1 Analisis Statistika, 2011 UKURAN PEMUSATAN A.PENGERTIAN DAN JENIS- JENIS UKURAN PEMUSATAN Ukuran pemusatan atau nilai pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Jenis-jenis ukuran nilai pusat1.Rata-rata Hitung (Mean) 2.Median 3.Modus 4.Rata-rata Ukur Geometris 5.Rata-rata Harmonis 6.Bobot 1.MEAN (RATA-RATA HITUNG) Mean adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol dan rata-rata hitung dari sampel diberi simbol. Mencari rata-rata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus : a. Untuk data tunggalCara menghitung mean untuk data tunggal ialah sebagai berikut : 1.JikaX1,X2,...,XnmerupakannbuahnilaidarivariabelX,makarata-rata hitungnya sebagai berikut : nX X XnXXn+ + += = ...2 1 X= rata-rata hitung (mean) X = wakil data n = jumlah data Contoh : Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7,6,3,4,8,8 ? 2 Analisis Statistika, 2011 Penyelesaian : X = 7,6,3,4,8,8; n = 6; X = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36 Sehingga mean adalah :6636= = X 2. Jika nilai X1,X2,...,Xn masing-masing memiliki frekuensi f1,f2,...,fn maka mean adalah sebagai berikut : nn nf f fX f X f X fffXX+ + ++ + += =......2 12 2 1 1 Contoh soal : Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3,4,3,2,5,1,4,5,1,2,6,4,3,6,1 ? Penyelesaian : X1 = 3 maka f1 = 3 X2 = 4 maka f2 = 3 X3 = 2 maka f3 = 2 X4 = 5 maka f4 = 2 X5 = 1 maka f5 = 3 X6 = 6 maka f6 = 2 fX = (3 x 3) + (4 x 3) + (2 x 2) + (5 x 2) + (1 x 3) + (6 x 2) = 50 f = 3+3+2+2+3+2 = 15 Sehingga mean adalah :3 , 31550= = X 3. Jika f1 nilai yang memiliki mean m1, f2 nilai yang memiliki mean m2, ... dan fk nilai yang memiliki mean mk. Maka mean dapat dihitung sebagai berikut : kk kf f fm f m f m fffmx+ + ++ + += =......2 12 2 1 1 3 Analisis Statistika, 2011 b.Untuk data berkelompokUntukdataberkelompok,meandihitungdenganmenggunakan3metode yaitu metode biasa, metode simpangan rata-rata dan metode coding. 1.Metode Biasa=ffXXf = frekuensiX = titik tengah 2. Metode simpangan rata-rata+ =ffdM XM = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar) f = frekuensid = X - M X = titik tengah 3. Metode coding+ =ffux C M XM = Rata-rata hitung sementara(titik tengah frekuensi terbesar) C = Lebar kelasu = 0, + 1, + 2, . = d/C d = X - M 4 Analisis Statistika, 2011 Contoh : Tentukanrata-ratahitungdaritabeldibawahiniNilaiUjianStatistikdari80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Metode Biasa Metode Simpangan Rata-Rata Metode Coding Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)fXd = X - Mfdu = d/Cfu 31-40135.535.5-40-40-4-4 41-50245.591-30-60-3-6 51-60555.5277.5-20-100-2-10 61-701565.5982.5-10-150-1-15 71-802575.51887.50000 81-902085.5171010200120 91-1001295.5114620240224 806130909 a.Mean dengan metode biasa 625 , 76806130= = =ffXX b.Metode Simpangan Rata-Rata M = 75,5 625 , 7680905 , 75 = + = + =ffdM Xc.Metode Coding M = 75,5 C = 10 625 , 7680910 5 , 75 = + = + =xffux C M X 5 Analisis Statistika, 2011 2.MEDIAN Medianadalahnilaitengahdaridatayangadasetelahdatadiurutkan.Median disimbolkan dengan Me atau Md. Untuk Mencari Median dibedakan data tunggal dan data kelompok. a. Untuk data tunggal-Jika n ganjil maka21 +=nX Me-Jika n genap maka2222++=n nX XMeContoh : Tentukan Median dari data berikut : a.4,3,2,6,7,5,8 Jawab : Urutan data : 2,3,4,5,6,7,8 n = 7 (ganjil) maka5421 7= = =+X X Meb.11,5,7,4,8,14,9,15 Urutkan data : 4,5,7,8,9,11,12,14 n = 8 (genap) maka5 , 829 82 25 4 22 828=+=+=+=+X XX XMe b. Untuk data berkelompok||||.|

\|+ =fF np b Me21 Me = Median b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak. p= panjang interval kelas n = banyak data 6 Analisis Statistika, 2011 F= Jumlah frekuensi sebelum kelas-kelas median f= frekuensi kelas median Contoh : TentukanmediandariTabelNilaiUjianStatistikdari80mahasiswauniversitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X) 31-40135.5 41-50245.5 51-60555.5 61-701565.5 71-802575.5 81-902085.5 91-1001295.5 80 Penyelesaian : n = 80 maka40 ) 80 (2121= = n berarti terletak di kelas ke-5 b = 70,5 F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23 f = 25 sehingga median dari data diatas adalah : 3 , 772523 ) 80 (2110 5 , 70 =||||.|

\|+ = Me 7 Analisis Statistika, 2011 3.MODUSModus adalah nilai yang paling sering muncul. Modus sering disimbolkan dengan Mo.Sejumlahdatabisatidakmempunyaimodus,mempunyaisatumodus (unimodal),mempunyaiduamodus(bimodal),ataumempunyailebihdaridua modus(multimodal).UntukMencarimodusdibedakandatatunggaldandata kelompok. a. Untuk data tunggalModus dari data tunggal adalah data yang frekuensi terbanyak.

b.Untuk data berkelompok ||.|

\|++ =2 11b bbp b MoDimana : Mo = modus b= tepi bawah kelas modus b1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyab2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyap= panjang interval kelasContoh :TentukanmodusdariTabelNilaiUjianStatistikdari80mahasiswauniversitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X) 31-40135.5 41-50245.5 51-60555.5 61-701565.5 71-802575.5 81-902085.5 91-1001295.5 80 8 Analisis Statistika, 2011 Penyelesaian : Dari tabel diketahui bahwa kelas modus adalah kelas ke-5 b = 70,5 P = 10 b1 = 25-15 = 10 b2 = 25-20 = 5 sehingga17 , 775 101010 5 , 702 11=|.|

\|++ =||.|

\|++ =b bbp b Mo 4. RATA-RATA UKUR (RATA-RATA GEOMETRIS) Jikaperbandingansetiapduadataberurutadalahtetapatauhampirtetapmaka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Rata-rata ukur ada 2 yaitu untuk data tunggal dan data kelompok. a. Untuk data tunggal JikaseperangkatdataadalahX1,X2,X3,...,Xnmakarata-rataukurnya dirumuskan. nnX X X X G .... . .3 2 1= atau ( )nX X X XnG log ... log log log1log3 2 1+ + + + = Contoh : Tentukan rata-rata ukur dari 2,4,8,16,32 Penyelesaian : n = 5 8 32768 32 16 8 4 25 5= = = x x x x G Atau 9 Analisis Statistika, 2011 ( )8903 , 0 log32 log 16 log 8 log 4 log 2 log51log==+ + + + =GGG b. Untuk data berkelompok Untuk data berkelompok maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan : ( )=fX fGlog .log Contoh : Tentukanrata-rataukurdariTabelNilaiUjianStatistikdari80mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)Log Xf.Log X 31-40135.51.55021.5502 41-50245.51.65803.3160 51-60555.51.74438.7215 61-701565.51.816227.2436 71-802575.51.877946.9487 81-902085.51.932038.6393 91-1001295.51.980023.7600 80150.1794 ( )37 , 758772 , 1801794 , 150log .log== = =GfX fG Sehingga rata-rata ukur adalah 75,37 10 Analisis Statistika, 2011 Rata-rataukuruntukgejalapertumbuhanataukenaikandengansyarat-syarat tertentu,sepertipertumbuhanbakteri,pertumbuhanpenduduk,kenaikanbunga dapat dihitung dengan rumus : to tXP P||.|

\|+ =1001Keterangan : Pt = keadaan akhir pertumbuhan Po = keadaan awal atau permulaan pertumbuhan X= Rata-rata pertumbuhan setiap waktu t = satuan waktu yang digunakan Contoh Soal : Tentukanlajupertumbuhanrata-ratapendudukIndonesiajikapadaakhirtahun 1946 dan akhir tahun 1956 jumlah penduduk masing-masing 60 juta dan 78 juta ? Penyelesaian : Pt = 78 Juta Po = 60 Juta t= 10 tahun ( )66 , 20266 , 110013 , 110013 , 110011001 60 7810011011010== += +=||.|

\|+||.|

\|+ =||.|

\|+ =XXXXXXP Pto t 11 Analisis Statistika, 2011 5. RATA-RATA HARMONIS a.Rata-rata harmonis untuk data tunggal Rata-rata harmonis dari seperangkat data X1,X2,X3,...Xn dirumuskan : nX X X XnXnRH1...1 1 1 13 2 1+ + + += = Contoh soal : SiBberepgianpergi-pulangkekampusdengankendaraanmobil.Waktu pergiiamenggunakanwaktu40km/jam,sedangwaktukembali menggunakanwaktu30km/jam.Berapakecepatanrata-ratapergipulangsi B? Penyelesaian : jam km RH / 3 , 323014012=+= b.Rata-rata harmonis untuk data berkelompok Untuk data berkelompok, rata-rata harmonis dapat dihitung dengan rumus : =XffRHContoh : Tentukanrata-rataharmonisdariTabelNilaiUjianStatistikdari80mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)f/X 31-40135.50.0282 41-50245.50.0440 51-60555.50.0901 61-701565.50.2290 71-802575.50.3311 81-902085.50.2339 91-1001295.50.1257 801.0819 12 Analisis Statistika, 2011 Penyelesaian : 94 , 730819 , 180= = =XffRH C.HUBUNGANANTARARATA-RATAHITUNG,RATA-RATAUKUR, RATA-RATA HARMONIS Antaraketigarata-ratadalamukurannilaipusat,yaiturata-ratahitung,rata-rata ukur dan rata-rata harmonis terdapat hubungan : X G RH s s D. SIFAT-SIFAT RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Dalam memilih ukuran nilai pusat, sifat-sifat atau ciri-ciri dari masing-masing ukuran perludiperhatikan. Berikut ini sifat-sifat dari ketiga ukuran tersebut. 1. SIFAT-SIFAT RATA-RATA HITUNG Beberapa sifat rata-rata hitung, antara lain sebagai berikut : a.Nilai rata-rata hitung dipengaruhi oleh observasi atau pengamatan b.Nilairata-ratahitungdapatmenyimpangterlalujauh.Halinidisebabkan rata-ratahitungdipengaruhiolehbilangan-bilanganekstrem(nilaisangat besaratausangatkecil),sehinggauntukdistribusidengankecondongan yang jelek, rata-rata hitung dapat kehilangan makna. c.Rata-ratahitungtidakdapatdihitungdaridistribusiyangmemilikikelas terbuka. d.Rata-ratapalingseringdigunakandanpopuler,sehinggapenjelasan mengenai hitung sama dengan nol. e.Jumlahdaripenyimpangansemuanilaipengamatandengannilairata-rata hitung sama dengan nol f.Jikaselisihsemuapengamatandengannilairata-ratahitungdikuadratkan maka jumlahnya lebih kecil daripada jumlah penyimpangan kuadrat semua nilai pengamatan dari titik lain selain rata-rata hitung. 13 Analisis Statistika, 2011 g.Rata-rata hitung dapat dimanipulasi secara aljabar. 2.SIFAT-SIFAT MEDIAN Beberapa sifat median, antara lain sebagai berikut : a.Mediandipengaruhiolehbanyaknyaobservasiataupengamatan,namun tidakdipengaruhiolehnilaipengamatan,sehingganilaimediantidak dipengaruhi oleh bilangan-bilangan ekstrem. b.Median dapat dihitung dari distribusi yang memiliki kelas terbuka, kecuali jika kelas mediannya berada pada kelas terbuka tersebut. c.Medianseringdigunakanpadadistribusiyangmemilikikecondongan yang sangant jelek. d.Median didefinisikan dan diinterpretasikan. e.Medianlebihterpengaruholehfluktuasisampling,namunadakalanya untuk distribusi tertentu median lebih konstan terhadap fluktuasi sampling. f.Jumlah penyimpangan(tanda diabaikan) nilai-nilai dari median lebih kecil daripada jumlah penyimpangan nilai-nilai dari titik yang lain. g.Jikajumlahpenyimpangandarimediandikuadratkanmakajumlahnya lebih besar daripada jumlah penyimpangan kuadrat nilai-nilai dari rata-rata hitung. 3.SIFAT-SIFAT MODUS Beberapa sifat modus, antara lain sebagai berikut : a.Dalam seperangkat data, modus bisa tidak ada dan bisa lebih dari satu. b.Modus dapat ditempatkan pada distribusi yang memiliki kelas terbuka. c.Modustidakdipengaruhiolehbilangan-bilanganyangekstem,darisuatu distribusi. d.Letakmodusataunilaimodusyangsebenarnyasukarditentukan,karena itu kebanyakan hanya berdasarkan taksiran dalam suatu distribusi. e.Perhitungan modus tidak didasarkan pada seluruh nilai pengamatan, tetapi didasarkanpadaindividuyangberadapadatitiktempatterjadinya pemusatan yang terbanyak. 14 Analisis Statistika, 2011 f.Untukperhitungan-perhitungansecaraaljabarlebihlanjut,modustidak dapat digunakan. g.Modus tidak sepopuler ukuran rata-rata hitung atau median. E.HUBUNGAN RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat, yaitu rata-rata hitung, median, dan modus akan memberikan gambaran bentuk kurva datayang bersangkutan. Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat ialah sebagai berikut : 1.Jikarata-ratahitung,median,danmodusmemilikinilaiyangsamamaka kurvanyaberbentuksimetris.Padakurvasimetrissempurna,nilairata-rata hitung, median, dan modus terletak pada suatu titik di tengah-tengah absis dan ketiga-tiganya berimpit. 2.Jikanilairata-ratahitunglebihbesardaripadanilaimediandanlebihbesar daripadamodusmakakurvanyamencongkekanan,karenaujungnya memanjang ke arah nilai positif. Jadi, distribusi meruncing ke arah nilai tinggi. 3.Jikanilairata-ratahitunglebihkecildaripadanilaimediandanlebihkecil daripadanialimodusmakakurvanyamencongkekiri,karenaujungnya memanjang ke arah nilai negatif. Jadi, distribusi meruncing ke arah nilai yang rendah. Dalambentukgrafik,hubunganketiganilaitersebutdapatdilihatsepertidi bawah iniX = Me = Mo Mo Me X Mo Me X 15 Analisis Statistika, 2011 Jikadistribusinyatidakterlalumencong,hubunganrata-ratahitung,median, dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut. ) ( 3 mod Median ratahitung rata us ratahitung Rata = Atau ) ( 3 median ratahitung Rata ratahitung rata Modus = Contoh soal : TentukanmediandaridistribusifrekuensiberikutpadaTabel4.1jikadiketahui rata-rata = 67,18 dan modus= 66,375 Penyelesaian : 375 , 66 ; 18 , 67 = = Mo X81 , 0 ) ( 3 54 , 201375 , 66 18 , 67 ) ( 3 ) 18 , 67 ( 33 3) 3 ( 3 ) ( 3= = = = = MeMeMo X Me XMe X Mo X atau Me X Mo X 81 , 0 54 , 201 ) ( 3 = Me73 , 200 ) ( 3 = Me91 , 66 = Me ) ( 3 0 Me X X M =