modul matematika materi barisan dan deret

BARISAN DAN DERET BILANGAN

2014

D H U R O T U L K H A M I D A H

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:

a. 1 2 3 ...

b. 4 9 16 ...

c. 31 40 21 30 16 ...

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda

menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang

dipunyai?

BAB I

POLA, BARISAN, DAN DERET BILANGAN

Kompetensi Dasar

Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat mengidentifikasikan pola bilangan,

barisan, dan deret berdasarkan ciri-cirinya.

Siswa dapat nenggunakan notasi sigma untuk

menyederhanakan suatu deret

A. POLA BILANGAN


2014


Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai

aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +1 = 3.

Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,

mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +1)2

= 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +1)2 = 52

= 25.

Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,

mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21,

bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 -

5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan

pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai

contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n= 1,

2, 3, 4.

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua

bilangan asli dan kodomain himpunan semua bilangan real. Jika U merupakan

fungsi dari bilangan asli ke bilangan real , maka barisannya sering ditulis dengan

U1,U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... ,

Un disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu.

B. BARISAN BILANGAN

Contoh

1. 1, 2, 3,... merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan

itu adalah Un= n.

2. 1, -1, 1, -1,.... adalah barisan dengan unsur ke n dari barisan

itu adalah Un = (-1)n.


2014


Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 + U2

+ U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.

C. DERET BILANGAN

Contoh

1. 1 + 2 + 3 +..., maka suku ke n barisan itu adalah Un = n.

2. 1 + (-1) + 1+ (-1) + ...., maka suku ke n dari deret itu

adalah Un =(-1)n.

3. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan itu adalah

13.

Dari materi pola bilangan,

barisan bilangan, dan deret

bilangan, dapatkah kalian

menjelaskan mengenai

perbedaan dari kettiganya?

DISKUSI KELOMPOK


2014


Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3. 27

1

9

1

3

1

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola

dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan

diatas dapat ditulis kembali :

1.

7

1

7654321n

n

2.

6

1

212108642n

n

3.

3

1 3

1

27

1

9

1

3

1

n n

4.

5

1

)12(97531n

n

D. NOTASI SIGMA


2014


Sifat notasi sigma

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c R ,

maka berlaku :

1.

n

mk

k

n

mk

k

n

mk

kk baba )(

2.

n

mk

k

n

mk

k acca

3. cmncn

mk

)1(

4. paapn

pmk

k

n

mk

k

5.

n

mk

k

n

mk

kk

n

mk

k

n

mk

kk bbaaba22

.2)(

NOTICE

Buktikan dengan contoh sifat dari

notasi sigma

DISKUSI KELOMPOK


2014


E. EVALUASI

Kerjakan secara individu soal berikut ini

1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-

n dari setiap barisan berikut:

a. 13, 9, 5, ...., 31U

b. 25, 21, 17, 13, ..., 20U

c. -10, -8, -6, -4, ..., 100U

2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut :

a. 2 + 5 + 8 + ... + 119

b. 100 + 90 + 80 + ... + 0

c. 4 + 1 + 4

1+ ...

3. Hitunglah deret-deret berikut :

a.

5

1

)12(n

n

b.

4

1

12n

n

c.

6

1

2.3n

n


2014


Terkadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4, …,

selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2, ke 2 dengan ke 3, ke n

dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan

semacam ini disebut barisan aritmatika.

Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika

Un - Un-1 = konstan,

BAB II

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

A. BARISAN ARITMATIKA

Kompetensi Dasar

Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan

aritmatika dengan menggunakan rumus barisan aritmatika

Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret

aritmatika dengan menggunakan rumus jumlah barisan

aritmatika


2014


dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas

disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1

sering dinotasikan dengan a.

Jika diperhatikan U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika,

maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Un = a + (n -1)

Jadi unsur ke-n dari barisan aritmatika dapat dirumuskan

Contoh

1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.

2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.

3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab

U2 – U1 = -1 – 1 = -2

2 = 1 – (-1) = U3 – U2

Un = a + (n-1) b


2014


Contoh

Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda

= 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.

Penyelesaian

Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n -1) b, diperoleh

U2 = a + (2-1)b

U2 = a + b a = U2 - b = 10 – 2 = 8

U7 = a + (7-1) b = a + 6 b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

Mbak Suci, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapat menyelesaikan

6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain

batik terus bertambah sehingga Mba Suci harus menyediakan 9 helai kain

batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah

kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya.

Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Mbak Suci menyelesaikan

63 helai kain batik?

DISKUSI KELOMPOK


2014


Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un

disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3

+ ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan

dengan cara sebagai berikut.

Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a

Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un +

2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.

2 Sn = n. (a + Un)

Sn = )(2

1nUan

Jadi untuk mencari jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat

menggunakan rumus

B. DERET ARITMATIKA

Sn = )(2

1nUan

atau

Sn = ))1(2(2

1bnan


2014


Dengan a = suku pertama dan b = beda

Contoh

Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!

𝑆10 =1

2 10 9 + 99 = 540

Penyelesaian

Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 9, 18, 27, …, 99

Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9, dan

Un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut:

Un = 99 ⇔ a + (n – 1)b = 99

⇔ 9 + (n – 1)9 = 99

⇔ 9 + 9n – 9 = 99

⇔ 9n = 99

⇔ n = 10

Jadi, banyak bilangan yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 10. Dengan

menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:

Dengan demikian, 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + … + 99 = 540.

Diketahui deret aritmetika tingkat satu dengan sn adalah jumlah n suku

pertama. Jika 𝑆𝑛 = 𝑚3 − 1 𝑛2 − 𝑚2 + 2 𝑛 + 𝑚 − 3 + ⋯ maka

tentukanlah jumlah suku ke – 10 pada barisan tersebut

DISKUSI KELOMPOK


2014


C. EVALUASI


1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :

a. 3, 6, 9, 12, ...

b. 1, 6, 11, 16, ...

c. -15, -8, -1, 6, ...

2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :

a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50

b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20

c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50

3. Tentukan nilai dari:

a. 2 + 7 + 12 +.... + 297

b. 30 + 26 + 22 +... + 2.

4. Tentukan x jika:

a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.

b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835.

5. Pola A B B C C C D D D D A B BC C C D D D D A B B C C C D D

D D ... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati

urutan 26.3

2?


2014


Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio)

antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai

perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan

𝑟 =𝑈2

𝑈1=

𝑈4

𝑈3=

𝑈6

𝑈5= ⋯ =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

BAB III

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Kompetensi Dasar

Menerapkan konsep barisan dan deret geometri

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan

geometri menggunakan rumus

Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri

dengan menggunakan rumus

Siswa dapat menentukan jumlah suku tak hingga suatu deret

geometri dengan menggunakan rumus

A. BARISAN GEOMETRI


2014


Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un dengan U1= a dan

rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a r

U3 = U2 r = (a r)r = ar2

U4 = U3 r = (a r2)r = ar

3

Un = Un-1 r = arn-1

Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah:

Un = a.rn-1

Contoh

Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah rumus suku ke-n

Penyelesaian

Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r = 3

1 sehingga barisan

tersebut adalah barisan geometri.

Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

1)3

1.(27 n

nU

= 33.(3

-1)

n-1

= 33.3

-n + 1

= 34 – n


2014


Jika U1, U2, U3, ..., Un. merupakan barisan geometri dengan unsur

pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret

geometri dengan Un = arn-1

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan

rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 +

U3 + ... + Un, maka

Sn = a + ar2

+ ar3

+ ..... + arn-1

r Sn = ar + ar3

+ ar4

+ ..... + arn-1

+ arn

Sn - r Sn = a – arn

(1 - r) Sn = (1 -rn)a

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan

rasio r adalah

r

raS

n

n

1

)1( untuk r < 1 atau

1

)1(

r

raS

n

n untuk r > 1

B. DERET GEOMETRI

Contoh

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2

sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku

pertama deret geometri tersebut.


2014


Penyelesaian

U2 = 8, berarti ar = 8

U3 = 64, berarti ar4 = 64

ar.r3 = 64

8r3 = 64

r3 = 8

didapat r = 2

dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8

sehingga a= 4.

Jumlah n suku pertama deret ini adalah 21

)21(4

n

nS

= 1

2.44

n

= 4.2n – 4

= 22.2

n – 4

= 22 + n

– 4

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10

– 4

= 212

– 4

= 4096 – 4

= 4092


2014


Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah

deret geomatri tak hingga adalah :

r

aSS n

n

1lim

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun

untuk n tak terhingga ada dua kasus :

a. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya

r

a

r

aS

11

)01(

Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen

(memusat)

b. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n nilai rn makin besar akibatnya

r

aS

1

)1(

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen

(memencar)

C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Buktikan rumus jumlah n

suku pertama deret geometri

diatas!

DISKUSI KELOMPOK


2014


Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret

geometri serta deret aritmatikadalam bidang fisika, teknologi

informasi dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan

aturan barisan dan deret geometri di dalam pemecahan masalah

tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.

TUGAS PROYEK

Diskusikan dengan kelompkmu tentang pola barisan bilangan berikut!

a) 1, 3, 7, 9, …

b) 1, 4, 9, 16, …

c) 3, 1, 4, 2, 5, …

Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri?

Tentukanlah suku ke 10 dari pola barisan di atas!

DISKUSI KELOMPOK


2014


D. EVALUASI


1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut :

a. 2, 4, 8, 16, ..., U12

b. 3, -9, 27, -81, ..., U10

c. ,...,63,23,3,2 U5

2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :

a. 1, 2, 4, ...

b. ,....8

1,

4

1,

2

1

c. ,...22,2,2

3. Diketahui deret geometri : ...9

1

3

113 Tentukan :

a. Rasio

b. Suku ke-10

c. Jumlah 10 suku pertama

4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64.

Tentukan :

a. rasio

b. rumus jumlah n suku pertama

5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 72 dan jumlah semua

sukunya yang berindeks ganjil adalah 48, tentukan suku ke-3 deret tersebut!


2014


DAFTAR PUSTAKA

MGMP Matematika Kota Semarang. 2006. Matematika SMA/MA Kelas XII Program Ilmu

Pengetahuan Sosial. Semarang : PT Mascom Graphy, Semarang.

Soedyarto, Nugroho & Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI

Program IPA. Jakarta: Kemendikbud

modul matematika materi barisan dan deret

Education