PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Disusun Oleh:

1. Devi Aprilia N.(120210102015)2. Defrin Yuniar K.S.(120210102027)3. Desi Rahmawati(120210102071)4. Rizka Hartami P.(120210102107)5. Iswatul Hasanah(120210102111)6. Widya Nur Imami(120210102121)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS JEMBER2014PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat didalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Secara umum, proses fisika yang bergantung pada dua atau lebih variabel bebas terumuskan dalam pernyataan persamaan diferensial parsial, disingkat PDP. Sebagai contoh, bila kita meninjau gelombang tali, besaran simpangan tali y dan rentangan setimbangnya, selain bergantung pada waktu t juga pada tempat peninjauannya, yakni kedudukan x bagian tali tertentu. Penerapan hukum kedua Newton memberikan persamaan diferensial parsial bagi simpangan y dalam variabel bebas x dan t.Pada pembahasan kali ini kita akan membahas beberapa jenis persamaan differensial parsial bagi sejumlah proses fisika tertentu, metode pemecahan, dan penafsiran fisika pernyataan fungsi pemecahannya. Pemecahannya akan lebih dititik beratkan fungsi pemecahan khususnya, yang memenuhi sejumlah syarat batas (bagi ruang) dan syarat awal (bagi waktu) yang diberikan dengan menerapkan metode pemecahan pemisahan varibel pada beberapa koordinat diantaranya koordinat kartesis, koordinat silinder dan koordinat bola.

1.1 Metode Sparasi Variabel untuk Penyelesaian PDP Secara UmumPenyelesaian PDP dengan metode pemisahan variabel, dapat diasumsikan bahwa bentuk solusi dari PDP dapat dipecah atau dipisahkan menjadi suatu hasil kali pada fungsi dari setiap variabel independen. Penyelesaian PDP dengan pemisahan variabel banyak digunakan dalam berbagai aplikasi misalnya dalam masalah perpindahan panas, getaran dan lain-lain. Metode variable terpisah sendiri merupakan metode penyelesaian persamaan diferensial parsial yang sering digunakan karena fleksibel, dan relatif mudah. Penyelesaian PDP dengan metode pemisahan variabel dapat dituliskan dalam bentuk :U = X . Y

dengan, X = X(x) ; Y = Y(y)sehingga :U(x,y) = X(x) Y(y)di mana X(x) dan Y(y) masing-masing adalah fungsi x dan y, yang kita akan coba tentukan. Karena alasan ini metode tersebut sering kali disebut metode pemisahan variabel.Contoh Soal1. Selesaikan PD Parsial

Dimana, Penyelesaian

Sehingga PDP menjadi : X(x) Y(y) = 4 X(x) Y(y)Atau,

Sehingga,

Karena,

Dari identitas diperoleh :C = 8 , k/4 = -3 k = -12

Jadi penyelesaian akhir PDP adalah :

Latihan Soal1. Selesaikan PD Parsial

Dimana, Penyelesaian

Sehingga PDP menjadi : X(x) T(t) + X(x) T(t) = X(x) T(t)Atau,

Sehingga,

Karena,

Dari identitas diperoleh :C = 4 , k - 1 = -3 k = -2

Jadi penyelesaian akhir PDP adalah :

1.2 Persamaan Perambatan GelombangPada pasal ini kita akan meninjau perambatan gelombang dalam medium 1-dimensi, yakni pada seutas dawai yang kedua ujungnya diikat, seperti pada senar gitar atau piano. Jika seutas tali (benang, senar gitar dan sebagainya) yang panjangnya L direntang sampai mencapai tegangan maksimum dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap di x = 0 dan x = L. PDP yang memenuhi fungsi gelombang y (x,t) adalah :

dengan

1.2.1 Solusi Persamaan Gelombang 1-Dimensi Persamaan gelombang dimensi satu yang menyatakan getaran senar yang direntangkan sejajar sumbu-x dengan panjang L dinyatakan oleh persamaan

Karena ujung-ujung dawai simpangannya nol maka kita mempunyai dua syarat batas yaitu

Bentuk gerakan dawai akan bergantung pada simpangan awal dan kecepetan transversal awal. Diandaikan simpangan awal adalah f(x) dan kecepatan transversal awal adalah g(x). Dengan demikian kita mempunyai dua syarat awal, yaitu a) Simpangan awal dengan . . . (3)b) Kecepatan transversal awal

karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam.Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan: . . . (5)Ke dalam persamaan (1) sehingga menghasilkan

Atau

Dengan k sebuah tetapan real positif. Penyelesaian persamaan differensial (6) berturut-turut adalah Pemecahan umumnya adalah :

Perhatian: Pada Pers. (6) kita memilih tetapan persamaan terpisahnya k2, karena alasan fisika, bahwa getaran dawai dinyatakan oleh fungsi cosinus dan sinus, ketimbang fungsi eksponensial real. Jika seandainya kita memilih tetapannya 2, maka syarat batas pada ujung tali di x = 1 hanyalah dipenuhi untuk = 0; jika 0 maka haruslah imajiner, atau 2 = k2, dengan k sebuah tetapan real positif seperti di atas.Dengan menerapkan syarat batas persamaan (2.a) : , kita dapati P = 0 sehingga pemecahan (7) menjadi : . . . (8)Di mana tetapan Q,R dan S setelah diserap di dalam tetapan A dan B. penerapan syarat batas (2.b) : , memberikan :

Sehingga pemecahan (8) menjadi : . . . (9)Tetapan An dan Bn ditentukan oleh kedua syarat awal persamaan (8). secara sederhana, kedua syarat awal ini berkaitan dengan cara bagaimana kita menyembunyikan dawai pada awalnya.Contoh Soal1. Tentukan persamaan defleksi (x,t) dari senar yang panjangnya dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,01 sin x), c2 =T/ =1.Penyelesaian :Persamaan Gelombang :

Syarat batas : (0, t) = (, t) = 0 ; t 0 Syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x ; 0 x L

PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :

Sehingga, PD menjadi : =

Persamaan differensial menjadi :

Untuk syarat batas : y (0,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat batas : y (,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x

Penyelesaian khusus PD : Latihan Soal1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,25 sin x), c2 =T/ =1.Penyelesaian Persamaan Gelombang :

Syarat batas : (0, t) = (, t) = 0 ; t 0 Syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x ; 0 x L

PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :

Sehingga, PD menjadi : =

Persamaan differensial menjadi :

Untuk syarat batas : y (0,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat batas : y (,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0,25 sin x

Penyelesaian khusus PD : 2. Tentukan defleksi (x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua ujungnya dipasang tetap, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi awalnya :

Penyelesaian :Persamaan differensial gelombang untuk syarat batas adalah : Selanjutnya dengan meninjau syarat awal pada kasus diatas Untuk syarat awal :

Sehingga persamaan diferensialnya menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = f (x)

Dengan koefisien An dapat dihitung melalui persamaan deret fourier sinus :

Substitusi An pada penyelesaian persamaan diferensial :

1.2. Pemecahan PDP dengan Metode Sparasi Variabel Koordinat Kartesis, Koordinat Bola dan Koordinat Silinder

1.2.1 Penyelesaian persamaan Laplace dalam berbagai koordinat1. Persamaan Laplace di dalam koordinat kartesianDapat dituliskan:

Dapat dituliskan penyelesaiannya dengan sparasi variabel :

Dapat dituliskan persamaan lain dalam bentuk diferensial:

Apabila penyelesaian komponen X, Y, dan Z dapat dituliskan:

Dengan penyelesaiannya selengkapnya dengan penurunan matematis dapat dituliskan:

2. Persamaan Laplace di dalam koordinat silinderPersamaan Laplace dalam koordinat silinder:

Dapat dituliskan penyelesaiannya:

Dibagi pada R, Z, persamaan Laplace di dalam koordinat silindris:

Menghasilkan variabel terpisah membentuk:

Karena antara satu suku dengan yang lain tidak bergantung satu sama lain:

Dapt dituliskan identik dengan persamaan diferensial:

Dengan mensubstitusikan n = x maka dapat dikenal sebagai Persaman Bessel:

Dengan metode Frobenius, dengan mencoba penyelesaian:

Dengan menentukan persamaan indisial:

Untuk k = m menghasilkan hubungan berurutan untuk koefisien:

Dapat diperoleh penyelesaian:

Dengan:

Dari persamaan 28 dikenal sebagai fungsi Bessel orde ke-m, apabila k = -m , kita dapat menuliskan J-m x dapat dituliskan persamaan lengkapnya:

Dengan demikian dapat diperoleh penyelesaian adalah sebuah deret:

3. Persamaan Laplace di dalam koordinat bolaPersamaan Laplace dalam bentuk bola adalah:

Dapat dituliskan penyelesaiannya:

Dibagi pada persamaan Laplace di dalam koordinat bola:

Yang harus berarti suku pertama ruas kiri sama dengan suatu tetapan K misalnya, dan sisa suku lainnya adalah K, suku pertama kita selesaikan dengan menulis :r2 = 0Yang menghasilkan persaman euler :r = ezMenghasilkan penyelesaian :R = Arn + Br-n-1untukn -R = A ln r + B r- untukn = - Dimana n = m1 yang akar persamaan karakteristik memenuhi :K = n n+1Adanya penyelesaian untuk S Menghasilkan persamaan dengan variabel terpisah : = m2Dengan penyelesaian persamaan 45 : = A cos m + A sin mserta :sin2 + cot n n + 1 = m2Dengan mensubtitusikan :u = cos Didapatkan : = = - sin serta = sin2 - cos Melalui perhitungan menghasilkan Persamaan Differensial Lagendre secara umum :1 u2 - 2u + n n + 1 - = 0Untuk m = 0 dinamakan persamaan diferensial Lagendre orde ke n, dengan menerapkan metode Frobensius, kita dapat mencoba penyelesaian : = a u+kDengan menentukan persamaan indisial :k k 1 = 0Untuk k = 0 menghasilkan hubungan berurutan untuk koefisien a :a = - a-2Dapat diperoleh penyelesaian : = a0 1 cos2 + cos4 + . a1 cos - cos3 + . = 0 + 1Dengan memperoleh persamaan 54 dengan menguji setiap komponen n baik pada 0 dan 1 :0 untuk n yang bernilai genap 1 untuk n yang bernilai ganjilDari ketentuan yang diperoleh oleh persamaan (55) dan (56) didapatkan :0 = a0 1- + = 1 yang berarti a0 = Sehingga :P4 cos = - cos2 + cos4Dengan demikian untuk m = 0 penyelesaian persamaan Laplace di dalam koordinat bola adalah : r,, = Anenz + Bne-nz Pn cos

1.2.2 Penyelesaian Persamaan Gelombang dalam Berbagai Koordinat :1. Persamaan Gelombang 2 Dimensi dalam system koordinat CartesianSecara umum persamaan gelombang dituliskan : = v22Dengan proses faktorisasi sparasi variabel : x,y,z. t = X x Y x Z x T tPersamaan gelombang dua dimensi di dalam system koordinat cartesian : = v2 + Dengan membaginya persamaan 61 dengan variabel X T diperoleh persamaan : = v2 + Dengan menuliskan ruas kiri sama dengan W2 serta suku pertama dan kedua ruas kanan sama dengan v2p2 dan v2q2 : = -w2 = -v2p2 = -v2q2Memiliki penyelesaian secara umum :T = A cos wt + B sin wtX = C cos px + D sin pxY = E cos qy + F sin qtPenyelesaian secara umum pada persamaan 66,67,68 tergantung syarat dan kondisi masing-masing persamman gelombang.2. Persamaan Gelombang dalam system koordinat sferis (bola)Merupakan gelombang yang memancar dari suatu titik sumber gelombang di dalam medium yang isotroop, sehingga medannya berbentuk permukaan bola, berarti amplitudonya adalah simetri bola (hanya tergantung pada jari dari titik pusat/sumber), sehingga dipakai koordinat sferis untuk menyelesaikan persamaan differensialnya.Secara umum persamaan gelombang dituliskan : = v2 r2Dengan proses faktorisasi sparasi variabel untuk menentukan penyelesaian : r, t = R t T tDengan proses faktorisasi sparasi variabel untuk menentukan penyelesaian :W2 = v2k2Persamaan differensialnya akan terpecahkan seperti : r, t = A cos kr + B sin kr C cos wt + D sin wtPenyelesaian pada persamaan 97 menunjukkan bahwasannya amplitude gelombang menurun dengan jarak yaitu berbanding terbalik dengan jarak r dari sumber gelombang.

2.1.3 Penyelesaian Persamaan Difusi dalam Berbagai Koordinat :Persamaan difusi sangatlah banyak dalam kehidupan masyarakat yaitu difusi debu dan gas difusi panas (konduksi panas).1. Persamaan Difusi dalam system koordinat Cartesian : = D + + Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian : x, y, z, t = e-at X x Y y Z zDengan mensubtitusikan persamaan 98 kepersamaan 99 : = + +Yang menghasilkan penyelesaian yang berbentuk :

Dengan :

Sehingga penyelesaian lengkapnya :

2. Persamaan Difusi dalam Sistem Koordinat Silindris :

Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian :

Dengan mensubtitusikan persamaan 82 ke 81 :

Dengan menuliskan :

Yang menghasilkan penyelesaian berbentuk :

Didapatkan persamaan :

Yang berarti masing-masing ruas harus sama dengan tetapan m2 misalnya ruas kiri sesudah disamakan dengan m2 merupakan persamaan Bessel yang penyelesaiannya diberikan oleh fungsi Bessel Jm x dengan :

Begitu pula untuk ruas kanan sama dengan m2 akan menghasilkan penyelesaian yang berupa fungsi harmonic.Sehingga penyelesaian lengkapnya :

1.3. Tinjauan Umum Bentuk PDP untuk Aliran Fluida