geometri proyektif

Download Geometri Proyektif

Post on 18-Jul-2015

685 views

Category:

Documents

60 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Geometri ProyektifJauhara Dian Nurul Iffah Yulia Fitri Pendidikan Matematika 2010B

Sejarah perkembangan geometri proyektifMulai dipelajari oleh Desargues pada abad ke17

Mempelajari sifat invariant (tidak berubah)

Terkenal pada abad 19

Geometri Proyektif

Sifat dari garisgaris yang diproyeksikan

Perkembangan dari geometri Euclid

Para ahli dalam geometri proyektifGirard Desargues

Pappus of AlexandriaBlaise Pascal

Philippe De La Hire

Girard Desargues Lahir 21 Februari 1591 di Lyon, Perancis Meninggal bulan September 1661 di Lyon, Perancis Seorang insinyur dan arsitektur Merancang tangga spiral dan pompa model baru, tetapi minat utamanya adalah geometri Karya-karya: perspektif (1636), pemotongan kayu untuk membangun gedung (1640), sundial/batu untuk penunjuk waktu (1640).

Pappus of Alexandria Lahir sekitar tahun 290 AD di Alexandria, Mesir Meninggal sekitar tahun 350 AD Terkenal dengan buku synagoge atau collection dan teorema Pappus

The collection (pappus) Berisi ringkasan/ ikhtisar matematika Pada sekitar tahun 340 Terdiri dari 8 buku Buku I: ulasan tentang aritmatika yang tidak ditemukan Buku II: bahasan tentang metode menangani bilanganbilangan besar (sebagian hilang) Buku III: masalah-masalah geometri Buku IV: berisi bentuk kurva dan bentuk spiral dari archimedes dan kuadratik dari Hippias Buku V: penemuan Archimedes tentang bentuk polyhedra Buku VI: merangkum buku-buku matematikawan lain yang menyinggung astronomi berisi aplikasi matematika dalam astronomi, optik dan mekanika

Buku VII: merangkum buku-buku matematikawan lain yang berisi sejarah matematika, menjelaskan analisis persyaratan dan sintesis, dan perbedaan antara teorema dan masalah. Buku VIII: aplikasi matematika pada bidang astronomi, optik dan mekanika.

Blaise Pascal Lahir pada tanggal 19 Juni 1623 di ClermontFerrand Meninggal pada tanggal 19 Agustus 1662. Seorang matematikawan dari Perancis, fisikawan, penemu, penulis, dan filsafat katolik. Menyusun makalah tentang kerucut. Menulis risalah singkat tentang apa yang disebut mystic Hexagram, Essai pour les coniques (Essay on Connics)

Philippe De La Hire Lahir pada tanggal 18 maret 1640 di Paris Meninggal dunia pada tanggal 21 April 1718 di Paris Seorang pelukis, namun akhirnya ia lebih tertarik pada Matematika (geometri) La Hire menulis buku metode grafis (1673), conic section (1685), sebuah risalah epicycloids (1694), roulettes (1702), dan conchoids (1708).

Pengertian pangkal geometri proyektifTitik Garis

Relasi insidensi

Definisi-definisi geometri proyektif Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis yang sama Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama disebut concurrent Complete quadrangle adalah himpunan dari empat titik, yang tiga diantaranya tidak collinear, dan enam garis insiden dengan masing-masing pasangan titik tersebut. empat titik tersebut disebut vertices (titik sudut) dan enam garis tersebut disebut sides (sisi) Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan jika titik insidennya tidak berpotongan pada kedua garis

Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan pada quadrangle Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices dan garis tersebut disebut sides (sisi) Pencil of points adalah himpunan dari titiktitik yang insiden dengan sebuah garis Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden dengan sebuah titik

Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif Terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden. Setiap garis insiden dengan minimal 3 titik berbeda. Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden hanya dengan 1 garis Jika A, B, C D adalah 4 titik berbeda sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD, maka AC memotong BD. Jika ABC adalah bidang maka terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada bidang tersebut. Dua bidang sebarang yang berbeda memiliki paling sedikit 2 titik potong tiga titik diagonal pada complete quadragle tidak pernah kolinear. Jika suatu proyeksi memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris, maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis tersebut adalah titik invarian.

Teorema-teorema dalam Geometri ProyektifTeorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan tepat satu titik. Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang memiliki paling sedikit satu titik potong. Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada garis BC maka A, B, dan C berbeda dan nonkolinear.

Teorema4 : sebuah garis dan sebuah titik di luar garis hanya termuat pada sebuah bidang Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik potong maka garis tersebut sebidang Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya adalah sebuah garis Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang tiga diantaranya tidak colinear Teorema 8 : (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden dengan minimal 3 garis berbeda

Teorema 9 : (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis berbeda insiden dengan tepat 1 titik. Teorema 10 : (dual aksioma 4) Jika a, b, c, d adalah 4 garis berbeda sedemikian hingga ab segaris dengan cd, maka ac segaris dengan bd. Teorema 11 : (dual aksioma 7) 3 garis diagonal pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren

Perspektif Elementary correspondence Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil of lines disebut Elementary correspondence jika setiap titik pada Pencil of points insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil of lines

Perspektivity Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut perspektivitas jika garis insiden dengan titik yang berkorespondensi dengan dua Pencil of points concurrent. Titik dimana garis tersebut berpotongan disebut center of the perspectivity

Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut perspektivitas jika titik perpotongan dari garis yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines collinear. Garis yang memuat titik yang berpotongan disebut axis of the perspectivity

Proyektif Proyektivitas adalah perluasan dari perspektivitas.

Kamera Pinhole