ale ruang baris

BAB V

RUANG VEKTOR UMUM

5.1 Ruang Vektor Umum

Konsep sebuah vektor yang menyatakan serangkaian himpunan aksioma

yang jika dipenuhi oleh sekelompok obyek, maka obyek tersebut dinamakan

vektor. Aksioma-aksioma tersebut akan dipilih dengan mengabstraksikan sifat-

sifat yang paling penting dari vektor-vektor pada Rn

Definisi:

- Misal V sembarang himpunan obyek yang dua operasinya

didefinisikan yaitu penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan

riil).

- Penambahan untuk mengasosiasikan aturan dengan setiap pasang

obyek u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, disebut jumlah u

dan v.

- Perkalian skalar untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k

maupun setiap obyek u pada V yang mengandung elemen ku, disebut

perkalian skalar (skalar multiple) u oleh k.

- Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua obyek u, v, w

pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebuah ruang

vektor (vector space) dan obyek-obyek pada V dinamakan vektor.

1. Jika u dan v adalah obyek-obyek pada V, maka u + v berada di V

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. ada sebuah obyek 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u

di V.

5. Untuk setiap u di V, ada sebuah obyek -u di V yang dinamakan negatif

u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang obyek di V,

maka ku berada di V

Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 1

7. k(u+v) = ku + kv

8. (k+l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)(u)

10. 1u = u

Contoh-1:

Misalkan V adalah sembarang bidang yang melalui titik asal pada R3.

Akan diperlihatkan bahwa titik-titik V adalah vektor-vektor pada R3

Penyelesaian:

Karena bidang V lewat melalui titik asal, maka bidang tersebut

mempunyai persamaan yang berbentuk:

ax + by + cz = 0

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) V, maka:

au1 + bu2 + cu3 = 0 dan av1 + bv2 + cv3 = 0

Dengan menambahkan persamaan, didapat:

a(u1 + v1) + b(u2 + v2) + c(u3 + v3) = 0

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) terletak pada bidang V

Dengan mengalikan au1 + bu2 + cu3 = 0 dengan -1, maka

a(-u1) + b(-u2) + c(-u3) = 0

Jadi -u = (-u1, -u2, -u3) terletak pada V

Contoh-2:

Jika V adalah himpunan semua fungsi riil pada sebuah garis.

Jika f = f(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi adn k adalah sembarang bilangan

riil, maka:

f + g = f(x) + g(x) = (f + g)(x)

kf = k f(x) = (kf) (x)

Contoh-3:

Misalkan V adalah himpunan semua titik (x, y) pada R2, terletak pada

kuadran pertama, sehingga: x ≥ 0 dan y ≥ 0

Maka:


v = (1, 1) terletak pada V, tetapi (-1)v = -v = (-1, -1) tidak terletak pada V

Teorema

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, v sebuah vektor pada V, dan k

sebuah skalar, maka:

a. 0v = 0

b. k0 = 0

c. (-1)u = -u

d. Jika ku = 0, maka k = 0. atau u = 0

5.2 Subruang

Definisi:

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang

(subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan

perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema:

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang

vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi

berikut berlaku:

a. jika u dan v adalah vektor-vektor dalam W, maka u+v terletak di W


(1, 1)

(-1, -1)

b. jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka

ku berada di W.

Kondisi a. dan b. dinyatakan bahwa W tertutup di bawah penambahan dan

perkalian skalar.

Pada gambar di atas memperlihatkan bahwa: semua vektor dalam sebarang

bidang yang melalui titik asal R3 membentuk sebuah ruang vektor, yakni bidang

yang melalui titik asal subruang R3.

Bukti, misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan u serta v sebarang

vektor pada W. Maka u+v harus terletak pada W karena u+v adalah diagonal

jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v. Dan ku harus terletak pada W untuk

sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. Jadi W adalah

subruang dari R3

Contoh-1:

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2x2 yang mempunyai

bilangan nol (0) pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M22

dari semua matriks 2x2

Penyelesaian:


W

u

v

ku

u+v

Misalkan , adalah sebarang matrik pada W

dan k adalah sebarang skalar, maka:

dan

Oleh karena kA dan A+B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka

kA dan A+B terletak pada W. Jadi W adalah subruang dari M22

Contoh-2

Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif dan W terdiri dari fungsi

nol serta fungsi polinomial riil yang mempunyai derajat ≤ n. Jadi W adalah

himpunan semua fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

p(x) = a0 + a1x + ..... + anxn dimana a0, ..... an adalah bilangan riil, dan W adalah

subruang dari ruang vektor semua fungsi bernilai riil.

Misalkan:

p(x) = a0 + a1x + ..... + anxn

dan q(x) = b0 + b1x + ..... + bnxn

maka (p+q)(x) = p(x) + q(x)

= (a0+b0) + (a1+b1)x + ..... + (an+bn)xn

Juga (kp)(x) = kp(x)

= (ka0) + (ka1)x + ..... + (kan)xn

Maka p+q dan kp terletak di W

Contoh-3

Tinjau sistem m persamaan linier pada n bilanga tak diketahui:

a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2

. . . .

. . . .

am1x1 + am2x2 + ….. + amnxn = bm

Atau dalam notasi matrik Ax = b


Sebuah vektor pada Rn disebut vektor pemecahan (solution

vector) dari sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2, ..... xn = sn merupakan pemecahan

dari sistem tersebut.

Akan diperlihatkan bahwa himpunan vektor pemecahan dari sistem homogen

adalah subruang dari Rn

Maka:

Ax = 0 adalah sistem homogen m persamaan linier pada n bilangan tak

diketahui. W adalah himpunan vektor pemecahan, serta s dan s1 adalah vektor-

vektor pada W.

Diperloeh:

As = 0 dan As1 = 0

Sehingga

A(s+s1) = As + As1 = 0 + 0 = 0

A(ks) = k(As) = k0 = 0

Persamaan ini memperlihatkan bahwa s+s1 dan ks memenuhi persamaan Ax = 0.

Jadi s+s1 dan ks adalah vektor-vektor pemecahan. Subruang W dinamakan ruang

pemecahan (solution space) dari sistem Ax = 0

Definisi:

Sebuah vektor disebut Kombinasi Linier dari vektor-vektor 1,

2, ... r jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

= k1 1 + k2 2 + ... + kr r, dimana k1, k2, ... kr adalah skalar.

Contoh:

Misal = (1, 2, -1), = (6, 4, 2) ε R3

Tunjukkan bahwa = (9, 2, 7) Kombinasi Linier dari dan

Dan 1 = (4, -1, 8) bukan Kombinasi Linier dari dan

Jawab:


Untuk memperlihatkan = (9, 2, 7) Kombinasi Linier dari dan ,

harus dicari k1 dan k2 sehingga: = k1 + k2

yaitu: (9, 2, 7) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)

(k1, 2 k1, - k1) + (6 k2, 4 k2, 2 k2) = (9, 2, 7)

Ini berarti: k1 + 6k2 = 9

2k1 + 4k2 = 2

-k1 + 2k2 = 7

Dengan memecahkan sistem ini akan diperoleh: k1 = -3 dan k2 = 2

Jadi Kombinasi Linier yang diminta adalah: = -3 + 2

(Apakah 1 = (4, -1, 8) bukan Kombinasi Linier dari dan ??)

Definisi:

Jika 1, 2, ... r adalah vektor-vektor pada R dan V dan jika masing-

masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai Kombinasi Linier 1, 2, ... r

maka vektor-vektor tersebut dinyatakan sebagai merentang V.

Contoh-1:

Vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) merentang R3 karena

setiap vektor (a, b, c) pada R3 dapat ditulis sbg:

(a, b, c) = ai + bj + ck yang merupakan kombinasi linier i, j, k

Contoh-2:

Polinom-polinom 1, x, x2, ..... xn merentang ruang vektor Pn, karena setiap

polinom p pada Pn dapat ditulis sbg:

p = a0 + a1x + ..... + anxn merupakan kombinsi linier 1, x, x2, ..... xn

Contoh-3:

Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1, 0, 1) dan v3 = (2, 1, 3) merentang R3

Penyelesaian:

Ambil sebarang vektor b = (b1, b2, b3) pada R3 dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linier: b = k1 1 + k2 2 + k3 3

Maka:

(b1, b2, b3) = k1 1 + k2 2 + k3 3


(b1, b2, b3) = k1 (1, 1, 2) + k2 (1, 0,1) + k3 (2, 1, 3)

Atau (b1, b2, b3) =( k1 + k2 + 2k3, k1 + k3, 2k1 + k2 + 3k3)

Dapat juga:

k1 + k2 + 2k3 = b1

k1 + k3 = b2

2k1 + k2 + 3k3 = b3

Maka sistem tersebut akan konsisten untuk semua nilai b1, b2, b3 jika dan hanya

jika matrik koefisien-koefisien dapat dibalik. Tetapi det(A) =

0, sehingga A tidak mempunyai invers, maka 1, 2 dan 3 tidak merentang R3

Teorema:

Jika 1, 2, ... r vektor-vektor pada R dan V, maka:

a) Himpunan W dari semua Kombinasi Linier 1, 2, ... r adalah subruang

V

b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung 1, 2, ... r

dalam arti setiap subbidang lain dari V yang mengandung 1, 2, ... r

harus mengandung W.

Perhatikan :

a) Jika dan W, maka :

= c1 1 + c2 2 + ... + cr r dan = k1 1 + k2 2 + ... + kr r

Dimana ci dan ki skalar, maka:

+ = (c1+ k1) 1 + (c2+ k2) 2 + ... + (cr+ kr) r

Dan untuk sembarang skalar k:

k = (kc1) 1 + (kc2) 2 + ... + (kcr) r

Jadi + dan k Kombinasi-kombinasi Linier 1, 2, ... r

Sehingga + dan k terletak di W

b) Setiap vektor i adalah kombinasi-kombinasi linier 1, 2, ... r, karena:

i = 0 1 + 0 2 + ... + 0 r


Oleh karena itu, subruang W mengandung setiap vektor 1, 2, ... r

Karena

W1 tertutup terhadap penambahan dan perkalian skalar, maka W1 harus

mengandung semua kombinasi linier :

c1 1 + c2 2 + ... + cr r dari 1, 2, ... r

Jadi W1 mengandung setiap sektor W.

Ruang Linier W yang direntang oleh himpunan vektor s = { 1, 2, ... r}

dinyatakan oleh: lim(s) atau lim{ 1, 2, ... r}

Contoh:

Jika v1, v2 tidak terletak pada satu garis di R3, maka lin { v1, v2} terdiri dari semua

kombinasi linier k1v1, k2v2 adalah bidang yang ditentukan oleh v1, v2 . Juga dengan

vektor tak nol pada R2 dan R3, maka lin {v} yang merupakan himpunan semua

perkalian skalar kv, adalah garis yang ditentuka oleh v.

Contoh Soal

1. Diketahui vektor di R5, dimana

= (3, 2, 1, -1, 4)

= (1, 2, -3, -2, 4)

= (11, 10, -3, -7, 20)

Apakah merupakan kombinasi linier dari dan


k1v1 + k2v2

k1v1

v1

k2v2

v2

Lin(v1 +v2)

●0

v

kv

lin(v)

2. Diketahui vektor di R4, dimana

= (3, 2, 4, 5)

= (2, 1, 3, -4)

= (16, 10, 22, 1)

Apakah merupakan kombinasi linier dari dan

5.3 Kebebasan Linier

Definisi:

Jika S = { 1, 2, ... r} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

k1 1 + k2 2 + ... + kr r = mempunyai paling sedikit satu pemecahan,

yaitu: k1 = 0, k2 = 0, ..... kr = 0

Jika ini satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas

linier. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas

linier (bergantungan linier).

Contoh 1:

Himpunan vektor-vektor S = { 1, 2, 3}, dimana 1 = (2, -1, 0, 3), 2

= (1, 2, 5, -1), 3 = (7, -1, 5, 8) himpunan tak bebas linier karena,

misalkan:

3 1 + 2 - 3 = .

Contoh 2:

Vektor-vektor = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1) di R3

k1(1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

Maka k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0

Jadi himpunan S = { , , } bebas linier.

Teorema:

Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah :

b) Tak bebas linier, jika dan hanya jika satu diantara vektor S dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya.


c) Bebas linier, jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.

Contoh:

Himpunan vektor-vektor S = { 1, 2, 3}, dimana 1 = (2, -1, 0, 3), 2

= (1, 2, 5, -1), 3 = (7, -1, 5, 8) tak bebas linier karena

3 1 + 2 - 3 = .

Dapat ditulis bahwa satu vektor adalah kombinasi linier dari dua vektor

lainnya :

Contoh 1

Apakah dan bebas atau tidak bebas liner?

Jawab a):

= 3(1, 3) = 3 dan tidak bebas linier (bgl)

Jawab b):

λ1 + λ2 =

λ1 + λ2 =

λ1 = -3λ2 , jawab non trivial, jadi dan tidak

bebas linier (bgl)Jawab c):

A . =

= 1.9 – 3.3 = 9-9 = 0 dan tidak bebas linier (bgl)


Jawab d):

dan tidak bebas linier

(bgl)

Contoh 2

Apakah dan bebas atau tidak bebas liner?

Jawab a:

b = (2, 1)

2a = 2 (1, 3) = (2, 6)

b ≠ 2a, maka bebas linier (bbl)

Jawab b:

λ1 + λ2 =

λ1 + λ2 =

λ1 = λ2 = 0 (jawab trivial)

Jadi a dan b bebas linier

Jawab c:

Jadi a dan b bebas linier

Contoh 3

Apakah , dan bebas atau tidak bebas liner?


Jawab :

λ1 + λ2 + λ3 =

λ1 + λ2 + λ3 =

-λ2 - 2 λ3 = 0

Jadi λ2 = -2 λ3

Maka : λ1 + λ2 + 5 λ3 = 0

λ1 - 2 λ3 + 5 λ3 = 0

jadi λ1 = - 3 λ3

Jadi jawab:

λ1 = - 3 λ3

λ2 = -2 λ3

λ3 = λ3

mempunyai jawab non trivial, maka bergantungan linier (bgl)

Contoh 4

Apakah , dan bebas atau tidak bebas liner?

Jawab :

λ1 + λ2 + λ3 =

λ1 + λ2 + λ3 =

6 λ1 = 0 λ1 = 0

2λ1 + 5λ2 = λ2 = 0

3λ1 - λ2 + 7λ3 = λ3 = 0


Jadi λ1 = λ2 = λ3 = 0 (jawab trivial)

Jadi a, b dan c bebas linier

Teorema:

1. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu

tak bebas linier.

2. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas

linier jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian

dari skalar lainnya.

3. Misalkan S = {v1, v2, ...... vr} adalah himpunan vektor-vektor pada

Rn. Jika r > n, maka S tak bebas linier

Soal Latihan

Apakah vektor-vektor , dan bebas atau tidak bebas liner?

1. Diketahui: Vektor di R3




5.4 Basis Dan Dimensi


Definisi :

Jika V ruang vektor dan S = { 1, 2, ... r} himpunan berhingga vektor-

vektor di V, maka S disebut basis untuk V jika :

a) S bebas linier

b) S merentang V

Contoh 1 :

Himpunan bebas linier dalam Rn.

Setiap vektor = (v1, v2, ... vn) di Rn dapat ditulis sebagai :

maka S merentang Rn sehingga S

adalah basis, disebut basis baku untuk Rn

Contoh 2 :

1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 9, 0), 3 = (3, 3, 4)

Akan diperlihatkan S = { 1, 2, 3} basis untuk R3

Jawab :

Akan diperlihatkan S merentang R3 dan bebas linier.

Sebarang vektor = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

:

= k1 1 + k2 2 + k3 3

(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1) + k2 (2, 9, 0) + k3 (3, 3, 4)

atau : k1 + 2k2 + 3k3 = b1

2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 .................. (*)

k1 + 4k3 = b3


Jadi untuk memperlihatkan bahwa S merentang V maka harus diperlihatkan

sistem (*) mempunyai pemecahan untuk semua pilihan = (b1, b2, b3).

Untuk memperlihatkan bahwa S bebas linier, harus diperlihatkan bahwa satu-

satunya pemecahan dari : k1 1 + k2 2 + k3 3 =

Adalah : k1 = k2 = k3 = 0

Dengan perkataan lain harus diperlihatkan bahwa sistem homogen :

k1 + 2k2 + 3k3 = 0

2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 .................. (**)

k1 + 4k3 = 0

hanya mempunyai pemecahan trivial.

Karena sistem (*) dan (**) mempunyai matriks koefisien yang sama, maka dapat

dikatakan S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatkan bahwa

matriks koefisien :

maka A mempunyai invers. Jadi S adalah sebuah basis untuk R3

Contoh 3 :

Misalkan

Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} adalah basis untuk ruang vektor M22

dari matriks-matriks 2x2. Untuk melihat bahwa S merentang M22, perhatikan

bahwa vektor khas (matriks) :

Dapat ditulis sebagai :


Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa :

= 0

Atau :

Jadi a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier.

Teorema:

Jika S = {v1, v2 …. vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap

himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas linier.

Misalkan:

S¹ = {w1, w2, …..wm} sembarang himpunan m vektor pada V, m > n

Perlihatkan S¹ tak bebas linier

Maka:

Basis S = {v1, v2, …..vn} dan wi dinyatakan sebagai kombinasi linier dari

vektor-vektor S

w1 = a11 v1 + a21 v2 + ….. + an1 vn

w2 = a12 v1 + a22 v2 + ….. + an2 vn

.

.

.wm = a1m v1 + a2m v2 + ….. + anm vn


Untuk memperlihatkan bahwa S¹ tak bebas linier, maka harus dicari skalar-skalar

k1, k2, ..... km yang tidak semuanya nol, sehingga:

k1 w1 + k2 w2 + ..... + km wm = 0

Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas, maka dapat ditulis sebagai:

(k1 a11 + k2 a12 + ….. + km a1m) v1

+ (k1 a21 + k2 a22 + ….. + km a2m) v2

. . .

+ (k1 an1 + k2 an2 + ….. + km anm) vn = 0

Maka skalar k1, k2, ..... km yang tidak semuanya nol, memenuhi:

a11 k1 + a12 k2 + ….. + a1m km = 0

a21 k1 + a22 k2 + ….. + a2m km = 0...an1 k1 + an2 k2 + ….. + anm kn = 0

Teorema:Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai

jumlah vektor yang sama

Misalkan:

S = {v1, v2 …. vn} dan S¹ = {w1, w2, …..wm} adalah dua basis untuk

ruang vektor V yang berdimensi berhingga.

Karena S adalah basis dan S¹ bebas linier, maka m ≤ n

Demikian juga karena S¹ adalah basis dan S bebas linier, maka n ≤ m

Maka m = n

atau

Misal {e1, e2, ..... en} basis dari V

Dan {f1, f2, ..... fm} basis lain dari V

{ei} membangun V

{fi} bebas linier

Sebaliknya:

{fi} membangun V


m ≤ n

n ≤ m

{ei} bebas linier

Contoh:

Tentukan basis dan dimensi dari SPL homogen:

Jawab:

dengan OBE diubah menjadi matriks eselon

Sederhanakan:

x5 = variabel bebas

Misalkan x5 = t

Maka x4 =

x3 = =

x2 = =

x1 = = =


jadi = = t

Dimensi = jumlah variabel yg tak diketahui – banyaknya persamaan = 5 – 4 = 1

Jadi Basisnya adalah

Teorema:

1. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linier

pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis

untuk V

2. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang

merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis

untuk V

3. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan bebas linier pada

ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi

basis untuk V, yakni vektor-vektor vr+1, …. vn sehingga {v1, v2 …. vr,

vr+1, …. vn } adalah sebuah basis untuk V

5.4 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul

Rank, Penerapan terhadap Pencarian Basis

Definisi:

Jika diketahui matriks m x n


Dan

Vektor-vektor

Dalam Rn yang dibentuk dari baris-baris A disebut vektor-vektor baris dari A, dan

vektor-vektor:

Dalam Rm yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut vektor-vektor

kolom dari A

Contoh-1:

Vektor-vektor baris dari A adalah:

dan

Vektor-vektor kolom dari A adalah:

, dan

Teorema:

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Teorema:

Vektor-vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriks A

membentuk basis untuk ruang baris A.


Contoh-2:

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor:

v1 = (1, -2, 0, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, -2, 6) v3 = (0, 5, 15, 10, 0) v4 = (2, 6, 18, 8, 6)

Penyelesaian:

Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari

matriks:

Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon baris, maka didapat:

Vektor-vektor baris tak nol pada matriks ini adalah

w1 = (1, -2, 0, 0, 3) w2 = (0, 1, 3, 2, 0) w3 = (0, 0, 1, 1, 0)

Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai

konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh v1,

v2, v3 dan v4

Contoh-3:

Carilah basis untuk ruang kolom A =

Penyelesaian:

Dengan mentransposkan matriks tersebut, didapat: At =

Dengan mereduksi ke bentuk eselon baris, maka didapat:


Jadi vektor (1, 3, 0) dan vektor (0, 1, 2) membentuk basis bagi ruang baris

At atau secara ekivalen:

dan membentuk basis untuk ruang kolom A

Contoh-4:

Carilah sub-himpunan vektor-vektor

v1 = (1, -2, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, 6) v3 = (0, 1, 3, 0)

v4 = (2, -1, 4, -7) v5 = (5, -8, 1, 2)

yang membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini.

Pemecahan:

Mulai dengan memecahkan persamaan vektor

c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 + c5 v5 = 0 .......... *

Dengan mensubtitusi dan menyamakan komponen-komponennya maka

didapat sistem yang homogen:

Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Yourdan, maka didapat:

c1 = -2s-t c2 = s-t c3 = s c4 = -t c5 = t

dimana s dan t sembarang. Dengan mensubtitusikan ke dalam (*), maka:

(-2s-t) v1 + (s-t ) v2 + s v3 - t v4 + t v5 = 0

Sehingga: s(-2v1 + v2 + v3) + t(-v1 - v2 – v4 – v5) = 0

Karena s dan t sembarang, maka dapat dipilih misalnya s = 1, t = 0 dan s =0, t = 1

Maka akan menghasilkan persamaan ketergantungan (dependency equation)

-2v1 + v2 + v3 = 0


-v1 - v2 – v4 – v5 = 0

Misalkan vektor-vektor v3 dan v5 sebagai kombinasi linier, maka:

v3 = 2v1 - v2

v5 = v1 + v2 + v4

sehingga v1 , v2 , v4 bebas linier dan karenanya membentuk basis untuk ruang yang

direntang oleh v1 , v2 , v3 , v4 , v5 jika:

c1 v1 + c2 v2 + c4 v4 = 0

maka berlaku c3 = 0 dan c5 = 0, jadi s = c3 = 0 dan t = c5 = 0

Jadi c1 = 0 c2 = 0 c4 = 0

Teorema:

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A

mempunyai dimensi yang sama.

Pada contoh-3 di atas, matriks setelah direduksi terhadap eselon

baris, mempunyai ruang kolom berdimensi 2 dan ruang baris tersebut juga

berdimensi 2

karena matriks ini mempunyai dua baris taknol,

maka ruang baris A berdimensi 2

Definisi:

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan Rank A dan

dinyatakan dengan rank (A)

Misalnya pada contoh-3 mempunyai rank 2

Teorema:

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen

satu sama lain:

a. A dapat dibalikAndiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 24

b. Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

c. A ekivalen baris dengan In

d. Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x

1

e. Det(A) ≠ 0

f. A mempunyai rank n

g. Vektor-vektor baris A bebas linier

h. Vektor-vektor kolom A bebas linier

Tinjau sistem persamaan linier Ax = b

=

Dengan mengalikan matriks-matriks pada ruas kiri, maka sistem dapat ditulis:

= atau

=

Karena ruas kiri kombinasi linier vektor-vektor kolom A, maka sistem Ax = b

konsisten jika dan hanya jika b adalah kombinasi linier vektor-vektor kolom A.

Teorema:

Sebuah sistem persamaan linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya

jika b berada pada ruang kolom A.

Contoh-5:


Diketahui bahwa Ax = b adalah sistem linier, maka:

Tunjukkan bahwa b berada dalam ruang kolom A dan nyatakan b sebagai

kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A.

Penyelesaian:

dengan eliminasi Gaussian maka didapat:

x1 = 2, x2 = -1 x3 = 3

Maka:

Karena sistem konsisten, b berada dalam ruang kolom A, sehingga:

2 - + 3 =

Teorema:

Sebuah sistem persamaan linier Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika

rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang

diperbesar [A|b]

Contohnya matriks yang diperbesar untuk sistem:

Adalah:


Yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi berikut (buktikan)

Maka dari teorema di atas yang dimaksud adalah

0 0 0 0 1

Teorema:

Jika Ax = b adalah sistem linier konsisten dari m persamaan n bilangan

tak diketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut

mengandung n-r parameter.

Misalkan:

Jika A adalah matriks 5 x 7 dengan rank 4, dan jika Ax = b adalah

sistem linier konsisten maka pemecahan tersebut mengandung sistem

7 – 4 = 3 parameter

Hubungan Antara Penyelesaian Ax = 0 dan Ax = b

Teorema:

Jika x0 adalah sebarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linier tak

homogen yang konsisten Ax = b, dan juga v1, v2, ... vk membentuk suati

basis untuk ruang-kosong A, yaitu ruang penyelesaian dari sistem

homogen Ax = 0, maka setiap penyelesaian Ax = b dapat dinyatakan

dalam bentuk:

x = x0 + c1 v1 + c2 v2 + .... + ck vk

dan sebaliknya untuk semua pilihan skalar c1, c2, ... ck vektor x dalam

rumus ini merupakan suatu penyelesaian dari Ax = b

Selesaikan sistem persamaan tak homogen berikut:


Penyelesaian:

dengan Gaussian didapat:

x1 = -3r -4s -2t

x2 = r

x3 = -2s

x4 = s

x5 = t

x6 = 1/3

maka:

Jadi Penyelesaian umumnya adalah: dan penyelesaian khususnya adalah:

x0 =


ale ruang baris

Documents