KONSEP DASAR

BARISAN DAN DERET SERTA PENERAPAN

Diskripsi Mata Kuliah

Tujuan : Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis.

Barisan dan deret : Bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu.

Tujuan Khusus

Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung permasalahan-permasalahan misalkan bisnis dan ekonomi

Contoh

Konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangka panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu.

A. Teori Baris dan Deret

Pengertian Baris

Baris adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.

Penggolongan baris dapat didasarkan pada :

Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi : Baris berhingga dan Baris tak berhingga

Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi :

Baris Hitung, Baris Ukur, dan Baris Harmoni

1. Baris Hitung

Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara satu suku ke suku sebelumnya.

Contoh

2, 4, 6, 8, 10, 12 , .... Sn

S1 = 2 ( suku pertama)

S2 = 4 ( suku kedua) …

Sn = n ( suku ke-n)

Jika suku pertama (S1) dinyatakan dengan a, selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi b, dan suku barisan ke-n dilambangkan Sn, maka untuk suku ke-n diperoleh rumus :

Sn = a + (n – 1) b

Baris Hitung

Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan berikut :

a. 5, 10, 15, 20, …

b. 2, -1, -4, -7, …

c. 3, 8, 13, 18, …

Baris Hitung

Contoh 1

a. 5, 10, 15, 20, …

Suku pertama (S1) = a = 5

Beda (b) = S2 - S1 = S3 - S2 = 5

Rumus suku ke-n (Sn) = a + (n – 1) b

Sehingga Sn = 5 + (n – 1)5

Sn = 5 + 5n – 5

Sn = 5n

Suku ke-10 (S10) = 5. 10 = 50

Baris Hitung

Penyelesaian

b. 2, -1, -4, -7, …

Suku pertama (S1) = a = 2

Beda (b) = S2 – S1 = S3 – S2 = –3

Rumus suku ke-n (Sn) = a + (n – 1) b

Sehingga Sn = 2 + (n – 1)(-3)

Sn = 2 – 3n + 3

Sn = 5 – 3n

Suku ke-10 (S10) = 5 – 3(10)

= 5 – 30 = – 25 Baris Hitung

Penyelesaian

Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3.000 unit barang ?

Baris Hitung

Contoh 2

Penurunan produksi bernilai tetap, berarti merupakan persoalan baris hitung dengan beda (b) = –80, a = 5.000, Sn = 3.000, sehingga

(Sn) = a + (n – 1) b

3.000 = 5.000 + (n – 1)(– 80)

3.000 = 5.000 – 80n + 80

80n = 2.000 + 80

n = (2.080 : 80) = 26

Jadi perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke-26

Baris Hitung

Penyelesaian

Diketahui baris hitung dengan S5 = 19 dan S15 + S19 = 134. tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut !

(coba Anda selesaikan masalah di atas)

Baris Hitung

Contoh 3

2. Deret Hitung

Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya.

Contoh

Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , .... Sn

Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42 , …

D1 = 2 D3 = 2 + 4 + 6 = 12

D2 = 2 + 4 = 6 D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 dst

Deret Hitung

Jika suku pertama (D1) dinyatakan dengan a, selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi b, dan deret hitung suku ke-n dilambangkan Dn, maka untuk deret hitung suku ke-n diperoleh rumus :

Dn = n/2 (a + Sn)

Atau

Dn = n/2 {2a + (n – 1) b}

Deret Hitung

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret hitung : 11 + 16 + 21 + …

Penyelesaian

a = D1 = 11

b = 16 – 11 = 21 – 16 = 5

n = 10

Dn = n/2 {2a + (n – 1) b}

D10 = ½(10) {2(11) + (10 – 1) 5}

= 5(22 + 45)

= 335

Contoh 1

Deret Hitung

Diketahui deret hitung : 2 + 5 + 8 + 11 + …

Tentukan :

a. Rumus baris hitung (Sn)

b. Rumus deret hitung (Dn)

c. Jumlah 20 suku pertama (D20)

Contoh 2

Deret Hitung

a = Sn = 2

b = 5 – 2 = 8 – 5 = 3

a. (Sn) = a + (n – 1) b

= 2 + (n – 1) 3

= 2 + 3n – 3 = 3n – 1

Penyelesaian

Deret Hitung

b. (Dn) = n/2 (a + Sn)

= n/2 + {2 + (3n – 1)}

= (n + 3n2)/2

c. (D20) = {20 + 3(20)2}/2

= (20 + 1200)/2

= 610

Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp 50.000,00. Jika gaji pertama karyawan tersebut Rp 1.000.000,00, tentukan jumlah gaji selama satu tahun pertama.

Contoh 3

Deret Hitung

a = 1.000.000

b = 50.000

n = 1 tahun = 12 bulan

Dn = n/2 {2a + (n – 1) b}

D12 = 12/2 {2(1.000.000) + (12 – 1) 50.000}

= 6{(2.000.000 + 11(50.000)}

= 6(2.550.000)

= 15.300.000

Jadi jumlah gaji karyawan tersebut selama setahun adalah Rp 15.300.000

Penyelesaian

Deret Hitung

Simpanan wajib tiap bulan seorang anggota sebuah koperasi setiap tahun selalu naik Rp 5.000,00 dari tahun sebelumnya. Jika simpanan wajib pada tahun pertama Rp 10.000,00 setiap bulan, maka tentukan jumlah simpanan wajib anggota tersebut !

(coba Anda selesaikan masalah di atas)

Contoh 4

Deret Hitung

1. Keuntungan yang diperoleh Pak Karta semakin bertambah setiap bulannya dengan jumlah yang sama. Apabila keuntungan sampai bulan ke-3 adalah Rp 480.000,00 dan keuntungan sampai bulan ke-12 adalah Rp 2.568.000, tentukan keuntungan yang diperoleh sampai tahun ke-3 !

Aktivitas Kelas

2. Dari seluruh gaji yang diterimanya setiap bulan. Yudha selalu menyisihkan sebagian untuk ditabung. Pada awalnya ia menabung sebesar Rp 500.000,00 dan setiap bulan berikutnya ia menambah Rp 10.000,00 lebih besar dari tabungan bulan sebelumnya. Berapa besar uang yang ditabung Yudha setelah 3 tahun.

Aktivitas Kelas

3. Sebuah perusahaan menemukan fakta bahwa keuntungan yang diperoleh perusahaan selalu meningkat setiap tahun. Tiga tahun yang lalu diketahui keuntungan perusahaan sebesar Rp 100 juta dan dua tahun berikutnya berturut-turut terjadi kenaikan sebesar Rp 23.500.00,00. Dengan asumsi besar kenaikan keuntungan tetap tiap tahun, tentukanlah total keuntungan perusahaan hingga lima tahun yang akan datang !

Aktivitas Kelas

4. Pada malam pertunjukkan dalam rangka membantu korban bencana alam, ruangan tempat duduk untuk para penonton dibagi atas beberapa baris. Masing-masing baris terdiri 200 tempat duduk. Harga karcis baris terdepan Rp 150.000,00 per orang dan harga karcis baris paling belakang sebesar Rp 50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia berharap akan memperoleh uang sebesar Rp 120.000.000,00. Berapakah harga karcis per orang dari baris sebelum baris paling belakang !

Aktivitas Kelas

TERIMAk ASIH

Raihlah ilmu, dan untuk meraih ilmu belajarlah untuk tenang dan sabar. ~ Khalifah 'Umar