UKURAN PEMUSATAN DATA DAN UKURAN UKURAN PEMUSATAN DATA DAN UKURAN LETAKLETAK

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

PENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUAN

UntukUntuk mendapatkanmendapatkan gambarangambaran yang yang lebihlebih jelasjelas

tentangtentang sekumpulansekumpulan datadata

data data ituitu disajikandisajikan dalamdalam tabeltabel dandan diagram, diagram, masihmasih

diperlukandiperlukan ukuranukuran--ukuranukuran yang yang merupakanmerupakan wakilwakil

kumpulankumpulan data data kumpulankumpulan data data

ukuranukuran pemusatanpemusatan data :data : rata-

rata hitung, rata-rata ukur, rata-

rata harmonis, modus, median

ukuranukuran letakletak ::

kuartil, desil dan

persentil

statistika deskriptif.

MEANMEANMEANMEAN

MeanMean daridari sekumpulansekumpulan bilanganbilangan adalahadalah jumlahjumlah bilanganbilangan--

bilanganbilangan dibagidibagi oleholeh banyaknyabanyaknya bilanganbilangan.. Dalam bahasa

Inggris, nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic

Mean atau sering dikenal dengan nama mean saja

Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol (baca: miu) dan

rata-rata hitung dari sample diberi simbol (baca: eks bar).

Secara umum rata-rata hitung ditentukan rumus berikut :

∑∑

n

xf .=x

ARTI MEAN/RATA-RATA

• RATA-RATA YANG NILAI MATEMATIKA DARI KELAS

Va ADALAH 25

• RATA-RATA ORANG INDONESIA ITU PENDEK-

PENDEK

• JADI , DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KATA

RATA-RATA ITU DIARTIKAN NILAI YANG ADA DI

SEKITAR

MEANMEANMEANMEAN

5

65432 ++++x

TentukanTentukan nilainilai ratarata--rata rata daridari data : 2,3,4,5,6 data : 2,3,4,5,6

JawabJawab ::

== == 44

BeratBerat paketpaket yangyang diterimaditerima oleholeh suatusuatu perusahaanperusahaan

selamaselama 11 mingguminggu tercatattercatat sepertiseperti padapada tabeltabel berikutberikut::

BeratBerat (kg)(kg) FrekuensiFrekuensi f.xf.x

55 66 3030

66 88 4848

77 1212 8484

88 44 3232

3030 194194

selamaselama 11 mingguminggu tercatattercatat sepertiseperti padapada tabeltabel berikutberikut::

=∑∑

f

xf .=x kg47.6

30

194=

RATARATARATARATA----RATA UKUR RATA UKUR RATA UKUR RATA UKUR

(GEOMETRIC MEAN)

Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hamper

tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata hitung,

apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data X1, X2, …, Xn maka

rata-rata ukurnya dirumuskan sebagai berikut:

nnXXXX ..... 321

G =n321

)log...log(log1

log 21 nXXXn

G +++=

nnXXXX ..... 321

7 )12)(10)(7)(6)(6)(5)(3(

=7 600.453 8081,0)6567,5(7

1453600log

7

1==

Contoh:

Tentukan ratarata ukur dari: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 !

Penyelesaian:

G =

Log G =

= 6,43

RATARATARATARATA----RATA HARMONIKRATA HARMONIKRATA HARMONIKRATA HARMONIK

Nilai rata-rata harmonik dari sekumpulan bilangan adalah

kebalikan dari nilai rata-rata hitungdari kebalikan bilanganyang

termasuk dalam kumpulan bilangan tersebut. Rata-rata harmonis

dari seperangkat data X1, X2, …,Xn dirumuskan:

nnH

1...

111+++

==

∑Example :

Tentukan rata-rata harmonis dari 4, 6, 7, 7, 8, 9, 13

Penyelesaian:

nXXXX...

21

+++∑

13

1

9

1

8

1

7

1

7

1

6

1

4

1

7

++++++

=

077,0111,0125,0142,0142,0166,0250,0

7

++++++=

91,6013,1

7==

MEDIANMEDIANMEDIANMEDIAN

MedianMedian daridari sekumpulansekumpulan bilanganbilangan adalahadalah bilanganbilangan yangyang

ditengahditengah--tengahtengah atauatau ratarata--ratarata bilanganbilangan tengahtengah setelahsetelah

bilanganbilangan--bilanganbilangan ituitu diurutkandiurutkan daridari yangyang terkecilterkecil sampaisampai yangyang

terbesarterbesar..

•• LetakLetak MeMe == datadata keke ––2

)1( +n

− Fn

1

•• NilaiNilai MeMe == bb ++ pp

KeteranganKeterangan ::

b = b = tepitepi bawahbawah kelaskelas medianmedian

p = p = panjangpanjang kelaskelas intervalinterval

F = F = frekuensifrekuensi total total sebelumsebelum kelaskelas MeMe

f = f = frekuensifrekuensi kelaskelas medianmedian

n = n = banyakbanyak data data

−

f

Fn2

1

MODUSMODUSMODUSMODUS

ModusModus daridari sekumpulansekumpulan bilanganbilangan adalahadalah bilanganbilangan yangyang

palingpaling seringsering munculmuncul atauatau nilainilai yangyang memilikimemiliki frekuensifrekuensi

terbanyakterbanyak ((terbesarterbesar))

MoMo == bb ++ pp

+ 21

1

dd

d

KeteranganKeterangan ::

b = b = tepitepi bawahbawah kelaskelas modusmodus

p = p = panjangpanjang kelaskelas intervalinterval

dd11 = = selisihselisih frekuensifrekuensi kelaskelas modus modus dengandengan frekuensifrekuensi kelaskelas

sebelumnyasebelumnya

dd22 = = selisihselisih frekuensifrekuensi kelaskelas modus modus dengandengan frekuensifrekuensi kelaskelas

sesudahnyasesudahnya

KUARTILKUARTILKUARTILKUARTIL

Nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah

terurut menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga jenis

kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan

kuartil atas (Q3). Kuartil kedua sama dengan median. Untuk

menentukan nilai kuartil caranya adalah: Susun data

menurut urutan nilainya, Tentukan letak kuartil, dan nilai

kuartil. Untuk letak kuartil dapat dicari dengan rumus:

• Q1 = nilai yang ke- ,i = 1,2,3

• Q I = Bi +

Keterangan

Bi = tepi bawah kelas kuartil,

n = jumlah semua frekuensi

o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil

C = panjang interval kelas

4

)1( +ni

( )C

f

ofin

Ki

i

.4∑−

CONTOHCONTOHCONTOHCONTOH SOALSOALSOALSOAL TUNGGALTUNGGALTUNGGALTUNGGAL

1. 1. DikDik data : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 data : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9

LetakLetak Me = data Me = data keke -- = data = data keke-- 6 6

NilaiNilai Me = 6 + (7Me = 6 + (7--6) = 6,56) = 6,5

Modus = 6Modus = 6

2. Tentukan kuartil dari data :

11, 4, 3, 8, 7, 6, 2, 10, 12, 14, 17 !

Penyelesaian :

2

)112( +2

1

2

1

Penyelesaian :

Data diurutkan : 2,3,4,6,7,8,10,11,12,14,17

n = 11, Q i= nilai ke i

Q 1 = nilai ke 1 = 3, yaitu 4

Q 2 = nilai ke 2 = 6, yaitu 8

Q 3 = nilai ke 3 = 9, yaitu 12

Modus = tidak ada.

4

)111( +

4

)111( +

4

)111( +

CONTOHCONTOHCONTOHCONTOH SOALSOALSOALSOAL KELOMPOKKELOMPOKKELOMPOKKELOMPOK

Nilai (X) Frekuensi (f)

90

85

75

65

60

55

40

2

3

3

4

4

7

2

TOTAL 25

Q1 = 135,5 + = 137,5

Q2 = 144,5 + = 146,75

Q3 = 153,5 + = 155,3

Modus ?

99

84

401

x

x−

912

174

402

x

x−

95

294

403

x

x−

DESILDESILDESILDESIL

Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data

terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis

desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2),…, desil kesembilan

(D9). Desil ke-5 (D5) sama dengan median. Desil-desil ditentukan

dengan jalan: Susun data menurut urutan,tentukan letak desil &

tentukan nilai desil.

Di = nilai ke , i = 1,2,…, 910

)1( +ni

Tentukan desil ke-4 (D4) dan desil ke-9 (D9) dari data berikut ini:

34, 36, 39, 40, 42, 44, 47, 51, 54, 60, 61, 65, 67

Penyelesaian:

D4 = data ke

= data ke 5,6, yaitu antara data ke-5 dan data ke-6 sebesar 0,6 jauh

dari data ke 5

= X5 + 0,6 (X6 – X5)

= 42 + 0,6 (44 -42)

= 42 + 1,2

= 43,2

10

10

)113(4 +

DESIL KELOMPOKDESIL KELOMPOKDESIL KELOMPOKDESIL KELOMPOK

Untuk data-data berkelompok, desil dapat dicari dengan

rumus berikut:

Di = Bi +

Keterangan:

Di = desil ke- i , i = 1,2,3,…, 9

( )C

f

ofin

Di

i

.10∑−

Di = desil ke- i , i = 1,2,3,…, 9

Bi = tepi bawah kelas desil ke-i

n = jumlah frekuensi

jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i

C = panjang interval kelas desil ke-i

fDi= frekuensi kelas desil ke-I

PERSENTILPERSENTILPERSENTILPERSENTIL

Persentil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan

data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama. Terdapat

sembilan puluh sembilan persentil, yaitu persentil pertama (P1),

persentil kedua (P2), …, dan persentil kesembilan puluh sembilan

(P99).Untuk data tunggal, menggunakan rumus:

P1 = nilai ke i = 1,2,…,99,100

)1( +ni1

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), menggunakan rumus:

Pi = Bi +

Keterangan:

Pi = persentil ke-I, Bi = tepi bawah kelas persentil ke-i

n = jumlah semua frekuensi i = 1,2,3, …, 99

0 = jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil

C = panjang interval kelas,

fpi = frekuensi kelas persentil

100

( )C

f

ofin

Pi

i

.100∑−

CONTOHCONTOHCONTOHCONTOH SOALSOALSOALSOAL

Berat (Kg) Frekuensi (f)

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

7

16

35

27

12

3

Jumlah 100

Untuk mencari persentil ke-37 terlebih dahulu dicari kelas

persentil ke-37 ,Dari Tabel di atas, diketahui:

n = 100, maka & Kls P37 adalah kls ke-3

B37 = 54,5 (tepi bawah kelas ke-3)

= 23, C = 5 = 35

P37 = 54,5 + 2 = 56,5

37)100(100

37=

( )o∑ 37f37Pf

535

23100

10037

x

x−

Persentil dari sekumpulan bilangan

adalah nilai yang membagi kelompok

bilangan tersebut atas 100 bagian yang

sama banyaknya setelah bilangan -sama banyaknya setelah bilangan -

bilangan tersebut diurutkan dari yang

terkecil sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobota. Data tunggal / berbobota. Data tunggal / berbobota. Data tunggal / berbobot

Letak Pi = data ke

dengan i = 1,2,…,99100

)1( +ni

Contoh :

Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7

Tentukan P20 dan P70