A

M A T R I K S

1. Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin

KelasPutraPutriJumlah

II Ak 1281543

II Ak 2321042

Jumlah602585

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .

Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

Contoh :

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis atau .

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh :

A = dan B =

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama

b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.2. Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A =

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah

baris = jumlah kolom Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis

dengan huruf O.

Contoh : =

5. Matriks Segi Tiga

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau

diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh : C = , D =

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali

unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E =

7. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya

sama.

Contoh : F =

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = , I4 =

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

9. Matriks Simetris

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j

sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

Contoh :

EMBED Equation.311. Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh : =

12. Matriks Transpos ( notasi At )

Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama

matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=

elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpos

1) ( A + B )t = At + Bt 2) ( At )t = A

3) ( AB )t = Bt At

Penerapan Matriks Dalam Bidang EkonomiPenggunaan matematika terbukti sangat menunjang kemajuan teori ekonomi. Analisis ekonomi saat ini semakin spesipik, akurat dan efisien. Asumsi-asumsi ekonomi yang abstrak, yang bila diverbalkan membutuhkan berlembar-lembar kertas, dengan model matematika dapat dijelaskan secara eksplisit dengan menjabarkan beberapa persamaan saja. Tidak mengherankan bila dewasa ini penggunaan matematika dalam analisis ekonomi semakin intensif digunakan. Berbeda halnya dengan matematika murni, yang menggunakan simbol-simbol yang umum digunakan yaitu x, y, z, simbol-simbol dalam matematika ekonomi dan bisnis sesuai dengan variabel ekonominya, misalnya harga = P (price), biaya = C (cost), kuantitas = Q (quantity), tabungan = S (saving) dan lain sebagainya. Matriks merupakan salah satu konsep matematika yang digunakan dalam bidang ekonomi. Salah satu perkembangan yang menarik dari penerapan aljabar matriks dalam bidang ekonomi adalah analisis masukankeluaran (inputoutput analysis), yang telah diperkenalkan dan dikembangkan pertama kali pada tahun 1936 oleh Wassily W. Leontief dari Harvard University. Analisis masukankeluaran merupakan suatu model matematika untuk menelaah struktur perekonomian yang saling kait mengait antar sektor atau kegiatan ekonomi. Model ini lazim diterapkan untuk dapat menganalisis sistem perekonomian secara makro, nasional ataupun regional. Analisis masukankeluaran bertolak dari anggapan bahwa suatu sistem perekonomian terdiri atas sektor-sektor yang saling berkaitan, masing-masing sektor menggunakan keluaran dari sektor lain sebagai masukan bagi keluaran yang akan dihasilkannya, kemudian keluaran yang dihasilkan merupakan masukan pula bagi sektor lain. Sudah barang tentu, selain menjadi masukan bagi sektor lain, terdapat pula keluaran dari sesuatu sektor yang menjadi masukan bagi sektor itu sendiri dan sebagai barang konsumsi bagi pemakai akhir. Dengan demikian apabila suatu data input-output dari berbagai sektor dikumpulkan dan ditabelkan maka akan diperoleh tabel yang berbentuk matriks, dan tabel demikian dalam analisa input-output dinamakan tabel transaksi. Langkah awal dalam analisis masukan-keluaran adalah menyusun suatu tabel yang dinamakan matriks transaksi atau matriks masukan-keluaran. Dari tabel matriks transaksi tersebut akan diperoleh sebuah persamaan yang mengambarkan hubungan masukan-keluaran antarsektor. Nilai setiap unsur dalam matriks transaksi akan menghasilakan suatu rasio yang dinamakan koefisien teknologi. Jika semua koefisien teknologi yang ada dihitung dan hasil-hasilnya disajikan di dalam suatu matriks, maka diperolehlah sebuah matriks teknologi. Jika ditulis secara ringkas dengan notasi matriks, hasil dari matriks transaksi adalah : U dan X masing-masing adalah vektor-kolom permintaan akhir dan vektor-kolom secara keluaran total, I adalah matriks satuan, sedangkan A adalah matriks teknologi yang dibentuk berdasarkan matriks transaksi. Jika matriks I A nonsingular, yakni jika , maka ia akan mempunyai balikan. Dalam hal ini U = (I A) X dapat ditulis menjadi Ini berarti bahwa jika matriks A dan vektor U diketahui, maka vektor X dapat dicari secara langsung menurut kaidah perkalian matriks. Dengan kata lain jika masing-masing koefisien masukan antar sektor dan permintaan akhir untuk setiap sektor diketahui datanya, maka dapatlah dihitung keluaran total dari tiap masing-masing sektor. Lebih lanjut, dengan dapat dihitungnya keluaran total sektoral akan dapat pula dihitung keluaran total nasional (GDP atau GNP).PROGRAM LINIER

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.a. Formulasi PermasalahanUrutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian laindalam perusahaan, dan lain-lain.Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.b. Pembentukan model matematikTahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Modelmatematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan ( atau ). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal.. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan.Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :Fungsi tujuan :Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1+ c2x2+ ... + cnxnSumber daya yang membatasi :

a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn= / / b1a21x1+ a22x2+ + a2nxn= / / b2

am1x1+ am2x2+ + amnxn= / / bmx1, x2, , xn 0Simbol x1, x2, ..., xn(xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan.Simbol c1,c2,...,cnmerupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amnmerupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bmmenunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.Pertidaksamaan terakhir(x1, x2, , xn 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasusdan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.Break Even Point

1. Pengertian Break Even PointTeknik analisis titik impas sudah umum bagi segenap pelaku bisnis. Hal ini sangat berguna di dalam pengaturan bisnis dalam cakupan yang luas, termasuk organisasi yang kecil dan besar. Ada 2 (dua) alasan mengapa para pelaku bisnis menerima alasan ini :1.Analisis ini berdasarkan pada asumsi yang lugas.2.Perusahaan-perusahaan telah menemukan bahwa informasi yang didapat dari metode titik impas ini sangat menguntungkan di dalam pengambilan keputusan.Break Even Pointadalah suatu keadaan dimana perusahaan dalam operasinya tidak memperoleh laba dan juga tidak menderita kerugian atau dengan kata lain total biaya sama dengan total penjualan sehingga tidak ada laba dan tidak ada rugi. Hal ini bisa terjadi apabila perusahaan di dalam operasinya menggunakan biaya tetap dan biaya variabel, dan volume penjualannya hanya cukup menutupi biaya tetap dan biaya variabel. Apabila penjualan hanya cukup menutupi biaya variabel dan sebagian biaya tetap, maka perusahaan menderita kerugian. Sebaliknya, perusahaan akan memperoleh keuntungan, apabila penjualan melebihi biaya variabel dan biaya tetap yang harus dikeluarkan.Salah satu tujuan perusahaan adalah mencapai laba atau keuntungan sesuai dengan pertumbuhan perusahaan. Untuk mencapai laba yang semaksimal mungkin dapat dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut, yaitu :1. Menekan biaya produksi maupun biaya operasional serendah-rendahnya dengan mempertahankan tingkat harga, kualitas dan kunatitas.2. Menentukan harga dengan sedemikian rupa sesuai dengan laba yang dikehendaki.3. Meningkatkan volume kegitan semaksimal mungkin.Dari ketiga langkah-langkah tersebut diatas tidak dapat dilakukan secara terpisah-pisah karena tiga faktor tersebut mempunyai hubungan yang erat dan saling berkaitan. Pengaruh salah satu faktor akan membawa akibat terhadap seluruh kegiatan operasi. Oleh karena itu struktur laba dari sebuah perusahaan sering dilukiskan dalambreak even point, sehingga mudah untuk memahami hubungan antara biaya, volume kegiatan dan laba.Namun ada juga yang membuat pengertianbreak even pointsebagai berikut :1. Menurut S. Munawir (2002) Titikbreak even pointatau titik pulang pokok dapat diartikan sebagai suatu keadaan dimana dalam operasinya perusahaan tidak memperoleh laba dan tidak menderita rugi (total penghasilan = Total biaya).2. Menurut Abdullah (2004) AnalisisBreak even pointdisebut jugaCost Volume Profit Analysis. Arti penting analisisbreak even pointbagi menejer perusahaan dalam pengambilan keputusan keuangan adalah sebagai berikut, yaitu :1.Guna menetapkan jumlah minimal yang harus diproduksi agar perusahaan tidak mengalami kerugian.2.Penetapan jumlah penjualan yang harus dicapai untuk mendapatkan laba tertentu.3.Penetapan seberapa jauhkan menurunnya penjualan bisa ditolerir agar perusahaan tidak menderita rugi.1. Menurut Purba (2002) Titik impas (break even)berlandaskan pada pernyataan sedarhana, berapa besarnya unit produksi yang harus dijual untuk menutupi seluruh biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan produk tersebut.2. Menurut PS. Djarwanto (2002)Break even pointadalah suatu keadaan impas yaitu apabila telah disusun perhitungan laba dan rugi suatu periode tertentu, perusahaan tersebut tidak mendapat keuntungan dan sebaliknya tidak menderita kerugian.3. Menurut Harahap (2004)Break even pointberarti suatu keadaan dimana perusahaan tidak mengalami laba dan juga tidak mengalami rugi artinya seluruh biaya yang dikeluarkan untuk kegiatan produksi ini dapat ditutupi oleh penghasilan penjualan. Total biaya (biaya tetap dan biaya variabel) sama dengan total penjualan sehingga tidak ada laba tidak ada rugi.4. Menurut Garrison dan Noreen (2004)Break even pointadalah tingkat penjualan yang diperlukan untuk menutupi semua biaya operasional, dimanabreak eventersebut laba sebelum bunga dan pajak sama dengan nol (0). Langkah pertama untuk menentukanbreak evenadalah membagi harga pokok penjualan (HPP) dan biaya operasi menjadi biaya tetap dan biaya variabel. Biaya Tetap merupakan fungsi dari waktu, bukan fungsi dari jumlah penjualan dan biasanya ditetapkan berdasarkan kontrak, misalnya sewa gudang. Sedangkan biaya variabel tergantung langsung dengan penjualan, bukan fungsi dari waktu, misalnya biaya angkut barang.Apabila perusahaan mempunyai biaya variabel saja, maka tidak akan muncul masalahbreak even pointdalam perusahaan tersebut. Masalahbreak evenpointbaruakan muncul apabila suatu perusahaan disamping mempunyai biaya variabel juga mempunyai biaya tetap. Besarnya biaya variabel secara totalitas akan berubah-ubah sesuai dengan volume produksi perusahaan, sedangkan besarnya biaya tetap sacara totalitas tidak mengalami perubahan meskipun ada perubahan volume produksi.Karena adanya unsur biaya variabel disuatu sisi dan unsur biaya tetap disisi lain maka suatu perusahaan dengan volume produksi tertentu menderita kerugian karena penjualan hanya menutupi biaya tetap. Ini berarti bahwa bagian dari hasil penghasilan penjualan yang tersedia hanya cukup untuk menutupi biaya tetap tetapi tidak cukup menutupi biaya variabelnya.Volume penjualan dimana penghasilan total sama besarnya dengan biaya totalnya, sehingga perusahaan tidak mencapai laba atau keuntungan dan tidak menderita kerugian disebutBreak Even Point.2. Kegunaan Break Even PointDiatas telah dikemukakan bahwa analisabreak even pointsangat penting bagi pimpinan perusahaan untuk mengetahui pada tingkat produksi berapajumlah biaya akan sama dengan jumlah penjualan atau dengan kata lain dengan mengetahuibreak even pointkita akan mengetahui hubungan antara penjualan, produksi, harga jual, biaya, rugi atau laba, sehingga memudahkan bagi pimpinan untuk mengambil kebijaksanaan.AnalisisBreak Even Pointberguna apabila beberapa asumsi dasar dipenuhui. Asumsi-asumsi tersebut adalah :1. Biaya-biaya yang dikeluarkan perusahaan dapat dikelompokan dalam biaya variabel dan biaya tetap.2. Besarnya biaya variabel secara total berubah-ubah secara proporsional dengan volume produksi atau penjualan. Ini berarti bahwa biaya variabel per unitnya adalah tetap.3. Besarnya biaya tetap secara total tidak berubah meskipun ada perubahan volume produksi atau penjualan. Ini berarti bahwa biaya tetap per unitnya berubah-ubah karena adanya perubahan volumekegiatan.4. Jumlah unit produk yang terjual sama dengan jumlah per unit produk yang diproduksi.5. Harga jual produk per unit tidak berubah dalam periode tertentu.6. Perusahaan hanya memproduksi satu jenis produk, apabila lebih dari satu jenis komposisi masing-masing jenis produk dianggap konstan (tetap).Analisabreak even pointjuga dapat digunakan oleh pihak menejemen perusahaan dalam berbagai pengambilan keputusan, antara lain mengenai :1. Jumlah minimal produk yang harus terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian.2. Jumlah penjualan yang harus dipertahankan agar perusahaan tidak mengalami kerugian.3. Besarnya penyimpanan penjualan berupa penurunan volume yang terjual agar perusahaan tidak menderita kerugian.4. Untuk mengetahui efek perubahan harga jual, biaya maupun volume penjualan terhadap laba yang diperoleh.Break even pointjuga dapat digunakan dengan dalam tiga cara terpisah, namun ketiganya saling berhubungan, yaitu untuk:1.Menganalisa program otomatisasi dimana suatu perusahaan akan beroperasi secara lebih mekanis dan otomatis dan mengganti biaya variabel dengan biaya tetap.2.Menelaah impak dari perluasan tingkat operasi secara umum.3.Untuk membuat keputusan tentang produk baru yang harus dicapai jika perusahaan menginginkan break even point dalam suatu proyek yang diusulkan.Menurut Harahap (2004) Dalam analisa laporan keuangan kita dapat menggunakan rumusbreak even pointuntuk mengetahui :1.Hubungan antara penjualan biaya dan laba.2.Untuk mengetahui struktur biaya tetap dan biaya variabel.3.Untuk mengetahui kemampuan perusahaan dalam menekan biaya dan batas dimana perusahaan tidak mengalami laba dan rugi.4.Untuk mengetahui hubungan antara cost, volume, harga dan laba.Analisabreak even pointmemberikan penerapanyang luas untuk menguji tindakan-tindakan yang diusulkan dalam mempertimbangkan alternatif-alternatif atau tujuan pengambilan keputusan yang lain. Analisabreak even pointtidak hanya semata-mata untuk mengetahui keadaan perusahaan yangbreak evensaja, akan tetapi analisa break even point mampu memeberikan informasi kepada pimpinan perusahaan mengenai berbagai tingkat volume penjualan, serta hubungan dengan kemungkinan memperoleh laba menurut tingkat penjualan yang bersangkutan.3. Kelemahan Analisa Break Even Point.Sekalipun Analisabreak evenini banyak digunakan oleh perusahaan, tetapi tidak dapat dilupakan bahwa analisa ini mempunyai beberapa kelemahan. Kelemahan utama dari analisabreak even pointini antara lain : asumsi tentang linearity, kliasifikasi cost dan penggunaannya terbatas untuk jangka waktu yang pendek. (Soehardi,2004).3.1Asumsi tentang linearityPada umumnya baik harga jual per unit maupun variabel cost per unit, tidaklah berdiri sendiri terlepas dari volume penjualan. Dengan perkataan lain, tingkat penjualan yang melewati suatu titik tertentu hanya akan dicapai dengan jalan menurunkan harga jual per unit. Hal ini tentu saja akan menyebabkan garis renevue tidak akan lurus, melainkan melengkung. Disamping itu variabel operating cost per unit juga akan bertambah besar dengan meningkatkan volume penjualan mendekati kapasitas penuh. Hal ini bisa saja disebabkan karena menurunnya efesiensi tenaga kerja atau bertambah besarnya upah lembur.3.2Klasifikasi biayaKelemahan kedua dari analisa break even point adalah kesulitan di dalam mengklasifikasikan biaya karena adanya semi variabel cost dimana biaya ini tetap sampai dengan tingkat tertentu dan kemudian berubah-ubah setelah melewati titik tersebut.3.3Jangka waktu penggunaanKelemahan lain dari analisa break even point adalah jangka waktu penerapanya yang terbatas, biasanya hanya digunakan di dalam pembuatan proyeksi operasi selama setahun. Apabila perusahaan mengeluarkan biaya-biaya untuk advertensi ataupun biaya lainnya yang cukup besar dimana hasil dari pengeluaran tersebut (tambahan investasi) tidak akan terlihat dalam waktu yang dekat sedangkan operating cost sudah meningkat, maka sebagai akibatnya jumlah pendapatan yang harus dicapai menurut analisa break even point agar dapat menutup semua biaya-biaya operasi yang bertambah besar juga.FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

Konsumsi yang dilakukan oleh masyarakat dan negara sangat erat hubungannya dengan pendapatan masyarakat dan negara. Sehingga besar kecilnya konsumsi ditentukan oleh tingkat pendapatan, semakin besar pendapatan akan selalu diikuti meningkatnya konsumsi. Jadi, hubungan antara pendapatan dan konsumsi bersifat positif (berbanding lurus), atau secara matematis fungsi konsumsi dapat dinotasikan C = f (Y).

Sisa dari pendapatan yang tidak dikonsumsi oleh masyarakat akan ditabung, sehingga semakin besar pendapatan, akan semakin besar pula tabungan. Jadi, hubungan antara pendapatan dengan tabungan bersifat positif (berbanding lurus), atau secara matematis fungsi tabungan dapat dinotasikan S = f (Y).

1. PengertianDalam suatu perekonomian, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dalam dua kategori penggunaan, yaitu untuk keperluan konsumsi dan tabungan. Pada umumnya pendapatan dilambangkan dengan Y, sedangkan konsumsi dilambangkan dengan C, tabungan dilambangkan dengan S, dan investasi dilambangkan dengan I.

Menurut John Maynard Keynes, pendapatan suatu negara dapat dirumuskan sebagai berikut.

a. Ditinjau dari segi perseorangan

b. Ditinjau dari segi perusahaan/pengusaha

Keterangan:Y = income/pendapatanC = consumption/konsumenS = saving/tabunganI = investment/investasi

Jika pendapatan berubah, maka akan berakibat konsumsi dan tabungan juga berubah. Perubahan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

1) MPC (Marginal Propencity to Consume) adalah angka perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi dengan besarnya pendapatan nasional, sehingga dapat dirumuskan:

C = selisih konsumsi atau tambahan konsumsi atau perubahan konsumsiY = selisih pendapatan atau tambahan pendapatan atau perubahan pendapatan

2) MPS (Marginal Propencity to Sav) eadalah perbandingan antara bertambahnya tabungan dengan bertambahnya pendapatan nasional, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

S = selisih tabungan atau tambahan tabungan atau perubahan tabunganY = selisih pendapatan atau tambahan pendapatan atau perubahan pendapatan

2.Fungsi Konsumsi

Fungsi konsums iadalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara konsumsi (C) dengan pendapatan (Y). Pada umumnya, fungsi konsumsi diasumsikan mempunyai persamaan linear sebagai berikut.

Syarat mutlak fungsi konsumsi, yaitu:- nilai a = harus positif- nilai b = harus positif

Keterangan:C = tingkat konsumsi nasionala = besarnya pengeluaran konsumsi pada saat pendapatan nol atau autonomous consumptio(nk onsumsi otonom).b = MPC yaitu tambahan pendapatan yang digunakan untuk tambahlah pengeluaran.Untuk mengetahui besarnya a, dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Di mana Average Propencity to Consum(Ae PC), artinya hasrat untuk berkonsumsi rata-rata. APC adalah perbandingan antara besarnya konsumsi pada suatu tingkat pendapatan nasional (C) dengan besarnya tingkat pendapatan nasional itu sendiri (Y).

Bila ditulis dengan rumus adalah:

Dalam fungsi konsumsi, kita juga harus mengenal tingkat pendapatan Break Even Point (BEP) atau Break Even Income (BEI). Adapun maksud tingkat pendapatan BEP adalah tingkat pendapatan, di mana besarnya pendapatan sama dengan besarnya pengeluaran untuk konsumsi, yang dapat dirumuskan:

Contoh 1:Diketahui data pendapatan suatu negara beserta konsumsi dan tabungannya sebagai berikut.a. Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.000 miliar, besar konsumsi per tahun Rp950 miliar, sehingga tabungannya Rp50 miliar.b. Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.200 miliar, besar konsumsi per tahun Rp1.100 miliar, sehingga tabungannya Rp100 miliar.Tentukan:a. Fungsi konsumsi.b. Tingkat pendapatan nasional BEP (Break Even Point).Jawab:

b. Besarnya titik keseimbangan BEPTingkat pendapatan BEP adalah tingkat pendapatan di mana besarnya pendapatan sama dengan besarnya pengeluaran untuk konsumsi, atau dapat dikatakan Y = C atau Y C = 0.

3. Fungsi Tabungan

Fungsi tabungan yaitu fungsi yang menunjukkan hubungan antara tabungan (S) dengan pendapatan (Y).Dengan menggunakan rumus fungsi konsumsi, dapat ditentukan sebagai berikut.Y = C + SS = Y C padahal C = a + bY,sehingga S = Y (a + bY)S = Y a bYS = -a + (1 b) YJadi, fungsi tabungan dapat dirumuskan sebagai berikut.

Contoh 2:Berdasarkan fungsi konsumsi pada Contoh 1, maka fungsi tabungan dapat ditentukan sebagai berikut.

4. Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Untuk menggambar grafik fungsi konsumsi dan tabungan terlebih dahulu harus kamu tentukan bahwa sumbu tegak menunjukkan sumbu C dan S (sumbu konsumsi dan tabungan), sedangkan sumbu datar menunjukkan sumbu Y (sumbu pendapatan).

Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi konsumsi dan fungsi tabungan yaitu sebagai berikut.a. Grafik fungsi konsumsi dimulai dari titik a (konsumsi otonom).b. Grafik fungsi tabungan dimulai dari titik -a.c. Kemudian kedua titik tersebut ditarik garis lurus dan memotong titik BEP, baik titik BEP yang berada di atas maupun titik BEP yang berada di bawah.

Berdasarkan fungsi konsumsi pada Contoh 1 dan fungsi tabungan pada Contoh 2, akan tampak grafik pada Gambar 6.4.

5. Hubungan antara MPC (Marginal Propencity to Consume) dengan MPS (Marginal Propencity to Save )

Secara matematis hubungan antara MPC dan MPS dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh:Berdasarkan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan di atas, dapat ditentukan bahwa:MPC + MPS = 10,75 + 0,25 = 1 (terbukti)

6. Angka Pengganda Pendapatan ( Multiplier)

Angka pengganda pendapatan adalah angka yang menunjukkan perubahan konsumsi dan tabungan karena adanya perubahan pendapatan nasional. Angka pengganda biasa ditulis dengan huruf k dan dirumuskan sebagai berikut.

7. Cara Lain untuk Mencari Fungsi Konsumsi dan TabunganUntuk mencari fungsi konsumsi dan fungsi tabungan, selain yang telah diuraikan di atas, sebenarnya ada cara yang lebih singkat untuk menentukan fungsi tersebut.

a. Untuk menentukan fungsi konsumsi, dapat digunakan rumus berikut ini.

Contoh:1) Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.000 miliar, besarnya konsumsi per tahun Rp950 miliar, sehingga tabungannya Rp50 miliar.2) Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.200 miliar, besarnya konsumsi per tahun Rp1.100 miliar, sehingga tabungannya Rp100 miliar. Maka fungsi konsumsinya dapat dicari sebagai berikut.

b. Untuk fungsi tabungan, dengan rumus:

Contoh:

Berdasarkan contoh soal pada fungsi konsumsi di atas, maka fungsi tabungan dapat dicari sebagai berikut.

Hal-hal lain yang berhubungan dengan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan dapat kamu simak berikut ini.a. Menentukan besarnya kenaikan konsumsi atau tambahan konsumsi (C).

b. Menentukan besarnya kenaikan tabungan atau tambahan tabungan (S).

c. Menentukan besarnya kenaikan pendapatan atau tambahan pendapatan (Y).

Barisan Aritmatika dan Deret AritmatikaPengertian Barisan Matematika

Yang dinamakan barisan daribilangan realadalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan U1, U2, U3, , Un.

U1= suku pertamaU2= suku keduaU3= suku ketigaUn = suku ke-nContoh barisan bilangan ganjil1, 3, 5, 7, 9, ., 2n-1suku pertaman (U1) = 1, suku kedua(U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

Un-Un-1= konstan, dengan n = 2,3,4,...

Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

Un-Un-1= b

Contoh23, 30, 37, 44, 51, merupakan barisan aritmatika dengan beda 72, 7/4, 3/2, 5/4, 1, adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a + (n-1)b[rumus barisan aritmatika]Contoh soalSuatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :U3= 36 a + (3-1) b = 36 a + 2b = 36 .(1)U5+ U7 a + 4b + a + 6 b = 144 2a + 10 b = 144 a + 5b =72 (2)eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)a + 2b = 36a + 5b = 72 --3b = 36 b = 12a + 2b = 36a + 2(12) = 36 a + 24 = 36 a = 12suku ke 100, U100= a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200Suku Tengah Barisan AritmatikaJika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?Rumus mencari nilai suku tengahUt= 1/2 (U1+Un)contoh soalJika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, , 1.200 Tentukan suku tengahnya!Ut= 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601Sisipan dalam Barisan AritmatikaJika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentukm, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, , nmisal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?Jawab : Un= a+(n-1)b 20 = 10+(6-1)b 20 = 10 + 5b b = 2

Deret Aritmatika

Misalkan punya suatu barisan aritmatikan U1, U2, U3, .Unmaka jika hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1+ U2+ U3+ . + Unitulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)karenaa+(n-1)b= Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)Contoh soal

Contoh saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari anda hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

PembahasanJumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5).Pertama kita cari nilai a dan b.

U3= 15 a+2b = 15 . (i)U4= 15 a+3b = 19 . (ii). (eliminasi)- b = -4 b = 4

a+2b = 15a+8 = 15a = 7S5= 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASARPermintaan dan Penawaran

Hukum permintaan(Demand) adalahSemakin kecil tingkat harga yang tersedia, maka semakin besar jumlah barang yang tersedia diminta, dan sebaliknya semakin tinggi tingkat harga yang tersedia semakin kecil jumlah barang yang bersedia diminta.

Sedangkan hukum Penawaran(Suplay) adalah Semakin tinggi tingkat harga yang tersedia, semakin banyak jumlah barang yang bersedia ditawarkan. Sebaliknya, semakin rendah tingkat harga yang tersedia, semakin sedikit jumlah barang yang bersedia ditawarkan.

Fungsi Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar

Bentuk Umum fungsi permintaan : Qd=a- bP

Fungsi Keseimbangan pasar

Yang dimaksud dengan Pasar adalahsuatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlahbarangyangditawarkan.Secara matematika dangrafik halini ditunjukkan denganpersamaanQd=Qs.Yaknipada perpotongan kurva permintaan dengankurva penawaran. Padaposisikeseimbanganpasar tercipta harga keseimbangan (EquilibriumPrice) danjumlahkeseimbangan(Equilibrium Quantity).

PajakOtonomadalahpajakyangdikenakanpersatuunitbarangyangdiproduksiatau dijual yang mana pada pengenaan pajaknya tidak memperhitungkan pendapatan.Pengenaanpajaktersebutmempengaruhihargakeseimbangandanjumlahkeseimbangan. dengan adanya pengenaan pajak (t) atas setiap unit barang, maka posisikeseimbanganpasar akanberubah.Produsenakanmenawarkanhargajualnyalebihtinggidarihargakeseimbangan

pajakyangmenyebabkanjumlah keseimbangannyamenjadilebihsedikit.Halinijugaakanmenyebabkanadanyapergeseran pada kurva penawaran.

Fungsi penawaran sebelum pajak : P = a +bQ

Fungsi penawaran sesudah pajak : P = a + bQ + tKeseimbangan Pasarnya adalah:Qd = QsPajak tanggungan Konsumen: tk = Pet - Pe

Pajak tanggungan Produsen: tp = t - tk

Pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qet

EMBED Equation.3baris ke-1 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3baris ke-2

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Kolom Kolom Kolom

Ke-1 Ke-2 Ke-3

_1250421965.unknown

_1250421974.unknown

_1250421978.unknown

_1250421982.unknown

_1250421986.unknown

_1250421988.unknown

_1250421989.unknown

_1250421990.unknown

_1250421987.unknown

_1250421984.unknown

_1250421985.unknown

_1250421983.unknown

_1250421980.unknown

_1250421981.unknown

_1250421979.unknown

_1250421976.unknown

_1250421977.unknown

_1250421975.unknown

_1250421969.unknown

_1250421972.unknown

_1250421973.unknown

_1250421970.unknown

_1250421967.unknown

_1250421968.unknown

_1250421966.unknown

_1250421949.unknown

_1250421961.unknown

_1250421963.unknown

_1250421964.unknown

_1250421962.unknown

_1250421955.unknown

_1250421960.unknown

_1250421959.unknown

_1250421954.unknown

_1250421953.unknown

_1250421947.unknown

_1250421948.unknown

_1250421946.unknown