GeometriMatematika Peminatan

SEGITIGASegitiga adalah segi banyak yang memiliki tiga sisi.

Dalil 1 : Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180°.Klasifikasi SegitigaBerdasarkan panjang sisi

Berdasarkan jenis sudut

C

c

b a

A B

Dalil 2 : Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjangnya, maka sudut diseberang sisi-sisi ini sama besarnya.

Dalil 3 : Pada segitiga sama sisi yang ketiga sisinya sama panjang, ketiga sudutnya juga sama besar, yaitu masing-masing 60°.

Ketaksamaan dalam Segitigai. a + b > c; a + c > b; b + c > aii. |a – b| < c; |a – c| < b; |b – c| < a

C

c

b a

A BContohKetrin mempunyai dua segmen garis sepanjang 7 cm dan 4 cm. Bisakah ini membuat segitiga dengan garis ketiga yang panjangnya :a. 11 cm b. 8 cm c. 5 cm d. 3 cmPenyelesaian : Jumlah panjang kedua garis = 7 cm + 4 cm = 11 cmSelisih panjang kedua garis = 7 cm – 4 cm = 3 cmMisal panjang garis ketiga = x cm maka syarat yang dapat dibuat segitiga adalah 3 cm < x < 11 cm.Jadi, Ketrin bisa membuat segitiga jika garis ketiga adalah 5 cm dan 8 cm.

Dalil-Dalil Segitiga1. Dalil Titik Tengah SegitigaSegmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga tersebut.

𝑫𝑬=𝟏𝟐𝑩𝑪

A

B C

D E

Contoh

2. Dalil Intercept SegitigaJika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC (misalnya, garis sejajar sisi BC) memotong dua sisi lain dari segitiga ABC (yaitu sisi AB dan AC) di titik D dan E, maka persamaan kesebandingan yaitu

(1) AD : DB = AE : EC(2) AD : AB = AE : AC = DE : BC

A

B C

D E

Contoh

3. Dalil MenelausJika sebuah garis berpotongan dengan ketiga sisi segitiga ABC atau perpanjangan masing-masing di P, Q dan R, maka berlaku dalil Menelaus :

𝐴𝑃𝑃𝐶 ×

𝐶𝑄𝑄𝐵×

𝐵𝑅𝑅𝐴=1

A

C B

P

R

Q

Contoh

4. Dalil de CevaJika garis yang ditarik dari tiap titik sudut segitiga (titik A, B, dan C) berpotongan pada satu titik (titik O) dan memotong sisi-sisi yang berhadapan (sisi BC, CA dan AB) di titik D, E, dan F, maka berlaku dalil de Ceva :

𝐴𝐹𝐹𝐵 ×

𝐵𝐷𝐷𝐶 ×

𝐶𝐸𝐸𝐴=1

C

A B

ED

F

O

Contoh

Dalil-Dalil Segmen Garis

Dalil 1 : Ketiga garis sumbu berpotongan pada satu titik, yang disebut titik sumbu.

Dalil 2 : Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga.Dalil 3 : Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran luar segitiga.

1. Garis SumbuGaris Sumbu Segitiga adalah garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut.

A

B C

F E

D

O

2. Garis TinggiGaris Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi di depannya.Dalil 1 : Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik, yang disebut titik

tinggi.Dalil 2 : Pada segitiga siku-siku, garis tinggi hipotenusa membagi segitiga

siku-siku menjadi dua segitiga yang sebangun, dan juga sebangun dengan segitiga awal.

Dalil 3 : Jika pada segitiga ABC, CT⊥AB dan panjang proyeksi AC pada AB adalah 𝑝, maka

𝒂𝟐=𝒃𝟐+𝒄𝟐−𝟐𝒄𝒑

C

BA

O

T

ab

c

pContoh

Dalil Stewart : Jika D adalah sebuah titik pada sisi BC sebuah segitiga ABC sehingga BD = dan CD = , maka panjang garis sembarang AD memiliki dalil𝐴𝐷2 ∙𝑎=𝑎1 ∙𝑏2+𝑎2 ∙𝑐2−𝑎1𝑎2𝑎

A

CB P

bc

a

D𝑎1 𝑎2

3. Garis BeratGaris Berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian sama panjang.Dalil 1 : Ketiga garis berat berpotongan pada satu titik, yang disebut titik

berat.Dalil 2 : Ketiga garis berat dalam sebuah segitiga berpotongan di titik berat

dengan perbandingan panjang bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian terpanjang dekat dengan titik sudut.

A

CB

O2

1

Dalil 3 : Jika adalah panjang garis berat yang ditarik dari titik sudut A ke sisi di hadapannya 𝑎, maka berlaku : 𝒕𝒂𝟐=

𝟏𝟐 𝒃𝟐+

𝟏𝟐 𝒄𝟐−𝟏𝟒 𝒂𝟐

A

CB a

𝑡𝑎c b

Contoh

4. Garis BagiGaris Bagi Segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar.Dalil 1 : Garis bagi segitiga berpotongan pada satu titik yang disebut titik

bagi.Dalil 2 : Garis bagi sudut sebuah segitiga membagi sisi yang berhadapan

dengannya atas dua bagian yang rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi yang berhadapan dengan bagian tersebut.

Dalil 3 : Titik bagi sebuah segitiga merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut. Lingkaran tersebut menyinggung semua sisi segitiga.

A

CB

O

𝑎1 𝑎2

c b

Contoh

Dalil 4 : Panjang garis bagi ke sisi 𝑐, misalnya dinyatakan oleh 𝒅𝒄

𝟐=𝒂 ∙𝒃−𝒄𝟏 ∙𝒄𝟐

C

BA 𝑐1 𝑐2

b a

𝑑𝑐

Contoh

Contoh Titik Tengah Segitiga

Tentukan nilai 𝑥.

2

2

3

3

4

x

3

3

4

4

x

5

4=12 𝑥⟺𝑥=4 ∙2=8

𝑥=12

(5 )=52

Back

Contoh Dalil Intercept Segitiga

Perhatikan gambar disamping. Tentukan :a. QRb. QU

S

P

15 cm

U9 cm

12 cm Q

R

Penyelesaian :

a. Menurut dalil Intercept Segitiga:

b. QU = RQ – RU = 20 – 15 = 5 cm

Back

Contoh Dalil Menelaus

Pada gambar disamping ini, nilai x adalah ...

Penyelesaian :

Menurut dalil Menelaus

Back

x

5

1

5

2

1⟹ x = 15

Contoh Dalil de Ceva

Dalam segitiga ABC, garis-garis AD, BE dan CF berpotongan di titik G. Jika D tengah-tengah BC dan AF : FB = 4 : 1, tentukan AE : AC.

Penyelesaian :

Menurut dalil de Ceva

Back

A

E

D CB

FG

𝐴𝐸𝐸𝐶 ×

11×

14=1

𝐴𝐸𝐸𝐶=

41

Jadi, AE : AC = 4 : 5

1 1

4

1

Contoh Dalil-dalil Segmen Garis

Pada segitiga ABC diberikan AB = 25 cm, BC = 30 cm dan AC = 35 cm. Hitung panjang garis tinggi, garis bagi dan garis berat dari titik sudut A.Penyelesaian : Menghitung panjang garis tinggi AD

Proyeksi AC pada BC adalah CD sehingga dalil proyeksi memberikan :

Back

D

B

25 cm

AC

30 cm

35 cm

Panjang garis tinggi AD :

Contoh Dalil-dalil Segmen Garis

Penyelesaian : Menghitung panjang garis bagi

Menurut dalil 2 garis bagi didapat :CD : DB = CA : AB = 35 : 25 = 7 : 5

Back

Menurut dalil 4 garis bagi :

B

25 cm

AC

30 cm

35 cm

D

Contoh Dalil-dalil Segmen Garis

Penyelesaian : Menghitung panjang garis berat

Menurut dalil 3 garis berat berlaku :

B

25 cm

AC

30 cm

35 cm

D

Back