geometri eliptik

GEOMETRI ELIPTIK (RIEMANN)GEOMETRI ELIPTIK (RIEMANN)

Disajikan oleh: Kelompok 1Disajikan oleh: Kelompok 1

PRESENTASI SISTEM GEOMETRIPRESENTASI SISTEM GEOMETRI

OA

B

C

Teori Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euklid dengan mengasumsikan

prinsip berikut ini:

Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain.

Postulat Kesejajaran Riemann

Jadi, dua garis selalu berpotongan dan

tidak ada dua garis sejajar.

• Sifat penting dari Teorema 2 Corollary 3 Postulat Kesejajaran Euclid, yaitu :

Dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan

sejajar.

Diketahui : o Dua garis yang

berbeda l dan m

yang tegak lurus

dengan garis n.

No Pernyataan Alasan

1Andaikan l dan m tidak sejajar

Asumsi

2Maka l dan m berpotongan di titik C

Akibat 1, dibuat

3Misal l dan m masing-masing

berpotongan dengan n di A dan B.

Dibuat

4 Perpanjang melalui A ke C’ dengan CA = AC’

Dibuat

o Akan dibuktikan : l ||

m

l

n

mC

A B

C’

ll

ll

Diketahui : o Dua garis yang

berbeda l dan m

yang tegak lurus

dengan garis n.


5 Lukis C’B Dari 2 titik dapat dibuat sebuah garis

6 ABC ABC’ S-sd-s

7 ABC = ABC’ Akibat kekongruenan

8 Jadi, ABC’ = ABC = 90o (merupakan sudut siku-siku)

Akibat langkah 7 dan premis

9 BC dan BC’ tegak lurus dengan AB. Akibat langkah 8


m

l

n

mC

A B

C’

ll

ll

Diketahui:o Dua garis yang

berbeda l dan m

yang tegak lurus

dengan garis n.


10 BC dan BC’ serupa Akibat langkah 9

11Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.

12Jadi l dan m serupa (Berimpit)

13Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda. Jadi, pengandaian kita salah

dan teorema berlaku benar untuk l || m


m

l

n

mC

A B

C’

Analisa Riemann :• Sifat penting dari Teorema 2 Corollary

3 Postulat Kesejajaran Euclid ada pada :

“ l dan m serupa ”

• Dalam bukti tersebut, Euclides menggunakan prinsip pemisahan (separation principle).

• Bahwa C dan C’ berlainan

• Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka C dan C’ dapat berimpit dan bukti teorema Euclides kurang benar

• Jika prinsip pemisahan tetap digunakan, C dan C’ harus berlainan

• Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “dua titik menentukan satu garis”, artinya memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik.

O

A’

A

1. GEOMETRI SINGLE ELIPTIC

Sebarang garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut.

Maka, ada dua teori yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann :

A = A’

2 garis berpotongan pada 1 titik garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang;

2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik

O

A’ B’

B A

2. GEOMETRI DOUBLE ELIPTIC

Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang

2 garis berpotongan pada titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang

Diameter AA’

Garis busur AA’

A ≠ A’

B ≠ B’

Representasi Geometri Double Eliptik Pada Bola Euclides

Geometri Double Eliptik

o Titiko Gariso Bidango Segmen

o Jarak antara 2 titik

o Sudut antara 2 garis besar

Representasi Euclideso Titik pada bolao Lingkaran besar bolao Bolao Busur dari suatu

lingkaran besaro Panjang busur

terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu

o Sudut pada bola antara 2 lingkaran

Sifat Kutub• Misalkan l suatu garis

• Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l sedemikian hingga :

– Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l, tegaklurus pada l

– K berjarak sama dari setiap titik pada l

• Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut “jarak polar”

• Jarak polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan

O

K

l

(Gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus

pada ekuator)

Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis

bertemu pada suatu titik

Teorema 8.2

OA

B

C


1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclides

Dibuat

2 Maka ada suatu titik B, yang disebut

kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang

menghubungkan B dengan suatu

titik pada l, tegaklurus pada lo B berjarak sama dari setiap titik

pada l

Sifat Kutub

3 Misal A dan C titik pada l dengan A C Dibuat

4 Lukis CB dan AB Dibuat

Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:

Pembahasan Teorema 8.2

l

OA

B

C


5CB l dan AB l

Akibat 2 dan 4 (Sifat Kutub)

6 CB dan AB yang tegak lurus l berpotongan (bertemu) pada titik B

Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik

Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:


l

Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya

setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus

pada garis itu.

Teorema 8.3


1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclids Dibuat

2 Maka ada suatu titik K, yang disebut kutub

dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan K

dengan suatu titik pada l, tegaklurus

pada lo K berjarak sama dari setiap titik pada l

Sifat Kutub

3 Misal A, B, C, D, E, .... Himpunan titik-titik

pada l dengan A B C D E .....

Dibuat

4 Lukis AK, BK, CK, DK, EK, ....... Dibuat

Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Semua garis yang tegak lurus pada suatu

garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu

Pembahasan Teorema 8.3 #a

O

K

lA

BCDE


5AK l,BK l, CK l, DK l, EK l, dan seterusnya berlaku untuk setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik

pada l, tegaklurus pada l

Akibat 4 dan

Sifat Kutub

6 Karena setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada

l melalui titik K, akibatnya semua garis yang memuat segmen tersebut berpotongan di titik K.

Akibat 5

Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu

Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Semua garis yang tegak lurus pada suatu

garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu

Pembahasan Teorema 8.3#a

O

K

lA

BCDE


1 Terdapat garis l dan kutub K diketahui

2 Konstruksi garis-garis yang melalui K

dikonstruksi

3 Garis-garis yang dikonstruksi pd (2) pasti memuat segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l

Akibat 2

4 Segmen-segmen pada (3) tegak lurus l

Sifat kutub

5 Jadi, setiap garis melalui K akan tegak lurus l

Akibat 4

Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Setiap garis melalui kutub suatu garis tegak

lurus pada garis itu.

Pembahasan Teorema 8.3#b

O

K

lA

BCDE

Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 900, A kurang

dari, sama dengan atau lebih besar dari 900, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari

jarak polar q.

Teorema 8.4

O

A

A’

C

B

Teorema 8.4: Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 90o, A kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90o, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar

1. Ditunjukkan A < 90o, bila segmen BC < jarak polar

O

A

B

C

2. Ditunjukkan A = 90o, bila segmen BC = jarak polar

AC

O

B

3. Ditunjukkan A > 90o, bila segmen BC > jarak polar

Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o

Teorema 8.5

Teorema 8.5

OA

B

C


1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclides Dibuat

2 Maka ada suatu titik B, yang disebut kutub

dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan B

dengan suatu titik pada l, tegaklurus pada lo B berjarak sama dari setiap titik pada l

Sifat Kutub

3 Misal A dan C titik pada l dengan A C Dibuat

4 Lukis CB dan AB Dibuat

Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di

samping.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu

segitiga lebih besar dari 180o

l

Teorema 8.5

OA

B

C


5 BAC = 90o dan BCA = 90o Sifat kutub dan akibat 4

6 B > 0o (B positif) Diketahui

7 Pandang ABC ! Jadi, A + B + C > 90o + B + 90o > 180o

Akibat 5 dan 6

Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o

Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di

samping.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu

segitiga lebih besar dari 180o

l

Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600.

Teorema 8.6


Diketahui : o Bola Euclides.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu

segiempat lebih besar dari 360o


1 buat garis l Dibuat

2 Maka ada suatu titik B dan Z, yang disebut

kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan B

dan Z dengan suatu titik pada l, tegaklurus

pada l

Sifat Kutub

3 Misal M dan K titik pada l dengan M K Dibuat

4 Lukis UM, UK, ZM, dan ZK Dibuat

U

M K

l O

z


Diketahui : o Bola EuclidesAkan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu

segiempat lebih besar dari 360o


5 UMZK adalah segiempat Dari langkah 4

6 UMK = 90o , UKM = 90o ZMK = 90o , ZKM = 90o

Sifat Kutub

7 U > 0o (B positif) Z > 0o (B positif)

diketahui

8 Pandang segiempat UMZKU + M + Z +K = U + 180o + Z + 180o > 360o

Dibuat

Jadi jumlah sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360o

U

M K

l O

z

Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.

Teorema 8.7


Diketahui :segiempat saccheri ABCD (lihat definisi segiempat saccheri)

Buktikan : sudut-sudut puncak segiempat saccheri ABCD sama dan Tumpul (

A

CD

BE

F

Misal = x90 + 90 + x + x 3602x 180x 90

Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B = C

= 90o, maka sudut keempat D tumpul

Teorema 8.8


Diketahui : segiempat lambert ABCD dengan mA = mB = mC = 90

Buktikan : mD > 90Bukti :Berdasar teorema jumlah sudut segiempat > 360 maka90 + 90 + 90 + mD > 360mD > 360 – 90 - 90 – 90mD > 90

Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic.

Teorema 8.9


Andaikan ada persegi dalam geometri elliptikDengan mengacu pada definisi persegi Persegi adalah segiempat dengan keempat sudutnya siku-siku (= 90),Dan setiap sisinya kongruen (sama panjang)Maka jumlah sudut dalam persegi = 360Hal ini kontradiksi dengan teorema yang menyatakan bahwa Jumlah sudut dalam segiempat > 360Jadi, dalam geometri elliptik persegi tidak ada

Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen

Teorema 8.10



1 diketahui dua segitiga sebangun yaitu ABC

dan AB’C’ dengan B,B’,C,C’ pada garis l Diketahui

2 Maka suatu titik A , yang disebut kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan A

dengan suatu titik pada l, berjarak sama. Maka AB=AB’, AC=AC’

Sifat Kutub

3 Karena sisi-sisi yang sebanding pada 2 segitiga sebangun adalah sama maka kesebangunan itu adalah kekongruenan

Akibat 2 dan sifat

kekongruenan

TERIMA KASIHdan

Semoga Bermanfaat

。。　がんばって。。　^_^

geometri eliptik

Documents