TUGAS TELAAH MATEMATIKA II

BARISAN DAN DERET

DISUSUN OLEH :

Aditin Putria (06111008028) Agatha Indy Candra Dewi (06111008037) Meta Apriani (06111008030)

Dosen Pengasuh :

Drs. Budi Santoso, M.Si.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012/2013

Daftar Isi

Daftar Isi……………………………………………………….............................. 1

Peta Konsep…………………………………………..........................…………… 2

Glosarium………………………………………….........................…………….... 3

Bab I Pendahuluan

A. Deskripsi................................................................................................. 4

B. Prasyarat.................................................................................................. 4

C. Standar Kompetensi................................................................................ 4

D. Kompetensi Dasar................................................................................... 4

E. Indikator Hasil belajar..............................................................................4

Bab II Materi Pembelajaran

A. Materi Dasar Pola Bilangan......................................................................4

B. Barisan dan Deret..................................................................................... 6

1. Barisan Bilangan.................................................................................. 6

2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 10

3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 12

Bab III Latihan dan Pengayaan

A. Soal Latihan dan Pengayaan.....................................................................14

B. Kunci Jawaban Pengayaan........................................................................15

Daftar Pustaka......................................................................................................... 16

GLOSARIUM

Tentu saja dalam Modul ini Anda akan menemukan simbol-simbol yang belum Anda

dapatkan sebelumnya. Oleh karena itu Anda harus

memperhatikan dengan seksama glosarium ini.

n : suku

Un : Suku ke - n

Sn : Jumlah suku ke - n

b : beda

r : rasio

BAB I

Pendahuluan

A. DESKRIPSI

Modul ini terdiri atas 3 bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub kompetensinya,

yaitu :

1. Membahas tentang pengertian barisan dan menentukan

rumus suku ke – n suatu barisan bilangan

2. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret

aritmetika

3. Bagaimana mencari suku tengah dan sisipan

4. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret

geometri

B. PRASYARAT

1. Mengetahui Pola Bilangan

2. Terampil dalam operasi pada bentuk aljabar

3. Memahami konsep sigma

C. STANDAR KOMPETENSI

Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat:

Siswa dapat menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

D. KOMPETENSI DASAR

Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan

geometri

E. TUJUAN AKHIR (INDIKATOR HASIL BELAJAR)

1. Siswa dapat memahami pengertian barisan bilangan

2. Siswa dapat menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmetika dan geometri

3. Siswa dapat menjelaskan suku tengah dan sisipan

4. Siswa dapat menjelaskan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika dan geometri

Bab II

Materi Pembelajaran

A. Pola Bilangan

Gambar di samping adalah gedung pertunjukan

yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan

paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut

4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.

Apabila kamu tuliskan banyaknya

tempat duduk pada setiap

baris,diperoleh tabel sebagai berikut.

Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuk

suatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnya

diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 4

1. Pengertian Pola Bilangan

Jika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan

dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut

membentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola.

Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.

a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil.

b. Barisan 2, 4, 6, 8, ....Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap

c. Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut.

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 1 + 2 + 3 + 4

Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.

Baris ke- 1 2 3 4 5 ... 20

Banyak Kursi 40 44 48 52 56 ... 116

d. Amati pola bilangan pada Gambar di bawah ini

Pola bilangan pada Gambar di atas disebut pola bilangan persegi. Mengapa?

Diskusikan dengan temanmu.

Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.

1 = 1 atau 12 = 1

4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5 atau 32= 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7

e. Pola bilangan persegi panjang di antaranya dapat kamu lihat pada Gambar di bawah

ini

Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.

2 = 1 × 2 12 = 3 × 4

6 = 2 × 3 20 = 4 × 5

Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegipanjang? Coba kamu jelaskan.

B. Barisan dan Deret

1. Barisan Bilangan

a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan

Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji

sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh

bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama

adalah sebagai berikut.

Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,........

Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku

pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n

dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan

atau pola tertentu.

Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan

tersebut.

b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan.

Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang

teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah

diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut.

Perhatikan contoh berikut!

1. Manakah suku yang harus diganti dari barisan di bawah ini?

2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,...........

Jawab:

Jika dipandang sekilas tampaknya suku pertama yang harus diganti sebab bukan bilangan

ganjil. Namun, dengan mengganti suku pertama ternyata belum menjadi barisan yang benar

(lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9,dan ke-10). Jadi, manakah yang harus kita ganti? Ternyata

semua bilangan pada barisan di atas adalah bilangan prima, kecuali suku ke-5 sehingga suku

ke-5 itulah yang harus diganti dengan 11.

1. Jika Un = n 2 -1, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

Jawab:

Un = n2 - 1

U1 = 12 - 1 = 1-1 = 0

U2 = 22 - 1 = 4-1 = 3

U3 = 32 - 1 = 9-1 = 8

U4 = 42 - 1 = 16-1=15

U5 = 52 - 1 = 25-1=24, dan seterusnya.

Jadi barisan bilangan tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24,..........

2. Jika Un = 5n - 3, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

Jawab:

Un= 5n - 3

U1= 5(1) - 3= 5-1=2

U2= 5(2) - 3= 10-1=7

U3= 5(3) - 3= 15-1=12

U4= 5(4) - 3= 20-1=19

U5= 5(5) - 3= 25-1=24, dan seterusnya.

Jadi barisan bilangan tersebut adalah 2, 7, 12, 17, 22,..........

Jika bilangan – bilangan diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperoleh

suatu barisan bilangan. Tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut

suku dari barisan itu. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya dari

barisan tersebut dapat ditentukan.

Contoh 1 :1. 2, 6, 10, 14, . . .

+4 +4 +4Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22

2. 1, 2, 5, 10, . . .

+1 +3 +5

Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku

berikutnya adalah 17 dan 26

3. 1, 1, 2, 3, 5, ...

Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan

dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13

Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci. Suku ke-n dari suatu

barisan bilangan dapat di tulis Un . Dengan demikian suku ke-1 dapat di tulis U1 dan

suku ke-100 dapat ditulis U100 .

a. Barisan dengan aturan di tambah bilangan yang sama. Jika aturan suatu barisan di

tambah b, maka suku ke-n akan memuat

b x n yaitu U n = b x n + .....atau U n = b x n -....

Contoh 2:

1) 5, 8, 11, 14,....

Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu

U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama dengan yang

dimaksud

U2 = 8 = 3 x 2 + 2 .

Jadi Un = 3 x n + 2

= 3n + 2

2) 3, 6, 9, 12, . . .

+3 +3 +3

U1 = 3 = 3 x 1 U3 = 9 = 3 x 3

U2 = 6 = 3 x 2 U4 = 12 = 3 x 4

Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n

3) 4, 8, 12 16, . . .

+3 +3 +3U1 = 4 = 4 x 1 U3 = 12 = 4 x 3

U2 = 8 = 4 x 2 U4 = 16 = 4 x 4

Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n

Dari contoh 2 dan 3 di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

(i) jika aturan barisan ditambah dengan 3, maka rumus suku ke-n memuat 3 x n

(ii) jika aturan barisan ditambah dengan 4, maka rumus suku ke-n memuat 4 x n

Contoh 3:

1) 5, 8, 11, 14,...

+3 +3 +3

karena aturannya ditambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu

U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti

barisan yang dimaksud

U2 = 8 = 3 x 2 + 2

Jadi, Un = 3 x n + 2

= 3n + 2

Gunakan rumus di atas untuk mengecek suku ke-4, maka:

Un = 3n + 2

U4 = 3 x 4 + 2 = 14 sesuai dengan suku ke-4 pada barisan di atas

b. Barisan dengan aturan dikali atau di pangkatkan

Untuk menentukan suku ke-n barisan seperti ini, maka harus di tentukan hubungan antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat.

Contoh 4:1) 2, 4, 8, 16,....

U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22

, U3 = 8 = 23 , U4 = 16 = 24

Bilangan pokok selalu 2 dan pangkat sesuai dengan urutan suku, maka Un = 2n.

Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-nakan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n -

2. Barisan dan Deret Aritmatika

Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika

adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a

+ 2b, a + 3b adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. ⋅⋅⋅

Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan

Sn = n2

(2a + (n − 1)b) = n2

(a + Un)

Contoh 5 :

Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama. ⋅⋅⋅

Solusi : 2, 5, 8, 11, adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. ⋅⋅⋅

Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) 3 = 29 ⋅

Jumlah 4 suku pertama = 42

(2(2) +(4-1)3) = 26

Contoh 6:

Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n2 − 15n, maka U3

= ⋅⋅⋅⋅

Solusi : Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah

n − 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un.

Jadi, Un = Sn − Sn-1.

Un = (3n2 − 15n) − (3(n − 1)2 − 15(n − 1))

Un = 3n2 − 15n − 3n2 + 6n − 3 + 15n − 15 = 6n − 18

Maka U3 = 6(3) − 18 = 0

Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 − S2.

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka :

Ut = U 1+Un2

dengan n merupakan bilangan ganjil

Contoh 7 :

Diketahui 3, , 13, 15, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

tersebut.

Solusi :

3, , 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U⋅⋅⋅ 1 = a = 3 dan Un = 15.

Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9

Sisipan

Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan

namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki

perubahan dengan suku pertama tetap.

Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang lama. Hubungan

keduanya adalah

bB = bLk+1

Contoh 8:

Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42. disisipi⋅⋅⋅⋅

sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

Solusi :

Beda barisan yang baru adalah bB = 104+1

= 2

Suku pertama, a = 2.

U100 = a + 99bB = 2 + 99 2 = 200 ⋅

Suku ke-100 = 200.

Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 200.

3. Barisan dan Deret Geometri

a. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama

Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki

perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, adalah barisan geometri dengan⋅⋅⋅

suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :

Un = a r⋅ n-1

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan :

Sn = a(r n−1)r−1

Contoh 9 :

Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama

barisan tersebut.

Solusi :

2, 6, 18, 54,

Suku ke-5, U5 = 2 3⋅ 5-1 = 162

Jumlah 4 suku pertama = 2(34−1)

3−1 = 80

Contoh 10 :

Pada barisan geometri diketahui U8 = 36 dan S7 = 52, maka S8 = ⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi :

U8 = 36 dan S7 = 52

Pada barisan aritmatika maupun geometri berlaku Sn − Sn−1 = Un.

S8 − S7 = U8 S8 = 52 + 36 = 88.

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un

dengan n merupakan bilangan ganjil

Contoh 11: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, adalah barisan geometri. Tentukan suku ⋅⋅⋅⋅

tengah dari barisan tersebut.

Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162.

Maka suku tengah,

Ut=√2.162= 18

Sisipan

Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi k buah bilangan

namun tetap membentuk barisan geometri. Maka rasio barisan tersebut akan memiliki

perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan rB = rasio barisan yang baru dan rL =

rasio barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah

rB = k+1√rL

Contoh 12 : Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, ⋅⋅⋅⋅

disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru.

rB = 3+1√16 = 2

Suku pertama, a=2

U7 = ar6 = (2)(26) = 128

Suku ke-7 = 128.

4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga

Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai

contoh adalah arisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, yang merupakan⋅⋅⋅

penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang

ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa contoh rumus deret lainnya : 12 + 22 + 32 + + n⋅⋅⋅ 2 = n (n+1 )(2n+1)

6

13 + 23 + 33 + + n⋅⋅⋅ 3 = ( n (n+1 )

2 )2

BAB III

Latihan dan Pengayaan

Soal Latihan :

1. Jika Un = 7n - 5, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

2. Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 2n2 − 7n, maka

U5 = ⋅⋅⋅⋅

3. Diketahui 7, , 28, 35, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

tersebut!

4. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 8, 14, 20, 26. disisipi sebanyak⋅⋅⋅⋅

3 bilangan. Tentukan suku ke-99 dari barisan yang baru!

5. Diketahui barisan 3,9,27,81,... Tentukan suku ke-7 dan jumlah 5 suku pertama barisan

tersebut.

6. Diketahui 4, 8, 16, 32, 64, adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari⋅⋅⋅⋅

barisan tersebut.

7. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 7,28, 112, 448, disisipi sebanyak 3⋅⋅⋅⋅

bilangan. Tentukan suku ke-8 dari barisan yang baru.

Soal Pengayaan :

1. (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5.

Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa

sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅

2.Kunci Jawaban Soal Pengayaan :

1. u25 = 3(u5), maka a + 24b = 3(a + 4b) sehingga a = 6b

un = a + (n − 1)b = 2u1 = 2a

6b + (n − 1)b = 2(6b)

n = 7

Suku tersebut adalah suku ke-7

2. Karena sisi terpanjang segitiga sama dengan 20 dan membentuk barisan aritmatika

maka sisi-sisi segitiga tersebut dapat dimisalkan dengan 20, 20 − x dan 20 − 2x

dengan x adalah bilangan positif. Karena ketiga sisi membentuk segitiga siku-siku

maka

(20 − 2x)2 + (20 − x)2 = 202

400 − 80x + 4x2 + 400 − 40x + x2 = 400

5x2 − 120x + 400 = 0

(x − 4)(x − 20) = 0

x = 4 atau x = 20

Jika x = 20 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 0 dan −20 yang tidak

mungkin merupakan sisi-sisi segitiga.

Jika x = 4 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 16 dan 12 yang membentuk

sisi-sisi segitiga siku-siku.

Jadi, keliling segitiga tersebut = 20 + 16 + 12 = 48.

Daftar Pustaka

Cholik. M, A. 2002. Matematika untuk SMA kelas 3. Jakarta : Erlangga

Tim Penyusun Matematika. 1996. Matematika untuk SMU Kelas 3. Surabaya : Kendang Sari

Hermanto, Eddy. Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika Tahun Pelajaran 2010-2011.

Bengkulu : SMA Negeri 5 Bengkulu