MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 2012 TAHUN AJARAN 2011/2012

MATERI BARISAN DAN DERET UNTUK KALANGAN MA AL-MUAWANAH

MADRASAH ALIYAH AL-MUAWANAH BEKASI SELATAN 2012

Jalan RH. Umar Kp. Ceger Rt. 002/018 No. 61 Jakasetia Bekasi Selatan 17147 Website: http://www.ma-almuawanah.sch.id Telp. (021) 82416835

BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKANotasi Sigma :

4.

KUi =1 n i =1 n

n

i

= K U ii =1

n

5.

(U i Vi ) = U i =i =1 n n 1 i =0

U i i =1

n

Vi =1 i 1

n

i

6. adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan 7.

U i +1 = U i +i =1 n+ p m

Ui =2

n +1

penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. merupakan huruf capital S dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Bentuk umum notasi sigma:

U i =i =1

i = m +1

U

n

i

; dimana 1< m < n

8.

U i =i =m n

n

i =m+ p

U i p =n

i =m p

U2

n p

i+ p

U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U ni =1n

n

9. a.

(U i + Vi ) 2 =i =1 n

U i + 2i =1

U iVi +i =1 n

n

Vi =1 n i

n

2

i

Ui =1

i

dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai dengan i=n i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,,n} adalah wilayah penjumlahan

b.

(U i Vi ) 2 =i =1

U i - 22 i =1

n

U iVi +i =1

Vi =1

2

Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung): Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,, U n 1 , U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b). b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n 1

Contoh: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + + 100 dapat ditulis dengan notasi sigma yaitu

2ii =1

50

Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,, a+(n-1)b

Sifat-sifat notasi sigma: 1.

Bentuk umum deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) + + {a+(n-1)b} dimana:

Ui =1 n

n

i

= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n

2.

Ui =1

i

=n

Uk =1

n

k

3.

Ki =1

a = suku pertama b = beda n = banyak suku

= nK ; dimana K adalah konstanta

www.belajar-matematika.com - 1

Rumus-rumus : 1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb: U n = a + (n-1) b Barisan baru: U 1 , ,U 2 ,, U 3 ,, U 4 , U n 2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: n S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n ) 2 n = (2a +(n-1) b) 2 hubungan U n dan S n adalah: U n = S n - S n 1 2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' ) Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,, U n 1 , U n

k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n a. jika banyaknya suku =2 U 1 , ,U 2 k suku banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k b. jika banyaknya suku =3 U 1 , ,U 2 ,, U 3 k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k c. . jika banyaknya suku =4 U 1 , ,U 2 ,, U 3 ,, U 4 k suku k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ' = n + (n-1) k 3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ) Sn'

3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: Ut = Sisipan: Suatu barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,, a+(n-1)b apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' }, k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama U 2 barisan lama dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan 1. Beda barisan baru (b ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ' b = (k+1) b ' b b'= k +1'

1 (a + U n ) 2

n' n' ' ' = (a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 2

U n ' = U n maka,Sn '=

n' (a + U n ) 2

contoh soal sisipan :

1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret b = beda deret lama ' aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk . b = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan www.belajar-matematika.com - 2

jawab: banyaknya suku awal = 2 n deret setelah sisipan 60+ + 110

sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r). Jadi r =

U Un U2 = 3 = . . .= U1 U2 U n 1

10 bilangan Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : n' Sn '= (a + U n ) 2 12 (60+110) = 2 = 1020 2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25, disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk Jawab: dari barisan 5, 15, 25, diketahui a = 5 b = 10 k=4 beda barisan yang baru: b b'= k +1 10 =2 = 4 +1 Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : Sn'

Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n 1 , ar n Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n 1 + ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio Rumus-rumus: 1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb: U n = ar n 1 2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb: Sn =

a(r n 1) untuk r >1 r 1 a(1 r n ) untuk r