TUGAS RESUME MRV II KELOMPOK I

DINA RISTININGTYAS (1307100033)

VINY MERLINDA HARDIANA (1309100005)

NIKE DWI WILUJENG (1309100027)

YAUMIL SEFRIANI AKHIR (1309100035)

Faktorisasi Matriks dan Matriks Norma

I. Pendahuluan

Dalam bab ini, kita melihat beberapa cara untuk mengekspresikan matriks A

dalam bentuk matriks produk lain yang memiliki struktur khusus atau bentuk

kanonik. Pada banyak aplikasi, seperti dekomposisi A mungkin mengungkapkan

kepada kita sebuah fitur kunci yang menarik bagi kita.

II. Dekomposisi Nilai Singular

Faktorisasi pertama yang dipertimbangkan, dekomposisi nilai singular, dapat

digambarkan sebagai yang paling berguna karena merupakan faktorisasi matriks dari

berbagai ukuran, dekomposisi berikutnya hanya akan berlaku untuk matriks persegi.

Teorema 4.1. Jika A adalah matriks m x n dengan rank r > 0, terdapat matriks

orthogonal m x m dan n x n matriks P dan Q, bahwa A = PDQ ' dan D = P'AQ, di

mana matriks D m x n diberikan oleh

(a) ∆jika r = m = n, (b) [∆ (0)] jika r = m < n,

(c )[ ∆(0)] jika r = n < m, (d) [ ∆ (0)

(0) (0)] jika r < m, r < n,

dan Δ adalah matriks diagonal r x r dengan elemen diagonal positif. Elemen diagonal

Δ2 adalah eigenvalue positif dari A'A dan AA '.

Bukti. Kita akan membuktikan hasil untuk kasus r < m dan r < n. Bukti dari

(a) - (c) hanya membutuhkan perubahan notational. Misal Δ2 adalah r x r matriks

diagonal yang elemen diagonalnya adalah r positif eigenvalue dari A'A yang identik

dengan eigenvalue positif AA 'dari Teorema 3,23. Δ menjadi matriks diagonal yang

elemen diagonalnya adalah akar kuadrat positif dari elemen-elemen diagonal dari Δ2

terkait. Sejak A'A adalah matriks simetris n x n, kita dapat menemukan sebuah n x n

matriks ortogonal Q sehingga,

Q’A’AQ = [ ∆2 (0)(0) (0)]

Partisi Q sebagai Q = [Q1Q 2 ], dimana Q1 adalah n x r, identitas di atas menunjukkan

bahwa

Q1’A’AQ1 = ∆2 (4.1)

dan

Q2’A’AQ2 = (0) (4.2)

Diketahui dari persamaan (4.2) berikut

AQ2 = (0) (4.3)

Sekarang misal P = [ P1 P2 ] , adalah m x m matriks orthogonal dimana m x r matriks

P1 = AQ1∆ -1 dan m x (m – r) matriks P2 adalah matriks lain yang membuat P

orthogonal. Akibatnya P’2P1 = P’2AQ1∆ -1 = (0) atau

P’2AQ1 = (0) (4.4)

Dengan menggunakan persamaan (4.1), (4.3), dan (4.4), kita dapat mengetahui bahwa

P’AQ = [P' 1 A Q1 P ' 1 A Q2

P' 2 A Q1 P ' 2 A Q2] = [∆−1Q '1 A ' AQ1 ∆−1 Q' 1 A ' AQ2

P '2 A Q1 P ' 2 A Q2]

= [∆−1∆2 ∆−1Q'1 A ' (0)

(0) P'2(0) ] = [ ∆ (0)

(0) (0)]Unsur-unsur diagonal Δ, yaitu akar kuadrat positif dari positif eigenvalue A’A

dan AA' yang disebut singular value dari A. Jelas dari bukti Teorema 4.1 bahwa

kolom Q merupakan ortonormal set dari eigenvektor dari A'A dan juga A'A =

QD'DQ. Penting untuk dicatat bahwa kolom P membentuk satu set eigenvektor

orthonormal AA' sejak AA' = PDQ'QD'P’ = PDD'P'.

Jika kita partisi lagi P dan Q sebagai P = [ P1 P2 ] dan Q = [Q1Q 2 ] di mana P1

adalah m x r dan Q1 adalah n x r maka dekomposisi nilai tunggal dapat dinyatakan

sebagai berikut.

Kesimpulan 4.1.1. Jika A adalah matriks m x n dari rank r > 0, lalu terdapat

matriks m x r dan n x r sebagai matriks P1 dan Q1, lalu P1’P1 = Q1’Q1 = I, dan A =

P1∆Q’1 dimana Δ adalah matriks diagonal r x r dengan elemen diagonal positif.

Cukup sedikit informasi tentang struktur matriks A dapat diperoleh dari

dekomposisi nilai tunggal nya. Jumlah nilai tunggal didapatkan dari rank A,

sedangkan kolom P1 dan Q1 adalah basis ortonormal untuk ruang kolom dan ruang

baris A masing-masing. Demikian pula, kolom P2 merupakan ukuran ruang null dari

A 'dan kolom Q2 ukuran ruang null A.

Teorema 4.1 dan kesimpulan 4.1.1. berkaitan dengan Teorema 1.9 dan

kesimpulannya, kesimpulan 1.9.1, dinyatakan sebagai akibat dari sifat dasar

transformasi. Hal ini mudah untuk diverifikasi bahwa Teorema 1.9 dan Kesimpulan

1.9.1 juga berkaitan dengan Teorema 4.1 dan Kesimpulan 4.1.1.

Contoh 4.1 , kita akan menemukan dekomposisi nilai tunggal untuk matriks 4 x 3

[2 0 13 −1 1−2 4 11 1 1

]Pertama, analisis eigen dari matriks

A’A = [ 18 −10 4−10 18 4

4 4 4]mengungkapkan bahwa eigenvalue 28, 12, dan 0 dengan terkait normalisasi

eigenvektor (1

√ 2,−1√ 2

, 0¿ ' ,( 1

√3,

1

√3,

1

√3) ' ,( 1

√6,

1

√6,−2

√6) ', masing-masing. Lalu

mahal tersebut menjadi kolom dari orthogonal matriks Q 3 x 3. Jelas, rank (A) 2 =

dan dua nilai tunggal A adalah √28dan √12. Jadi, matriks P1 4 x 2 diberikan oleh

P1 = AQ1∆−1 = [2 0 13 −1 1−2 4 11 1 1

][1

√ 21

√ 3−1√ 2

1√ 3

01

√ 3] [ 1

√ 280

01

√ 12] = [

1√ 14

12

2√ 14

12

−3√ 14

12

012

] Matriks P2 4 x 2 dapat menjadi matriks yang memenuhi P1’P2 = (0) dan P2’P2 = I2,

misalnya, kita dapat mengambil (1

√ 12,

1√ 12

,1

√ 12,−3√ 12

¿ ' dan (

−5√ 42

,4

√ 42,

1√ 42

,0¿ ' sebagai kolom dari P2. Kemudian dekomposisi nilai tunggal

dari A diberikan oleh

[1

√ 1412

2√ 14

12

1√ 12

−5√ 42

1√ 12

4√ 42

−3√ 14

12

012

1√ 12

1√ 42

−3√ 12

0] [√28 0 0

0 √12 00 0 00 0 0

] [1

√2−1

√20

1√3

1√3

1√3

1

√61

√6−2

√6]

Atau dalam kesimpulan 4.1.1

[1

√ 1412

2√ 14

12

−3√ 14

12

012

][√28 00 √12] [ 1

√ 2−1√ 2

0

1√ 3

1√ 3

1√ 3

]Kita bisa menentukan matriks P dengan menggunakan kolom yang merupakan

eigenvektor dari matriks

AA’ = [ 5 77 11

−3 3−9 3

−3 −93 3

21 33 3

]Namun, ketika membentuk P dengan cara ini, harus diperhatikan dekomposisi A = P1

∆’1 untuk menentukan tanda yang benar untuk masing-masing kolom P1 .

Dekomposisi nilai tunggal dari sebuah vektor sangat mudah untuk dibentuk.

Kita menggambarkan hal ini dalam contoh berikut.

Contoh 4.2. Misal x adalah m x 1 nonnull vektor. Dekomposisi nilai

singularnya akan menjadi bentuk

x = Pdq

dimana P adalah matriks orthogonal m x m, d adalah vektor m x 1 dengan komponen

pertama tidak nol, dan q adalah skalar yang memenuhi q2 = 1. Nilai tunggal dari x

didapat dari λ12 , dimana λ = x’x. Jika kita mendefinisikan x¿= λ

−12 x, perhatikan

bahwa x ' ¿ x¿ = 1, dan

xx’x¿ = xx’(λ−12 x) = (λ

−12 x)x’x = λ x¿

sehingga x¿adalah eigenvektor yang dinormalisasi dari xx' sesuai dengan positif

eigenvalue tunggal λ. Setiap vektor ortogonal untuk x* adalah eigenvektor dari xx’

yang sesuai dengan pengulangan eigenvalue 0. Jadi, jika d = (λ12 , 0 , …, 0¿' , q = 1,

dan P = [x¿,P2,…,Pm] setiap matriks ortogonal dengan x* sebagai kolom pertama ,

maka

Pdq = [x¿,P2,…,Pm] [ λ12

0⋮0

] 1 = λ12 x¿=x

seperti yang diperlukan.

Ketika A adalah m x m dan simetris, nilai-nilai tunggal A secara langsung

terkait dengan eigenvalue dari A. Ini mengikuti dari kenyataan bahwa AA’ = A2, dan

eigenvalue dari A2 adalah kuadrat eigenvalue dari A. Dengan demikian, nilai-nilai

tunggal A akan diberikan oleh nilai-nilai absolut dari eigenvalue dari A. Jika kita lihat,

kolom P adalah eigenvektor ortonormal A, maka matriks Q dalam Teorema 4.1

identik dengan P kecuali setiap kolom Q yang berhubungan dengan eigenvalue

negatif akan menjadi -1 kali yang sesuai dari P. Jika A adalah non-negatif definite.

Lalu nilai tunggal dari A akan sama dengan positif eigenvalue A dan kenyataannya,

dekomposisi nilai singular A adalah dekomposisi spektralari A akan dibahas pada bab

berikutnya. Hubungan antara eigenvalue dan nilai tunggal dari matriks simetris tidak

mengarah pada matriks persegi pada umunya.

Contoh 4.3. terdapat matriks 2 x 2

A = [ 6 6−1 1 ]

III. The spectral decomposition and square root matrices of a symmetric

matrix

Theorema 4.2

Diberikan sebuah matrik simetris A mxm dengan eigenvalue λ1,…,λm dan x1,

…,xm adalah sebuah bagian dari eigenvektor othonormal yang disebut degan

nilai eigen. Kemudian, jika Λ = diag (λ1,…,λm ) dan X= (x1,…,xm ) maka

A = X Λ X’

Theorema 4.3

Diberikan sebuah matrik A mxm. Matrik A tersebut adalah nonnegative

definite matrik. Kemudian terdapat sebuah matrik T segitiga bawah yang

mempunyai elemen nonnegative yaitu A = TT’.

Jika matrik A adalah definit positif, maka matrik T adalah uniqe dan

mempunyai elemen positif.

Theorema 4.4

Diberikan matrik A mxn, dimana m≥n. Ada sebuah matrik persegi nxn segitga

atas matrik R, dan matrik Q mxn memenuhi Q׳Q = In

Theorema 4.5

Diberikan sebuah matrik A mxm nonnegative definite matrik dengan

rank(A)= r. kemudian terdapat sebuah matrik B mxr yang mempunyai rank r,

sehingga A= BB’

IV. Diagonal Matrik Kuadrat

Definisi 4.1 matrik A dan B mxm dikatakan matrik sama jika ada matrik C

nonsingular seperti A=CBC−1.

Menurut teorema 3.2 (d) matrik similar mempunyai eigenvalue yang identik.

A=[0 10 0] B=[0 0

0 0 ]Lalu A dan B memiliki eigenvalue yang mirip sejak masing-masing bernilai 0 dengan

dikuadratkan 2.

Teorema 4.2 menjelaskan bahwa setiap matrik adalah sama untuk matrik diagonal.

Teorema 4.7 Matrik A mxm mempunyai eigenvalue λ1 …λm jikaΛ = diag(λ1…λm

) dan X=(x1 … xm) dimana (x1 … xm) adalah eigenvector dari korespodensi A untuk

λ1 …λm, kemudian X−1 AX=Λ

Teorema tersebut tidak cukup untuk diagonalisasi dari matrik kuadrat umum

Matrik kuadrat umum dengan beberapa matrik nonsimetris mempunyai eigenvalue

ganda yang sama dengan matrik diagonal.

Teorema berikut memberikan kondisi yang dibuthkan untuk matrik dengan

diagonalisasi.

Teorema 4.8 Misal eigenvalue λ1 …λm dari matrik A mxm yang terdiri dari n

A = QR

nilai yang berbeda μ1 … μn memiliki lebih dari satu ri …rh maka r1+…+rh=m.

Kemudian A mempunyai eigenvektor independen yang linier maka diagonalisasi

jika dan hanya jika rank ( A−μi I m )=m−r i untuk i=1,…h.

Pembuktian. Misal A adalah diagonalisasi maka notasi yang biasa digunakan

X−1 AX=Λ atau ekivalen dengan ¿ X Λ X−1 .

rank ( A−μi I m )=¿rank(X Λ X−1−μi I m ¿=rank ¿

μi mempunyai macam-macam ri , diagonal matrik ¿)yang punya m−r ielemen

diagonal yang tidak nol dengan syarat rank ( A−μi I m )=m−r i. Sebaliknya misalkan

rank ( A−μi I m )=m−r i.untuk i=1,…,h. Ini menyiratkan bahwa dimensi ruang kosong

( A−μi I m ) adalah m−( m−ri )=ri. Dan dapat ditemukan rivektor independen yang

linier yang memenuhi persamaan ( A−μi I m ) x=0.

Namun beberapa x adalah eigenvector dari korespondensi A untuk eigenvalue

μi. Akibatnya dapat ditemukan set dari ri gabungan eigenvector independen yang

linier dengan eigenvalue μi. Berdasarkan teorema 3.6 diketahui bahwa koresponden

eigenvector untuk eigenvalue yang berbeda adalah independen yang linier. Meskipun

demikian A adalah diagonalisasi. Pada bab 3 rank dari matrik simetri adalah sama

dengan angka pada eigenvalue yang tidak nol.

Teorema 4.9 Diketahui A matrik mxm. Jika A adalah diagonalisasi dan rank A

sama dengan angkan eigenvalue yang tidak nol dari A.

Contoh :

Diket: A,B dan C matrik 2x2

A=[1 14 1], B=[0 1

0 0 ], C=[1 10 1]

Matrik A didapatkan (λ−3¿ ( λ−1 )=0 maka eigenvalue λ=3−1. Eigenvalue ini

sederhana, A adalah diagonalisasi. Koresponden eigenvector dengan dua eigenvalue

x1=(1,2) dan x2=(1,-2) maka diagonalisasi dari A :

[ 12

14

12

−14

][1 14 1] [1 1

2 −2]=[3 00 −1]

Rank A=2 yang sama dengan angka eigenvalue yang tidak nol dari A . Persamaan

karakteristik b menghasilkan λ2=0 maka B punya eigenvalue λ=0 dengan

bermacam-macam r=2. Rank ( B− λ I 2 )=rank (B )=1 ≠0=m−r . B tidak akan

mempunyai 2 eigenvektor independen yang linier.

Persamaan Bx= λx=0 hanya memliki satu solusi independen linier untuk x dengan

nama bentuk vector (a,0). Maka b tidak diagonalisasi dengan catatan rank B=1 ini

lebih baik daripada yang memiliki eigenvalue λ=1dan r=2.

Dari persamaan (1− λ)2=0 matrik ini tidak diagonalisasi sejak rank

(C−λ I 2 )=rank (C−I 2 )=rank (B )=1 ≠ 0=m−r. Eigenvector lainnya dari C adlah

scalar ganda dari vector x=(1,0). Namun C tidak diagonal karena memliki rank dari 2

yang sama dengan nilaieigenvalue yang tidak 0.

Selanjutnya menunjukkan hubungan antara rank dan eigenvalue ≠ 0 dari matrik A

pada dimensi gabungan eigenspace dan eigenvalue 0.

Teorema 4.10 Diketahui matrik A mxm dan k dimensi gabungan eigenspace

dengan eigenvalue 0 jika 0 adalah eigenvalue dari A dan k=0 untuk yang lain.

Kemudian rank (A)=m-k.

Pembuktian. Dari teorema 2.21 diketahui rank (A)=m−dim {N ( A)} dimana N(A)

adalah 0 dari A . Tapi sejak 0 dari A terdiri dari semua vektor x , Ax=0. Terlihat N(A)

adalah sama dengan SA (0 ) dan hasilnya mengikuti.

Eigenvalue dengan angka tanpa 0 dari matrik A=rank A jika A similar dari matrik

diagonal. A menjadi diagonalisasi dengan kondisi cukup untuk hubungan antara rank

dan angka dari eigenvalue tanpa nol.

Corollary 4.10.1

Diket a matrik mxm dan m0 eigenvalue 0 . lalu rank A=angka dari eigenvalue tanpa

nol jika dan hanya jika,

dim{SA (0)}=m0

Contoh 4.8

Lihat contoh 4.7 B=[0 10 0 ], C=[1 1

0 1]Bukan diagonalisasi sejak yang lainnya memiliki1 gabungan eigenvector independen

linier dengan eigenvalue tunggal yang punya 2. Eigenvalue B=0.

Rank (B)=2- dim{SB(0)}=2-1=1

Yang lainnya sejak 0 bukan eigenvalue dari C, dim{SC(0)}=0dan rank dari C= angka

dari eigenvalue tidak nol yaitu 2.

V DEKOMPOSISI JORDAN

Faktorisasi berikutnya dari matrik A kuadrat adalah salah satu yang dapat dijelaskan

sebagai percobaan untuk mendapatkan matrik A similar namun jika tidak diagonal

namuhn mungkin juga diagonal ,kita ikuti definisi. Definisi 4.2 Untuk h>1, hxh

matrik Jh(λ) disebut MATRIK jORDAN