BARIS DAN DERET

Pola dan Barisan Bilangan

Barisan Arimatika dan Barisan

Geometri

Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Sifat-sifat Deret

PROFIL

POLA DAN BARISAN BILANGAN

Pola Bilangan

Barisan Bilangan

Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu.  Misalnya pada kalender terdapat susunan

angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

Pola Bilangan1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Garis Lurus Persegi Panjang

2. Pola persegi

Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2

Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ...

Un = n(n+1)

3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)

Cara 1Mengikuti pola berikut CARA 2

Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

1 3 6 10 15 21

+2 +3 +4 +5 +6

Urutan1 Urutan2 Urutan3

• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3

4. Pola Kubus

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.

• Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

a. Pola bilangan ganjil

b. Pola bilangan genap

• Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

1 3 5 7 9

108642

+2

+2+2+2

+2+2+2

+2

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

1

2 11

1 1

4641

1 3 13

1

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

9. Pola Bilangan Fibonaci

1 . . .85321

+++++ +

• Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu.

Barisan Bilangan

Un

Un

U2

U1 Suku Pertama

Suku ke-2

Suku ke - n

Barisan bilangan biasanya ditulis :

U1, U2,`U3, . . . . , Un

Dengan Un adalah suku ke – n dan n =

1,2,3, . . .

Contoh : Barisan 0,2,4 berarti

U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4

(menambahkan 2 pada suku

sebelumnya)

• Contoh:• Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2,

5, 8, 11, . . .

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

Barisan 2, 5, 8, 11,. . .

= 2 = 5 = 2 + 3 = 8 = 5 +3

= 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)

11852

333 U1

U2

U3

U4

Un = f (n)

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Contoh :Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)

U1 U4U2 U3 Un =?

+b +b +b

Barisan bilangan ganjil

Maka rumus suku ke-nnya adalah = =2n+(1-2) = 2n -1

Un = bn + (U1 - b)

1 73 5 Un = ?

+2 +2 +2 b = 2

Un = bn + (U1 - b) Un

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

U1 U4U2 U3 Un =?

x r x r x r Un = rn x U1/r

Contoh :Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )

Tahapan pertama dengan r=10

Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1

1 100010 100 Un =?

x10 x10 x10

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :

Un = b/2 . n (n-1) + c

Dengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola b = Selisih tetap

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . )Jawab: 3 6 10 15 21

+3 +4 +5 +6

+1 +1 +1

pola tingkat2, dengan b=1

U1 = 3=1/2 x 1 0 +3U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11::Un = ½. n(n-1) +c

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu

Barisan: 3 5 7 9 11Pola tingkat 1, b= 2

+2 +2 +2 +2

C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1

Jadi, suku ke-n adalah:Un = ½. n(n-1) +cUn = ½. n(n-1) + 2n + 1Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1Un = ½ n2 – 3/2 n +1

LANJUTAN

BARISAN ARIMATIKA DAN BARISAN

GEOMETRI

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung

Barisan Aretmatika barisan bilangan yang tiap sukunya

diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu

bilangan tetap

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = a + b + b = a + 2bU4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

Un = a + (n – 1 )b

Dengan n = 1, 2, 3,..

Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

.

.

.

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :U2 = U1 + b => b = U2 - U1

U3 = U2 + b => b = U3 - U2

U4 = U3 + b => b = U4 - U3

.

.

.Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naikBila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Contoh:Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . .b. 4, 2, 0, -2,. . .

Jawab :Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika.a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .

berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.U10 = U1 (10 - 1) . bU10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus

Un = U1 (n - 1) . bU10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14

Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometribarisan bilangan yang tiap sukunya

diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu

bilangan tetap

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = aU2 = U1 . r = arU3 = U2 . r = ar2

U4 = U3 . r = ar3

Un = Un-1 . r = arn-1

1. Un = r × Un-1 atau 2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :

Jawab:a.

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729

b.

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah

DERET ARITMETIKA DAN DERET GEOMETRI

Deret Aritmetika atau Deret Hitung

Deret bilangan jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan

Menyatakan deret ke-n

Bentuk umum:

Contoh:

1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah Maka,

2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, adalah Maka,

Deret aritmetikajumlah suku yang ditunjukkan oleh

barisan aritmetika

Dengan dan

Deret aritmetika

Dengan: suku ke-n n = bilangan asli b = beda

Rumus n suku pertama deret aritmetika:

Contoh:1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret

Jawab:

2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20

Jawab:maka:

Deret Geometri atau Deret Ukur

Deret geometri jumlah suku-suku yang ditunjuk

oleh barisan geometri

𝑈 1 ,𝑈 2 ,𝑈 3 ,… ,𝑈𝑛

Barisan geometri:

dengan dan

Deret geometri:

Rumus n suku pertama deret geometri:

Contoh:1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret Jawab:

2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, dan Bila tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.

Jawab:

Karena suku-suku positif maka

maka:

SIFAT-SIFAT DERET

Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.

.

.

.

Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.

𝑈𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛− 1

Contoh:

Dalam deret aritmatika ditemukan, hitunglah :a. b. c. Beda

Jawab :a.

b.

c.

Sifat Dasar Deret Aritmetika

1. Bila merupakan deret aritmatika, maka :

2. Bila merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:

𝑈 2−𝑈 1=𝑈 3 −𝑈 2=𝑈 4 −𝑈 3=𝑈 5−𝑈 4=…=𝑈𝑛−𝑈𝑛−1

2𝑈 2=𝑈 1+𝑈 3

Contoh:Tentukan nilai dari agar barisan merupakan suku-suku dari deret aritmatika.

Jawab: Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu

2(3x - 5) = x + 1 + 46x –10= x + 56x –x= 5 + 105x = 15x = 3

Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain.Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :

𝑈𝑛=𝑎+(𝑛−1 )

Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.

Memo 7 = 1 + 67 = 4 + 37 = 5 + 27 = 3 + 4Secara umum dapat dituliskan:

𝑈𝑝=𝑈𝑘+(𝑝−𝑘 )𝑏 𝑏=𝑈𝑝−𝑈𝑘

𝑝−𝑘

Contoh:

Bila dan dari deret aritmatika, tentukanlah :a. b b.

Jawab: a. b.

atau

Sift Dasar Deret Geometri1. Bila merupakan deret geometri, maka :

2. Bila merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:

𝑈 2

𝑈 1

=𝑈 3

𝑈 2

=…=𝑈𝑛

𝑈𝑛− 1

=𝑟

𝑈 22=𝑈 1 ×𝑈 3

Contoh:

Tentukan nilai agar barisan merupakan barisan geometri.

Jawab:

Memo

atau

Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu , diperoleh:

Jadi, nilai adalah atau

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.Perhatikan Un = arn-1

Dengan formula itu didapat:U10 = ar9

U10 = (ar2) . r7= U3 . r7

U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r

5

Memo

Lihat Indeks

10 = 1 + 9

10 = 3 + 7

10 = 5 + 5Secara umum di tuliskan:

𝑈𝑝=𝑈𝑘 ∙𝑟 𝑝−𝑘 𝑟𝑝−𝑘=𝑈𝑝

𝑈𝑘

Contoh:Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :a. r b. U2

Jawab :

b.

PROFIL KELOMPOK

Nama : Putri Kinanti Aprilianti (pemateri pertama)

Kelas : 2 – J

Alamat : Kapetakan, Cirbon

NPM : 112070184

E – mail: putrikinanti520@yahoo.com

Tempat/tgl lahir:Ciamis,06 April 1994

Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 1 -16

FKIP Pendidikan Matematika. UNSWAGATI Cirebon

Nama : Alang Ganda SutisnaNPM : 112070247Kelas : 2jAlamat : ds. Cikadu, dusun manis rt/rw 01/01 kec. Nusaherang, kab. kuningan.E-mail : alanggandasutisna@yahoo.com

Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 17 -24

Leti Septiani

Nama:

112070128

NPM:

2-j

Kelas

Desa Nusaherang, Dusun Manis, RT.01/05, Kec. Nusaherang, Kab. Kuningan

Alamat:

lettyseptiani@yahoo.com

Email:

Dalam tugas ini saya membuat

powerpoint, skenario sekaligus

menjelaskannya pada slide 17 -24

Nama : Ivon GrianiTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 19 Oktober 1993Kelas : 2-INpm : 112070021Menjelaskan : 33-43Alamat : Jl. Sunan gunung jati,

Gg. Mandiri 2, RT/RW 02/01, Blok Akad,

Ds. Suranenggala kidul, Kec. Suranenggala,

Kab. Cibon, Prov. Jawa Barat

Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 33 -43

Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga

DAFTAR PUSTAKA