01 barisan dan deret

7/13/2019 01 Barisan Dan Deret

http://slidepdf.com/reader/full/01-barisan-dan-deret-55b08a7952a8d 1/71

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Barisan dan Deret



BarisanBarisan Definisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengandaerah asal merupakan bilangan asli.

Notasi: f: N R

n f(n ) = an

Fun si tersebut dikenal seba ai barisan bilangan Riil

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

2

{an} dengan an adalah suku ke-n. Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk eksplisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga sukuawalnya.

3. bentuk rekursi

an =n

1

...,4

1,

3

1,

2

1,1

n

nn

a

aaa

+== +

1,1 11



Kekonvergenan BarisanKekonvergenan Barisan Definisi:

Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau

berlimit L dan ditulis sebagai

Lann

=∞→

lim

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

3

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke

suatu bilangan L yang terhingga dinamakandivergen.

a un u ap angan posε

, a a anganpositif N sehingga untuk

ε <−⇒≥ LaN n n



CatatanCatatan Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.

Kita akan menggunakan fakta berikut.

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai

L x f x

=∞→

)(limJika Lnf n

=∞→

)(lim, maka

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

4

kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.



Sifat Limit BarisanSifat Limit Barisan

Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke Ldan barisan {bn} konvergen ke M, maka

1. ( ) ( ) ( ) MLblimalimbalim nn

nn

nnn

±=±=±∞→∞→∞→

2. ( ) ( ) ( ) M.Lblim.alimb.alim nnnn ==

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

5

nnn ∞→∞→∞→

3. ( )

( ) M

L

blim

alim

b

alim

nn

nn

n

n

n==

∞→

∞→

∞→, untuk M ≠ 0

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1 ≥ an

b. Monoton turun bila an+1 ≤ an



ContohContohTentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

1n2na n

−=1.

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

6

2

1

12lim)(lim =

−=

∞→∞→ x

x x f

x x

artinya barisan an konvergen menuju ½.

m12)( −= x x f , Dalam hal ini menurut kaidah

I’Hospital,

2

1

12lim =

−∞→ n

nn

Jadi,



ContohContoh2.

n

nn

11a

+=

Jawab:Ambil x

x x f

+=1

1)( , Dalam hal ini menurut kaidahI’Hospital,

1

+ x

11ln x

1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

7

ee x

x x

==

+=

∞→

1

1limexp

artinya barisan an konvergen menuju e.

en

n

n=

−

∞→

11lim

Jadi,

∞→ x x

.

∞→

x x 1

−

+

−

=∞→

2

2

1

1.

1

limexp

x

x

x

x x

x x ∞→



LatihanLatihan

3n2n

1n4a

2

2

n

+−

+=

1n

2n3a

2

n+

+=

...5

4,

4

3,

3

2,

2

1

5432

an+1 =

2

1(an +

na

2) , a1=21.

2. 8.

7.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

8

1n

na n

+=

( )n

n

n4

aπ−

=

n)nln(a n =

−−− ...

9

,

7

,

5

,

3

,

−−−

...

4

31

1,

3

21

1,

2

11

1,1

−−−−

...

5

15

4,

4

14

3,

3

13

2,

2

12

1an+1 = 1 +

2

1an , a1=1 11.

10.

.

6.

5.

4.

3.



Deret Tak HinggaDeret Tak Hingga

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi

sigma, sebagai berikut:

∑∞

=0n

na = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an + …

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

9

n

- .



Barisan Jumlah ParsialBarisan Jumlah Parsial

Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret

, maka∑

∞

=0iia

S1 = a1

S2 = a1 + a2

.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

10

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret ∑∞

=0i

ia

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

..Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = ∑

=

n

0i

ia



Kekonvergenan Deret Tak HinggaKekonvergenan Deret Tak Hingga

Deret tak hingga ∑∞

=0i

ia konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}

divergen maka deret divergen.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

11



Deret GeometriDeret Geometri Bentuk umum deret geometri adalah

∑

∞

=

−

1n

1n

ar=

a +ar +a r2

+ ... + a rn-1

+ ...

dengan a ≠ 0.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

12

Sn = ∑=

−n

1i

1iar = a +ar +a r2

+ ... + a rn-1

dan dapat ditulis sebagai Sn =r1

r1a n

−

−, r ≠ 1.



Sifat DeretSifat Deret GeometriGeometri

1. Jikar < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

nn

rlim∞→

= 0, maka deretnya konvergen ker1

a−

2. Jika maka barisan {rn} divergen karena

r > 1n

nrlim

∞→= ∞ ,

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

13

maka deretnya juga divergen



ContohContoh

(Selidiki kekonvergenannya)(Selidiki kekonvergenannya)

...32

1

16

1

8

1

4

1

2

1+++++1.

Jawab:Kalau kita perhatikan

S1 =2

1= 1 -

2

1 S2 =

4

1

2

1+ =

4

3= 1 – (

2

1)2

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

14

S3 =81

41

21 ++ =

87 = 1 – (

21 )3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

Sn = 1 – (2

1)n

Dann

nSlim

∞→=

∞→nlim (1 – (

2

1)n) = 1

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnyakonvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.



Contoh (2)Contoh (2)

∑∞

= +1i )1i(i

12.2.

Jawab:Kalau kita perhatikan

)1i(i

1

+=

i

1-

1i

1

+

(Deret Kolaps)

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

15

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1,maka deret di atas juga konvergen.

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nyaSn =

+−

/

/++

/

/−

/

/+

/

/−

/

/+

/

/−

1n

1

n

1...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11 =

+−

1n

11

nn

Slim∞→

=∞→n

lim

+−

1n11 = 1



Contoh (3)Contoh (3)

3.3.

Jawab:Dari sini kita dapatkan

∑∞

=1i i

1

Sn = 1 +n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1++++++++

(Deret Harmonik)

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

16

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk nmenuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga.

Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

Sn = 1 + n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1++

++++ ++

≥ 1 +n

1...

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

1++

++++

++

= 1 + n1...

21

21

21

21 +++++



Uji kedivergenan dengan suku keUji kedivergenan dengan suku ke--nn..

Apabila ∑∞

=0n

na konvergenmaka nn

alim∞→

= 0, ekivalen

nnalim

∞→≠

0 maka deret divergen.

Contoh: Buktikan bahwa∑∞

= ++1n2

2

4n3n3

ndivergen.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

17

u

4n3n3

nlim

2

2

n ++∞→=

2

n

n

4

n

33

1lim

++∞→ 3

1= (Tidak Nol)

Jadi terbukti bahwa divergen.∑∞

= ++1n2

2

4n3n3

n



Masalah BaruMasalah Baru

Dalam banyak kasus bahwa nn

alim∞→

= 0, tetapi dari sini

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut

konvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,

∞

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

18

=1n n=1 +

n...

8765432++++++++

+ . . .

Jelas bahwa nn

alim∞→

= 0, tetapi deret harmonik adalah

deret yang divergen.

Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.



Uji Deret PositifUji Deret Positif

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0pada selang [1,∝)

a. Jika integral tak wajar ∫∞

1dx)x(f konvergen, maka deret

∞

nf

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

19

b. Jika integral tak wajar=1n

divergen, maka deret

∑∞

=1n

)n(f divergen.∫

∞

1dx)x(f



ContohContoh

1. Selidiki kekonvergenan dari ∑∞

=

−

1n

n2

en

Jawab. Kita ambil 2xex)x(f −= , sehingga

dxex2x

1

−∞

∫ dxexlim2x

b

1b

−

∞→ ∫ ∫ −

∞→

b

1

2x

b)x(delim

2

1 2

= =

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

20

b

1

xb

2

elim21 −

∞→−

1bb ee1lim

21 2

−−

∞→ e21= = =

Jadi karena dxex2x

1

−∞

∫ konvergen, maka ∑∞

=

−

1n

n2

en

juga konvergen.



ContohContoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab. Kita ambil , sehingga

∑∞

=2nnlnn

1

x x x f

ln1)( =

∞

=b dxdx

lim∞

=)(ln

limxd

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

21

Jadi karena divergen, maka

juga divergen.

∞→ x x x x nn ∞→ 2 n xb

( ) ( ) ∞=−=∞→

2lnlnlnlnlim bb

∫

∞

2 ln x x

dx

∑

∞

=2n nlnn

1



LatihanLatihan

∞

∑∞

= +1n 1n21

∞

4.1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

( )∑∞

= −3n2

2n1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

22

=2n2 nlnn = +1n

2 1n4

( )

∑∞

= +1n 2

3

n34

1

2. 5.

3.




2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

∑

∞

=1

1

i pi

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkant

−

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

23

dxx

1lim

1 pt ∫∞

∞→=

1t p1

xlim

−∞→ = p1

1tlim

p

t −

−−

∞→

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1deret divergen.

2. p > 1 makap1

ttlim

−

∞→= 0, sehingga diperoleh deret

yang konvergen.




3. p < 1 makap1

ttlim

−

∞→=∞, sehingga diperoleh deret yang

divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret ∑=

n

i P i 1

1, yaitu, tidak menuju 0.P n

1

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

24

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 12. Deret-p divergen apabila 0 ≤ p ≤ 1



ContohContoh

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1. ∑∞

=1

001,1

1

n n

Berdasarkan uji deret-p, deret ∑∞

=1001,1

1

n n konvergen

karena =1 001 > 1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

25

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen

karena p= ½ < 1

∑∞

=1 211

n n

∑∞

=1 21

1

n n




3. Tes Perbandingan dengan deret lain

Andaikan ∑∞

= `1n

na∑

∞

= `1n

nbdan deret positif, jika an ≤ bn maka

1. Jika konvergen, maka∑∞

`

nb ∑∞

`

na konvergen

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

26

∑

∞

= `1n

nb∑∞

= `1n

na2. Jika divergen, maka divergen



ContohContoh

Selidiki Kekonvergenan deret berikut:

1.∑∞

= −3n2 5n

n

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan an =

n

1 dan bn= 5n

n2

−

kita tahu bahwa

,∞

1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

27

=1n

n

5nn

2− n

1≥ , Sehingga karena∑∞

=1nn1

∑∞

= −2n2 5n

n

deret divergen, maka

deret yang divergen.



ContohContoh

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= dan an=

2. ∑∞

= +1n2

5n

1

5n

12

+2n

1

∞1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

28

≥ , Sehingga karena

konvergen, maka deret yang konvergen.∑∞

=+

1n

2 5n

1

2n

1

5n

12

+

=1n

n

p = 2 >1 dan ∑∞

=1n2n

1deret



LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan deret berikut

∑∞

= +1n2

5n

n

∞1

( )∑

∞

= −3n22n

1

∞1

4.1.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

29

= −3n 5n

∑∞

= +1nn 12

1=

−1n

1n2

3.



4. Tes Banding limit

Andaikan an dan bn deret positif dann

nn b

alim∞→


= L

1. Jika 0 < L < ∞ maka ∑∞

= `1n

na ∑∞

= `1n

nbdan sama-sama

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

30

2. Jika L = 0 dan ∑∞

= `1n

nb ∑∞

= `1n

nakonvergen maka konvergen.



ContohContoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

∑∞

=+−

+

1n

23 7n5n

3n21.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

31

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn

=

n

n

n b

alim

∞→

∑∞

= +−

+

1n23 7n5n

3n2konvergen.

= 2

Jadi karena L=2 dan ∑∞

=12

1

n n

2

n

2

23

175

32

lim

n

nnn

n

+−+

=∞→ 75

32lim

23

23

+−

+=

∞→ nn

nn

n

konvergen, maka deret



ContohContoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

2.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

Jawab:

∑∞

=

+1n

2

4n

1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

32

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn

=

n

n

n b

alim

∞→

divergen.

= 1

Jadi karena L=1 dan divergen, maka deret

∑∞

= +1n2 4n

1

n

n1

4n1

lim2

n

+∞→ 4n

nlim

2

2

n +∞→= =

∑∞

=1

1

n n



LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑∞

= ++1n 2 3n2n

n∑

∞

= −

+

1n 3 4n

1n3

∑∞ 1 ∑

∞

2

nln

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

33

=1n nn

∑∞

=

+

1n2

n

3n2

=1n

3.



5. Tes Hasil Bagi


∑

∞

=1k k a

ρ=+

∞→ k

1k

k a

alim

Diketahui merupakan suatu deret dengan

suku-suku yang positif, misalkan

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

34

∑=1k k a1. Jika < 1 maka deret konvergen

∑∞

=1k

k a divergen2. Jika > 1 maka deret

ρ = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.3. Jika



ContohContoh

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1. ∑∞

=1 !

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an =!

3

n

n

, maka suku ke-n+1

1+n

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

35

n+1=

( )!1+n

se ngga

Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret ∑∞

=1 !3

n

n

nkonvergen

( )13

lim+

=∞→ nn

0=( )!13

!3lim

1

+=

+

∞→ n

nn

n

n

( )

!3

!13

lim

1

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n a

a 1lim +

∞→



ContohContoh

2. ∑∞

=12

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an =2

3

n

n

, maka suku ke-n+1

1+n

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

36

n+1=

( )21+n

se ngga

Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret ∑∞

=12

3

n

n

ndivergen

3=( )2

2

1

3lim

+=

∞→ n

nn( )2

21

13

3lim

+=

+

∞→ n

nn

n

n

( )

2

2

1

3

13

lim

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n a

a 1lim +

∞→



LatihanLatihan


∑∞

=1

!

nn

n

n∑

∞

=

+

1 !

5

n n

n

∞ nn ∑∞ 3

n

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

37

=1n n

∑∞

=

+

1 !

4

n

n

n

n

=1n

3.



Uji Deret PositifUji Deret Positif6. Tes Akar

∑

∞

=1k k aDiketahui merupakan suatu deret dengan

suku-suku yang positif, misalkan aak k

k =

∞→lim

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

38

∑=1k k a

∑∞

=1k

k a

1. Jika a < 1 maka deret konvergen

divergen

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

2. Jika a > 1 maka deret

3. Jika a



ContohContoh

Selidiki kekonvergenan deret

1. ∑∞

=

−

+

1 1

22

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =

n

n

n

−

+

1

22, maka nilai

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

39

limitnya adalah

21

22limlim =

−

+=

∞→∞→ n

na

n

nn

n

Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret ∑

∞

=

−

+

1 1

22

n

n

n

n

divergen



ContohContoh

2. ∑∞

=

−

+

1 12

2

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =

n

n

n

−

+

12

2, maka nilai

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

40

limitnya adalah

2

1

12

2limlim =

−

+=

∞→∞→ n

na

n

nn

n

Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret∑

∞

=

−

+

1 1

22

n

n

n

n

konvergen



LatihanLatihan


∑∞

=

1 ln

1

n

n

n

∞ + 23n

n∞

nn

∑

∞

=

+

1

1

2

1

n

n

n3.1.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

41

= −

112

nn= +1n n

D t G ti T d d K kD t G ti T d d K k



Deret Ganti Tanda dan KekonvergenanDeret Ganti Tanda dan Kekonvergenan

MutlakMutlak Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

( ) ...aaaaa1 4321

1n

n1n +−+−=−∑∞

=

+

dengan an > 0, untuk semua n.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

42

Contoh penting adalah deret harmonik bergantitanda, yaitu

( ) ...4

1

3

1

2

11

n

11

1n

1n+−+−=−∑

∞

=

+



Uji Deret Ganti TandaUji Deret Ganti Tanda

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakankonvergen jika

1. an+1< an

0lim =na2.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

43

∞→n

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

...4

1

3

1

2

1

1 +−+−1.

2. ...!4

1

!3

1

!2

11 +−+−



ContohContoh

1. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an= n

1, dan an+1 =

1

1

+n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 11

11

1

1

>+=+

==nn

nn

a

an ⇔ an >an+1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

44

n

b. 01limlim ==∞→∞→ n

an

nn

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.



ContohContoh

2. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an=!

1

n, dan an+1 =

( )!1

1

+n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 111

!1

>+== nn

a

an ⇔ an >an+1

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

45

n

b. 0!

1limlim ==∞→∞→ n

an

nn

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.



LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

( )∑∞

=

+

+

−1

1

13

21

n

n

n

( )∑∞

=

−1 3

1n

n

n n

( )∞ +

−2

31 n n ( )∑

∞

−1

1 n

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

46

=1n nn

( )∑∞

=

+−

1

1

!1

n

nn

n

n

=1n

3.



Konvergen Mutlak dan Konvergen BersyaratKonvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

∑∞

=1n

nb

Atau dengan kata lain

dikatakan konvergen mutlak jika ∑∞

=1n

nb konvergen.

∑∞

nb divergen,Dan dikatakan konvergen bersyarat jika

mutlak deret tersebut konvergen.

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

47

∑=1n

nb

konvergen.tetapi



Pengujian Kekonvergenan MutlakPengujian Kekonvergenan Mutlak

Misalkan∑∞

=1n

na dengan an ≠ 0 dann

n

n a

a 1lim +

∞→= r. Maka

1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak2. bila r > 1 maka deret divergen3. bila r = 1 maka tes gagal.

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

48

Bisa digunakan uji deret positif lainnya



ContohContoh

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergenmutlak atau divergen

1.( )

∑

∞

=

+−

1

1

!

21

n

nn

n

Jawab:

21

nn+

− 2 1

2−

++

nn

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

49

( ) ( )

( ) ( )!21

!121

limlim1

12

1

n

n

a

ar

nn

nn

n

n

n

n +

++

∞→

+

∞→

−

+−

==( )!12

!2lim

1

+=

+

∞→ n

nn

n

n

1

2lim

+

=∞→

nn

n !n, n+1

( )!1+n

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

sehingga

0=



ContohContoh

2. ( )∑∞

=

+−1

1 11

n

n

n

Jawab:

Dengan uji deret ganti tanda deret ( )∑∞

=

+−

1

1 11

n

n

n

∞ ∞ 1

konvergen

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

50

( )∑∞

=

+−

1

1 11

n

n

n

= =

=1 1n n

nn

a

Jadi deret

u an ,

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

adalah konvergen bersyarat.

se ang an

L ihL ih



LatihanLatihan

( )∑∞

=

−

1 51

nn

n n ( )( )∑

∞

= +−

1 111

n

n

nn1.

4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergenbersyarat atau divergen:

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

51

∑∞

=

−1

2)4(

n

n

n

∑

∞

= +

−

1 23

)1(

n

n

n

∑∞

=

+

−1

1

ln)1(

n

n

nn

∑

∞

=

+

+

−

1

1

1

)1(

n

n

nn

2.

3.

5.

6.

D t P k tD t P k t



Deret PangkatDeret Pangkat

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk

1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

52

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

( )∑∞

=

−

0n

nn b xa = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untukharga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

S l K kS l K k



Selang KekonvergenanSelang Kekonvergenan

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagimutlak sebagai berikut:

Misalkan ( )∑∞

=

−0n

n

n b x a dan nn

nn

n b x a

b x aL

)(

)(lim

11

−

−=

+

+

∞→

2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II

53

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.

2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakanuji deret sebelumnya.

S lS l



SoalSoal

Tentukan selang kekonvergenan deret

∑∞

= +0 2)1(nn

n

n x

∞ n x

1.

2.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

54

=0nn

∑∞

=

+

0

!)1(

n

n xn3.

J bJ b



JawabJawab

1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidikikekonvergenan mutlak.

n

n

n

n

n n

x

n

x L

2)1(:

)2(2lim

1

1

++=

+

+

∞→ 2

x =

)2(

)1(

2lim

+

+=

∞→ n

n x n


55

,

–2 < x < 2Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitux = 2 atau x = -2 . Pada x = 2

( ) ( )∑∑∞

=

∞

= +=

+ 11 11

212

nnn

n

nn

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

JawabJawab



JawabJawab

Pada x = –2

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yangkonvergen.

( )( )

( )( )∑∑

∞

=

∞

=

+

−=

+

−

11

1

1

21

2

n

n

n

n

n

nn


56

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 ≤ x < 2

Jawab(2)Jawab(2)



Jawab(2)Jawab(2)

2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk

menyelidiki kekonvergenan mutlak.

( ) ( )!1:

!2lim

1

++=

+

∞→ n

x

n

x L

nn

n0=

( )2lim

+=

∞→ n

x n


57

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuksemua nilai x.

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-∞,∞)

Jawab(3)Jawab(3)



Jawab(3)Jawab(3)

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk

menyelidiki kekonvergenan mutlak.

( )n

n

n

x nL

!2lim

1+=

+

∞→( ) x n

n2lim +=

∞→ =

=0,0 x jika


58

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

,

Teorema 1Teorema 1



Teorema 1Teorema 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=0n

nn xa

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:1. satu titik x = 02. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau

berbentuk


59

keduanya titik ujungnya.

3. seluruh himpunan bilangan riil

Teorema 2Teorema 2



Teorema 2Teorema 2

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=

−0n

nn )bx(a

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x = b


60

2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau

keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil

LatihanLatihan



LatihanLatihan

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

( )∑

∞

= +

−

02

1

)1(

n

n

n

x

( ) ( ) ( )...

4ln23ln22ln22432

++

++

++

++ x x x x

1.

2.


61

81.427.39.23

( )( ) ( )

...!3

2

!2

22

32

++

++

++x x

x3.

Operasi deret pangkatOperasi deret pangkat



Operasi deret pangkatOperasi deret pangkat

Dalam pasal sebelumnya untuk 11 <<− x deret

x

aax

n

n

−=

∑

∞

= 11

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di∞


62

∑=1n

naxatas (misal S( x )= )

didiferensialkan dan jika S( x ) diintegralkan.

misalkan bagaimana jika S( x )

TeoremaTeorema



TeoremaTeorema

Andaikan S( x ) adalah jumlah sebuah deret pangkat padasebuah selang I; jadi

S (x )= ∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3+ . . .

∞n

Maka’


63

=0n

n

∑∞

=

−

1

1

n

nn xna

∫

x

dt t S0

)( ∑∫∞

=0 0n

xn

n dt t a

∑∞

=

+

+0

1

1n

nn x

n

a2

1

3

1

4

1

. = = 0 + 1 + 2 + 3 + . . .

=

=

= a0

x + a1

x 2 + a2

x 3 + a3

x 4+ . . .2.

= a1 + 2a2 x + 3a3 x 2+ . . .

=

ContohContoh



ContohContoh

Sesuai teorema di atas

x−1

1= 1 + x + x 2 + x 3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan

a.( )21

1

x−b. ln(1 – x )


64

awa :

a.( )21

1

x−

Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh

( )21

11

1 x x

D x−

=

−= 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + . . .

, -1< x <11

1

−∞

=

∑= n

n

xn

ContohContoh



ContohContoh

a. ln (1 – x )

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku,

kita peroleh juga

∫∫ ++++=−

=−

x x

dt t t t dt t

x 32 ...11

1)1ln(


65

...41

31

21...

41

31

21 432

0

432 ++++=++++= x x x xt t t t

x

, -1< x <1n

n

xn

∑∞

=

=1

1

LatihanLatihan



LatihanLatihan

x

x f

+

=

1

1)(

+

−=

x

x x f

1

1ln)(

( )21

1)(

x x f

+=

1.

6.2.

5. f(x)=tan-1(x)

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)


66

x x

x x x f

+=

+=

11

1)( 2

2

3. ( ) x x f 32

1)( +

=7.

21

1)(

x x f

+=4.

Deret Taylor dan Deret MaclurinDeret Taylor dan Deret Maclurin



yy

Deret Taylor

Definisi: Misalkan f ( x ) dapat diturunkan sampai n kali

pada x =b. Maka f ( x ) dapat diperderetkan menjadi deretkuasa dalam bentuk

∞

−)( )( n

nb f

’ )()('' 2b xb f −


67

!2

)0(" 2 x f

=0!

nn

= - . . .

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.

Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu

( )

∑

∞

=0

)(

!

)0(

n

nn

xn

f

f(x) = =f (0) +

f ’(0)(

x )+ + . . .

!2

ContohContoh



Co toCo to

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:

1. f( x )= sin x

Jawab:

f ( x ) = sin x

f ’ x = cos x ’

f (0) = 0


68

f ’’( x ) = - sin x f ’’(0) = 0

f ’’’( x ) = - cos x f ’’’(0) = -1

f lV ( x ) = sin x f lV(0) = 0

Sehingga,

...!7!5!3

sin)(753

+−+−==x x x

x x x f ( )( )∑

∞

=

+

+−=

0

12

!121

n

nn

n

x

ContohContoh



2. f ( x )= e x

Jawab:

f ( x ) = ex

f ’( x ) = e x

f ’’( x ) = e x f ’’ 0 = 1

f ’(0) = 1 f (0) = 1


69

f ’’’( x ) = e

x

f ’’’(0) = 1f lV ( x ) = e x

f lV(0) = 1

Sehingga,

...!4!3!2

1)(432

+++++== x x x xe x f x

∑∞

=

=0 !n

n

n

x

ContohContoh



3. Perderetkan f ( x )= e x dengan deret taylor dengan pusatdi x =1

Jawab:

f ( x ) = e x

f ’( x ) = e x

f ’(1) = e

f (1) = e


70

f ’’( x ) = e x f ’’(1) = e

f ’’’( x ) = e x f ’’’(1) = e

f lV ( x ) = e x f lV(1) = e

Sehingga,( ) ( )

...!3

1

!2

1)1()(

32

+−

+−

+−+==x

e x

e xeee x f x ( )∑

∞

=

−=

0 !

1

n

n

n

xe

LatihanLatihan



1. Perderetkan dengan f ( x ) berikut deret maclaurin

a. f ( x ) = cos x

b. f ( x ) = cos x 2

c. f ( x ) = cos2 x

f. f ( x ) = sec x

e. f ( x ) = sin2 x

g. f ( x ) = tan x


71

a. f ( x ) = e x , a = 2a. f( x ) = cos x , a = π /3

b. f( x ) = sin x , a = π /3

d. f ( x ) = e x

+ sin x h. f ( x ) = sec x

2. Perderetkan dengan f ( x ) berikut deret taylor denganpusat x = a

01 barisan dan deret

Documents