01 barisan dan deret

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

Barisan dan Deret

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

2

BarisanBarisanDefinisiBarisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengandaerah asal merupakan bilangan asli. Notasi: f: N R

n f(n ) = an

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil {an} dengan an adalah suku ke-n.Bentuk penulisan dari barisan :1. bentuk eksplisit suku ke-n2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku

awalnya. 3. bentuk rekursi

an = n1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ...,

41,

31,

21,1

n

nn a

aaa+

== + 1,1 11


3

KekonvergenanKekonvergenan BarisanBarisan

Definisi:Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atauberlimit L dan ditulis sebagai

Lann=

∞→lim

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen kesuatu bilangan L yang terhingga dinamakandivergen.

Jika untuk tiap bilangan positif ε, ada bilanganpositif N sehingga untuk

ε<−⇒≥ LaNn n


4

CatatanCatatanAkan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut.

Lxfx

=∞→

)(limJika Lnfn

=∞→

)(lim, maka

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakaikaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.


5

SifatSifat Limit Limit BarisanBarisan

Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka

1. ( ) ( ) ( ) MLblimalimbalim nnnnnnn±=±=±

∞→∞→∞→

2. ( ) ( ) ( ) M.Lblim.alimb.alim nnnnnnn==

∞→∞→∞→

3. ( )( ) M

Lblim

alim

ba

limnn

nn

n

n

n==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∞→

∞→

∞→, untuk M≠ 0

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1 ≥ an b. Monoton turun bila an+1 ≤ an


6

ContohContoh

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

1n2na n −

=1.

21

12lim)(lim =

−=

∞→∞→ xx

xfxx

Jawab:Ambil

12)(

−=

xx

xf , Dalam hal ini menurut kaidahI’Hospital,

Jadi,

21

12lim =

−∞→ nn

n

artinya barisan an konvergen menuju ½.


7

ContohContoh

eex

xx

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

∞→

1

1limexp

2.n

n n11a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Jawab:Ambil

x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11)( , Dalam hal ini menurut kaidah

I’Hospital,

artinya barisan an konvergen menuju e.

en

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim

Jadi,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→ xx

x

11ln.limexp⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∞→

x

xx 1

11ln

limexp

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=∞→

2

2

11

.1

limexp

x

xx

xx

x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim


8

LatihanLatihan

3n2n1n4a 2

2

n +−+

=

1n2n3a

2

n ++

=

1nna n +

=

( )n

n

n 4a π−

=

n)nln(a n =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ...

54,

43,

32,

21

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−− ...

95,

74,

53,

32,1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−...

431

1,

321

1,

211

1,1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−−...

515

4,

414

3,

313

2,

212

1an+1 = 1 +

21 an , a1=1

an+1 = 21 (an +

na2

) , a1=2 1.

2.

11.

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:


9

DeretDeret TakTak HinggaHingga

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasisigma, sebagai berikut:

∑∞

=0nna = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an + …

dengan an adalah suku ke-n.


10

BarisanBarisan JumlahJumlah ParsialParsial

Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret

, maka∑∞

=0iia

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret∑∞

=0iia

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

S1 = a1S2 = a1 + a2...Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = ∑

=

n

0iia


11

KekonvergenanKekonvergenan DeretDeret TakTak HinggaHingga

Deret tak hingga ∑∞

=0iia konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}

divergen maka deret divergen.


12

Deret GeometriDeret GeometriBentuk umum deret geometri adalah

∑∞

=

−

1n

1nar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

dengan a ≠ 0. Jumlah parsial deret ini adalah

Sn = ∑=

−n

1i

1iar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

dan dapat ditulis sebagai Sn = ( )r1r1a n

−− , r ≠ 1.


13

Sifat DeretSifat Deret GeometriGeometri

1. Jikar < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

n

nrlim

∞→= 0, maka deretnya konvergen ke

r1a−

2. Jika maka barisan {rn} divergen karena

maka deretnya juga divergen

r > 1 n

nrlim

∞→= ∞ ,


14

ContohContoh((SelidikiSelidiki kekonvergenannyakekonvergenannya))

...321

161

81

41

21

+++++1.

Jawab: Kalau kita perhatikan

S1 = 21 = 1 -

21 S2 =

41

21+ =

43 = 1 – (

21 )2

S3 = 81

41

21

++ =87 = 1 – (

21 )3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

Sn = 1 – (21 )n

Dannn

Slim∞→

= ∞→n

lim (1 – (21 )n) = 1

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.


15

ContohContoh (2)(2)

∑∞

= +1i )1i(i1

2.2.

Jawab: Kalau kita perhatikan

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

)1i(i1+

=i1 -

1i1+

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

Sn = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

/

/++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

//

−//

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

//

−//

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

//

−1n

1n1...

41

31

31

21

211 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

1n11

nnSlim

∞→=

∞→nlim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

1n11 = 1

(Deret Kolaps)


16

ContohContoh (3)(3)

3.3.

Jawab: Dari sini kita dapatkan

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga.Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

∑∞

=1i i1

Sn = 1 + n1...

81

71

61

51

41

31

21

++++++++

Sn = 1 + n1...

81

71

61

51

41

31

21

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

≥ 1 + n1...

81

81

81

81

41

41

21

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

= 1 + n1...

21

21

21

21

+++++

(Deret Harmonik)


17

Uji kedivergenan dengan suku keUji kedivergenan dengan suku ke--nn..

Apabila ∑∞

=0nna konvergenmaka nn

alim∞→

= 0, ekivalen

nnalim

∞→≠ 0 maka deret divergen.

Contoh: Buktikan bahwa∑∞

= ++1n2

2

4n3n3n

divergen.

Bukti

4n3n3nlim 2

2

n ++∞→=

2n

n4

n33

1lim++

∞→ 31

= (Tidak Nol)

Jadi terbukti bahwa divergen.∑∞

= ++1n2

2

4n3n3n


18

MasalahMasalah BaruBaru

Dalam banyak kasus bahwa nnalim

∞→= 0, tetapi dari sini

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,

∑∞

=1n n1 =1 +

n1...

81

71

61

51

41

31

21

++++++++ + . . .

Jelas bahwa nnalim

∞→= 0, tetapi deret harmonik adalah

deret yang divergen.

Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.


19

UjiUji DeretDeret PositifPositif

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,∝)

a. Jika integral tak wajar

b. Jika integral tak wajar

∫∞

1dx)x(f konvergen, maka deret

∑∞

=1n

)n(f konvergen.

divergen, maka deret

∑∞

=1n

)n(f divergen.∫∞

1dx)x(f


20

ContohContoh

1. Selidiki kekonvergenan dari ∑∞

=

−

1n

n 2en

Jawab. Kita ambil2xex)x(f −= , sehingga

dxex2x

1

−∞

∫ dxexlim2xb

1b

−

∞→ ∫ ∫ −

∞→

b

1

2x

b)x(delim

21 2

b

1

x

b

2elim

21 −

∞→− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

∞→ 111lim

21

2 eebb e21

= =

= = =

Jadi karena dxex2x

1

−∞

∫ konvergen, maka ∑∞

=

−

1n

n 2en

juga konvergen.


21

ContohContoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab. Kita ambil , sehingga

∑∞

=2n nlnn1

xxxf

ln1)( =

∫∫ ∞→

∞=

b

b xxdx

xxdx

22 lnlim

ln ∫∞

∞→=

2 ln)(lnlim

xxd

b

( ) ( ) ( ) ∞=−==∞→∞→

2lnlnlnlnlimlnlnlim bxbb

Jadi karena divergen, maka

juga divergen.

∫∞

2 ln xxdx

∑∞

=2n nlnn1


22

LatihanLatihan

∑∞

=2n2 nlnn

1

∑∞

= +1n 1n21

∑∞

= +1n2 1n41

( )∑∞

= +1n 23

n34

1

2.

4.

5.

3.

1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

( )∑∞

= −3n22n

1


23

UjiUji DeretDeret PositifPositif2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

∑∞

=1

1

ipi

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan

dxx1lim

1 pt ∫∞

∞→=

t

1

p1

t p1xlim

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

∞→= p1

1tlimp1

t −−−

∞→

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.

2. p > 1 maka p1

ttlim −

∞→= 0, sehingga diperoleh deret

yang konvergen.


24


3. p < 1 maka p1

ttlim −

∞→=∞, sehingga diperoleh deret yang

divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret ∑=

n

iPi1

1, yaitu, tidak menuju 0.Pn

1

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 12. Deret-p divergen apabila 0 ≤ p ≤ 1


25

ContohContohApakah deret berikut konvergen atau divergen?

1. ∑∞

=1001,1

1n n

Berdasarkan uji deret-p, deret ∑∞

=1001,1

1n n konvergen

karena p=1,001 > 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen

karena p= ½ < 1

∑∞

=1 211

n n

∑∞

=1 211

n n


26


3. Tes Perbandingan dengan deret lain

Andaikan ∑∞

= `1nna ∑

∞

= `1nnbdan deret positif, jika an ≤ bn maka

1. Jika konvergen, maka

∑∞

= `1nnb

∑∞

= `1nnb

∑∞

= `1nna

∑∞

= `1nna konvergen

2. Jika divergen, maka divergen


27

ContohContohSelidiki Kekonvergenan deret berikut:1.∑

∞

= −3n2 5nn

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan an =

n1 dan bn= 5n

n2 −

kita tahu bahwa

,

∑∞

=1n n1

adalah deret harmonik dan

5nn

2 − n1≥ , Sehingga karena∑

∞

=1n n1

∑∞

= −2n2 5nn

deret divergen, maka

deret yang divergen.


28

ContohContoh

2. ∑∞

= +1n2 5n1

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= dan an=

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

≥ , Sehingga karena

konvergen, maka deret yang konvergen.∑∞

= +1n2 5n1

2n1

5n1

2 +

5n1

2 +

2n1

∑∞

=1n2n

1

p = 2 >1 dan ∑∞

=1n2n

1deret


29

LatihanLatihanSelidiki kekonvergenan deret berikut

∑∞

= +1n2 5nn

∑∞

= −3n2 5n1

∑∞

= +1nn 121

( )∑∞

= −3n22n

1

∑∞

= −1n 1n21

2.

4.

5.

3.

1.


30


4. Tes Banding limit

Andaikan an dan bn deret positif dann

n

n balim

∞→= L

1. Jika 0 < L < ∞ maka ∑∞

= `1nna ∑

∞

= `1nnbdan sama-sama

konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan ∑∞

= `1nnb ∑

∞

= `1nnakonvergen maka konvergen.


31

ContohContohSelidiki kekonvergenan dari deret berikut :

∑∞

= +−+

1n23 7n5n3n2

1.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=

n

n

n balim

∞→

∑∞

= +−+

1n23 7n5n3n2 konvergen.

= 2

Jadi karena L=2 dan

Jawab:

∑∞

=12

1n n

21

n

2

23

175

32lim

n

nnn

n+−

+=

∞→ 7532lim 23

23

+−+

=∞→ nn

nnn

konvergen, maka deret


32

ContohContohSelidiki kekonvergenan dari deret berikut :

2.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=

n

n

n balim

∞→

divergen.

= 1

Jadi karena L=1 dan

Jawab:

divergen, maka deret

∑∞

= +1n2 4n1

∑∞

= +1n2 4n1

n1

n1

4n1

lim2

n

+∞→ 4n

nlim 2

2

n +∞→= =

∑∞

=1

1n n


33

LatihanLatihanSelidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑∞

= −+

1n3 4n

1n3∑∞

= ++1n2 3n2n

n4.1.

∑∞

=1n2nnln

5.∑∞

= +1n 1nn1

2.

∑∞

=

+

1n2n

3n23.


34


5. Tes Hasil Bagi

∑∞

=1kka

ρ=+

∞→ k

1kk a

alim

Diketahui merupakan suatu deret dengan

suku-suku yang positif, misalkan

ρ ∑∞

=1kka1. Jika < 1 maka deret konvergen

ρ ∑∞

=1kka divergen2. Jika > 1 maka deret

ρ = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.3. Jika


35

ContohContohSelidiki kekonvergenan deret berikut:

1. ∑∞

=1 !3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an = !3n

n

, maka suku ke-n+1adalah an+1= ( )!1

3 1

+

+

n

n

sehingga

Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret ∑∞

=1 !3

n

n

n

Jawab:

( )13

lim+

=∞→ nn

0=( )!13!3

lim1

+=

+

∞→ nn

n

n

n

( )

!3

!13

lim

1

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n aa 1lim +

∞→

konvergen


36

ContohContoh

2. ∑∞

=12

3n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an = 2

3n

n

, maka suku ke-n+1adalah an+1=

( )2

1

13+

+

n

n

sehingga

Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret ∑∞

=12

3n

n

n

Jawab:

3=( )22

1

3lim

+=

∞→ n

nn( )2

21

13

3lim

+=

+

∞→ n

nn

n

n

( )2

2

1

31

3

lim

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n aa 1lim +

∞→

divergen


37


∑∞

=1

!n

nnn ∑

∞

=

+

1 !5

n nn

( )∑∞

=1

3

!2n nn

4.

5.

1.

( )∑∞

=1 !2n

n

nn

2.

∑∞

=

+

1 !4

n

n

nn

3.


38


6. Tes Akar

∑∞

=1kkaDiketahui merupakan suatu deret dengan

suku-suku yang positif, misalkan aakkk=

∞→lim

∑∞

=1kka

∑∞

=1kka

1. Jika a < 1 maka deret konvergen

divergen

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

2. Jika a > 1 maka deret

3. Jika a


39

ContohContohSelidiki kekonvergenan deret

1. ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

1 122

n

n

nn

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =n

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+122 , maka nilai

limitnya adalah

2122limlim =

−+

=∞→∞→ n

nan

nnn

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1 122

n

n

nn

Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret

divergen


40

ContohContoh

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

1 122

n

n

nn

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =n

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

122 , maka nilai

limitnya adalah

2.

21

122limlim =−+

=∞→∞→ n

nan

nnn

Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1 122

n

n

nn

konvergen


41


∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 ln1

n

n

n

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1 1223

n

n

nn∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1 23n

n

nn

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

121

n

n

n

2. 4.

3.1.


42

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan MutlakMutlak

Deret Ganti TandaDeret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

( ) ...aaaaa1 43211n

n1n +−+−=−∑

∞

=

+

dengan an > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

( ) ...41

31

211

n11

1n

1n +−+−=−∑∞

=

+


43

UjiUji DeretDeret GantiGanti TandaTanda

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika1. an+1< an

0lim =∞→

nna2.

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

...41

31

211 +−+−1.

2. ...!4

1!3

1!2

11 +−+−


44

ContohContoh1. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an= n1

, dan an+1 = 11+n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 1111

11

1

1

>+=+

=+

=+ nn

n

n

naa

n

n ⇔ an >an+1

b. 01limlim ==∞→∞→ n

annn

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.


45

ContohContoh2. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an= !

1n

, dan an+1 = ( )!11+n

tersebut konvergen jika

, deret

a.( )

11!1

1!

1

1

>+=+

=+

nn

naa

n

n ⇔ an >an+1

b. 0!

1limlim ==∞→∞→ n

annn

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.


46

LatihanLatihanSelidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

( )∑∞

=

−1 3

1n

nn n( )∑

∞

=

+

+−

1

1

1321

n

n

n4.1.

( )∑∞

= +−

1 )1(11

n

n

nn5.( )∑∞

= ++

−1

2

31n

n

nnn

2.

( )∑∞

=

+−1

1

!1

n

nn

nn

3.


47

Konvergen Mutlak dan Konvergen BersyaratKonvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

∑∞

=1nnb

Atau dengan kata lain

dikatakan konvergen mutlak jika ∑∞

=1nnb konvergen.

∑∞

=1nnb divergen,

∑∞

=1nnb konvergen.

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika

tetapi

mutlak deret tersebut konvergen.


48

Pengujian Kekonvergenan MutlakPengujian Kekonvergenan Mutlak

Misalkan∑∞

=1nna dengan an≠ 0 dan

n

nn a

a 1lim +

∞→ = r. Maka

1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak2. bila r > 1 maka deret divergen3. bila r = 1 maka tes gagal.`


49

ContohContohSelidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergenmutlak atau divergen

1. ( )∑∞

=

+−1

1

!21

n

nn

nJawab:

( ) ( )( ) ( )!21

!121

limlim1

12

1

n

na

ar

nn

nn

nn

n

n +

++

∞→

+

∞→−

+−== ( )!12

!2lim1

+=

+

∞→ nn

n

n

n 12

lim+

=∞→ nn

Dari soal diatas kita punya an= ( )!

21 1

n

nn+− , dan an+1 = ( ) ( )!1

211

2

+−

++

n

nn

sehingga

0=

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak


50

ContohContoh

2. ( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

nJawab:

( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

n

Dengan uji deret ganti tanda deret ( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

n

adalah deret divergen∑ ∑∞

=

∞

=

=1 1

1n n

n na

Jadi deret

konvergen

(buktikan!!),

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

adalah konvergen bersyarat.

sedangkan


51

LatihanLatihan

( )∑∞

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

1 51

nn

n n ( ) ( )∑∞

= +−

1 111

n

n

nn1. 4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergenbersyarat atau divergen:

∑∞

=

+−

1

1

ln)1(

n

n

nn∑∞

=

−

12)4(

n

n

n5.2.

∑∞

= +−

1 23)1(

n

n

n∑∞

=

+

+−

1

1

1)1(

n

n

nn6.3.


52

DeretDeret PangkatPangkat

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

( )∑∞

=

−0n

nn bxa = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.


53

SelangSelang KekonvergenanKekonvergenan

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut:

Misalkan ( )∑∞

=

−0n

nn bxa dan n

n

nn

n bxabxa

L)()(

lim1

1

−−

=+

+

∞→

1. Jika L < 1, maka deret konvergen. 2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan

uji deret sebelumnya.


54

SoalSoal

Tentukan selang kekonvergenan deret

∑∞

= +0 2)1(nn

n

nx

∑∞

= +0 !)1(n

n

nx

∑∞

=

+0

!)1(n

nxn

1.

2.

3.


55

JawabJawab

1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidikikekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu–2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitux = 2 atau x = -2 .

Pada x = 2

n

n

n

n

n nx

nx

L2)1(

:)2(2

lim 1

1

++= +

+

∞→ 2x

=)2()1(

2lim

++

=∞→ n

nxn

( ) ( )∑∑∞

=

∞

= +=

+ 11 11

212

nnn

n

nn

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.


56

JawabJawab

Pada x = –2

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 ≤ x < 2

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

( )( )

( )( )∑∑

∞

=

∞

= +−

=+−

11 11

212

n

n

nn

n

nn


57

Jawab(2)Jawab(2)

2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untukmenyelidiki kekonvergenan mutlak.

( ) ( )!1:

!2lim

1

++=

+

∞→ nx

nx

Lnn

n0=( )2

lim+

=∞→ n

xn

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuksemua nilai x.

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-∞,∞)


58

Jawab(3)Jawab(3)

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untukmenyelidiki kekonvergenan mutlak.

( )( ) n

n

n xnxn

L!1!2

lim1

++

=+

∞→( )xn

n2lim +=

∞→ ⎩⎨⎧

≠∞=

=0,0,0

xjikaxjika

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.


59

Teorema 1Teorema 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=0n

nn xa

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

berbentuk

1. satu titik x = 02. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau

keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil


60

Teorema 2Teorema 2

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=

−0n

nn )bx(a

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x = b2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau

keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil


61

LatihanLatihanTentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

( )∑∞

= +

−

021

)1(

n

n

nx

( ) ( ) ( ) ...81.4

4ln227.3

3ln29.2

2ln23

2 432+

++

++

++

+ xxxx

( ) ( ) ( ) ...!32

!222

32+

++

+++

xxx

1.

3.

2.


62

OperasiOperasi deretderet pangkatpangkat

Dalam pasal sebelumnya untuk 11 <<− x deret

xaax

n

n

−=∑

∞

= 11

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di

∑∞

=1n

naxatas (misal S(x)= )

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

misalkan bagaimana jika S(x)


63

TeoremaTeoremaAndaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat padasebuah selang I; jadi

S(x)= ∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .

[ ]∑∞

=0n

nn xaD

∑∞

=

−

1

1

n

nn xna

∫x

dttS0

)( ∑∫∞

=00

n

x nn dtta

∑∞

=

+

+0

1

1n

nn xna

21

31

41

Maka 1. S’(x) = = D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .]

=

=

= a0x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4+ . . .2.

= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . .

=


64

ContohContohSesuai teorema di atas

x−11

= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan

a. ( )21

1x−

b. ln(1 – x)

Jawab:

a. ( )21

1x−

Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh

( )211

11

xxDx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= 1 + 2x + 3x2 + 4 x3 + . . .

, -1< x <1 1

1

−∞

=∑= n

n

xn


65

ContohContoh

a. ln (1 – x)

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku,kita peroleh juga

∫∫ ++++=−

=−xx

dttttdtt

x0

32

0

...11

1)1ln(

...41

31

21...

41

31

21 432

0

432 ++++=++++= xxxxttttx

, -1< x <1 n

n

xn∑

∞

=

=1

1


66

LatihanLatihan

xxf

+=

11)(

xx

xxxf

+=

+=

11

1)( 2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=xxxf

11ln)(

( )211)(x

xf+

=

1.

3.

6.2.

5. f(x)=tan-1(x)

( )xxf

321)(+

=7.

211)(x

xf+

=4.

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)


67

Deret Taylor dan Deret MaclurinDeret Taylor dan Deret Maclurin

Deret TaylorDefinisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk

!2)0(" 2xf

( )∑∞

=

−0

)(

!)(

n

nn

bxn

bff(x) = = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.

Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu

( )∑∞

=0

)(

!)0(

n

nn

xn

ff(x) = = f(0) + f ’(0)(x)+ + . . .

!2)()('' 2bxbf −


68

ContohContohPerderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:1. f(x)= sin x

Jawab:

f(x) = sin x

f ’(x) = cos x

f ’’(x) = - sin x

f ’’’(x) = - cos x

f lV (x) = sin x

f’’(0) = 0f’(0) = 1

f(0) = 0

f’’’(0) = -1

f lV(0) = 0

Sehingga,

...!7!5!3

sin)(753

+−+−==xxxxxxf ( ) ( )∑

∞

=

+

+−=

0

12

!121

n

nn

nx


69

ContohContoh2. f(x)= ex

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex

f ’’’(x) = ex

f lV (x) = ex

f’’(0) = 1f’(0) = 1

f(0) = 1

f’’’(0) = 1

f lV(0) = 1

Sehingga,

...!4!3!2

1)(432

+++++==xxxxexf x ∑

∞

=

=0 !n

n

nx


70

ContohContoh3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat

di x=1Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex

f ’’’(x) = ex

f lV (x) = ex

f’’(1) = ef’(1) = e

f(1) = e

f’’’(1) = e

f lV(1) = e

Sehingga,( ) ( ) ...

!31

!21)1()(

32

+−

+−

+−+==xexexeeexf x ( )∑

∞

=

−=

0 !1

n

n

nxe


71

LatihanLatihan1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin

a. f(x) = cos x

f. f(x) = sec x

e. f(x) = sin2 x

b. f(x) = cos x2

g. f(x) = tan xc. f(x) = cos2 x

h. f(x) = sec xd. f(x) = ex + sin x

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor denganpusat x = aa. f(x) = cos x, a = π/3 c. f(x) = ex, a = 2

b. f(x) = sin x, a = π/3

01 barisan dan deret

Documents