GEOMETRI METRIK

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Monica Lili Megawati

NIM: 043114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

METRIC GEOMETRY

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Monica Lili Megawati

Student Number: 043114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2009

iii

iv

v

������������������� �����������������

�������������������������� ������������

����������� ��������������

������������������������ ��������������

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

������������������ �� ���� � �

�� ��� ���� ����� �� � ���� �������������� ��

�� ������� � � ��� � � ����

��� ���� � ������������ ��� � � ��� �� ��

vi

vii

ABSTRAK

Geometri Abstrak merupakan himpunan dari titik dan garis yang memenuhi aksioma tertentu. Sebuah Geometri Abstrak dikatakan Geometri Insidensi jika memenuhi sistem aksioma yang mengandung ketunggalan garis. Geometri Metrik merupakan konsep Geometri Abstrak yang menyatukan berbagai konsep geometri yang sudah ada seperti Geometri Euklides dan Geometri Non Euklides dengan menggunakan sistem aksioma. Konsep yang digunakan dalam Geometri Metrik yaitu konsep mengenai jarak. “Jarak” adalah fungsi yang menentukan sebuah bilangan d(P, Q) untuk setiap pasangan titik P, Q. Dalam skripsi ini akan dibicarakan tiga model yang muncul dalam Geometri Metrik, yaitu Bidang Euklidean, Bidang Poincarè, dan Bidang Taxicab. Penggabungan model-model yang muncul dengan suatu fungsi jarak akan menghasilkan suatu Geometri Metrik. Penggunaan vektor dalam Bidang Kartesian yaitu untuk menentukan sifat keantaraan dalam Geometri Metrik yang menentukan tiga titik kolinier CBA −− artinya B terletak di antara A dan C.

viii

ABSTRACT Abstract Geometry is a set of points and lines that meet a certain axiom. The Abstract Geometry is an Incidence Geometry if it meets an axiom system that contains the uniqueness of lines. Metric Geometry is a concept of Abstract Geometry that unifies the previous geometry concepts like Euclidean Geometry and Non Euclidean Geometry that use the axiom system. The concept used in Metric Geometry is a distance concept. The ”distance” is the function that determines the number ( )QPd , for every pair of points QP, . This thesis will discuss three models of the Metric Geometry, they are: Euclidean Plane, Poincarè Plane, and Taxicab Plane. The grouping of the models that set in context with a distance function will produce a Metric Geometry. The use of vectors on Cartesian Plane is to determine betweeness on the Metric Geometry that establishes three colinear lines of CBA −− . It means that B is between A and C.

ix

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat

dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Berkat dukungan dan bantuan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat

terselesaikan. Oleh karena itu penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah memberikan pengarahan dan bimbingan selama penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T.,M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si.,M.Si. selaku Kaprodi Matematika dan

Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2004 yang telah memberikan nasehat,

saran dan dukungan kepada penulis.

4. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

5. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi

kepada penulis selama masa perkuliahan.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan

fasilitas dan memberikan kemudahan kepada penulis selama masa perkuliahan.

7. Kedua orang tuaku tercinta: Bapak Andreas Leonardus Pardiyo dan Ibu Maria

Magdalena Lasmiyati yang dengan penuh cinta kasih telah memberikan

nasehat, semangat, saran dan dukungan kepada penulis dalam segala hal.

xi

8. Kedua kakakku tersayang, FX. Budi Ari Wibowo dan Paulus Janu Rahprobo,

adikku tersayang Agatha Viti Anggraini, serta kekasihku tercinta Yulius

Libralvo Junischrisye, dan semua keluarga besar yang telah memberikan doa

dan dukungan kepada penulis.

9. Teman-teman angkatan 2004: Nancy Hartono, Theodora, Fransiska, Eni, Retno,

Ratna, Dwi, Lina, dan Yohanes, serta Ridwan Rahadiyanto dan Septi juga

bapak-ibu kost dan teman-teman Majus Community yang telah memberikan

semangat, saran dan nasehat kepada penulis.

10. Teman-teman KKN: Devita, Dewi, Silvia, Dita, Lilik, Lusia, Lucky, Hardian,

dan Udjo, juga Estiningsih yang telah memberikan semangat, saran, dan nasehat

kepada penulis.

Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu-

persatu di sini.

Yogyakarta, Februari 2009

Penulis

xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.......................................... vi

HALAMAN ABSTRAK ...................................................................................... vii

HALAMAN ABSTRACT .................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................. ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................... x

DAFTAR ISI......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN..................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ................................................................................ 3

1.3 Batasan Masalah .................................................................................. 4

1.4 Tujuan Penulisan.................................................................................. 4

1.5 Metode Penulisan................................................................................. 4

1.6 Manfaat Penulisan................................................................................ 4

xiii

1.7 Sistematika Penulisan .......................................................................... 4

BAB II HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI, DAN FUNGSI ...................... 7

2.1 Aksioma dan Model ........................................................................... 7

2.2 Himpunan dan Relasi Ekuivalensi ..................................................... 8

2.3 Fungsi................................................................................................. 15

BAB III GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI .................... 25

3.1 Geometri Abstrak.............................................................................. 25

3.2 Geometri Insidensi ............................................................................ 38

BAB IV GEOMETRI METRIK ........................................................................... 48

4.1 Geometri Metrik................................................................................ 48

4.2 Sistem Koordinat Khusus ................................................................. 75

4.3 Keantaraan di dalam Geometri Metrik.............................................. 80

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 101

5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 101

5.2 Saran .................................................................................................. 102

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 104

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pada awalnya Geometri merupakan kumpulan rumus yang digunakan

untuk menghitung jarak, luas, dan volume. Geometri sebagai ilmu praktis

sebetulnya sudah dikenal sejak 3000 tahun sebelum Masehi. Semula geometri

lahir dari kebutuhan untuk mempermudah kehidupan dan kemudian berkembang

secara alami. Peninggalan sejarah memperlihatkan bahwa sudah ada usaha

mengembangkan di Babilon (2000-1600 SM), di Mesir (1800-1600 SM), di Siria,

Mesopotamia, Asia Kecil dan di Arab yang biasanya masih tercampur dengan

ilmu berhitung aljabar dan astronomi. Kata geometri (pengukuran tanah) pun

timbul dari perhitungan luas tanah di Mesir untuk menentukan besar pajak. Pada

abad 6 SM orang-orang Yunani menjelajah ke Mesir, Asia Kecil dan sekitar Laut

Tengah. Tokohnya Thales membawa bahan-bahan geometri ke negaranya dan

mengadakan penjabaran-penjabaran antara lain mengenai lingkaran. Diperkirakan

mungkin kerja Thales ini merupakan usaha pertama yang orang-orang Yunani

lakukan dalam pembuktian sifat-sifat geometri lewat penalaran dan bukannya

dengan intuisi atau eksperimen. Tokoh-tokoh yang menyusul ialah Pythagoras (±

572 SM) yang memperumum (generalize) sifat segitiga siku-siku, Euclides (±

325 SM) dari Iskandaria (Alexandria) yang untuk pertamakalinya meletakkan

2

dasar-dasar geometri aksiomatik, serta masih ada beberapa tokoh lain.

Pada masa Euclides (abad 3 SM) geometri sudah berbentuk sebagai cabang ilmu

tersendiri dan mendapatkan wajah sebagai ilmu yang abstrak dalam bentuk sistem

deduktif/aksiomatik, dilandasi oleh logika Yunani. Pada waktunya dahulu

Euclides berhasil menyusun geometri sebagai sistem aksiomatik material, kini

timbul sistem aksiomatik yang formal. Ini ditandai dengan timbulnya manifold

dengan unsur yang tidak harus berupa titik geometris (Plucker 1829) dan juga

ruang abstrak (Frechet 1906), sedemikian sehingga geometri menjadi semakin

abstrak.

Ada dua pendekatan mendasar dalam Geometri Abstrak. Pendekatan

pertama disebut pendekatan sintetik, yang digunakan oleh Euclides dalam

bukunya yang berjudul Elements (sekitar 300 SM) dan dilengkapi oleh seorang

matematikawan Jerman David Hilbert (1862-1943) dalam bukunya yang berjudul

Grundlagen der Geometrie. Pendekatan kedua disebut pendekatan metrik, yang

ditemukan oleh seorang matematikawan Amerika yang bernama George David

Birkhoff (1884-1944) dalam makalahnya “A Set of Postulates for Plane

Geometry Based on Scale and Protractor” [1932]. Dalam pendekatan ini, konsep

mengenai jarak dan pengukuran sudut ditambahkan untuk geometri insidensi

untuk mendapatkan ide dasar mengenai keantaraan, segmen garis, kongruensi,

dan lain sebagainya.

Kita menggunakan pendekatan metrik karena konsep tentang jarak adalah

seperti suatu yang alami. “Jarak” adalah fungsi yang menentukan sebuah bilangan

3

d(P, Q) untuk setiap pasangan titik P, Q. Hal itu mestinya tidak berarti apakah

kita ukur dari P ke Q atau dari Q ke P (ditulis d(P, Q)). Selanjutnya, jarak antara

dua titik adalah nol dapat terjadi ketika kedua titik itu sama.

Pada keseluruhannya dalam skripsi ini penulis akan mengilustrasikan

berbagai macam aksioma, definisi-definisi, dan teorema-teorema dengan model-

model dari Bidang Kartesian yang umum dikenal hingga separuh dari bagian atas

Bidang Poincarè, dan Bidang Taxicab. Penulis berharap bahwa melalui sebuah

gambaran dengan contoh, pembaca akan memperoleh pemikiran nyata dan intuisi

untuk geometri non-Euklides. Ada tiga model yang utama dari geometri dengan

pendekatan metrik yang akan muncul, yaitu Bidang Euklidean �, Bidang Poincarè

�, dan Bidang Taxicab �. Serta akan dibahas pula sifat keantaraan di dalam

Geometri Metrik.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasar atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok

permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan Geometri Abstrak, Geometri Insidensi, dan

Geometri Metrik?

2. Apa saja model-model yang muncul dari setiap Geometri di atas?

3. Apa sifat dari masing-masing Geometri?

4. Apa yang dimaksud keantaraan di dalam Geometri Metrik?

4

1.3 Batasan Masalah

1. Geometri Abstrak yang dibahas hanya dalam pendekatan metrik saja.

2. Dalam penulisan skripsi ini yang dibahas hanya definisi dari Geometri

Abstrak, Insidensi dan Metrik, serta model-model yang muncul di dalamnya

dan sifat keantaraan dalam Geometri Metrik.

1.4 Tujuan Penulisan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari Geometri dengan pendekatan

metrik serta mempelajari model-model yang muncul di dalamnya.

1.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan menggunakan

metode studi pustaka.

1.6 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui definisi dari Geometri

Metrik serta untuk mengetahui model-model yang muncul di dalam Geometri

Metrik.

1.7 Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

5

1.1 Latar Belakang Masalah

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah

1.4 Tujuan Penulisan

1.5 Metode Penulisan

1.6 Manfaat Penulisan

1.7 Sistematika Penulisan

BAB II HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI DAN FUNGSI

2.1 Aksioma dan Model

2.2 Himpunan dan Relasi Ekuivalensi

2.3 Fungsi

BAB III GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI

3.1 Geometri Abstrak

3.2 Geometri Insidensi

BAB IV GEOMETRI METRIK

4.1 Geometri Metrik

4.2 Sistem Koordinat Khusus

4.3 Keantaraan di dalam Geometri Metrik

6

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

5.2 Saran

BAB II

HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI, DAN FUNGSI

2.1 Aksioma dan Model

Studi tentang geometri diawali dengan dua konsep dasar, yaitu pengertian

tentang titik dan garis. Pengertian tersebut kemudian dihubungkan dengan

kumpulan aksioma, atau prinsip utama. Sebagai contoh, ketika kita

mendiskusikan tentang awal munculnya geometri, prinsip utama yang mungkin

kita asumsikan yaitu jika A dan B adalah dua titik yang berbeda maka ada tepat

satu garis yang dapat ditarik melalui titik A dan B.

Aksioma-aksioma dinyatakan sebagai “kebenaran dasar”. Aksioma adalah

pernyataan dari sifat yang sangat diperlukan untuk dipelajari tetapi tidak

dibuktikan. Aksioma-aksioma yang demikian akan “terbukti dengan sendirinya”.

Pandangan modernnya bahwa aksioma adalah sebuah pernyataan tentang sifat

yang sangat berguna. Pemilihan aksioma ditentukan oleh tiga prinsip dasar.

Pertama, aksioma harus “layak” atau “menarik”. Kedua, aksioma akan berguna

dan berperan penting untuk bermacam-macam teorema dan bermacam struktur

matematika. Ketiga, aksioma harus konsisten. Sistem aksioma adalah sistem yang

didasarkan pada penalaran deduktif. Sistem deduktif terdiri dari empat komponen,

antara lain :

1. Hal-hal yang tak terdefinisi ( undefined terms )

2. Aksioma / postulat

8

3. Hal-hal yang terdefinisi ( defined terms )

4. Teorema

Terdapat beberapa sifat sistem aksioma :

1. Konsisten yang artinya tidak ada dua pernyataan ( dua aksioma, aksioma

dengan teorema, atau dua teorema yang bertentangan satu sama lain ).

2. Independen artinya jika sebuah aksioma tidak dapat dibuktikan / diturunkan

dari aksioma yang lain.

3. Lengkap artinya jika tidak mungkin menambahkan sebuah aksioma yang

konsisten dan independen ke dalam sistem tersebut.

Setiap model dalam geometri ditentukan dari pemberian sebuah himpunan

yang anggotanya disebut “titik” dan kumpulan himpunan bagian dari himpunan

ini yang disebut “garis”. Jika kita menggunakan beberapa model khusus, maka

model-model tersebut harus memenuhi aksioma-aksioma yang ada.

2.2 Himpunan dan Relasi Ekuivalensi

Misalkan ada sebuah himpunan yang disimbolkan S. Himpunan S terdiri

dari obyek-obyek yang disebut anggota. Kumpulan obyek ini harus digambarkan

dengan menggunakan aturan khusus. Misalkan kita menuliskan Sa ∈ yang

berarti a berada dalam S, dan dibaca “a adalah anggota dari S”. Sama halnya

9

dengan kita menulis Sa ∉ yang berarti bahwa a tidak berada dalam S, yaitu a

bukan anggota dari S.

Definisi 2.2.1

a) Himpunan T adalah himpunan bagian dari S, ditulis T ⊂ S, jika setiap anggota

T juga merupakan anggota S.

b) Himpunan T dikatakan sama dengan himpunan S, ditulis T=S, jika setiap

anggota T berada di S, dan setiap anggota S berada di T. Karena itu T=S jika

dan hanya jika T ⊂ S dan S ⊂ T.

c) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan diberi

lambang φ .

Notasi T = { x ∈ S | … } berarti bahwa anggota T merupakan anggota dari S yang

memenuhi sifat setelah tanda “|”.

Definisi 2.2.2

a) Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan

A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }.

b) Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan

A ∩ B = { x | x∈A dan x ∈ B }.

Jika φ=∩ BA maka A dan B dikatakan saling asing.

10

c) Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan

A-B = { x | x ∈ A dan x∉B }.

Di bawah ini akan diberikan contoh agar dapat lebih memahami definisi di atas.

Ingat bahwa untuk menunjukkan dua himpunan S dan T sama dilakukan dengan

menunjukkan bahwa TS ⊂ dan .ST ⊂

Contoh 2.2.1

Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩

Penyelesaian :

Pertama kita tunjukkan bahwa ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩⊂∪∩ . Misalkan

( )CBAx ∪∩∈ , maka Ax ∈ dan ( )CBx ∪∈ . Karena ( )CBx ∪∈ maka Bx ∈

atau Cx ∈ (atau di keduanya). Jika Bx ∈ maka ( )BAx ∩∈ . Jika Cx ∈ maka

( )CAx ∩∈ . Hal ini berarti ( ) ( )CABAx ∩∪∩∈ . Jadi

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩⊂∪∩ .

Kemudian kita tunjukkan bahwa ( ) ( ) ( )CBACABA ∪∩⊂∩∪∩ . Misalkan

( ) ( )CABAx ∩∪∩∈ . Jika ( )BAx ∩∈ maka Ax ∈ dan Bx ∈ . Karena itu

( )CBx ∪∈ dan ( )CBAx ∪∩∈ . Demikian juga, jika ( )CAx ∩∈ maka Ax ∈

dan Cx ∈ . Karena itu, ( )CBx ∪∈ dan ( )CBAx ∪∩∈ . Dalam salah satu hal,

( )CBAx ∪∩∈ . Jadi ( ) ( ) ( )CBACABA ∪∩⊂∩∪∩ .

11

Karena ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩⊂∪∩ dan ( ) ( ) ( )CBACABA ∪∩⊂∩∪∩ ,

jadi kita dapatkan ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩ . �

Definisi 2.2.3

Misalkan A dan B adalah himpunan. Sebuah pasangan terurut adalah simbol ( )ba,

di mana Aa ∈ dan Bb ∈ . Dua pasangan terurut ( )ba, dan ( )dc, dikatakan sama

jika ca = dan db = . Hasilkali Kartesius dari A dan B adalah himpunan

=× BA {(a,b)| Aa ∈ dan Bb ∈ }.

Catatan bahwa RRR ×=2 . Sebagai contoh grafik pertidaksamaan yx <

dalam 2R memuat semua pasangan terurut ( ) 2, Rba ∈ sedemikian sehingga

ba < .

Definisi 2.2.4

Sebuah relasi biner R pada himpunan S adalah himpunan bagian dari SS × . Jika

( ) Rts ∈, maka kita katakan bahwa s berelasi dengan t.

Kita seringkali menggunakan simbol untuk relasi seperti

~||,,,, atau≈≡≤ daripada huruf. Kemudian kita mengindikasikan bahwa dua

anggota yang berelasi dengan menempatkan nama relasinya di antara anggota

misalkan ( ) C∈5,3 menjadi ( )∈≤5,3 , yang menjadi 53 ≤ . Jadi kita mungkin

12

membuat pernyataan tentang “relasi ~” dan menulis pernyataannya seperti “a ~

b”. Jika dua anggota a, b tidak berelasi, maka kita tulis a ~/ b.

Gagasan mengenai relasi bergantung pada pasangan terurut. Untuk

beberapa relasi khusus urutan tidaklah penting – relasi bersifat simetris. Catatan

bahwa jika ~ adalah sebuah relasi pada S dan Sa ∈ , maka di dalamnya mungkin

tidak ada anggota b dengan ba ~ . Sebagai contoh, jika S adalah himpunan

bilangan bulat positif, dan jika relasinya “>” ( lebih besar dari ) maka tidak ada

Sb ∈ dengan 1>b. Dalam hal ini 1 tidak berelasi dengan apapun.

Definisi 2.2.5

Sebuah relasi biner “~” pada S adalah relasi ekuivalensi jika untuk setiap

Scba ∈,, berlaku :

i. aa ~ ( refleksif )

ii. Jika ba ~ maka ab ~ ( simetris )

iii. Jika ba ~ dan cb ~ , maka ca ~ ( transitif )

Contoh 2.2.2

Misalkan � adalah himpunan semua bilangan bulat dan didefinisikan ba ~ jika

ba − habis dibagi 2. Akan ditunjukkan bahwa “~” adalah relasi ekuivalensi.

13

Untuk mengatakan bahwa ba − habis dibagi 2 artinya bahwa ada bilangan bulat

k sedemikian sehingga kba 2=− . Jadi ba ~ jika dan hanya jika ada Zk ∈

sehingga kba 2=− .

i. Misalkan Za ∈ , maka 0.20 ==− aa sehingga aa ~ dan “~” refleksif.

ii. Misalkan Zba ∈, dan ba ~ , maka ada Zk ∈ dengan kba .2=− . Ini berarti

bahwa ).(2 kab −=− . Karena Zk ∈− , kita peroleh ab ~ . Jadi “~” bersifat

simetris.

iii. Jika ba ~ dan cb ~ maka ada bilangan Zk ∈1 dan Zk ∈2 dengan

,.2 1kba =− dan 2.2 kcb =− . Dengan menjumlahkan kedua persamaan kita

peroleh ( )212 kkca +=− , dengan Zkk ∈+ 21 dan kemudian ca ~ . Jadi “~”

bersifat transitif.

Oleh karena itu “~” adalah relasi ekuivalensi.

Definisi 2.2.6

Jika a dan b adalah bilangan bulat maka a ekuivalen dengan b modulo n jika

knba =− untuk suatu bilangan bulat k. Ditulis ( )nba ≡ dan artinya bahwa ba −

habis dibagi n.

14

Definisi 2.2.7

Jika “~” adalah relasi ekuivalensi pada himpunan S dan Ss ∈ , maka kelas

ekuivalensi s adalah himpunan bagian dari S dengan definisi

[ ] { } { }xsSxsxSxs ~|~| ∈=∈= .

Contoh 2.2.3

Dalam Contoh 2.2.2 kelas ekuivalensi dari 3 adalah himpunan bilangan bulat

ganjil, dan kelas ekuivalensi dari 2 adalah himpunan bilangan bulat genap.

Catatan pada kasus ini adalah jika Zyx ∈, maka [ ] [ ]yx = atau [ ] [ ] φ=∩ yx .

Teorema 2.2.1

Jika “~” adalah relasi ekuivalensi pada S dan jika Sts ∈, maka [ ] [ ] φ=∩ ts atau

[ ] [ ]ts = .

Bukti :

Kita akan menunjukkan bahwa jika pernyataan pertama tidak benar [ ] [ ]( )φ≠∩ ts ,

maka pernyataan kedua benar. Asumsikan bahwa [ ] [ ] φ≠∩ ts , maka ada

[ ] [ ]tsx ∩∈ . Karena itu [ ]sx ∈ dan [ ]tx ∈ . Jadi x~s dan x~t. Dari simetri s~x,

dan maka dari transitif s~x dan x~t berakibat bahwa s~t. Kita gunakan ini untuk

menunjukkan [ ] [ ]ts ⊂ . �

15

Misalkan [ ]sy ∈ , maka y~s dan, karena s~t, kita juga mempunyai y~t dari sifat

transitif. Jadi [ ]ty ∈ . Karena itu [ ] [ ]ts ⊂ . Sama halnya t~s, dapat kita tunjukkan

[ ] [ ]st ⊂ . Karena itu [ ] [ ]ts = . �

2.3 Fungsi

Pada subbab ini kita akan membicarakan fungsi dan bijeksi. Di sini kita

akan terus menggunakan R untuk menotasikan himpunan semua bilangan real dan

Z untuk himpunan semua bilangan bulat.

Definisi 2.3.1

Jika S dan T adalah himpunan, maka sebuah fungsi f : S →T adalah sebuah

himpunan bagian TSf ×⊂ sehingga untuk setiap Ss ∈ ada tepat satu Tt ∈

dengan ( ) fts ∈, . Elemen tunggal t ini biasanya dinotasikan f(s). Himpunan S

disebut daerah asal (domain) dari f dan T disebut daerah hasil (range) dari f.

Contoh 2.3.1

Misalkan f : R →R dengan persamaan f(x) = x2. Misalkan g : Z →R dengan

persamaan g(x) = x2. Catat bahwa f tidak sama dengan g – masing-masing

memiliki daerah asal yang berbeda. Sekarang misalkan { }0| ≥∈=+ xRxR dan

misalkan +→ RRh : dengan persamaan ( ) 2xxh = . Catat bahwa f dan h tidak

sama sebab masing-masing memiliki daerah hasil yang berbeda.

16

Definisi 2.3.2

Jika TSf →: adalah sebuah fungsi maka peta f adalah

( ) )(|{Im sftTtf =∈= untuk suatu }Ss ∈ .

Im(f ) memuat elemen dari T yang benar-benar “dipetakan” oleh f. Tentu saja,

Im(f) ⊂ daerah hasil (f ), tetapi himpunannya tidak harus sama.

Definisi 2.3.3

Fungsi TSf →: adalah surjektif jika untuk setiap Tt ∈ ada Ss ∈ dengan

( ) tsf = .

Sebuah elemen mungkin dapat dioperasikan lebih dari sekali, yaitu

mungkin ada beberapa Ss ∈ sehingga ( ) tsf = . Hal ini umum digunakan untuk

menyatakan bahwa sebuah fungsi adalah “pada” sebagai ganti dari “surjektif”.

Contoh 2.3.2

Akan ditunjukkan bahwa f : R �R oleh ( ) 13 −= xxf adalah surjektif sedangkan

g : R �R oleh ( ) 12 −= xxg tidak surjektif.

Untuk menunjukkan bahwa f adalah surjektif kita harus memperlihatkan bahwa

untuk setiap ∈t daerah hasil ( )f = R ada ∈s daerah asal ( )f sehingga ( ) tsf = ,

yaitu kita harus menunjukkan bahwa persamaan

ts =−13 . . .( 1 )

17

mempunyai penyelesaian untuk setiap nilai t. Karena setiap bilangan real

mempunyai akar pangkat tiga, kita tuliskan 3 1+= ts . Maka

( ) ( ) tttsf =−+=−+= 111133

Karena itu f adalah surjektif.

Untuk menunjukkan bahwa g tidak surjektif kita hanya perlu menentukan satu

nilai t sehingga persamaan

ts =−12 . . . ( 2 )

tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan t = - 2. maka penyelesaian dari

persamaan ( 2 ) harus memenuhi

121 22 −=−=− sataus

untuk sembarang bilangan real s. Karena itu g tidak surjektif. �

Contoh 2.3.2 mengilustrasikan bagaimana kita mencoba membuktikan

sebuah fungsi surjektif. Konsep mengenai sebuah fungsi yang surjektif memberi

kita penjelasan apakah sebuah persamaan mempunyai penyelesaian atau tidak.

Gagasan penting lain adalah dugaan mengenai fungsi injektif, yang terkait

banyaknya penyelesaian untuk sebuah persamaan.

Definisi 2.3.4

Fungsi TSf →: adalah injektif jika untuk setiap Sss ∈21 , dengan

( ) ( )21 sfsf = maka 21 ss = .

18

Hal ini merupakan cara umum untuk menggunakan terminologi “satu-

satu” untuk arti injektif. Cara lain untuk mendefinisikan fungsi injektif adalah : f

injektif jika 21 ss ≠ berakibat ( ) ( )21 sfsf ≠ .

Contoh 2.3.3

Akan ditunjukkan bahwa ++ → RRh : oleh ( ) 2xxh = adalah injektif.

Asumsikan bahwa ( ) ( )21 shsh = yaitu 22

21 ss = . Kemudian dengan menarik akar

kuadrat kita peroleh 21 ss ±= . Karena elemen dari 2R tidak negatif, keduanya

dari 1s dan 2s harus lebih besar dari atau sama dengan nol. Karena itu 21 ss −≠

(kecuali jika keduanya adalah 0) dan kemudian 21 ss = . Jadi h adalah injektif.

�

Kata “injektif “ dan “surjektif” adalah kata sifat. Jika kita mempunyai

sebuah kata benda maka ini adalah umum untuk mengatakan “injeksi” untuk

“fungsi injektif” dan “surjeksi” untuk “fungsi surjektif”.

Definisi 2.3.5

Fungsi TSf →: adalah bijeksi jika f adalah sebuah injeksi dan sekaligus

surjeksi.

19

Contoh 2.3.3 adalah bijeksi. Istilah lain untuk bijeksi adalah

korespondensi satu-satu.

Definisi 2.3.6

Jika diberikan fungsi-fungsi TSf →: , VUg →: , dan ( ) Uf ⊂Im , maka

komposisi dari f dan g adalah fungsi VSfg →:� yang diperoleh dari

( )( ) ( )( )sfgsfg =� untuk setiap Ss∈ .

Catat bahwa daerah asal g harus memuat peta dari f dalam komposisi f

dan g agar terdefinisi.

Teorema 2.3.1

Jika TSf →: dan VTg →: keduanya adalah surjeksi maka fg � juga

merupakan sebuah surjeksi.

Bukti :

Ambil sebarang Vv ∈ . Kita harus menunjukkan bahwa ada Ss ∈ sehingga

( )( ) vsfg =� . Karena g adalah surjektif, ada Tt ∈ sehingga ( ) vtg = . Karena f

adalah surjektif ada Ss ∈ dengan ( ) tsf = . Sekarang berlaku

( )( ) ( )( ) ( ) vtgsfgsfg ===� .

Jadi fg � adalah surjeksi. �

20

Teorema 2.3.2

Jika TSf →: dan VTg →: keduanya adalah injeksi maka VSfg →:�

adalah sebuah injeksi.

Bukti :

Akan dibuktikan : VSfg →:� adalah sebuah injeksi.

Definisi dari dua fungsi yang injektif :

Untuk setiap ∈21 , xx daerah asal (f ) ( )( ) ( )( )( )2121 , xxmakaxfgxfgjika == ��

Asumsikan : ( )( ) ( )( )21 xfgxfg �� = .

Untuk sebarang 21 , xx berada di daerah asal (f ), maka

( )( ) ( )( )21 xfgxfg = , sehingga

( ) ( )21 xfxf = ( g adalah injeksi ).

Jadi, 21 xx = ( f adalah injeksi )

Jadi terbukti bahwa fg � adalah sebuah injeksi, jika f dan g keduanya adalah

injeksi. �

Teorema 2.3.3

Jika TSf →: dan VTg →: keduanya adalah bijeksi maka VSfg →:�

adalah sebuah bijeksi.

Bukti :

Dari Teorema 2.3.1 dan Teorema 2.3.2. �

21

Jika TSf →: adalah bijeksi maka untuk setiap Tt ∈ terdapat dengan tunggal

Ss ∈ dengan ( ) tsf = . Hal ini mengijinkan kita untuk mengatakan bahwa untuk

setiap Tt ∈ berkorespondensi dengan tepat satu Ss ∈ .

Definisi 2.3.7

Jika TSf →: adalah sebuah bijeksi, maka invers dari f adalah fungsi STg →:

yang didefinisikan oleh

( ) stg = , di mana s adalah elemen tunggal dari S dengan ( ) tsf = . . . ( 3 )

Fungsi g sering dinotasikan dengan 1−f .

Jika f adalah fungsi logaritma natural yang diberikan oleh ( ) ( )ssf ln= ,

maka invers dari f adalah fungsi eksponensial g yang diberikan oleh ( ) tetg =

karena ( ) se x =ln .

Definisi 2.3.8

Jika S adalah sebuah himpunan, maka fungsi identitas SSid s →: diberikan oleh

( ) ssid S = .

22

Teorema 2.3.4

Jika TSf →: , maka f adalah bijeksi jika dan hanya jika fg � = Sid dan

Tidgf =� untuk suatu fungsi STg →: . Lebih jelas, pada kasus ini invers dari f

adalah g.

Bukti :

Pertama kita akan menunjukkan bahwa jika ada sebuah fungsi STg →: dengan

Tidgf =� dan fg � = Sid maka f adalah bijeksi dan g adalah inversnya.

Asumsikan bahwa ada fungsi STg →: dengan Tidgf =� dan fg � = Sid . Jika

Tt ∈ maka ( ) ( )( ) ( ) ttidtgfdanStg T ==∈ . Oleh karena itu ( )ft Im∈ dan f

adalah surjeksi. Jika ( ) ( )21 sfsf = untuk Sss ∈21 , , maka

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 212121 ssatausidsidatausfgsfg SS === . Jadi f adalah injeksi dan

karenanya adalah sebuah bijeksi. Akhirnya jika t = f(s) maka

( ) ( )( ) ( ) ssidsfgtg S === . Jadi g adalah invers dari f.

Kemudian kita akan menunjukkan bahwa jika f adalah sebuah bijeksi maka ada

fungsi STg →: dengan Tidgf =� dan fg � = Sid . Karena f adalah bijeksi

yang mempunyai invers. Sebut saja invers ini STg →: . Maka ( ) stg = apabila

( ) tsf = .

Dalam kasus tertentu, jika Tt ∈ maka

( )( ) ( ) tsftgf == untuk semua Tt ∈

23

kemudian bahwa Tidgf =� . Juga jika Ts ∈ misalkan ( )sft = . Maka dari

persamaan ( 3 ), ( ) stg =

Kemudian

( )( ) ssfg = untuk semua Ss ∈

Jadi fg � = Sid . �

Contoh 2.3.4

Misalkan diberikan himpunan { }0| >∈=+ tRtP dan fungsi +→ PRf : dengan

( ) sesf = . Akan ditentukan RPf →+− :1 .

Persamaan (3) menyebutkan bahwa kita harus menemukan sebuah fungsi

RPfg →= +− :1 dengan sifat bahwa ( ) stg = apabila kapan saja te s = . Fungsi

ini adalah ( ) ttg ln= .

Karena

te t =ln dan ses =ln .

Teorema 2.3.4 memberi bukti bahwa penyelesaian kita benar. �

Teorema 2.3.5

Jika TSf →: dan VTh →: adalah bijeksi maka ( ) 111 −−− = hffh �� .

Bukti :

Akan dibuktikan : ( ) ( ) sidfhfh =−���

1

24

( ) ( ) Tidfhfh =−1���

Jika TSf →: maka STf →=−1

Jika VTh →: maka TVh →=−1

Kemudian kita amati

( ) ( ) sidfhfh =−���

1

Juga,

( ) ( ) ( )[ ]fhhffhhf ������1111 −−−− = ( komposisi bersifat asosiatif )

( )[ ]fhhf ���11 −−= ( komposisi bersifat asosiatif )

[ ]fidf T ��1−= ( )Tidhh =−

�1

ff �1−= ( )ffidT =�

Sid=

Dengan demikian kita mempunyai

( ) ( ) ( ) ( )fhhffhfh ������111 −−− =

Jadi kita peroleh bahwa

( ) 111 −−− = hffh ��

Jadi terbukti bahwa ( ) 111 −−− = hffh �� . �

BAB III

GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI

Pada bab ini kita akan mendefinisikan pengertian geometri abstrak dan

geometri insidensi. Ini dilakukan dengan memberikan sekumpulan aksioma yang

harus terpenuhi. Setelah definisi-definisi dibuat, akan diberikan sejumlah contoh yang

akan disajikan sebagai model-model untuk geometri-geometri tersebut. Dua dari

model-model tersebut adalah Bidang Kartesian dan Bidang Poincarè yang akan

seterusnya digunakan dalam skripsi ini.

Model-model geometri yang akan digunakan adalah Bidang Kartesian dan

Bidang Poincare. Pada pembahasan sebelumnya, geometri adalah himpunan � yang

terdiri dari titik dan himpunan � yang terdiri dari garis bersama dengan hubungan

antara titik dan garis.

3.1 Geometri Abstrak

Definisi 3.1.1

Geometri abstrak �� terdiri dari himpunan ��� yang anggota-anggotanya disebut

titik, bersama dengan sebuah koleksi �� dari himpunan bagian tak kosong dari � ,

yang disebut garis, sehingga :

i. Untuk setiap dua titik ∈BA, ��� ada sebuah garis l ∈ � dengan lA∈ dan

.lB ∈

26

ii. Setiap garis mempunyai sekurang-kurangnya dua titik.

Jika �� ������ adalah sebuah geometri abstrak dengan ∈P �, ∈l ��� dan

lP ∈ , kita katakan bahwa P terletak pada garis l, atau bahwa l melalui P. Jadi

aksioma pertama dari geometri abstrak berbunyi : “setiap pasang titik terletak

pada suatu garis.”

Proposisi 3.1.1

Misalkan � = �2 = {( x, y ) | x, y ∈ ����Kita definisikan himpunan dari “garis-

garis” sebagai berikut. Garis vertikal adalah sebarang himpunan bagian �2 yang

berbentuk

La = {( x, y ) ∈ �2 | x = a }

dimana a adalah bilangan real yang tetap. Garis tak vertikal adalah sebarang

himpunan bagian �2 yang berbentuk

Lm,,b = {( x, y ) ∈ �2 | y = mx + b }

dimana m dan b adalah bilangan real yang tetap. Misalkan ��E adalah himpunan

semua garis-garis vertikal dan tak vertikal. Maka � = { �2, ��E } adalah sebuah

geometri abstrak.

Bukti :

27

Kita harus menunjukkan bahwa jika ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = adalah dua titik

yang berbeda dari �2 maka ada ∈l �E memuat keduanya. Ini dilakukan dengan

memperhatikan dua kasus.

Kasus 1. Jika 21 xx = misalkan 21 xxa == . Kemudian P dan Q keduanya

termuat di ∈= aLl �E.

Kasus 2. Jika 21 xx ≠ akan dicari m dan b sehingga P, Q ∈ Lm,,b. Dimotivasi oleh

ide tentang “kemiringan / gradien” dari sebuah garis, kita mendefinisikan m dan b

memuat persamaan :

12

12

xxyy

m−−

= dan 22 mxyb −= .

Dapat ditunjukkan bahwa bmxy += 22 dan karena titik P juga berada di Lm,,b

maka didapat bmxy += 11 , kemudian bahwa P dan Q keduanya termuat dalam

∈= bmLl , �E.

Dari kasus 1 dan kasus 2 terlihat bahwa ∈= aLl �E juga ∈= bmLl , �E yang

berarti bahwa setiap garis mempunyai sekurang-kurangnya dua titik. Jadi, terbukti

bahwa � adalah sebuah geometri abstrak. �

28

x = a

a

La

y = mx + b

b

Lm,b

Gambar 3.1.1

Definisi 3.1.2

Model � = { �2, �E }disebut Bidang Kartesian ( notasi aL dan bmL , akan

digunakan untuk melambangkan garis di Bidang Kartesian ).

Kita menggunakan huruf �� dalam nama himpunan garis-garis Kartesian

(�E ) untuk mengingatkan kembali kita pada Euklides ( 300 SM ), penulis sistem

29

aksioma pertama mengenai geometri. Nama Kartesian digunakan untuk

menghormati matematikawan dan Filsuf Prancis Renè Descartès ( 1956 – 1650 ),

orang yang merevolusionerkan ide mengenai koordinat pada bidang. Pembuktian

kita bahwa � memenuhi aksioma yang sangat bergantung pada penggunaan

koordinat. Descartès juga menetapkan beberapa ketentuan dalam aljabar, seperti

menggunakan x, y, z untuk nilai yang tidak diketahui dan a, b, c untuk nilai yang

diketahui, serta memperkenalkan notasi eksponensial nx .

Proposisi 3.1.2

Misalkan � = � = {( x, y ) ∈ �2 | y > 0 }. Sebagaimana kasus dalam bidang

Kartesian, akan dideskripsikan dua jenis garis. Garis tipe I adalah sebarang

himpunan bagian dari ��yang berbentuk

=La {(x, y)∈ ����x = a}

dimana a adalah sebuah bilangan real yang tetap. Garis tipe II adalah sebarang

himpunan bagian dari ��yang berbentuk

=rc L {(x, y)∈���| ( x – c )2 + y2 = r2 }

dimana c dan r adalah bilangan real yang tetap dengan r > 0. (Lihat gambar 3.1.2)

Misalkan �� H merupakan himpunan semua garis tipe I dan tipe II. Maka

� ���H} adalah sebuah geometri abstrak.

Bukti :

30

Misalkan ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = merupakan dua titik berbeda dalam ���

maka 01 >y dan .02 >y

Kasus 1. Jika 21 xx = maka P dan Q keduanya termuat dalam ∈= Ll a ���H dimana

21 xxa == .

Kasus 2. Jika 21 xx ≠ , didefinisikan c dan r sebagai berikut

( )12

21

22

21

22

2 xxxxyy

c−

−+−=

( ) .21

21 ycxr +−=

Dengan =rc L {(x, y)∈���| ( x – c )2 + y2 = r2 } akan dibuktikan P dan Q berada

di ��dengan memasukkan P dan Q ke dalam persamaan :

( x – c )2 + y2 = r2

1. Akan diperlihatkan titik ( )11 , yxP = berada di ��:

( ) 221

21 rycx =+− , kemudian kita masukkan nilai c dan r, dan diperoleh

persamaan :

( ) ( )

2

21

2

12

21

22

21

22

121

2

12

21

22

21

22

1 22 ���

�

�

���

�

�

+��

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

−=+��

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

− yxx

xxyyxy

xxxxyy

x

Jika ruas kanan dikuadratkan maka diperoleh :

31

( ) ( )21

2

12

21

22

21

22

121

2

12

21

22

21

22

1 22y

xxxxyy

xyxx

xxyyx +�

�

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

−=+��

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

−

Ini berarti bahwa titik ( )11 , yxP = berada di ��

2. Akan diperlihatkan titik ( )22 , yxQ = berada di ��:

( ) 222

22 rycx =+− , kemudian kita masukkan nilai c dan r, dan diperoleh

persamaan :

( ) ( )

2

21

2

12

21

22

21

22

122

2

12

21

22

21

22

2 22 ���

�

�

���

�

�

+��

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

−=+��

�

�

��

�

����

����

�

−−+−

− yxx

xxyyxy

xxxxyy

x

Jika ruas kanan dikuadratkan maka diperoleh :

( ) ( )21

2

12

21

22

21

22

122

2

12

21

22

21

22

2 22y

xxxxyy

xyxx

xxyyx +�

�

�

�

��

�

����

����

�

−−+−−=+�

�

�

�

��

�

����

����

�

−−+−−

( ) ( )21

2

12

22

21

21

22212

2

2

12

2122

21

21

22

22

22

yxx

yyxxxxy

xxxxyyxx

+���

����

�

−−+−−

=+���

����

�

−−−++

Mudah diperiksa bahwa kesamaan ini benar. Jadi kita dapatkan 21

22 yy = . Ini

berarti titik ( )22 , yxQ = berada di �.

Misalkan ∈21, yy �. Ada ( )1, ya dan ( )2, ya ∈�. Jadi ( )1, ya dan ( )2, ya

berada di garis ax = .

Misalkan ∈2121 ,,, yyxx ���� da ( )∈11, yx � dan ( )∈22 , yx �, dan ( )11, yx dan

( )22 , yx berada di garis ( ) 222 rycx =+− .

32

Jadi terbukti bahwa titik ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = keduanya berada di �.

Dapat diperiksa bahwa setiap garis mempunyai paling sedikit dua titik.

Dengan demikian �� ����H} adalah geometri abstrak. �

aL

a

c

r

cLr

Gambar 3.1.2

33

Proposisi 3.1.3

Misalkan { �1, �1 } dan { �2, �2 } adalah geometri abstrak. Jika � = �� ∩1 �2 dan

�=�� ∩1 �2 maka akan dibuktikan bahwa { �, � } adalah geometri abstrak.

Bukti :

Ambil sembarang dua titik P, Q ∈�, maka ada l∈� yang memuat P dan Q.

Jika P, Q ∈� maka P, Q ∈ �� ∩1 �2. Jika P, Q ∈ � ∩1 �2, maka P, Q ∈�1 dan

P,Q∈�2.

Diketahui { �1, �1 } adalah geometri abstrak. Jika P, Q ∈�1 maka ada ∈1l �1

dengan P, Q 1l∈ dan setiap 1l mempunyai sekurang-kurangnya dua titik.

Diketahui { �2, �2 } adalah geometri abstrak. Jika P, Q ∈�2 maka ada l2∈�2

dengan P, Q ∈l2 dan setiap l2 mempunyai sekurang-kurangnya dua titik.

Jadi, jika P, Q ∈ � ∩1 �2 maka ada l ∈�� dengan P, Q ∈l = 21 ll ∩ .

Jadi jika l1 dan l2 mempunyai sekurang-kurangnya dua titik, maka l = 21 ll ∩

mempunyai sekurang-kurangnya dua titik.

Jadi, terbukti bahwa { �, � } adalah geometri abstrak. �

Definisi 3.1.3

Model �� �������H } disebut Bidang Poincarè. ( Notasi La dan rc L hanya

akan digunakan untuk menunjukkan garis-garis dalam �� �)

34

Berikut ini akan diberikan contoh untuk mencari garis Poincarè dengan

menggunakan Proposisi 3.1.2.

Contoh 3.1.1

Akan dicari garis Poincarè yang melalui titik (1, 2) dan (3, 4).

Penyelesaian :

Diketahui : bidang Poincar��� ����H}

Garis tipe II : =rc L {(x, y)∈��| ( x – c )2 + y2 = r2 }

Keduanya terletak pada garis tipe II:

i. 222 2)1( rc =+−

22 412 rcc =++−

22 52 rcc =+− (*)

ii. 222 4)3( rc =+−

22 1696 rcc =++−

22 256 rcc =+− (**)

Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:

5=c dan 52=r .

Jadi garis Poincarè yang melalui titik (1, 2) dan (3, 4) adalah

∈= ),{(525 yxL � | }20)5( 22 =+− yx .

35

� disebut Bidang Poincarè untuk menghormati matematikawan Prancis

Henri Poincarè (1854–1912) yang pertama kali menggunakannya. Huruf � , �,

dan H digunakan untuk mengingatkan kita pada kata “hiperbolik”. Suatu ketika

kita telah menambahkan struktur lain untuk � yang akan menjadi sebuah model

yang akan kita sebut geometri hiperbolik.

Pada model yang diberikan dalam Proposisi 3.1.1 dan 3.1.2 jelas bahwa

melalui sembarang dua titik ada dengan tunggal sebuah garis yang melaluinya.

Hal ini tidak benar untuk semua geometri abstrak. Contoh ini akan mempunyai

himpunan bagian tertentu dari �3 = {(x, y, z )| x, y, z ∈����sebagai himpunan

dari titik, �� �

�

Definisi 3.1.4

Luasan Bola dalam �3 adalah

S 2 = {( x, y, z )∈��3 | 1222 =++ zyx }.

Sebuah bidang dalam �3 adalah himpunan yang berbentuk

{( x, y, z )∈��3 | ax + by + cz = d }

dimana a, b, c, d adalah bilangan real tertentu, dan tidak semua dari a, b, c

adalah nol.

Catat bahwa pada definisi dari sebuah bidang jika konstanta d = 0, maka

bidang melalui titik asal ( 0, 0, 0 ).

36

Definisi 3.1.5

Sebuah lingkaran besar, ��� dari luasan bola S 2 adalah perpotongan dari S 2

dengan sebuah bidang yang melalui titik asal. Jadi ��adalah lingkaran besar jika

ada a, b, c∈ �, tidak semuanya nol, dengan

��= ( ){ }.0|,, 2 =++∈ czbyaxSzyx

� ax + by + cz = 0

Gambar 3.1.3

Proposisi 3.1.4

Misalkan � = S 2 dan misalkan �� R merupakan himpunan dari lingkaran besar

pada S 2. Maka { S 2, ��R } adalah geometri abstrak.

Bukti :

Kita harus menunjukkan bahwa jika ( ) 2111 ,, SzyxP ∈= dan ( ) 2

222 ,, SzyxQ ∈=

maka ada sebuah lingkaran besar ��dengan ∈P �� dan ∈Q ��. Kemudian kita

harus mencari bilangan real a, b, c ( tidak semua nol ) sehingga

0111 =++ czbyax dan 0222 =++ czbyax .

37

Pandang dua persamaan di atas sebagai dua persamaan dalam a, b, c yang

ketiganya tidak diketahui. Karena sistem persamaan linear homogen dengan dua

persamaan dalam tiga koefisien yang tidak diketahui selalu mempunyai sebuah

penyelesaian yang tak nol, kita selalu dapat menemukan a, b, dan c sebagai

penyelesaian persamaan di atas. Maka ada sebuah lingkaran besar � dengan

∈P � dan ∈Q � � Terakhir setiap lingkaran besar mempunyai paling sedikit dua

titik. �

Definisi 3.1.6

Lingkaran Riemann adalah sebuah geometri abstrak � = { S 2, ��R }.

Nama Lingkaran Riemann diberikan setelah G. B. F. Riemann (1826–

1866) menulis dokumen mendasar dalam geometri, topologi dan analisis.

Dokumennya pada geometri, Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu

Grunde liegen (Dalam Hipotesis di mana Terletak Dasar dari Geometri) yang

telah ditulis pada 1854, yang disajikan geometri dengan sebuah ide besar

penyatuan, yaitu Riemannian metric. Konsep ini, yang cukup sulit, adalah basis

untuk geometri diferensial modern dan matematika dari teori Einstein mengenai

relativitas umum. Nama Lingkaran Riemann berasal dari pekerjaan Riemann

dalam fungsi variabel kompleks dan bukan dari pekerjaannya dalam geometri.

38

Catat bahwa “jelas secara geometri” dan terbukti di atas bahwa ada dua

titik di S 2 yang terletak dalam sebuah lingkaran besar. Namun demikian,tidak

seperti dua contoh berikutnya dua titik dalam S 2 mungkin mempunyai lebih dari

satu lingkaran besar yang memuatnya. Perhatikan kutub utara dan selatan N dan S

seperti dalam gambar 3.1.4. Ada lingkaran besar yang tak terbatas jumlahnya dari

N ke S. Ketunggalan garis yang memuat dua titik merupakan sebuah konsep

penting untuk mendefinisikan geometri insidensi.

N

S

N

S

Gambar 3.1.4

3.2 Geometri Insidensi

Definisi 3.2.1

Geometri abstrak {����� } disebut geometri insidensi jika

i. Setiap dua titik berbeda dalam � terletak pada satu garis tunggal.

ii. Ada tiga titik ∈CBA ,, ��� yang tidak semuanya terletak pada satu garis.

39

Catatan. Jika {����� }adalah sebuah geometri insidensi dan ∈QP, ��, maka garis

tunggal l yang memuat P dan Q akan ditulis sebagai QPl = .

Definisi 3.2.2

Sebuah himpunan titik � adalah segaris ( kolinier ) jika ada satu garis l sehingga

�� l⊂ �Himpunan �� tak kolinier jika �� bukan sebuah himpunan kolinier.

Kadang-kadang kita akan menyebutkan bahwa ”A, B, dan C adalah kolinier”

sebagai ganti mengatakan ”{A,B,C} adalah sebuah himpunan kolinier”.

Penggunaan notasi ini membuatnya lebih mudah untuk menyatakan beberapa

hasil. Aksioma ii dari Definisi 3.2.1 di atas dapat dinyatakan ulang sebagai

ii’ Ada sebuah himpunan dari tiga titik yang tak kolinier.

Walaupun Lingkaran Riemann bukan merupakan geometri insidensi, tetapi

Bidang Kartesian dan Bidang Poincarè keduanya adalah geometri insidensi,

seperti yang akan kita lihat sekarang.

Proposisi 3.2.1

Bidang Kartesian ���adalah sebuah geometri insidensi.

Bukti :

40

Kita harus menunjukkan bahwa dua titik berbeda menentukan secara tunggal

sebuah garis Kartesian. Misalkan ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = dengan .QP ≠

Kita akan mengasumsikan bahwa P, Q terletak pada dua garis berbeda dan pada

akhirnya diperoleh kontradiksi

Kasus 1. Misalkan P, Q berada di La dan La’ dengan 'aa ≠ . Maka 21 xxa == dan

21' xxa == kemudian bahwa a=a’ , merupakan kontradiksi.

Kasus 2. Jika P, Q berada di La dan Lm,b, maka ( )1, yaP = dan ( )2, yaQ = ,

karena keduanya berada di Lm,b kita juga memiliki

bmabmxy +=+= 11 dan bmabmxy +=+= 22 . (3-1)

Dengan begitu 21 yy = , yang kontradiksi dengan ( ) ( )21 ,, yaQPya =≠= .

Kasus 3. Misalkan bahwa P, Q berada di Lm,b dan Ln,c dan bahwa Lm,b ≠ Ln,c.

Maka

bmxy += 11 bmxy += 22 . (3-2)

Dari kasus 2, P, Q tidak berada di sebuah garis vertikal jadi 21 xx ≠ . Oleh karena

itu dari (3-2) kita dapat mencari nilai m :

12

12

xxyy

m−−

= . (3-3)

Dari nilai m kita peroleh nilai b :

11 mxyb −= . (3-4)

Sebuah perhitungan serupa untuk garis Ln,c memberikan

41

12

12

xxyy

n−−

= , 11 nxyc −= .

Tapi ini berakibat m = n dan b = c ini kontradiksi dengan Lm,b ≠ Ln,c.

Dengan begitu dalam semua kasus, asumsi bahwa P, Q berada dalam dua garis

berbeda mengantar ke sebuah kontradiksi, yang berarti bahwa P, Q berada dalam

satu garis tunggal. Di dalam Bidang Kartesian, ada paling sedikit tiga titik yang

takkolinier. Misalnya titik (-1,0), (0,2), dan (1,-3). Oleh karena itu �� adalah

sebuah geometri insidensi. �

Proposisi 3.2.2

Bidang Poincare � adalah sebuah geometri insidensi.

Bukti :

Misalkan ∈QP, ��dengan QP ≠ . Jika P dan Q berada pada dua garis tipe I La

dan La' maka kita dapat menunjukkan bahwa 'aa = seperti dalam Proposisi

3.1.4. Jadi P dan Q tidak dapat tidak berada pada dua garis tipe I yang berbeda.

Misalkan jika P dan Q terletak pada La dan rc L maka P dan Q adalah titik yang

sama. Misalkan ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = .

Diketahui P terletak pada La , maka ax =1 dan Q juga terletak pada La , maka

ax =2 . Jadi 21 xx = .

Diketahui P terletak pada rc L , maka

42

( ) 221

21 rycx =+− (3-5)

Diketahui Q juga terletak pada rc L , maka

( ) 222

22 rycx =+− (3-6)

Padahal 21 xx = , maka persamaan (3-5) menjadi

( ) 221

22 rycx =+− (3-7)

Dari persamaan (3-6) dan (3-7)

( ) ( ) 21

22

222

22 ycxrycx +−==+−

( ) ( ) 21

22

22

22 ycxycx +−=+−

21

22 yy =

12 yy =

Padahal 01 ≥y , maka 1y tidak mungkin negatif. Jadi, nilai yang mungkin untuk

12 yy = . Karena 21 xx = dan 12 yy = , maka P = Q. Kontradiksi. Karena P dan Q

adalah titik yang berbeda, jadi P dan Q tidak dapat terletak pada La dan rc L

secara bersamaan.

Kita akan membuktikan bahwa jika ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = berada di rc L

dan sd L maka rc L = sd L . Kita akan menunjukkan bahwa c = d dan r = s. oleh

karena itu P dan Q berada di rc L ,

( ) 221

21 rycx =+− dan ( ) .22

22

2 rycx =+−

43

Dengan mengurangkan kedua persamaan, kita peroleh

( ) ( ) 21

22

22

21 yycxcx −=−−− atau

21

222

221

21 22 yycxxcxx −=+−− .

Dengan menyelesaikan untuk c :

( )12

21

22

21

22

2 xxxxyy

c−

−+−=

Sebuah perhitungan yang serupa dengan pembuktian proposisi 3.1.2 dengan

menggunakan fakta bahwa P dan Q berada di sd L akan menghasilkan

( )12

21

22

21

22

2 xxxxyy

d−

−+−=

sehingga c = d. Karenanya

( ) ( ) sydxycxr =+−=+−= 21

21

21

21

kita lihat bahwa r = s dan kemudian rc L = sd L .

Ada tiga titik (1,2), (-2,0), dan (-1,3)∈�� yang tidak terletak pada satu garis.

Dengan demikian � adalah sebuah geometri insidensi. �

Contoh 3.2.1

Misalkan � = {P,Q,R} dan � = {{P,Q},{P,R},{Q,R}}. Akan ditunjukkan bahwa

{���� } adalah geometri insidensi.

44

P

Q

R

Diketahui P terletak pada satu garis dengan R dan P juga terletak pada satu garis

dengan Q.

Akan dibuktikan:

i. Setiap dua titik berbeda pada � yang terletak pada satu garis tunggal.

ii. Ada tiga titik pada ���yang tidak semuanya terletak pada satu garis.

Bukti :

i. Diketahui titik P, Q, R∈� dengan P terletak satu garis dengan R, dan P juga

terletak satu garis dengan Q, ini berarti juga bahwa Q terletak satu garis

dengan R. Jadi terbukti bahwa setiap dua titik berbeda pada � yang terletak

pada satu garis tunggal.

ii. Diketahui garis PQ, PR, QR∈� , jelas PQ tidak memuat R, PR tidak memuat

Q dan QR tidak memuat P. Jadi terbukti bahwa ada tiga titik berbeda pada ���

yang tidak semuanya terletak pada satu garis.

Jadi, terbukti bahwa {���� } adalah geometri insidensi. �

Teorema 3.2.1

Misalkan 1l dan 2l adalah garis dalam geometri insidensi. Jika 21 ll ∩

mempunyai dua atau lebih titik maka 21 ll = .

45

Bukti :

Asumsikan bahwa 21, llPQP ∩∈≠ , dan 21 llQ ∩∈ . Karena P dan Q berada di

11 , lPQl = . Bagaimanapun juga, P dan Q juga berada di 2l sehingga 2lPQ = .

Jadi 21 ll = . �

Definisi 3.2.3

Jika 1l dan 2l adalah garis-garis dalam sebuah geometri abstrak maka 1l sejajar

dengan 2l ditulis 21 || ll jika 21 ll = atau =∩ 21 ll Ø.

Akibat 3.2.1

Dalam sebuah geometri insidensi, dua garis sejajar atau berpotongan tepat di satu

titik.

Contoh 3.2.2

Akan dicari garis yang sejajar dengan garis

i. tak vertikal 1,3 −L di Bidang Kartesian.

ii. tipe II 13 L di Bidang Poincarè.

Penyelesaian:

i. Garis tak vertikal di Bidang Kartesian bmL , yang sejajar dengan 1,3 −L adalah

∈kL k ,,3 �.

46

ii. Garis tipe II di Bidang Poincarè rc L yang sejajar dengan 13 L adalah

∈kLk ,3 ��

Proposisi 3.2.3

Misalkan {���� } adalah geometri abstrak. Jika 1l dan 2l adalah garis-garis di �

kita tulis 21 ~ ll jika 1l sejajar dengan 2l . Maka “~” adalah relasi ekuivalensi.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa “~” adalah relasi ekuivalensi.

Jika “~” relasi ekuivalensi, maka “~” harus refleksif, simetris, dan transitif.

i. Jika 1l ∈� , maka dari Definisi 3.2.3 1l sejajar dengan 1l . Karena 1l sejajar

dengan 1l , maka 11 ~ ll . Jadi ”~” refleksif.

ii. Jika ∈21,ll � , maka dari Definisi 3.2.3 1l sejajar dengan 2l . Jika 1l sejajar

dengan 2l , maka φ=∩ 21 ll atau 21 ll = . Karena 21 ll = , maka 12 ll = dan

φ=∩ 12 ll . Dengan demikian 2l sejajar dengan 1l . Sehingga 12 ~ ll . Jadi “~”

simetris.

iii. Jika ∈21,ll � , maka dari Definisi 3.2.3 1l sejajar dengan 2l . Karena 1l

sejajar dengan 2l maka 21 ~ ll . Karena 21 ~ ll maka 21 ll = dan φ=∩ 21 ll .

Jika ∈32 ,ll � , maka dari Definisi 3.2.3 2l sejajar dengan 3l . Karena 2l

sejajar dengan 3l maka 32 ~ ll . Karena 32 ~ ll maka 32 ll = dan φ=∩ 32 ll .

47

Karena 21 ll = dan 32 ll = maka 31 ll = . Sehingga φ=∩ 31 ll . Dan 31 ~ ll . Jadi

“~” transitif.

Karena ”~” refleksif, simetris, dan transitif, jadi ”~” adalah relasi ekuivalensi. �

BAB IV

GEOMETRI METRIK

4.1 Geometri Metrik

Ada dua pendekatan mendasar dari geometri. Pertama, disebut pendekatan

sintetik, yang digunakan oleh Euclid dalam bukunya yang berjudul Elements

(sekitar 300 SM) dan dilengkapi oleh seorang matematikawan Jerman David

Hilbert (1862-1943) dalam bukunya yang berjudul Grundlagen der Geometrie.

Hilbert, pada tahun yang sama dengan Poincarè berkarya dalam beberapa daerah

matematika dan mempengaruhi matematika modern. Ia menempatkan beberapa

topik matematika dengan tempat berpijak aksioma yang kuat. Dalam pidatonya

untuk Kongres Internasional Matematika pada tahun 1900 ia mengusulkan sebuah

rangkaian dari tujuhbelas pertanyaan yang ia rasa berperan penting dalam

masalah teoritis pada masanya.

Pendekatan kedua, disebut pendekatan metrik, yang ditemukan oleh

seorang matematikawan Amerika yang bernama George David Birkhoff (1884-

1944) dalam makalahnya “A Set of Postulates for Plane Geometry Based on

Scale and Protractor” [1932]. Dalam pendekatan ini, konsep mengenai jarak dan

pengukuran sudut ditambahkan untuk geometri insidensi untuk mendapatkan ide

dasar mengenai keantaraan, segmen garis, kongruensi, dan lain sebagainya.

Pendekatan seperti itu membawa beberapa alat analitik (sebagai contoh,

kontinuitas) ke dalam pokok materi dan mengijinkan kita untuk lebih sedikit

49

menggunakan aksioma. Birkhoff juga diingat untuk pekerjaannya dalam

relativitas, persamaan diferensial, dan sistem dinamik.

Pendekatan ketiga, diperjuangkan oleh Felix Klein (1849-1925), memiliki

pendekatan yang sangat berbeda, yaitu menggunakan aljabar abstrak, dan lebih

maju dari yang lain karena mempergunakan teori grup. Klein merasa bahwa

geometri harus dipelajari dari sudut pandang grup yang beraksi pada sebuah

himpunan.

Kita menggunakan pendekatan metrik karena konsep tentang jarak adalah

seperti suatu yang alami. “Jarak” adalah fungsi yang menentukan sebuah bilangan

d(P, Q) untuk setiap pasangan titik P, Q. Hal itu mestinya tidak bergantung

apakah kita ukur dari P ke Q atau dari Q ke P (ditulis d(P, Q)). Selanjutnya, jarak

antara dua titik adalah nol hanya terjadi ketika kedua titik itu sama.

Definisi 4.1.1

Sebuah Fungsi Jarak pada himpunan � adalah sebuah fungsi d : � × �� � �

sehingga untuk semua P, Q ∈ �� berlaku

i. ( ) 0, ≥QPd ;

ii. ( ) 0, =QPd jika dan hanya jika P = Q ; dan

iii. ( ) ( )PQdQPd ,, = .

Definisi berikut memberikan sebuah fungsi jarak untuk Bidang Kartesian.

50

Definisi 4.1.2

Misalkan � = �2, ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = . Jarak Euklidean dE diberikan

oleh

( ) ( ) ( )221

221, yyxxQPd E −+−= .

Proposisi 4.1.1

Jarak Euklidean dE diberikan oleh

( ) ( ) ( )221

221, yyxxQPd E −+−=

adalah fungsi jarak pada �2.

Bukti :

Misalkan ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = ∈�2, sebuah fungsi jarak dE harus

memenuhi tiga aksioma.

i. ( ) ( ) ( )221

221, yyxxQPd E −+−=

Selalu bernilai 0≥ , karena semua bilangan apabila dikuadratkan selalu

bernilai tak negatif.

Jadi ( ) 0, ≥QPdE terpenuhi.

ii. Jika ( ) 0, =QPdE , maka

( ) ( ) 0221

221 =−+− yyxx

( ) ( ) 0221

221 =−+− yyxx

51

( ) 0221 ≥− xx dan ( ) 02

21 ≥− yy

( ) 0221 =− xx dan ( ) 02

21 =− yy

021 =− xx 021 =− yy

sehingga,

21 xx = dan 21 yy = .

Jadi, P = Q.

Jika P = Q, maka

( ) ( ) ( )222

222, yyxxQPdE −+−=

000 =+=

Jadi, ( ) 0, =QPdE jika dan hanya jika P = Q, terpenuhi.

iii. ( ) ( ) ( )221

221, yyxxQPd E −+−=

( )( )( ) ( )( )( )221

221 11 yyxx −−+−−=

( ) ( )221

221 yyxx +−++−=

( ) ( )212

212 yyxx −+−=

( )PQdE ,=

Jadi, ( ) ( )PQdQPd EE ,, = terpenuhi.

Karena ketiga aksioma terpenuhi, maka dE adalah fungsi jarak. �

52

Untuk memberikan contoh yang masuk akal bagi sebuah fungsi jarak

dalam Bidang Poincarè memerlukan lebih banyak pemikiran. Misalkan P dan Q

termuat dalam garis tipe I. Perkiraan jarak yang tepat antara ( )1, yaP = dan

( )2, yaQ = menjadi 21 yy − . Bagaimanapun juga, hal ini tidak mudah karena ini

berarti bahwa seperti 2y cenderung mendekati nol (dan kemudian Q ke arah x-

absis atau “tepi”) jarak dari P ke Q cenderung ke 1y yang merupakan bilangan

berhingga. Hal ini akan menjadi “lebih baik” jika “tepi” bukan merupakan sebuah

jarak yang berhingga. Satu cara untuk menghindarinya adalah menggunakan skala

logaritma dan disebut sebagai jarak dari ( )1, ya ke ( )2, ya yaitu

( ) ( ) ���

����

�=−

2

121 lnlnln

yy

yy . ( Catat bahwa ∞→���

����

�→

2

12 ln,0

yy

y . ) Hal ini memberi

beberapa pertimbangan untuk definisi berikut.

Definisi 4.1.3

Jika ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = adalah titik-titik dalam Bidang Poincarè � ,

jarak Poincarè dH diberikan oleh

( ) ���

����

�=

1

2ln,yy

QPd H jika 21 xx =

( )��

�

�

��

�

�= +−

+−

2

2

1

1

ln,y

rcxy

rcx

H QPd jika P dan Q termuat dalam rc L .

53

Proposisi 4.1.2

Jarak Poincarè dH diberikan oleh

( ) ���

����

�=

1

2ln,yy

QPd H jika 21 xx =

( )��

�

�

��

�

�= +−

+−

2

2

1

1

ln,y

rcxy

rcx

H QPd jika P dan Q termuat dalam rc L

adalah fungsi jarak pada �2.

Bukti :

Misalkan ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = ∈� sebuah fungsi jarak Hd harus

memenuhi tiga aksioma.

i. ( ) ���

����

�=

1

2ln,yy

QPdH jika 21 xx = dan ( )��

�

�

��

�

�= +−

+−

2

2

1

1

ln,y

rcxy

rcx

H QPd jika P dan Q

termuat dalam rc L selalu bernilai tak negatif, karena nilai dari harga mutlak

tidak pernah negatif. Jadi, ( ) 0, ≥QPdH terpenuhi.

ii. Jika ( ) 0, =QPdH , maka 0ln1

2 =���

����

�

yy

.

Jika 0ln1

2 =���

����

�

yy

, maka 11

2 =yy

. Sehingga 12 yy = . Jadi P = Q.

Jika 0ln2

2

1

1

=��

�

�

��

�

�+−

+−

yrcx

yrcx

, maka 12

2

1

1

=+−

+−

yrcx

yrcx

. Jadi diperoleh 21 xx = dan 21 yy = .

Jadi P = Q.

54

Jika P = Q, maka

( ) ( ) 01lnln,2

2 ==���

����

�=

yy

QPdH

( ) ( ) 01lnln,2

2

2

2

==��

�

�

��

�

�= +−

+−

yrcx

yrcx

H QPd .

Jadi, ( ) 0, =QPdH jika dan hanya jika P = Q, terpenuhi.

iii. ( ) ( ) ( )121

2 lnlnln, yyyy

QPdH −=���

����

�=

( ) ( ) ( ) ( )12 ln1ln1 yy −−−=

( ) ( )12 lnln yy +−=

( ) ( ) ( )2

1lnlnln 21 yyyy =−=

( )PQdH ,=

( )��

�

�

��

�

�= +−

+−

2

2

1

1

ln,y

rcxy

rcx

H QPd jika P dan Q termuat dalam rc L

( ) ( )2

2

1

1 lnln yrcx

yrcx +−+− −=

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1

1 ln1ln1 yrcx

yrcx +−+− −−−=

( ) ( )2

2

1

1 lnln yrcx

yrcx +−+− +−=

( ) ( )1

1

2

2 lnln yrcx

yrcx +−+− −=

55

��

�

�

��

�

�= +−

+−

1

1

2

2

lny

rcxy

rcx

( )PQdH ,=

Jadi, ( ) ( )PQdQPd HH ,, = terpenuhi.

Karena ketiga aksioma terpenuhi, maka dH adalah fungsi jarak. �

Contoh berikutnya, disebut jarak taxicab, berasal dari pemikiran seorang

sopir taksi pada jaringan listrik segiempat dari jalan kota. Jarak taxicab mengukur

jarak taksi yang akan berangkat dari titik P ke titik Q jika tidak ada jalan satu arah

di sana. Lihat gambar 4.1.1.

Q � 12 yy −

P

� 12 xx −

Gambar 4.1.1

56

Definisi 4.1.4

Jika ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = adalah titik-titik dalam �2, jarak taxicab di

antaranya diberikan oleh

( ) 2121, yyxxQPd −+−=Τ . (4-1)

Proposisi 4.1.3

Jarak taxicab adalah sebuah fungsi jarak pada �2.

Bukti :

Catat bahwa ( ) 0, ≥Τ QPd karena merupakan jumlah dari nilai mutlak, dengan

masing-masingnya selalu taknegatif. Dengan begitu aksioma (i) untuk sebuah

fungsi jarak dipenuhi.

Aksioma kedua bahwa ( ) 0, =Τ QPd jika dan hanya jika P = Q. Jelas jika P = Q

maka ( ) 0, =Τ QPd dari persamaan (4-1). Di sisi lain, jika ( ) 0, =Τ QPd maka

02121 =−+− yyxx . Karena masing-masing dari dua pernyataan tersebut

adalah sedikitnya bernilai nol, keduanya harus bernilai nol : 021 =− xx dan

021 =− yy . Tetapi hal ini berarti 21 xx = dan 21 yy = . Oleh karena itu, jika

( ) 0, =Τ QPd maka P = Q. Jadi aksioma (iii), ( ) ( )PQdQPd ,, = , tidak berubah

karena abba −=− . �

57

Catat bahwa Τd dan Εd keduanya fungsi jarak pada himpunan yang sama

yaitu �2. Secara umum, sebuah himpunan mungkin mempunyai beberapa fungsi

jarak yang berbeda padanya. Oleh karena itu, ketika kita ingin mengatakan

tentang suatu sifat dari fungsi jarak pada sebuah himpunan, kita perlu

menspesifikasikan himpunan � dan fungsi jarak d.

Konsep mengenai sebuah ruler merupakan hal yang utama pada skripsi ini.

Hal ini merupakan ide yang diperkenalkan oleh Birkhoff untuk menjauhkan

geometri dari metode yang sangat sintetik. Secara intuitif ruler adalah garis yang

diberi tanda sedemikian sehingga dapat dipergunakan untuk mengukur jarak. Kita

akan ”menandai” garis tersebut dengan mengasumsikan bahwa untuk setiap garis

terdapat sebuah bijeksi antara garis itu dan ��

Definisi 4.1.5

Misalkan l adalah garis dalam geometri insidensi { ������ }. Asumsikan bahwa

terdapat sebuah fungsi jarak d pada �. Fungsi f : l → ��adalah sebuah ruler atau

sistem koordinat untuk l jika

i. f adalah sebuah bijeksi ;

ii. untuk setiap pasangan titik P dan Q pada l

( ) ( ) ( )QPdQfPf ,=− . (4-2)

Persamaan (4-2) disebut Persamaan Ruler dan f(P) disebut koordinat dari P

terhadap f.

58

Contoh 4.1.1

Misalkan l adalah sebuah garis tak vertikal 3,2L dalam Bidang Kartesian �

dengan jarak Euklidean. Akan ditunjukkan bahwa jika ( )yxQ ,= maka

( ) xQf 5= memberikan ruler f untuk l dan akan dicari koordinat R = (1, 5)

terhadap f.

Penyelesaian :

Jelas f adalah sebuah bijeksi maka, jadi tinggal dibuktikan bahwa f memenuhi

Persamaan Ruler. Catat bahwa ( ) 3,2, Lyx ∈ jika dan hanya jika 32 += xy

kemudian bahwa jika ( )11 , yxP = maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

21

21

21 4, xxxxyyxxQPd −+−=−+−=

( ) ( )QfPfxx −=−= 15 .

Jadi terbukti ada Persamaan Ruler.

Koordinat R = (1, 5) adalah ( ) 5=Rf . �

Definisi 4.1.6

Geometri insidensi {������} bersama dengan fungsi jarak d memenuhi Postulat

Ruler jika setiap garis ∈l � mempunyai sebuah ruler. Dalam hal ini dikatakan

�={ ������d } adalah sebuah geometri metrik.

59

Mengapa kita mempelajari geometri metrik? Karena beberapa konsep

dalam pendekatan sintetik yang harus ditambahkan telah disajikan dalam

geometri dengan pendekatan metrik. Hal ini terjadi karena kita dapat

memindahkan pertanyaan-pertanyaan mengenai sebuah garis l dalam� � ke

bilangan riil � dengan menggunakan sebuah ruler f. Dalam � kita memahami

konsep-konsep seperti ”di antara” dan kemudian dapat memindahkannya kembali

(melalui 1−f ) ke l. Hal ini merupakan keuntungan dari pendekatan metrik yang di

sebut pada awal bab ini. Setelah kita memiliki latar belakang yang lebih, kita akan

kembali ke pertanyaan mengenai sebuah pendekatan sintetik melawan pendekatan

metrik untuk geometri.

Definisi 4.1.6 digunakan untuk membuktikan bahwa { ��� ��� d } adalah

geometri metrik, kita harus menunjukkan untuk setiap ∈l � �� sebuah fungsi

→lf : �� yang merupakan sebuah bijeksi dan yang memuat persamaan (4-2).

Menggunakan lemma berikut, kita tidak harus membuktikan bahwa f adalah

injeksi.

Lemma 4.1.1

Misalkan ∈l � �� dan →lf : �� adalah surjeksi dan memuat persamaan (4-2).

Maka f adalah sebuah bijeksi dan ruler untuk l.

Bukti :

60

Karena kita asumsikan bahwa f surjektif kita hanya perlu menunjukkan bahwa f

injektif. Misalkan bahwa ( ) ( )QfPf = . Kemudian dari persamaan (4-2) kita

peroleh

( ) ( ) ( ) 0, =−= QfPfQPd

Jadi P = Q dari aksioma kedua fungsi jarak. �

Proposisi 4.1.2

Bidang Kartesian dengan jarak Euklidean, Εd , adalah sebuah geometri metrik.

Bukti :

Misalkan l adalah sebuah garis. Akan dicari sebuah ruler untuk l. Terdapat dua

kasus :

Kasus 1.

Jika aLl = adalah garis vertikal maka aLP ∈ yang berarti ( )yaP ,= untuk y

tertentu. Kita definisikan →lf : � menurut persamaan

( ) ( )( ) yyafPf == , . (4-3)

Fungsi f jelas surjektif. Jika ( )1, yaP = dan ( )2, yaQ = , maka

( ) ( ) ( )QPdyyQfPf ,21 =−=− .

Oleh karena itu f adalah sebuah ruler menurut Lemma 4.1.1.

Kasus 2.

Jika bmLl ,= maka bmLP ,∈ berarti bahwa ( )yxP ,= di mana bmxy += .

61

Definisikan →bmLf ,: �� menurut persamaan

( ) ( )( ) 21, mxyxfPf +== . (4-4)

Jika ∈t �� misalkan bm

mty

m

tx +��

�

����

�

+=

+=

22 1,

1.

Cukup jelas bahwa ( ) bmLyxP ,, ∈= . Lebih lanjut,

( ) tmm

tPf =+

+= 2

21.

1

jadi f surjektif.

Sekarang dimisalkan bahwa ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = . Maka

( ) ( ) 22

21 11 mxmxQfPf +−+=−

2121 xxm −+= .

Di lain pihak

( ) ( ) ( )221

221, yyxxQPd −+−=Ε

( ) ( )221

221 xxmxx −+−=

( )221

21 xxm −+=

2121 xxm −+= .

Dari sini kita peroleh ( ) ( ) ( )QPdQfPf ,Ε=− . Oleh karena itu menurut Lemma

4.1.1, f adalah sebuah ruler. �

62

Berikut ini akan diberikan contoh untuk mencari koordinat titik-titik dalam

Bidang Euklidean.

Contoh 4.1.2

Dalam Bidang Euklidean :

i. Akan ditentukan koordinat dari (2, 3) terhadap garis x = 2.

ii. Akan ditentukan koordinat dari (2, 3) terhadap garis 114 +−= xy .

Penyelesaian :

i. Garis tipe I : ∈= ),{( yxLa � }|2 ax = �

�� ∈= ),{(2 yxL � }2|2 =x �

( ) yyaf =, .

( ) 33,2 =f .

Jadi, koordinat dari titik (2, 3) terhadap garis 2=x adalah ( ) 33,2 =f .

ii. Garis tipe II : ∈= ),{(, yxL bm � }|2 bmxy += �

∈=− )3,{(11,4 xL � }114|2 +−= xy ��

� � � ( ) 21, mxyxf += ��

� � � ( ) ( )24123,2 −+=f ��

� � � ������� 172= ��

63

Jadi, koordinat dari titik (2,3) terhadap garis 114 +−= xy adalah

( ) 1723,2 =f .

Definisi 4.1.7

Bidang Euklidean adalah model

� = {��2, � E, dE }.

Langkah kita selanjutnya adalah menunjukkan bahwa Bidang Poincarè

dengan jarak Poincarè adalah geometri metrik. Untuk menunjukkannya kita

menggunakan fungsi hiperbolik. Dengan mengingat sinus hiperbolik, kosinus

hiperbolik, tangen hiperbolik, dan secan hiperbolik yang didefinisikan menurut

persamaan

( ) ;2

sinhtt ee

t−−= ( ) ;

2cosh

tt eet

−+=

( ) ( )( ) ;

coshsinh

tanhtt

tt

eeee

tt

t −

−

+−== ( ) ( ) .

2cosh

1sec

tt eetth −+

== (4-5)

Lemma 4.1.2

Untuk setiap nilai dari t :

i. ( )[ ] ( )[ ] 1sinhcosh 22 =− tt ;

ii. ( )[ ] ( )[ ] 1sectanh 22 =+ tht ;

64

Bukti :

i. Akan dibuktikan : ( )[ ] ( )[ ] 1sinhcosh 22 =− tt

( ) ;2

coshtt ee

t−+= ( ) ;

2sinh

tt eet

−−=

( )[ ] ( )[ ]22

22

22sinhcosh �

�

�

� −−��

�

� +=−−− tttt eeee

tt

( ) ( )

���

�

� −−���

�

� +=−−

44

22 tttt eeee

42

42 2222 tttt eeee −− +−−++=

( )4

22 2222 tttt eeee −− −+−−+−=

44=

1= .

Jadi terbukti bahwa ( )[ ] ( )[ ] 1sinhcosh 22 =− tt .

ii. Akan dibuktikan : ( )[ ] ( )[ ] 1sectanh 22 =+ tht

( ) ( )( ) ;

coshsinh

tanhtt

tt

eeee

tt

t −

−

+−== ( ) ( ) .

2cosh

1sec

tt eetth −+

==

( )[ ] ( )[ ]22

22 2sectanh ��

�

�

++�

�

�

�

+−=+ −−

−

tttt

tt

eeeeee

tht

tttt

tt

eeeeee

2222

22

24

22

−−

−

+++

+++−=

65

tt

tt

eeee22

22

242

−

−

++++−=

tt

tt

eeee

22

22

22

−

−

++++=

1= .

Jadi terbukti bahwa ( )[ ] ( )[ ] 1sectanh 22 =+ tht . �

Fungsi trigonometri sinus dan kosinus memuat 1cossin 22 =+ tt dan

mengingatkan kita dengan sebuah lingkaran 122 =+ yx , sinus dan kosinus

hiperbolik membawa kita pada sebuah persamaan hiperbola : 122 =− yx . Kita

perlu juga mencatat bahwa jika ( )tx tanh= dan ( )thy sec= maka ( )yx, termuat

dalam lingkaran 122 =+ yx .

Proposisi 4.1.3

Ηd adalah sebuah fungsi jarak untuk Bidang Poincarè dan { �, ��H, dH } adalah

sebuah geometri metrik.

Bukti :

Akan diperlihatkan bahwa fungsi →Lg a: � yang diberikan oleh persamaan

( ) ( )( ) yyagPg ln, == adalah bijeksi dan memenuhi persamaan ruler.

Jika La adalah garis vertikal, maka LP a∈ yang berarti ( )yaP ,= untuk y

tertentu. Kita definisikan →Lg a: � menurut persamaan

66

( ) ( )( ) yyagPg ln, == .

Ambil ∈t �, akan dibuktikan ada Ll a∈ sehingga ( ) tlg = .

Karena La adalah garis vertikal, maka sumbu y yang bergerak, sehingga untuk

suatu nilai ∈t ��ada Ll a∈ sehingga ( ) tlg = .

Jika ( )taP ,= maka ( ) ( )( ) ttagPg ln, == .

Terbukti bahwa g adalah surjeksi.

Kemudian jika ( )1, yaP = dan ( )2, yaQ = La∈ , maka

( ) ( ) 21 lnln yyQgPg −=−

���

����

�=

2

1lnyy

( )QPdH ,=

Oleh karena itu g adalah sebuah ruler menurut Lemma 4.1.1.

Sekarang dimisalkan bahwa P, Q termuat dalam garis tipe II rc L dan bahwa

( ) 0, =Η QPd . Misalkan →rc Lf : �� diberikan menurut ( ) ���

����

� +−=y

rcxyxf ln, .

Kita akan menunjukkan bahwa f adalah sebuah ruler. Pertama kita harus

menunjukkan f adalah sebuah bijeksi. Untuk menunjukkan bahwa f bijektif kita

harus menunjukkan bahwa untuk setiap ∈t ���di mana terdapat satu dan hanya

satu pasangan ( x, y ) yang memenuhi

( ) 222 rycx =+− , y > 0, dan ( ) tyxf =, . (4-6)

67

Kita selesaikan ( ) tyxf =, untuk x dan y.

Jika ( ) ���

����

� +−=y

rcxyxf ln, = t maka te

yrcx =+−

. Dengan demikian

( )( )( )

( )( )

( )y

rcxy

rcxy

rcx

rcxyrcxrcx

rcxyrcx

ye t −−−=

−−−=

−−−−=

−−+−−−=

+−=−

222

karena ( ) rc Lyx ∈, . Oleh karena itu,

yr

yrcx

yrcx

ee tt 2=−−−+−=+ −

atau

( )thry sec= .

Selain itu

( )

rcx

rcx

yr

yrcx

ytcx

eeee

tt

tt −=−=

−−++−

=+−

−

−

22

2

atau

( )trcx tanh=− .

Oleh karena itu penyelesaian yang hanya mungkin untuk persamaan (4-6) adalah

trcx tanh+= , thry sec= . (4-7)

Perhitungan sederhana menggunakan Lemma 4.1.1 menunjukkan bahwa x dan y

seperti diberikan pada (4-7) memenuhi ( ) 222 rycx =+− dan bahwa y > 0.

( ) 222 rycx =+−

68

( ) ( ) 222 sectanh rthrctrc =+−+

( ) ( ) 222 sectanh rthrtr =+

22222 sectanh rthrtr =+

( ) 2222 sectanh rthtr =+

( ) 22 1 rr =

22 rr =

Kemudian persamaan (4-7) mendefinisikan sebuah titik pada rc L . Akhirnya,

dengan substitusi langsung untuk x, y kita peroleh ( ) tyxf =, . Kemudian

persamaan (4-6) mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian untuk setiap ∈t �

dan oleh karena itu →rc Lf : � adalah sebuah bijeksi.

Kemudian, jika ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = termuat dalam rc L , maka

( ) ( ) ( )2211 ,,, yxfyxfQPd −=Η

���

����

� +−−���

����

� +−=2

2

1

1 lnlny

rcxy

rcx

��

�

�

��

�

�= +−

+−

2

2

1

1

lny

rcxy

rcx

.

Oleh karena itu f memenuhi Persamaan Ruler.

Jadi Ηd adalah sebuah jarak dan setiap garis di � mempunyai sebuah ruler.

Dengan demikian terbukti { �, ��H, dH } adalah sebuah geometri metrik. �

69

Catatan

Terminologi Bidang Poincarè dan simbol � dengan jarak hiperbolik Ηd :

� = { �, ��H, dH }.

Proposisi 4.1.4

Bidang Kartesian dengan jarak taxicab adalah sebuah geometri metrik.

Bukti :

Jika l adalah sebuah garis vertikal aL kita mendefinisikan →lf : � menurut

( )( ) yyaf =, . Jika l adalah sebuah garis tak vertikal bmL , kita mendefinisikan

→lf : ��menurut ( )( ) ( )( )xmyxf += 1, .

Terdapat dua kasus yaitu:

Kasus 1 :

Jika l = aL adalah garis vertikal maka aLP ∈ yang berarti ( )yaP ,= untuk y

tertentu. Kita definisikan →lf : ��menurut persamaan

( ) ( )( ) yyafPf == , .

Terlihat jelas bahwa f surjektif.

Jika ( ) ( )21 ,,, yaQyaP == , maka

( ) ( ) ( )QPdyyQfPf ,21 Τ=−=− .

Oleh karena itu, f adalah sebuah ruler menurut Lemma 4.1.1.

Kasus 2 :

70

Jika l = bmL , maka bmLP ,∈ berarti bahwa ( )yxP ,= di mana bmxy += .

Definisikan →lf : ��menurut persamaan

( ) ( )( ) ( )( )xmyxfPf +== 1,

Jika ∈t �, misalkan m

tx

+=

1;

bm

mty +

+=

1.

( ) bmLyxP ,, ∈= , sehingga ( ) ( ) tm

tmPf =��

�

�

��

�

�

++=

11 .

Jadi f adalah surjektif.

Sekarang dimisalkan jika ( )11, yxP dan ( )22 , yxQ , maka

( ) ( ) ( )( ) ( )( )21 11 xmxmQfPf +−+=−

( ) 211 xxm −+=

Pada sisi lain

( ) 2121, yyxxQPd −+−=Τ

( ) ( )bmxbmxxx +−++−= 2121

bmxbmxxx −−++−= 2121

2121 mxmxxx −+−=

( )2121 xxmxx −+−=

71

2121 xxmxx −+−=

( ) 211 xxm −+=

Dengan mengkombinasikan dua hasil di atas kita peroleh

( ) ( ) ( )QPdQfPf ,Τ=− . Oleh karena itu menurut Lemma 4.1.1, f adalah sebuah

ruler. �

Definisi 4.1.8

Model � = { �2, � E, dT } disebut Bidang Taxicab.

Catat bahwa kita awali dengan sebuah geometri insidensi tunggal (Bidang

Kartesian), yang diletakkan pada dua jarak yang berbeda di atasnya dan diperoleh

dua geometri metrik yang berbeda. Dengan begitu kita mempunyai dua geometri

metrik dengan dasar yang sama yaitu geometri insidensi. Pada umumnya, ada

beberapa geometri metrik yang mempunyai dasar geometri insidensi.

Bagaimana kita benar-benar membangun model-model dari sebuah

geometri metrik? Dalam tiga contoh kita, kita awali dengan sebuah geometri

insidensi, didefinisikan sebuah jarak dan dicari untuk ruler-ruler sedemikian

sehingga persamaan (4-2) terpenuhi. Kita dapat membalik proses ini dalam

sebuah pengertian tertentu. Yaitu kita dapat mengawali dengan sebuah kumpulan

bijeksi dari garis ke � dan menggunakannya untuk mendefinisikan fungsi yang

mempunyai bijeksi sebagai ruler. Pada kenyataannya, metode ini (yang

72

digambarkan dalam Teorema 4.1.1) adalah bagaimana kita benar-benar

memutuskan definisi apa yang ”baik” untuk sebuah jarak pada �.

Teorema 4.1.1

Misalkan { �� ,��� } adalah sebuah geometri insidensi. Diasumsikan untuk setiap

garis ∈l � terdapat sebuah bijeksi →lfl : �. Maka ada sebuah jarak d sehingga

{�� , �� , d } adalah sebuah geometri metrik, dan setiap →lfl : � adalah sebuah

ruler.

Bukti :

Jika P,Q∈���kita harus mendefinisikan d(P,Q). Jika P=Q misalkan d(P,Q)=0.

Jika QP ≠ misalkan l adalah garis tunggal yang melalui P dan Q, dan →lfl : �

adalah bijeksi. Definisikan ( ) ( ) ( )QfPfQPd ll −=, .

Akan dibuktikan :

i. ( ) 0, ≥QPd ;

ii. ( ) 0, =QPd jika dan hanya jika QP = ; dan

iii. ( ) ( ).,, PQdQPd =

iv. lf memenuhi Persamaan Ruler.

Bukti :

i. ( ) 0, ≥QPd ;

73

( ) ( ) ( )QfPfQPd ll −=, selalu bernilai lebih besar sama dengan nol, karena

nilai dari ( ) ( )QfPf ll − selalu lebih besar sama dengan nol.

Jadi, ( ) ( ) ( ) 0, ≥−= QfPfQPd ll

ii. ( ) 0, =QPd jika dan hanya jika QP =

Jika ( )11, yxP = = ( )22 , yxQ = maka 21 xx = dan 21 yy = .

( ) ( ) ( )QfPfQPd ll −=,

( ) ( )2211 ,, yxfyxf ll −=

( ) ( )1111 ,, yxfyxf ll −=

0= .

Jika ( ) 0, =QPd , maka

( ) ( ) 0=− QfPf ll

( ) ( ) 0=− QfPf ll

( ) ( )QfPf ll =

Karena lf adalah bijeksi yang berarti surjeksi dan injeksi, maka QP = .

iii. ( ) ( ) ( )QfPfQPd ll −=,

( ) ( )PfQf ll −=

( )PQd ,=

iv. Jelas lf memenuhi Persamaan Ruler.

74

Oleh karena itu terbukti bahwa d adalah sebuah jarak dan lf adalah ruler.

Jadi, {��, ��, d } adalah geometri metrik. �

Tabel tiga model utama geometri metrik.

Model Tipe garis

Ruler atau sistem

koordinat standar

untuk garis

Bidang Euklidean, �� =aL {(a,y) | y ∈��

=bmL , {(x,y) ∈�2 | y=mx+b}

f ( a, y ) = y

( ) 21, mxyxf +=

Bidang Poincarè, �� =La {(a,y)∈� 0>y }

=rc L {(x,y)∈� ( ) }222rycx =+−

( ) yyaf ln, =

( ) ( )yrcxyxf +−= ln,

Bidang Taxicab, �� =aL {(a,y) | y ∈��

=bmL , {(x,y) ∈�2 | y=mx+b}

f ( a, y ) = y

( ) ( )xmyxf += 1,

Catatan

Dalam pembahasan mengenai satu dari tiga model di atas, koordinat sebuah titik

untuk garis l akan selalu berarti koordinat ke ruler standar yaitu garis seperti

diberikan pada tabel di atas.

75

4.2 Sistem Koordinat Khusus

Pada subbab ini kita akan membuktikan eksistensi sebuah sistem

koordinat khusus.

Teorema 4.2.1

Misalkan f adalah sebuah ruler untuk garis l dalam sebuah geometri metrik. Jika

a∈��dan ε = 1± dan jika kita mendefinisikan →lha :,ε � menurut

( ) ( )( )aPfPha −= εε,

maka ε,ah adalah sebuah sistem koordinat untuk l.

Bukti :

Menurut Lemma 4.1.1 kita hanya perlu menunjukkan bahwa ε,ah adalah surjektif

dan memenuhi Persamaan Ruler. Jika ∈t � kita tahu bahwa ada sebuah lR ∈

dengan ( ) at

Rf +=ε

karena f surjektif. Selanjutnya

( ) ( )( ) taat

aRfRha =���

����

� −��

���

� +=−=ε

εεε, ,

Yang berarti ε,ah surjektif.

Mengenai Persamaan Ruler,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )aQfaPfQhPh aa −−−=− εεεε ,,

( ) ( )QfPf −= ε

76

( ) ( )QfPf −=

( )QPd ,=

karena f adalah sistem koordinat untuk l. �

Secara geometris, ketika a = 0 dan 1−=ε sistem koordinat dari Teorema

4.2.1 mempertukarkan titik positif dan negatif l terhadap f. Lebih tepatnya, jika

0P adalah titik l dengan ( ) 00 =Pf maka 1,0 −h hasil pencerminan ruler f terhadap

0P . Lihat Gambar 4.2.1. Kita mungkin juga menggeser sebuah sistem koordinat

menurut sebuah anggota a∈�� Dalam Gambar 4.2.2, kita mengasumsikan bahwa

( ) aPf =1 dan ( ) 00 =Pf sedemikian sehingga 1P berkorespondensi dengan a dan

0P berkorespondensi dengan asalnya pada sistem koordinat f. Jika kita

menerapkan Teorema 4.2.1 dengan 1=ε maka 1P berkorespondensi dengan

asalnya dan 0P dengan –a pada sistem koordinat baru 1,ah .

0P P 0P P � � l � � l f 1,0 −h • � • ���

- 0 + + 0 -

Gambar 4.2.1

77

0P P1 0P P1 � � l � � l f 1,−ah • • � • • ���

0 a -a 0

Gambar 4.2.2

Teorema 4.2.2 ( Teorema Penempatan Ruler )

Misalkan l adalah garis dalam sebuah geometri metrik dan misalkan A dan B

adalah titik-titik pada garis tersebut. Terdapat sebuah sistem koordinat g pada l

dengan ( ) 0=Ag dan ( ) 0>Bg .

Bukti :

Misalkan →lf : � adalah sebuah sistem koordinat untuk l dan misalkan

( )Afa = . Jika ( ) aBf > , ambil 1+=ε . Jika ( ) aBf < , ambil 1−=ε . Menurut

Teorema 4.2.1 ε,ahg = adalah sebuah sistem koordinat untuk l, dan

( ) ( ) ( )( ) 00., ==−== εεε aAfAhAg a ;

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, >−=−== aBfaBfBhBg a εε .

Jadi g adalah sebuah sistem koordinat dengan sifat-sifat yang diinginkan. �

78

Definisi 4.2.1

Misalkan ABl = . Jika →lg : � adalah sebuah sistem koordinat untuk l dengan

( ) 0=Ag dan ( ) 0>Bg , maka g disebut sebuah sistem koordinat dengan A

sebagai asal dan B positif.

Hal ini layak untuk dipertanyakan jika ada operasi-operasi lain (selain refleksi dan

translasi) yang dapat diselesaikan untuk sebuah sistem koordinat untuk

mendapatkan sistem koordinat lain; yaitu, merupakan setiap sistem koordinat dari

persamaan εα ,h ? Teorema berikut mengatakan bahwa jawabannya adalah ya.

Hasil ini tidak akan digunakan dalam skripsi ini. Hasil ini dimasukkan dengan

tujuan untuk kelengkapan dan erupakan pilihan.

Teorema 4.2.3

Jika l adalah sebuah garis dalam geometri metrik dan jika →lf : � dan →lg : �

keduanya adalah sistem koordinat untuk l, maka ada a∈� dan 1+=ε dengan

( ) ( )( )aPfPg −= ε untuk semua lP ∈ .

Bukti :

Misalkan lP ∈0 adalah titik dengan ( ) 00 =Pg . Misalkan ( )0Pfa = . Karena f dan

g keduanya adalah ruler untuk l, kita mempunyai untuk setiap lP ∈ bahwa

( ) ( ) ( ) ( )00 , PPdPgPgPg =−=

79

( ) ( )0PfPf −=

( ) aPf −= .

Jadi untuk setiap lP ∈ ,

( ) ( )( )aPfPg −±= . (4-8)

Kita klaim kita dapat menggunakan tanda yang sama untuk setiap nilai P.

Andaikan sebaliknya yaitu ada sebuah titik 01 PP ≠ dengan ( ) ( )( )aPfPg −+= 11

dan titik lain 02 PP ≠ dengan ( ) ( )( )aPfPg −−= 12 . Maka

( ) ( ) ( )2121, PgPgPPd −=

( ) ( ) aPfaPf −+−= 21

( ) ( ) aPfPf 221 −+= .

Tetapi

( ) ( ) ( )2121, PfPfPPd −= .

Jadi

( ) ( ) ( ) ( ) aPfPfPfPf 22121 −+=−

dan berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) aPfPfPfPf 22121 −+=−

atau

( ) ( ) ( ) ( ) aPfPfPfPf 22121 +−−=− .

80

Pada kasus pertama ( ) ( )02 PfaPf == dan pada kasus kedua ( ) ( )01 PfaPf == .

Keduanya kontradiksi dengan fakta bahwa f injektif. Dengan begitu menurut

persamaan (4-8) juga

( ) ( ) aPfPg −= untuk semua lP ∈

atau

( ) ( )( )aPfPg −−= untuk semua lP ∈ .

Dengan begitu pilihan yang sesuai mengenai ε (juga +1 atau -1),

( ) ( )( )aPfPg −= ε untuk semua lP ∈ . �

4.3 Keantaraan di dalam Geometri Metrik

Pada pembahasan sebelumnya kita telah diperkenalkan dengan model

Bidang Kartesian yang idenya muncul dari geometri analitik. Sekarang

diperkenalkan definisi alternatif dari Bidang Kartesian, salah satu idenya muncul

dari aljabar linier, terutama terkait pengertian vektor.

Definisi 4.3.1

Jika ( ) ( )∈== 2211 ,,, yxByxA ��dan ∈r � maka

i. ( )∈++=+ 2121 , yyxxBA �

ii. ( )∈= 11,ryrxrA �

iii. ( ) ( )2121 ,1 yyxxBABA −−=−+=−

81

iv. ∈+= 2121, yyxxBA �

v. ∈= AAA , �

Kita akan menunjukkan � sebagai ruang vektor terhadap operasi penjumlahan,

perkalian skalar, dan hasil kali dalam baku. (catat bahwa kita menuliskan BA,

sebagai BA. )

Proposisi 4.3.1

Untuk semua ∈CBA ,, � dan ∈sr, �

i. ABBA +=+

ii. ( ) ( )CBACBA ++=++

iii. ( ) rBrABAr +=+

iv. ( ) sArAAsr +=+

v. ABBA ,, =

vi. BArBrA ,, =

vii. CBCACBA ,,, +=+

viii. ArrA =

ix. 0>A jika ( )0,0≠A .

Bukti :

82

i. ( ) ( )2211 ,, yxyxBA +=+

( )2121 , yyxx ++=

( )1212 , yyxx ++=

( ) ( )1122 ,, yxyx +=

AB +=

ii. ( ) ( ) ( )( )321321 , yyyxxxCBA ++++=++

( ) ( )( )321321 , yyyxxx ++++=

( )CBA ++=

iii. ( ) ( )2121 , yyxxrBAr ++=+

( ) ( )( )2121 , yyrxxr ++=

( )2121 , ryryrxrx ++=

( ) ( )2211 ,, yxryxr +=

rBrA +=

iv. ( ) ( )( )11, yxsrAsr +=+

( ) ( )( )11, ysrxsr ++=

( )1111 , syrysxrx ++=

( ) ( )1111 ,, yxsyxr +=

sArA +=

v. 2121, yyxxBA +=

83

1212 yyxx +=

AB,=

vi. 2121, yryxrxBrA +=

( )2121 yyxxr +=

BAr ,=

vii. ( ) ( )( )321321, yyyxxxCBA +++=+

32313231 yyyyxxxx +++=

( ) ( )32323131 yyxxyyxx +++=

CBCA ,, +=

viii. rArArA ,=

1111 ryryrxrx +=

( ) ( )( )112

112 yyrxxr +=

( )11112 yyxxr +=

1111 yyxxr +=

Ar=

ix. 0≥A jika ( )0,0≠A

Jelas, karena jika ( )0,0=A maka

AAA ,=

84

00 == �

Dengan menggunakan notasi � ke dalam geometri insidensi dan mendefinisikan

garis yang melalui dua titik berbeda A dan B menjadi ABL di mana

∈= XLAB { � ( )ABtAX −+=| untuk suatu ∈t �}. (4-9)

Proposisi 4.3.2

Jika � ’ adalah kumpulan semua himpunan bagian � berbentuk ABL , maka

{�,� ’} adalah Bidang Kartesian dan karenanya adalah sebuah geometri

insidensi.

Bukti :

Misalkan ��E adalah himpunan garis Kartesian. Akan ditunjukkan bahwa �E ⊂� ’

dan � ’ ⊂� E.

Langkah 1.

Misalkan ∈l � E adalah garis Kartesian. Jika l adalah garis vertikal aL kita pilih

A ke (a, 0) dan B ke (a, 1). lBA ∈, .

∈= ttal |),{( ��{(a, 0) + ∈tt |)1,0( �}= ABL ∈� ’.

Dengan begitu ∈l � ’.

Jika l adalah garis tak vertikal bmL , kita pilih A (0, b) dan B (1, b + m). lBA ∈, .

∈+==+== tbmttyxbmxyyxl |),(),{(|),{( �}

85

∈+== tmtbyx |),1(),0(),{( �} ∈= ABL � ’.

Dengan begitu ∈l � ’ dan karenanya � E ⊂� ’.

Langkah 2.

Misalkan ∈ABL � ’ dengan ( ) ( )2211 ,,, yxByxA == , dan BA ≠ . Jika 21 xx = ,

maka (karena BA ≠ ) 012 ≠− yy dan

∈−+= tyytyxLAB |),0(),{( 1211 �}

∈−+= tyytyx |))(,{( 1211 �}

∈= ),{( yx �� 1xx = }= ∈1xL � E.

Dengan begitu ∈ABL � E.

Jika 21 xx ≠ maka 012 ≠− xx , dan kita pilih

12

12

xxyy

m−−= dan 11 mxyb == .

Maka

∈−−+= tyyxxtyxLAB |).().{( 121211 �}

∈−−++= txxmxxtbmxx |))(.().{( 121211 �}

∈+−+−+= tbxxtxmxxtx |)))(().({( 121121 �}

∈+= xbmxx |).{( �}

∈= ),{( yx � bmxy +=| }= ∈bmL , � E.

Oleh karena itu ∈ABL � E dan � ’ ⊂� E.

86

Dengan begitu kita telah menunjukkan bahwa � E =� ’ sedemikian sehingga

{�,� ’} adalah Bidang Kartesian. �

Proposisi 4.3.3

Jika ∈BA, � maka ( ) BABAdE −=, .

Bukti :

Jika ( )11, yxA = dan ( )22 , yxB = , maka

( ) ( ) ( )221

221, yyxxBAdE −+−= , dan ( ) ( )BABABA −−=− ,

Karena ( )2121 , yyxxBA −−=− , maka

( ) ( )21212121 ,,, yyxxyyxxBA −−−−=−

( )( )( ) ( )( )( )21212121 yyyyxxxx −−+−−=

( ) ( )221

221 yyxx −+−= .

Jadi terbukti bahwa ( ) BABAdE −=, .

Proposisi 4.3.4

Jika ABL adalah garis Kartesian maka →ABLf : � yang didefinisikan menurut

persamaan

( )( ) ABtABtAf −=−+

adalah sebuah ruler untuk {�, � E, Ed }.

87

Bukti :

Fungsi f mempunyai arti hanya jika untuk setiap titik ABLP ∈ ada satu nilai

tunggal dari t dengan ( )ABtAP −+= . Dapat dilihat sebagai berikut

misalkan ( )ABrAP −+= dan ( )ABsAP −+= . Maka

( ) ( )( ) ( )( )ABsAABrAPP −+−−+=−=0,0

( )( )ABsr −−=

sehingga berlaku 0=− sr atau ( )0,0=− AB . Karena ( )0,0, ≠−≠ ABBA dan

kemudian 0=− sr . Yaitu, sr = dan ada satu nilai tunggal t dengan

( )ABtAP −+= . Dengan begitu fungsi f mempunyai arti. Kemudian akan

dibuktikan f benar-benar adalah sebuah ruler.

Ambil ∈s � akan dibuktikan ada ABLt ∈ sehingga ( ) stf = .

Dipilih AB

st

−= . Dengan demikian

( )( ) ABAB

sABtAf −

−=−+ . Maka ( )( ) sABtAf =−+ .

Jadi terbukti bahwa f surjektif.

Misalkan ( )11, yxA = dan ( ) ABLyxB ∈= 22 , , maka

( ) ( ) AByxAf −= 11, dan ( ) ( ) AByxBf −= 22 , .

Sehingga

( ) ( ) ( )BfAfBAdE −=,

88

( ) ( ) AByxAByx −−−= 2211 ,,

( ) ( )( ) AByxyx −−= 2211 ,,

( ) ( )( ) AByxyx −−= 2211 ,,

Menurut Proposisi 4.3.3 ( ) BABAdE −=, . Dan dari yang diketahui

( ) ( )( ) 0,, 2211 =− yxyx tetapi 0≠− AB . Yang berarti bahwa ABBA −=− .

Jadi ( ) ABBABAdE −=−=, . Sehingga f memenuhi persamaan ruler. Jadi

terbukti bahwa f adalah ruler. �

Pada kuliah aljabar linier kita mempelajari bahwa perkalian titik dari dua vektor

yang diberikan oleh panjang vektor dan kosinus dari sudut di antaranya yaitu:

a.b = ||a|| ||b|| cos θ .

Karena 10cos ≤ , kita mempunyai |a.b| ≤ ||a|| ||b||.

Proposisi 4.3.5 ( Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz )

Jika ∈YX , � maka

YXYX ., ≤ . (4-10)

Lebih lanjut kesamaan berlaku dalam ketidaksamaan (4-10) jika dan hanya jika

( )0,0=Y atau tYX = untuk suatu ∈t �.

Bukti :

89

Jika ( )0,0=Y kita jelas mempunyai YXYX .0, == dan ketidaksamaan (4-

10) adalah benar. Oleh karena itu kita asumsikan ( )0,0≠Y . Dengan

memperhatikan fungsi g : �→� oleh ( ) 2tYXtg −= . Maka

( ) YYtYXtXXtYXtYXtg ,,2,, 2+−=−−= .

Karena ( ) 0,,0,0 ≠≠ YYY dan ( )tg adalah fungsi kuadrat. Sekarang ( ) 0≥tg

untuk semua t sehingga g tidak dapat mempunyai dua akar riil yang berbeda.

Karena sebuah fungsi kuadrat cbtat ++ 22 mempunyai nol riil yang berbeda jika

dan hanya jika 02 >− acb , haruslah berlaku

0,,,2 ≤− XXYYYX

atau

YXYYXXYX .,,, =≤ .

Ini memberikan ketidaksamaan yang diinginkan.

Jika 0≠Y maka kesamaan berlaku hanya jika ketika ( ) 0=tg mempunyai sebuah

akar riil yang berulang. Tetapi ( ) 0=tg jika dan hanya jika 0=− tYX yaitu,

tYX = . Dengan begitu kesamaan berlaku jika dan hanya jika ( )0,0=Y atau

tYX = untuk suatu ∈t �. �

Hasil yang lebih penting dari geometri adalah terkait titik-titik yang tak kolinier.

Sifat pertama yang akan dibahas adalah ketidaksamaan segitiga. Nama

ketidaksamaan segitiga karena mengatakan bahwa panjang sisi dari sebuah

90

segitiga adalah kurang dari atau sama dengan jumlah dari panjang dua sisi

lainnya.

Definisi 4.3.2

Sebuah fungsi jarak d pada � memenuhi ketidaksamaan segitiga jika

( ) ( ) ( )CBdBAdCAd ,,, +≤ untuk semua ∈CBA ,, �.

Proposisi 4.3.6

Fungsi jarak Euklidean Ed memenuhi ketidaksamaan segitiga.

Bukti :

Pertama kita menggunakan ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk menunjukkan

bahwa ∈YX , � maka YXYX +≤+ .

YYYXXXYXYXYX ,,2,,2 ++=++=+

22

,2 YYXX ++=

22 ,2 YYXX ++≤

22

2 YYXX ++≤

( )2YX +=

Dengan begitu ( )22YXYX +≤+

atau YXYX +≤+ .

91

Untuk melengkapi bukti pilih BAX −= dan CBY −= .

Sehingga

( ) ( )CBBAYX −+−=+

CA −=

Maka

CAYX −=+

( )CAdE ,=

Pada sisi lain

CBBAYX −+−=+

( ) ( )CBdBAd EE ,, +=

Sehingga

( ) ( ) ( )CBdBAdCAd EEE ,,, +≤

Jadi, terbukti bahwa jarak Euklidean Ed memenuhi ketidaksamaan segitiga. �

Proposisi 4.3.7

Fungsi jarak Taxicab Td memenuhi ketidaksamaan segitiga.

Bukti:

Misalkan titik ( ) ( )2211 ,,, yxByxA dan ( )33, yxC .

Akan dibuktikan

( ) ( ) ( )BCdCAdBAd TTT ,,, +≤

92

( ) 2121, yyxxBAdT −+−=

23312331 yyyyxxxx −+−+−+−=

23312331 yyyyxxxx −+−+−+−≤

( ) ( )23233131 yyxxyyxx −+−+−+−=

( ) ( )BCdCAd TT ,, +=

Jadi terbukti bahwa jarak Taxicab Td memenuhi ketidaksamaan segitiga. �

Konsep mengenai satu titik di antara dua titik yang lainnya merupakan sesuatu

yang sangat penting, sekalipun begitu pada waktu yang sama, merupakan ide

yang sangat intuitif. Pada akhirnya, keantaraan akan mengijinkan kita untuk

mendefinisikan gambar seperti segmen garis, sinar garis, sudut, dan segitiga.

Definisi 4.3.3

Titik B adalah di antara A dan C jika A, B, dan C adalah titik-titik kolinier yang

berbeda pada geometri metrik {�, �, d} dan jika

( ) ( ) ( )CAdCBdBAd ,,, =+ (4-11)

Catat bahwa definisi keantaraan itu memerlukan tiga titik yang semuanya terletak

pada garis yang sama.

93

Notasi

Dalam sebuah geometri metrik {�, �, d}

i. CBA −− artinya B terletak di antara A dan C

ii. AB melambangkan jarak d(A, B).

Dengan begitu dalam notasi ini, menjadi persamaan (4-11) untuk titik-titik

berbeda yang kolinier.

CBA −− jika dan hanya jika ACBCAB =+ . (4-12)

Aksioma dari fungsi jarak ditulis dalam notasi seperti berikut

i. 0≥PQ ;

ii. 0=PQ jika dan hanya jika QP = ;

iii. QPPQ = ; dan

iv. ( ) ( )QfPfPQ −= untuk sebuah ruler f pada PQ . (4-13)

Karena sebuah geometri insidensi mungkin mempunyai lebih dari satu

fungsi jarak, kapanpun kita gunakan notasi PQ untuk ( )QPd , harus jelas jarak

yang digunakan. Pada model dasar yang kita punya kita akan terus menggunakan

notasi ,, ΗddE dan Τd .

94

Contoh 4.3.1

Diberikan ( ) ( )3,0,7,2 −=−−= BA , dan ( )7,5=C adalah titik-titik dalam Bidang

Euklidean. Tunjukkan bahwa CBA −− .

Penyelesaian

A, B, dan C terletak pada garis tipe II ∈= ),{(3,2 yxL �2 }32| −= xy .

Berdasarkan Definisi 4.1.2

( ) ( ) ( ) 523702, 22 =+−+−−== BAdAB E

( ) ( ) ( ) 557350, 22 =−−+−== CBdBC E

dan ( ) ( ) ( ) 572457752, 22 ==−−+−−== CAdAC E .

Dengan begitu ( ) ( ) ( )CAdCBdBAd EEE ,,, =+ dan CBA −− . �

Contoh 4.3.2

Misalkan ( ),1,0,23

,21 =�

��

����

�−= BA dan �

��

����

�=

23

,21

C adalah titik-titik dalam

Bidang Poincarè. Tunjukkan bahwa CBA −− .

Penyelesaian

A, B, dan C terletak pada garis tipe II ∈= ),{(10 yxL � }1| 22 =+ yx ��

Berdasarkan Definisi 4.1.3

95

( ) 3ln

11

1

ln, 23

21

=��

���

�

+−

== Η BAdAB

( ) 3ln33

ln, === Η CBdBC dan ( ) 3ln, == Η CAdAC .

Dengan begitu ( ) ( ) ( )CAdCBdBAd ,,, ΗΗΗ =+ dan CBA −− . Catat bahwa pada

Gambar 4.3.1 titik B “terlihat” di antara A dan C. �

A B C

Gambar 4.3.1

Teorema 4.3.1

Jika CBA −− maka ABC −− .

Bukti :

Jika A, B, dan C adalah titik-titik yang berbeda dan kolinier, maka demikian juga

C, B, dan A. Karena CBA −− , maka persamaan (4-12) menunjukkan bahwa

96

ACBCAB =+ . Karena QPPQ = untuk semua P dan Q, maka kita peroleh

CACBBA =+ atau

CABACB =+

yang merupakan bukti dari apa yang ingin kita tunjukkan. �

Jika l adalah sebuah garis dengan sebuah ruler, teorema selanjutnya akan

mengijinkan kita untuk menginterpretasikan keantaraan pada l dalam terminologi

dari sebuah konsep yang berkorespondensi dari keantaraan untuk bilangan-

bilangan riil. Hal ini akan menjadi sebuah metode pembuktian yang berguna dari

hasil tertentu yang melibatkan keantaraan. Dengan begitu kita akan menggunakan

notasi keantaraan pada garis riil untuk membantu kita dengan keantaraan pada

sebuah geometri metrik.

Definisi 4.3.4

Jika x, y, dan z adalah bilangan-bilangan riil, maka y adalah di antara x dan z

(ditulis zyx ∗∗ ) jika

zyx << atau xyz << .

Catat bahwa jika x, y, dan z adalah bilangan-bilangan riil yang berbeda, maka

tepat satu berlaku: satu adalah paling besar, satu adalah paling kecil, dan satu di

antara yang lain.

97

Teorema 4.3.2

Misalkan l adalah sebuah garis dan f adalah sebuah sistem koordinat untuk l. Jika

A, B, dan C adalah tiga titik dari l dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z,

maka CBA −− jika dan hanya jika zyx ∗∗ .

Bukti :

Catat bahwa jika A, B, dan C tidak berbeda maka CBA −− dan zyx ∗∗

keduanya adalah salah. Oleh karena itu kita mengasumsikan A, B, dan C berbeda.

Pertama kita buktikan bahwa zyx ∗∗ jika CBA −− .

Kita telah berikan bahwa ( ) ( ),, BfyAfx == dan ( )Cfz = , dan bahwa

ACBCAB =+ . Persamaan Ruler (4-13) mengidikasikan bahwa

( ) ( ) yxBfAfAB −=−= , zyBC −= , dan zxAC −=

sedemikian sehingga

zxzyyx −=−+− . (4-14)

Kita akan menunjukka bahwa persamaan (4-14) mengimplikasikan juga bahwa

zyx << atau xyz << . Karena A, B, C adalah berbeda maka kemudian

adalah x, y, z dan tepatnya satu dari kasus-kasus berikut harus terjadi:

i. zyx <<

ii. xyz <<

iii. zxy <<

iv. yxz <<

98

v. yzx <<

vi. xzy <<

Kita akan menunjukkan bahwa kasus iii membawa kita pada kontradiksi.

Pendapat-pendapat serupa ditempatkan pada kasus iv, v, dan vi.

Kasus iii mengimplikasikan bahwa

yxyx −=− , yzzy −=− , dan xzzx −=− .

Jika kita substitusikan persamaan-persamaan di atas ke dalam persamaan (4-14)

maka kita peroleh

xzyzyx −=−+−

sedemikian sehingga

yx = . (4-15)

Hal ini kontradiksi dengan faktanya bahwa x, y, z adalah berbeda. Oleh karena itu

kasus iii tidak memegang. Dengan begitu zyx ∗∗ (kasus i dan ii).

Sekarang kita tunjukkan bahwa jika zyx ∗∗ maka CBA −− . Asumsikan bahwa

zyx << . (Kasus xyz << adalah serupa.) Pada kasus ini

xzzxxyyx −=−−=− , , dan yzzy −=− sehingga

zxzyyx −=−+−

atau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CfAfCfBfBfAf −=−+−

atau

99

ACBCAB =+ .

Dengan begitu karena A, B, dan C adalah kolinier dan berbeda, maka CBA −− . �

Akibat 4.3.1

Diberikan tiga titik berbeda pada satu garis, satu dan hanya satu dari ketiganya

terletak di antara dua lainnya.

Bukti :

Hal ini jelas karena pernyataan yang berkorespondensi adalah benar untuk tiga

bilangan riil berbeda. �

Catat bahwa hasil ini mengatakan bahwa jika kita mempunyai tiga titik berbeda

pada sebuah garis, kita mungkin menamainya sebagai A, B, dan C dengan

CBA −− . Namun demikian, jika titik-titik telah diberi nama A,B,C dalam

beberapa cara, maka kita semua dapat mengatakan bahwa satu dari CBA −− ,

CAB −− , atau BCA −− adalah benar.

Teorema 4.3.3

Jika A dan B adalah titik-titik yang berbeda pada sebuah geometri metrik maka

i. Ada suatu titik C dengan CBA −− ; dan

ii. Ada suatu titik D dengan BDA −− .

Bukti :

100

Misalkan f adalah sebuah ruler untuk garis AB dengan ( ) ( )BfAf < dan pilih

( )Afx = dan ( )Bfy = . Untuk membuktikan (i) misalkan 1+= yz dan

( )zfC 1−= . Maka CBA −− karena zyx << .

Untuk membuktikan (ii), kita definisikan ∈w � dan ABD ∈ menurut

( ) 2/yxw += dan ( )wfD 1−= . Maka BDA −− karena ywx << . �

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Geometri Abstrak � adalah himpunan � yang terdiri dari titik dan himpunan �

yang terdiri dari garis bersama dengan hubungan antara titik dan garis dengan

sekumpulan sistem aksioma yang harus dipenuhi. Sebuah Geometri Abstrak

dikatakan Geometri Insidensi jika memenuhi sistem aksioma yang mengandung

ketunggalan garis. Oleh karena itu ketunggalan garis yang memuat dua titik

merupakan konsep penting untuk mendefinisikan Geometri Insidensi. Geometri

Abstrak memiliki dua pendekatan mendasar, yaitu pendekatan sintetik dan

pendekatan metrik yang disebut Geometri Metrik. Geometri Metrik merupakan

studi geometri dengan pendekatan metrik yaitu konsep mengenai jarak. “Jarak”

adalah fungsi yang menentukan sebuah bilangan ( )QPd , untuk setiap pasangan

titik P, Q. Jarak yang dimaksud tersebut ditujukan pada suatu himpunan, misalnya

himpunan �. Jarak dapat diukur dengan menggunakan garis yang diberi tanda

yang disebut ruler. Dalam skripsi ini kita “menandai” garis tersebut dengan

mengasumsikan bahwa untuk setiap garis terdapat sebuah bijeksi antara garis itu

dan �. Kita akan memperoleh sebuah Geometri Metrik �� � ������ d} dengan

menggabungkan suatu Geometri Insidensi {������ bersama dengan fungsi jarak d

dan memenuhi Postulat Ruler jika setiap garis ∈l � mempunyai sebuah ruler.

102

Dalam Geometri Abstrak dan Geometri Insidensi terdapat dua model yaitu

Bidang Kartesian (yang menotasikan aL untuk garis vertikal dan bmL , untuk garis

tak vertikal) dan Bidang Poincarè (yang menotasikan La untuk garis tipe I dan

rc L untuk garis tipe II). Sedangkan dalam Geometri Metrik muncul tiga model

utama yaitu Bidang Euklidean dengan aL untuk garis vertikal dan bmL , untuk

garis tak vertikal, Bidang Poincarè dengan La untuk garis tipe I dan rc L untuk

garis tipe II, serta Bidang Taxicab dengan aL untuk garis vertikal dan bmL , untuk

garis tak vertikal. Bidang Kartesian dalam Geometri Metrik memiliki definisi

alternatif yang idenya muncul dari aljabar linier, terutama yang terkait dengan

vektor. Penggunaan vektor di sini yaitu untuk menentukan suatu sifat keantaraan

dalam Geometri Metrik. Definisi keantaraan memerlukan tiga buah titik yang

semuanya terletak pada satu garis yang sama. Dalam sebuah geometri metrik {�,

�, d}, CBA −− artinya B terletak di antara A dan C di mana CBA −− jika dan

hanya jika ACBCAB =+ dengan AB melambangkan jarak d(A, B), begitu pula

untuk BC dan AC.

5.2 Saran

1. Skripsi ini masih dapat dikembangkan dengan membahas bangun-bangun

datar dalam Geometri Metrik, konsep sudut dalam Geometri Metrik, dan

sebagainya.

103

2. Skripsi ini masih dapat dikembangkan dengan membicarakan model-model

lain dalam Geometri Abstrak / Geometri Insidensi / Geometri Metrik yang

belum terbahas.

DAFTAR PUSTAKA

Hvidsten, M. (2005). Geometry: with Geometry Explorer (International ed).

Singapore: McGraw-Hill International Companies.

Lucas, John F. (1986). Introduction to Abstract Mathematics. England: Wadsworth

Publication.

Millman, R. S. and Parker, G. D. (1991). Geometry: A Metric Approach with Models

(2nd ed). New York: Springer-Verlag.

Susanta, B. (1979). Geometri yang Hidup dan Berkembang. Yogyakarta : Pidato

Pengukuhan dalam Jabatan Lektor Kepala di FMIPA UGM.