GEOMETRI

(3 SKS)

Pokok Bahasan:

Geometri dasar : geometri euclid dan aksioma-

aksioma dasar, kekongruenan segitiga,

ketegaklurusan dan kesejajaran di bidang,

kesebangunan segitiga, hitung polygon dan

lingkaran.

Geometri ruang: ketegaklurusan dan kesejajaran di

ruang, jarak dan tempat kedudukan di ruang, sudut

antar komponen dalam benda ruang, benda-benda

solid geometri ruang ( silinder, kerucut, bola).

Geometri non-euclid : Geometri netral, geometri

Lobachevski (hiperbolik),

Geometri fraktal: geometri natural, segitiga

Sierpinski

1

Pustaka:

1. Michael Hvidsten, Geometry with geometry explorerTM,

McGraw-Hill International Edition, 2005.

2. Barnett Rich, Schaum’s Outline of Geometry, (alih

bahasa; Irzam H), Erlangga, 2005.

I. Geometri dasar

I.1.Geometri euclid dan aksioma-aksioma dasar

GEOMETRI EUCLID

Himpunan berbentuk beserta sistem aksioma yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid,dengan unsur-unsur dari himpunan masing-masing disebut dengan titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang. Lima (5) aksioma tsb adalah

a1. Aksioma insidensia2. Aksioma keantaraan (tanpa memperhatikan letak)

dan urutan (memperhatikan letak)a3. Aksioma kekongruenana4. Aksioma kekontinyuan (archimedes) a5. Aksioma kesejajaran euclid

2

Aksioma insidensi: menentukan hubungan relatif sifat-sifat geometris titik, garis dan bidang.

Aksioma urutan: menyajikan hubungan posisi geometris diantara titik, garis dan bidang.

Aksioma kekongruenan: menentukan kekronguenan atau kesamaan di antara segmen garis dan sudutMisalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan berhingga titik-titik A1, A2, ..., An pada garis Aksioma kekontinyuan terdiri atas dua pernyataan:1. lurus segmen-segmen , , ..., kongruen

terhadap dan titik D diantara A dan An (aksioma Archimedes/ukuran).

2. Himpunan titik-titik pd garis lurus yang memenuhi aksioma urutan, aksioma pertama kekongruenan, dan aksioma Archimedes adalah lengkap, yaitu tidak ada titik lain yg dpt ditambahkan pd himpunan tsb, shg semua aksioma ini adalah sama benar (aksioma kelengkapan).

Aksioma kesejajaran: Misalkan l sebarang garis lurus dan A titik diluar garis tsb, maka ada paling banyak satu garis yg melalui A dan sejajar terhadap l pada bidang yg ditentukan oleh A dan garis l tsb (postulat Playfair)

Note:

3

-Struktur [ , a1, a2, a3, a4 ] disebut geometri netral(absolut).

-Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran euclid disebut geometri Euclid (parabolik).

-Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran Lobachevski disebut geometri Lobachevski (hiperbolik) dan untuk Riemann disebut geometri Riemann(elliptik). Dua geometri ini disebut geometri non-Euclid.

AKSIOMA-AKSIOMA DASAR

Aksioma insidensi1. Jika ada dua titik berbeda, maka akan ada tepat satu

garis yang memuat dua titik tersebut2. Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka

ada tepat satu bidang yang memuat ketiga titik tersebut.

3. Jika ada dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang.

4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis.

5. Setiap garis memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya 3 titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang.

4

Postulat 1. Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua ujungnya.

Postulat 2. (Postulat jarak)a. Jarak setiap dua titik di merupakan fungsi di R.b. Jarak setiap dua titik berharga non-negatifc. Jarak dua titik adalah nol jhj kedua titik tsb identikd. Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu

garis lurus (diukur menurut garis lurus)

Postulat 3. Pada setiap garis l, titik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondensi 1 – 1 dengan bil real R.

Aksioma keantaraan

1. Jika A dan B dua titik, maka a. terdapat sedikitnya satu titik C sehingga C

diantara A dan Bb. terdapat sedikitnya satu titik D sehingga B

diantara A dan Dc. terdapat sedikitnya satu titik E sehingga A

diantara B dan E

2. Jika A, B, dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B, dan C berbeda & terletak pada satu garis (kolinear).

3. Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A.

5

4. Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan ini benar:

a. B diantara A dan Cb. C diantara A dan Bc. A diantara B dan C.

I.2. Kekongruenan segitiga

Segitiga (Pengantar)

Dua `unsur penting dalam segitiga adalah sisi dan sudut.

Suatu segitiga dapat dilukis jika salah satu dari lima

syarat di bawah ini dipenuhi :

1. Satu sisi dan sudut-sudut yang terletak pada sisi itu (,

S, )

2. Satu sisi , sebuah sudut pada sisi tersebut dan sudut

dihadapan sisi tersebut (S, , ).

3. Dua sisi dan sudut apitnya (S, , S)

4. Diketahui tiga sisinya (S, S, S)

5. Dua sisi dari sudut dihadapan salah satu sisi yang

diketahui (S, S, )

6

A

B CX

Y

Z

Sifat-sifat segitiga antara lain :

1. Jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 1800.

2. Panjang suatu sisi segitiga kurang dari jumlah dua

panjang sisi lainnya (ketaksamaan segitiga : S1 < S2 +

S3).

3. Dua segitiga yang alasnya berlainan dan tingginya

sama, luas daerahnya berbanding sebagai panjang

alasnya

4. Dua segitiga yang alasnya sama dan tingginya

berlainan, luas daerahnya berbanding sebagai

tingginya

5. Dua segitiga yang sama salah satu sudutnya, luas

daerahnya berbanding sebagai hasil kali panjang sisi

yang mengapit sudut yang sama itu.

Contoh

Diketahui segitiga ABC, berturut-turut titik-titik X, Y, Z

terletak pada BC, AC, dan AB. Jika BC : BX = AC : CY

= AB : AZ = 3 : 1 dan Luas ABC = 9, berapa luas XYZ?

7

Penyelesaian.

Segitiga BXZ dan BCZ mempunyai tinggi sama.

Perbandingan luasnya = perbandingan panjang

alasnya .

Luas(BXZ) : luas(BCZ) = 1 : 3, sebab BX : BC = 1 : 3.

Segitiga BCZ dan ABC mempunyai tinggi yang sama

(tinggi : garis yang tegak lurus dengan AB dan

melalui C).

BZ : AB = 2 : 3, maka luas(ABC) : luas(BCZ) = 3 : 2.

SehinggaLuas(ABC) = = , atau

Luas(BXZ) = luas(ABC) = (2/9).9 = 2

Dengan cara analog, dapat anda buktikan luas(AZY)

= luas(CXY) = 2.

Oleh karena itu, luas(XYZ) = 9 – 3.2 = 3.

______________

8

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika BC = AD, tentukan CAD ?

Penyelesaian:Perhatikan ABC, maka BAC = 180 – (70+55) = 55.

Sehingga ABC merupakan segitiga sama kaki, dengan

AC = BC. Juga ACD sama kaki dengan AD = AC.

Hal ini bearkibat CAD = 180 – (2x40) = 100.

Teorema Pythagoras

Luas persegi pada sisi miring sebuah segitiga siku-siku

sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-

sikunya. Dengan kata lain, jika sudut B pada segitiga

ABC sama dengan 900 maka AB2 + BC2 = AC2.

Konversnya, jika AB2 + BC2 = AC2 maka sudut B

sama dengan 900.

9

A

B

C

D

3

F

GH

Contoh .

Perhatikan gambar di samping. Persegi panjang

ABCD dan D titik tengah pada salah satu sisi

persegi panjang yang memuat ABCD. Tentukan

luas persegi panjang ABCD. ( = 450 )

Penyelesaian:

Karena = 450 maka AE = BE. Dengan

teorema Pythagoras didapat AB = 3 . Sudut CGD = 450

(sebab bersebarangan dengan sudut ) maka CGD adalah

segitiga siku-siku sama kaki.

Dengan demikian, DG2 = (3 )2 + (3 )2 atau DG = 6.

Diketahui DF = FG/2 maka FD = DG = 6, yang berakibat

BD2 = 62 + 62 atau BD = 6 .

Sampai di sini, diperoleh BD = 6 dan BD = 3 .

Jadi, luas persegi panjang ABCD = 6 .3 = 36.

10

Note: *Transversal sisi adalah sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga. *Transversal sudut adalah sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga.* Jika dua garis atau lebih berpotongan pada satu titik maka garis-garis tersebut dikatakan konkuren.

k: transversal sisi, l: transversal sudut

Dua segitiga ABC dan segitiga PQR dikatakan

sebangun jika terdapat korespondensi satu-satu antara

titik-titik A, B, C dengan P, Q, R, sehingga sudut-sudut

yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang seletak

mempunyai perbandingan yang sama, .

Notasi ABC dan PQR sebangun ditulis dengan ABC ~ PQR.

11

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini

Jika BC = 5, AB = 4, dan AD = 2 CD maka luas segi

empat ABDE sama dengan ...

Penyelesaian.

Dengan menggunakan rumus Pitagoras, didapat AC

= 3. Hal ini berarti CD = 2. Luas segitiga ABC = ½ x 3 x

4 = 6.

Dari gambar di atas, segitiga ABC dab DCE sebangun.

Oleh karena itu maka

yang berakibat EC = 0,6 dan DE = 0,8.

Dengan demikian luas CDE = ½ x 0,8 x 0,6 = 0,32.

Jadi luas ABDE = 6 – 0,32 = 5,68.

12

A

C

B

O

LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

Selanjutnya, titik tertentu disebut pusat lingkaran. Sedangkan jarak dari pusat lingkaran ke

setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari

Bagian-bagian dari lingkaran

1. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dengan titik sudut di pusat

lingkaran.

2. Busur adalah bagian dari lingkaran yang terletak di depan sudut pusat.

3. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

4. Diameter adalah talibusur yang melewati titik pusat lingkaran

5. Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang bertemu di satu titik

pada lingkaran

6. Tembereng adalah daerah yang dibentuk oleh busur dan tali busur

7. Garis singgung adalah garis yang bersinggungan tepat 1 titik dengan lingkaran dan titik

persekutuan itu disebut titik singgung. Garis singgung lingkaran pada lingkaran letaknya

tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik singgung

Sifat-sifat sudut pada lingkaran :

1. Sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama

2. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar

3. Sudut keliling yang menghadap setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

4. Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah 180°

5. AC dan BC dua garis singgung lingkaran dan C titik potongnya :

CB = AC

ACO = BCO

13

Contoh 1

Diketahui DC adalah diameter lingkaran yang berpusat

di A. AC adalah diameter lingkaran yang berpusat di B.

Jika DE garis singgung lingkaran yang berpusat di B dan

DE = 8Ö2, berapa panjang jari-jari lingkaran besar ?

Penyelesaian:

Misalkan jari-jari lingkaran kecil = a. Perhatikan dua segitiga sebangun berikut

Segitiga BDF dan segitiga CDE sebangun. Jika AB = a maka DB = 3a dan DC = 4a.

Sehingga FB/EC = DB/DC atau a/EC = 3/4 atau EC = 4a/3.

Dengan Pythagoras, (4a)2 = (8Ö2)2 + (4a/3)2 atau a = 3. Sehingga jari-jari lingkaran besar =

2a = 6.

Jawaban : 6

__________

Contoh 2

Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur

lingkaran yang berpusat di A.

Jika AC = Ö3 maka luas daerah yang diarsir sama dengan ...

14

Penyelesaian:

Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi Ö3. Luas daerah yang

diarsir = luas juring ABC – luas segitiga ABC.

= [ p (Ö3)2] – [1/4 (Ö3)2 Ö3]

= p/2 - .

Latihan 1

Jika diketahui lingkaran yang berpusat di O dan K, L,

M berada di keliling lingkaran seperti terlihat ada

gambar.

Buktikan bahwa .

Latihan 2

Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur

lingkaran yang berpusat di A.

Jika panjang AC = x cm maka luas daerah ABC sama dengan ...

15

Latihan 3

Gambar berikut memperlihat bagian dari dua lingkaran. Garis AB dan BC keduanya adalah

jari-jari kedua lingkaran tersebut. Jika AB = BC = 2 cm, tentukan luas daerah yang diarsir?

Penyelesaian.

Segitiga ABD adalah segitiga sama sisi. Beberapa simbol untuk menyatakan luas daerah –

daerah :

a = luas setengah lingkaran dengan AC sebagai diameternya.

b = luas tembereng BAD dengan B sebagai pusat lingkaran

c = luas tembereng ABD dengan A sebagai pusat lingkaran

d = luas segitiga ABD .

Luas daerah yang diarsir = a – b – c -d.

16

Latihan 4

Diketahui tiga lingkaran yang berpusat di titik B, C, dan D. Jika jari-jari masing-masing

lingkaran adalah x cm, tentukan panjang garis EF (dalam x). Jika x = 10 cm, berapakah

panjang EF?

Penyelesaian.

Tarik garis melalui titik C dan tegak lurus dengan EF. Terdapat dua segitiga yang

sebangun, yakni AHC dan AGD. Dengan menggunakan pengertian kesebangunan, dapat

dicari panjang garis yang tegak lurus dengan EF (=HC).

Latihan 5

Diketahui dan segmen garis potong lingkaran dg pusat O.

Buktikan bahwa PB . PA = PD. PC (dengan PB adalah panjang ).

17

HITUNG POLIGON DAN LINGKARAN

Teorema 1. Secant Tangen

Jika P adalah sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka PA.PA’=PT2.

Bukti:Misalkan maka

Sehingga .

Akibatnya: .

18

Teorema 2. Jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ukuran/panjang sisi-sisinya dibagi empat kali luas segitiga tersebut.

Adb: Jari-jari lingkaran , dengan L menyatakan luas segitiga.

Bukti:

Pernyataan Alasan1.

2.

3. 4. a : t = 2r : b

1. Dua sudut siku-siku kongruen

2. Dua sudut kel. Menghadap busur yg sama

3. Kesebangunan sgt4. Perbandingan sisi-sisi sgtg

5. L = ½ t.c

19

Teorema 3. Jari-jari lingkaran dalam segitiga samadengan luas segitiga dibagi setengah kelilingnya.

Bukti:Adb: , dg L menyatakan luas segitiga dan s setengah keliling segitiga ABC.

Titik-titik D, E, F merupakan titik-titik singgung lingkaran dalam segitiga ABC. Oleh karena itu berlaku

L(ABC) = L(ACO) + L(BCO) + L(ABO)= ½ r.a + ½ r.b + ½ r.c = ½ r (a + b + c) = r s

Jadi .

SEGIEMPAT TALIBUSURSegiempat talibusur adalah segiempat yang ke empat titik sudutnya terletak pada lingkaran atau keempat sisinya merupakan talibusur-talibusur lingkaran.

20

Sifat: 1. Dalam suatu segiempat talibusur, jumlah sudut-sudut yang berhadapan besarnya 1802. (Teorema Ptolemeus)Dalam suatu segiempat talibusur, hasil kali diagonal-diagonalnya samadg jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.BD x AC = (AD x BC) + (AB x DC)

3. Jika segiempat ABCD adalah segiempat talibusur, maka berlaku

21

4.Jika ABCD talibusur, maka berlaku

SEGIEMPAT GARIS SINGGUNG

Definisi: Segiempat garis singgung (Lingkaran dalam segiempat) adalah segiempat yang keempat sisi-sisinya menyinggung lingkaran.

Teorema: Dalam segiempat garis singgung, jumlah ukuran/panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama panjang.

Buktikan: AB + CD = AD + BC

22

Teorema: Setiap sisi segitiga beraturan dalam lingkaran berjari-jari r, ukurannya (panjang sisinya) adalah

Buktikan: AB = BC = AC =

23