2.barisan dan deret

31
BARISAN DAN DERET SRI SULASMIYATI, S.SOS., MAP

Upload: lethuy

Post on 12-Jan-2017

342 views

Category:

Documents


15 download

TRANSCRIPT

Page 1: 2.barisan dan deret

BARISAN DAN DERET

SRI SULASMIYATI, S.SOS., MAP

Page 2: 2.barisan dan deret

PENERAPAN TEORI BARISAN DAN DERET

Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmatika, barisan geometri, deret aritmatika ataupun deret geometri.Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Page 3: 2.barisan dan deret

Barisan Aritmatika

• Sn = a + (n – 1) b• Dimana Sn = suku ke-n• a = suku pertama• b = beda yang sama• n = banyaknya suku

Page 4: 2.barisan dan deret

Deret Aritmatika

Keterangan:Dn = jumlah n suku pertamaa = suku pertamab = bedaUn = suku ke-nn = banyak suku

Dn = (1/2) n(a + Sn ) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Page 5: 2.barisan dan deret

Contoh 1:Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?

Jawab:Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika.

Suku awal a = 700.000Beda b = 125.000

n = 9

Page 6: 2.barisan dan deret

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.

Sn = a + (n – 1)bS9 = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000

Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9

adalah Rp1.700.000,00.

Page 7: 2.barisan dan deret

Barisan Geometri

Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah

Sn = a1rn-1

Di mana Sn = suku ke – na1 = suku pertamar = rasio yang tetapn = banyaknya suku

Page 8: 2.barisan dan deret

Rumus Deret Geometri•  

Page 9: 2.barisan dan deret

Perkembangan Usaha Dalam Ekonomi

Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha‐usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung

Page 10: 2.barisan dan deret

Contoh 2: Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1?

Jawab:Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.Pada akhir bulan ke-1Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ;Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 ×

0,01Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)

= 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)

Page 11: 2.barisan dan deret

Pada akhir bulan ke-2Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1

adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ;= 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)= 50.000(1,01)(1 + 0,01)= 50.000(1,01)

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50.000 + (50.000 × 1%)

= 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2

adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) .2

2

Page 12: 2.barisan dan deret

Pada akhir bulan ke-3

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah

50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)= 50.000(1,01) (1 + 0,01)= 50.000(1,01) (1,01)= 50.000(1,01)

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)= 50.000(1,01)(1 + 0,01)= 50.000(1,01)(1,01)= 50.000(1,01)

Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi

50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%) = 50.000(1,01)

2

2

2

3

2

2

Page 13: 2.barisan dan deret

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah50.000(1,01) + 50.000(1,01) + 50.000(1,01) Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat

disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... + 50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}

Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengana = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.

2 3

12

101,11)01,1((01,1 12

S =

Page 14: 2.barisan dan deret

=

= 12,83Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah

1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12}

= 50.000 × 12,83 = 641.500Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun

adalah Rp641.500,00.

01,0)27,0(01,1

Page 15: 2.barisan dan deret

PENERAPAN TEORI BARISAN DAN DERET

Page 16: 2.barisan dan deret

Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana

• Bunga merupakan suatu balas jasa yang sederhana dibayarkan bilamana kita menggunakan uang.

• Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut

• Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita.

• Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok (principal)

Page 17: 2.barisan dan deret

• Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya.

• Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya

Page 18: 2.barisan dan deret

• Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi

• Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi

• Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i)• Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i)• Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun

ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni)• Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal

awal saja setiap akhir tahun

Page 19: 2.barisan dan deret

• Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya.

• Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut:

• I = Pin• Dengan :

I = Jumlah pendapatan bungaP = Pinjaman pokok atau jumlah investasii = tingkat bunga tahunann = jumlah tahun

Page 20: 2.barisan dan deret

• Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (Fn )adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n

• Fn = P + Pin

Page 21: 2.barisan dan deret

• Contoh• Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa

nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun

• Jawab• Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15• I = Pin• I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000• Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun

ke‐ 4 adalah 7.200.000

Page 22: 2.barisan dan deret

• Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F4 ) adalah

• Fn = P + Pin• = Rp. 12.000.000 + 7.200.000• = Rp. 19.200.000

Page 23: 2.barisan dan deret
Page 24: 2.barisan dan deret
Page 25: 2.barisan dan deret
Page 26: 2.barisan dan deret
Page 27: 2.barisan dan deret

Nilai sekarang dengan bunga majemuk

adalah nilai sekarang dari suatu nilai yg akan diterima atau dibayar di masa mendatang. Proses mencari present value disebut sbg proses melakukan diskonto (discounting).Discounting adalah proses menghitung nilai sekarang dari sejumlah uang yg akan diterima atau dibayar di masa mendatang. Formula rumus:

n

n

iFP)1(

Page 28: 2.barisan dan deret

Contoh

• Elly merencanakan uang tabungannya pada tahun ketiga akan berjumlah Rp. 30.000.000 dengan bunga yang dimajemukkan. Tingkat bunga 15% per tahun. Berapa jumlah uang tabungan Elly saat ini?

Page 29: 2.barisan dan deret

penyelesaian

Diketahui:

Jadi, uang yang ditabung Elly saat ini sebesar Rp. 19.725.486,97 supaya 3 thn y.a.d uangnya menjadi Rp.30.000.000

Page 30: 2.barisan dan deret

SOAL

1. Hitunglah nilai dari masa depan yang dibungakan secara sederhana (simple interest) jika:a. P=Rp.2juta n=8bln i=5%/thnb. P=Rp.5juta n=18bulan i=6%/thn

2. Hitung nilai masa datang dari bunga sederhana dan pendapatan bunganya jika:a. P=Rp.1.500.000 n=6bln i=12%b. P=Rp.5juta n=3bln i=10%

Page 31: 2.barisan dan deret

3. Berapa jumlah uang yang harus didepositokan sekarang jika:a. 15 thn y.a.d mencapai Rp.10juta dengan bunga majemuk 8%/thnb. 10 thn y.a.d mencapai Rp.10juta dengan bnga majemuk 5%

4. Jika uang sebanyak Rp.2juta ditabung di bank dengan bunga majemuk berapa jml uang tsb di masa y.a.d jikaa. ditabung selama 5thn dengan bunga 6%b. ditabung selama 6thn dengan bunga 5%