UKURAN LOKASI DAN

VARIANSI

MEAN:

Mean merupakan ukuran rata-rata dari data. Dua metode yang akan dibahas untuk menentukan rata-rata adalah rata-rata hitung dan rata-rata harmonik.

Rata-rata hitung

Merupakan pembagian antara jumlah nilai dari keseluruhan data dengan banyaknya data :

RUMUS-RATA-RATA HITUNG

Contoh 3.1 :

Apabila diketahui 5 orang istri tentara yang bekerja

dengan penghasilan yang bervariasi. Masing-masing

penghasilan (dalam rupiah) adalah 750.000, 800.000,

850.000, 900.000, 1000.000.

Berapa rata-rata penghasilan mereka ?

Jawab :

Sangat mudah menentukan rata-rata dari data tersebut,

yaitu :

= 860.000

Berdasarkan rumus di atas, dapat dikembang kan

apabila datanya berkelompok, menjadi:

1

1

k

i i

i

k

i

i

f x

x

f

dengan fI adalah

frekuensi dari data

ke i.

Contoh 3.2 :

Akan diteliti

banyaknya transaksi

dari 100 stan pada

suatu expo.

Diperoleh data

sebagai berikut :

No Banyak transaksi frekuensi

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

5

22

30

18

15

10

= 2,46

Contoh 3.3 :

Jika diketahui data Nilai Ebtanas Murni

(NEM) karyawan yang diterima bekerja di

PT. Maju Mapan. Carilah nilai rata-rata

NEM nya :

1

1

0.5+1.22+2.30+3.18+4.15+5.10

5+22+30+18+15+10

k

i i

i

k

i

i

f x

x

f

Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan

yang diterima bekerja di PT. Maju Mapan

No Kelas Interval Frekuensi

1

2

3

4

5

6

35 – 39

40 - 44

45 - 49

50 - 54

55 - 59

60 - 64

5

15

20

15

10

5

Maka dapat dicari rata-ratanya dengan terlebih dahulu membuat tabel

berikut :

No Kelas Interval Frekuensi (fi) Nilai tengah (xi) fi.Xi

1 2 3 4 5 6

35 - 39 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64

5 15 20 15 10 5

37 42 47 52 57 62

185 630 940 780 570 310

Jumlah 70 3415

Sedangkan rata-ratanya dicari dengan

menggunakan nilai tengah sebagai XI

untuk rumus di atas, yaitu :

1

1

341548,78

70

k

i i

i

k

i

i

f x

x

f

Apabila dipergunakan rata-rata duga, maka perumusan

rata-rata berubah menjadi:

.

1

0

1

k

i i

i

k

i

i

f U

x x p

f

Penjelasan :

Xo = salah satu harga titik tengah kelas (merupakan rata-rata duga)

p = panjang kelas interval

Ui = 0 jika = Xo

= 1,2,3, … untuk kelas di atas Xo

= -1,-2,-3, … untuk kelas di bawah Xo

Contoh 3.4 :

Dari contoh nilai NEM di atas, apabila dipergunakan rata-rata duga dengan nilai rata-rata duga adalah 47, maka :

Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang

diterima bekerja di PT. Maju Mapan

No Kelas

Interval

Frekuensi (fi) Ui Ui . fi

1 35 - 39 5 -2 -10

2 40 - 44 15 -1 -15

3 45 - 49 20 0 0

4 50 - 54 15 1 15

5 55 - 59 10 2 20

6 60 - 64 5 3 15

Jumlah 70 3 25

1

0

1

k

i i

i

k

i

i

f U

x x p

f

dengan : Xo = 47, p = 5

5.{5(-2)+15(-1)+15.1+10.2+5.3}47

70x

12547

70

48,78

x

x

Modus

Merupakan nilai atau data yang paling sering

muncul.

Untuk data berkelompok :

1

1 2

bMo b p

b b

Keterangan :

Dengan :

Mo = Modus

b = batas bawah kelas modus

b1 = beda frekuensi kelas modus dengan

kelas inteval yang mendahului

b2 = beda frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas interval berikutnya.

P = Interval/ panjang kelas modus

.

b = 44.5

p = 5

b1 = 20 - 15 = 5

b2 = 20 - 15 = 5

Mo = 44.5 + 5 {5/(5+5)}

Mo = 44.5 + 2.5

Mo = 47

Jadi data yang paling sering muncul atau modusnya adalah 47.

1

1 2

bMo b p

b b

Contoh 3.5 :

Dari data NEM di atas, berapa nilai yang paling

sering muncul (modusnya) ?

Jawab :

Kalau dilihat dari penyebaran datanya, maka

frekuensi tertinggi dan menyatakan kelas

interval yang paling sering muncul adalah 45 -

49 yaitu 20 kali. Dengan demikian, pastilah

modus dari data ini nantinya tidak akan bergeser

dari selang tersebut.

Dipergunakan rumus umum mencari modus

yaitu :

MEDIAN

Median merupakan nilai sentral dari sebuah distribusi frekuensi. Merupakan nilai sentral berhubungan dengan posisi sentral yang dimilikinya dalam sebuah distribusi,

Median membagi seluruh jumlah observasi atau pengukuran kedalam 2 bagian yang sama.

Untuk data yang berkelompok kelas yang mengandung median adalah kelas pertama untuk frekwensi komulatif menyamai atau melebihi setengah dari ukuran sampel (populasi)

MEDIAN

Merupakan setengah dari data, setelah

disortir dengan cara :

Susun data mulai yang terkecil

Jika banyak data ganjil, median adalah

yang paling tengah

Jika banyak data genap, median adalah

rata-rata data tengah

RUMUS YANG DIGUNAKAN

MEDIAN.... 1

(n/2) - F

= B + ----------------- X i

F m - F

Dimana :

B = Tepi kelas bawah dari interval dimana mediannya terletak

Fm = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan tepi kelas atas

dari interval dimana median dihitung.

F = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan B

n = nilai observasi

i = Interval kelas

RUMUS YANG DIGUNAKAN .....2

(n/2) - ( n - F' m)

md = A - -------------------------- X i

F' m - F'

Dimana :

A = Tepi kelas atas dari interval dimana mediannya terletak

F' m = Frekwensi komulatif yang sesuai dengan A

F' = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan

tepi kelas atas dari interval dimana median dihitung

i = Interval kelas

Hasil Ujian Statistik 111 orang

Mahasiswa FEUI 53,53 63,14 49,03 55,15 67,79

63,49 58,63 50,84 51,77 41,22

73,55 50,74 56,00 46,98 46,33

62,66 66,60 59,16 50,37 44,82

52,49 53,35 61,61 55,54 50,94

33,88 52,26 47,92 64,00 58,94

34,88 58,87 59,84 56,23 42,59

45,77 63,28 48,75 69,79 56,71

70,51 56,72 66,12 59,06 44,54

48,10 47,83 56,31 51,54 44,88

58,21 44,14 67,48 58,77 53,94

61,50 50,91 34,38 63,85 36,41

57,07 45,41 71,16 55,78 56,57

65,41 69,65 54,96 52,26 45,01

51,61 47,76 29,10 53,02 73,53

44,06 47,54 50,09 39,19 48,97

60,48 74,63 54,31 55,27 44,48

63,48 43,01 52,94 50,75 51,31

40,48 48,67 66,19 57,29 55,05

56,34 32,61 62,98 45,09 37,57

54,09 51,74 35,54 38,87 27,43

51,13 60,36 54,51 52,43 26,87

20,07

MEDIAN

Nilai Ujian mi fi mi. Fi Tepi Frekwensi

Kelas Komulatif kurang dari

19,995 0

20,00 - 29,99 24,995 4 99,980 29,995 4

30,00 - 39,99 34,995 9 314,955 39,995 13

40,00 - 49,99 44,995 25 1.124,875 49,995 38

50,00 - 59,99 54,995 48 2.639,760 59,995 86

60,00 - 69,99 64,995 20 1.299,900 69,995 106

70,00 - 79,99 74,995 5 374,975 79,995 111

Jumlah 111 5.854,445

X = 52,743

Tabel nilai Ujian 111 orang Mahasiswa yang mengikuti statistik FEUI

tahun 1967

HISTOGRAM FREKUENSI HASIL UJIAN STATISTIK

FEUI

0

10

20

30

40

50

60

x = NILAI UJIAN

Y =

J

UM

LA

H

MA

HA

SIS

WA

24,995

34,995

44,995

54,995

64,995

74,995

POLIGON FREKWENSI

KUMULATIF UJIAN STATISTIK

FEUI

0

20

40

60

80

100

120

X = NILAI MAHASISWA

Y =

JU

ML

AH

MA

HA

SIS

WA

14,995

24,995

34,995

44,995

54,995

64,995

74,995

MEDIAN

(111/2 - 38

= 49,995 + X 10

86 -38

= 49,995 + 3,645

= 53,640

PENENTUAN MEDIAN DARI DATA TERTINGGI KE TERENDAH

(111/2) – (111 – 86)

= 59,995 - X 10

86 -38

= 59,995 - 6,354

= 53,640

KUARTIL

Cara menghitung kuartir pada dasarnya sama

dengan menghitung median, secara teoritis Xi

yang ordinatnya membagi seluruh distribusi

kedalam empat bagian yang sama, dimana nilai-

nilai kuartil (Q1 merupakan kuartil pertama yang

nilai Xi memiliki frekuensi kurang dari sebesar

n/40.

Q1, Q2, dan Q3 pada dasarnya sama dengan

menghitung median.

Cara menghitung Q1

n/4 = 111/4 = 27,75

(111/4) - 13

Q1= 39,995 + X 10

38 - 13

= 45,895

Q2 = Median

3 n/4 = 83,25

83,25 – 38

Q 3 = 49,995 + X 10

86 -38

= 60,0512

PENGUKURAN DESIL

Desil nilai-nilai Xi yang membagi seluruh

luas segi empat panjang dari histogram

kedalam 10 bagian yang sama. D1

merupakan Desil pertama nilai Xi memiliki

frekwensi komulatif “kurang dari” sebesar

n/10

Pengukuran persentil

Persentil adalah nilai-nilai Xi yang membagi seluruh distribusi kedalam 100 bagian yang sama. P1 merupakan persentil pertama, dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar n/100

P 50 merupakan sentil ke 50 dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar 50 n/100

SOAL QUIS

Jika dikelompokkan nilai ujian Matematika I seluruh Kadet tingkat I yang berjumlah 150 orang dalam 6 kelas interval hasilnya adalah sebagai berikut :

No Kelas Interval Frekuensi

1 2 3 4 5 6

31- 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90

5 10 35 50 30 20

Carilah :

Mean

Modus

Median

Kuartil

Persentil pertama