. S12 4095 b. S6 c. S8 1640

d. n 12, S12 126 + 63

EVALUASI

1. 990

2. 1300

3. 4000

4. 6, 10, 14

5. 25.200

6. a. a = 2 r = 2

b. Sn = 2(2n - 1)

7. Rp. 510.510

8. r = ½

9. 480.000

Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret Halaman 101