A. Perhitungan pada Segitiga Siku-Siku

Perhitungan pada segitiga siku-siku berarti menentukan unsur-unsur

(sudut,sisi) yang tidak diketahui pada segitiga siku-siku tersebut. Agar

perhitungan tersebut dapat dilakukan, maka haruslah diketahui dua sisinya atau

salah satu sisi dan sudutnya.

Contoh Soal:

1. Seorang anggota Pramuka berdiri 15 m dari kaki

sebuah pohon besar yang tumbuh tegak lurus,

seperti ditunjukkan pada gambar. Jika sudut

elevasi ke puncak pohon adalah 60o, berapakah

tinggi pohon tersebut?

Jawab:

Tinggi pohon dapat Anda hitung dengan menggunakan perbandingan

tangen

Tan 60o =

Sehingga

Jadi, tinggi pohon itu m.

2. Seseorang berjalan lurus dijalan yang datar kearah cerobong asap. Dari

lokasi A, ujung cerobong itu terlihat dengan sudut elevasi 30o. kemudian, ia

berjalan lurus lagi sejauh 20 m ke lokasi B. Dari lokasi B, cerobong asap

terlihat dengan sudut elevasi 60o. Jjika tinggi orang itu 1,6 m, tentukan

tinggi cerobong asap tersebut?

60o

T

?

E

D

D

A1B1

1,6m

30o 60o

A 20 m

B

Jawab:

i) Sebelumnya, Anda harus dapat menjelaskan karakteristik masalah

tersebut.

Karena data yang diketahui adalah sisi di depan dan sisi di dekat sudut

sehingga masalah yang dihadapi berkaitan dengan tangen tersebut.

ii) Selanjutnya, tentukan besaran-besaran yang akan dirancang sebagai

variabel. Dapat ditentukan variabel-variabel antara lain sudut A1, sudut

B1, jarak TE, jarak A1E, jarak B1E, dan jarak ED.

iii) Rumuskanlah model matematika untuk masalah tersebut.

Perhatikan B1ET (siku-siku di E)

(*)

Perhatikan

(**)

Langkah selanjutnya adalah menentukan penyelesaian dari model

matematika tersebut.

Samakan TE pada (*) dan (**) sehingga diperoleh

Substitusikan ke dalam (**) sehingga diperoleh

iv) Tafsirkan solusi yang anda peroleh. Tinggi cerobong adalah jarak TE

ditambah jarak ED, yang merupakan tinggi orang tersebut. Sehingga,

tinggi cerobong

TD = TE

TD = 10 + 1,6

TD = 17,3 + 1,6 = 18,9 m

3. Sebuah bidang miring dengan panjang 1,6 m digunakan untuk memasukkan

barang ke dalam pesawat terbang. Jika bidang miringnya membentuk sudut

23o terhadap tanah, berapa panjang dasar bidang miring?

Jawab:

i. Diketahui sudut A, hipotenusa, dan sisi di dekat A. Oleh Karena itu,

Anda dapat menggunakan perbandingan kosinus.

ii. A = 23o, hipotenusa = 1,6 m dan .

iii.

iv.

v. Jadi, panjang dasar bidang miring adalah 1,4728 m.

B. Membuktikan Identitas Trigonometri

Pada bagian terdahulu, Anda telah mengenal persamaan trigonometri

berikut.

Persaman-persamaan ini berlaku bagi semua nilai peubah (variabel) A.

Oleh karena itu, persamaan ini disebut identitas trigonometri. Dalam bagian ini,

akan dibuktikan beberapa identitas trigonometri dengan menggunakan kedelapan

identitas dasar.

Untuk memudahkan dalam membuktikan identitas trigonometri, perlu

diberikan penuntunnya, seperti berikut.

1. Identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan dua cara.

a. Cara 1

Jika ruas kiri persamaan lebih kompleks, persamaan ruas kiri tersebut

yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas

kanan. Sebaliknya, jika ruas kanan persamaan lebih kompleks,

persamaan tersebut yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang

sama dengan ruas kiri.

b. Cara 2

Penyelesaian ruas kiri dan kanan persamaan dilakukan secara terpisah

sehingga diperoleh suatu bentuk yang sama.

2. Penyederhanaan persamaan dicari peluangnya dengan cara memfaktorkan,

menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan, faktor kuadrat suatu

binomial, atau menciptakan suatu faktor yang sama pada pembilang dan

penyebut suatu pecahan.

3. Carilah peluang untuk menggunakan kedelapan identitas dasar. Lalu,

catatlah perbandingan trigonometri yang ada dalam pernyataan akhir yang

diinginkan.

4. Jika petunjuk tidak menolong, ubahlah semua pernyatan ke dalam bentuk

sinus dan kosinus.

Contoh Soal

Jawab:

Persamaan ruas kiri diubah menjadi bentuk ruas kanan.

Latihan Soal

1. Seorang sopir telah mengendarai mobil sepanjang 200 m pada suatu jalan

raya mendaki. Jalan tersebut membentuk sudut 30o terhadap horizontal.

Berapakah ketinggian sopir pada jarak tersebut?

2. Dua jalan lurus berpotongan, membentuk sudut 75o. Sebuah mobil yang

menempuh salah satu jalan berada 1.000 m dari titik persimpangan.

Tentukan jarak terpendek yang harus ditempuh mobil itu jika ingin menuju

ke jalan lainnya?

3. Heti mengamati puncak pohon dari dua tempat yang berbeda. Ketika Heti

berada di A, ia mengamati puncak pohon dengan sudut elevasi 60o. Ketika

berada di B, ia mengamati puncak pohon tersebut dengan sudut elavasi 30o.

Jika tinggi Heti = 1,5 m, berapakah tinggi pohon tesebut?

4. Sudut elevasi dari kaki ke puncak gunung memiliki ukuran 60o. Diketahui

sebuah lift ski dari kaki ke puncak unung memiliki panjang 600 meter.

a. Berapa tinggi gunung tersebut?

b. Jika pemandangan ini muncul pada sebuah televisi, dan panjang lift ski

pada layar adalah 15 cm, tentukan sudut elevasi yang akan muncul pada

layar televisi?

c. Tentukan tinggi gunung pada layar?

5.

P S

h

Seorang pengintai pada suatu balon yang tingginya h (dari permukaan datar)

melihat parit pertahanan P dengan sudut terhadap garis mendatar dan

melihat senapan S dengan sudut terhadap garis mendatar. Tentukan jarak

senapan mesin S dengan parit pertahanan P (nyatakan dalam h dan

perbandingan trigonometri untuk sudut dan )!

6. Buktikan identitas trigonometri berikut!

a.

b.

c.

d.

7. Jika , buktikan bahwa , kemudian tentukan nilai sec

A, tan A, dan sin A dalam k!

C. Fungsi dan Persamaan Trigonometri

Grafik fungsi Trigonometri

Grafik y = sin x untuk

Fungsi y = sin x

Mempunyai harga maksimum, yaitu

Mempunyai harga m inimum, yaitu

y = -1 atau

Memotong sumbu X di x = k.180o, k

Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o

Grafik y = cos x untuk

Grafik y = tan x untuk

Contoh Soal

Jika F(x) = 5 sin + 2 mempunyai maksimum dan minimum maka nilai ab ?

Jawab:

Fungsi y = cos x

Mempunyai harga maksimum, yaitu

y = 1 atau

Mempunyai harga minimum, yaitu

y = -1 atau

Memotong sumbu X di x = 90o k.180o, k

Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o

Fungsi y = tan x

Mempunyai range (jelajah) yaitu

Memotong sumbu X di x = k.180o, k

Merupakan fungsi yang periodik dengan periode 180o

Jika sin x = sin α atau sin x = sin A , maka

atau

atau

(x dan A satuannya rad)

Maka

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

a. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α, untuk atau

Dengan mengingat rumus sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) =

sin α, maka diperoleh:

b. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α, untuk atau

Dengan mengingat rumus cos (− α) = cos α dan cos (α + k. 360°) = cos α,

diperoleh:

c. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α, untuk atau

Dengan mengingat rumus tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) =

tan α, maka diperoleh:

Jika cos x = cos α atau cos x = cos A, maka

atau

atau

(x dan A satuannya rad)

Jika tan x = tan α atau tan x = tan A, maka

(x dan A satuannya rad)

Contoh Soal

1. Jika x memenuhi 2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan , maka cos x =

Jawab:

2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan

(2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0

2 sin x – 1 = 0

2 sin x = 1

sin x =

x =

2. Tentukan HP dari

Jawab:

(tidak memenuhi)

Jadi, HP = {

Latihan soal

1. Jika f(x) = 2 sin2x, maka fungsi f memenuhi selang?

2. Jika ,

maka a + b?

3. Fungsi , mempunyai nilai maksimum a

dititik a + b?

4. Tentukan semua peubah x dalam selang atau

yang memenuhi persamaan berikut

a. 2 sin x cos x = cos x

b. 3 tan2x – 2 tan x = 0

c. 2 sin3x = sin 2x

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

untuk

D. Aturan Sinus

Untuk segitiga sebarang ABC yang sisi-sisinya a, b, san c serta panjang

jari-jari lingkaran luarnya r, s berlaku hubungan berikut.

Contoh Soal

1. Masalah disini persis sama seperti Contoh soal 2 hanya dalam contoh ini

tinggi cerobong asap ditentukan menggunakan aturan sinus.

Jawab:

(i) Masalah dapat dikategorikan dalam dua tahap, yaitu penentuan

panjang BT, kemudian menggunakan panjang BT untuk mencari

panjang TE dan TD. Penentuan panjang BT dapat digunakan aturan

sinus. Menghitung TE dapat menggunakan perbandingan sinus dalam

.

Atau

CB

A

O

r

r

T

?

E

D

D

A1B1

1,6m

30o 60o

A 20 m

B

(ii) Variabel-variabel yang akan digunakan antara lain

dan TD.

(iii) Rumuskan model matematika untuk masalah tersebut

…………………(1)

………(2)

………………………(3)

………………………….(4)

………………………(5)

(iv) Tentukan solusi dari model matematika tersebut

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

meter

(6) Jadi, tinggi cerobong asap itu adalah 18,9 meter

2.

Sebuah danau akan diukur panjangnya (lihat

gambar). Untuk itu, ditetapkan suatu garis acuan AB yang sebidang dengan

permukaan danau dan panjangnya 135 m. diperoleh besar sudut A dan B

adalah 42,5o dan 125,4o. Berapa panjang danau tersebut?

Jawab:

Terlebih dahulu dicari besar sudut C dalam sebagai berikut.

Selanjutnya, panjang danau dapat dihitung dengan menggunakan aturan

sinus.

Jadi, panjang danau itu adalah 435,1 meter.

E. Aturan Kosinus

Misalkan ABC suatu segitiga sebarang maka berlaku hubungan berikut

Contoh soal

1. Sebuah kapal berlayar ke timur sejauh 96 km, kemudian berbelok dengan

arah 075o. setelah menempuh 128 km pada arah ini, berapa jauh kapal

tersebut dari titik berangkatnya semula?

utara

128 km96

km

AA

C

BA

B

CAb

c a

danau

125,4o

42,5o

d135

CB

Jawab:

Sketsa perjalanan kapal tersebut diilustrasikan seperti pada gambar.

Sebelum menentukan panjang AC dengan aturan kosinus, terlebih dahulu

harus dicari besar sudut B dengan cara berikut.

Dengan menggunakan aturan kosinus pada diperoleh

= 222,12 kmJadi, jarak kapal dari titik berangkatnya semula adalah 222,12 km.

2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari masing-masing 2, 5, dan 8 satuan

panjang bersinggungan satu sama lain (lihat gambar). Tentukan besar

ketiga sudut yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan pusat-

pusat lingkaran tersebut?

Jawab:

Perhatikan pada gambar tersebut.

Panjang tiap sisi ABC adalah

Besar salah satu sudut, misalnya sudut A dapat ditentukan dengan aturan

kosinus sebagai berikut.

C

BA

Selanjutnya, sudut B dan C dapat dihitung dengan aturan sinus

0,989

F. Luas Segitiga

Luas suatu segitiga sebarang sama dengan setengah dari hasil kali dua sisi

dengan sinus sudut apitnya. Untuk sebarang, rumus umum segitiga ini

dapat dinyatakan oleh persamaan berikut.

Contoh soal

1. Pada bidang empat beraturan ABCD dengan panjang sisi a, jika M adalah

titik tengah BC dan tentukan nilai luas Jawab:

B

C

A

b

a

c

r

A

D

C

BM

a

a

a

a

2. Tentukan luas segienam beraturan jika jari-jari lingkaran luarnya adalah 4

cm.

Jawab:

Segienam beraturan identik dengan 6 buah segitiga beraturan (segitiga

samasisi). Luar segitiga dapat dihitung dengan rumus umum luas segitiga

karena dua segitiga dan sudut apitnya diketahui.

cm3.

cm3.

Latihan soal

1. Poros engkol sebuah mesin memiliki panjang 5 cm dan batang penghubung

AB memiliki panjang 21 cm. tentukan ukuran jika ukuran

adala 5o?

21 m

BC

A

5o5 cm

2. Untuk mengukur sebuah gunung, seorang pengamat menggunakan skema,

seperti pada gambar berikut.

Dia mula-mula berada di A dan mengamati gunung dengan sudut elevasi

45o. dia berjalan menjauhi gunung dan berhenti di B yang berjarak 600

meter dari A. di B, dia sekali lagi mengamati gunung dengan sudut elevasi

37o. jika kaki gunung berada 1.800 m di atas permukaan laut, berapa tinggi

gunung diatas permukaan laut?

3. Sebuah perahu sedang berlayar ke timur (sejajar dengan garis pantai)

dengan kelajuan 21 km/jam. Pada suatu saat tertentu, arah perahu ke menara

mercusuar adalah 118o dan 20 menit, kemudian arahnya adalah 124o

(perhatikan gambar)

Tentukan jarak perahu, d, dari garis pantai, jika

menara mercusuar terletak pada garis pantai?

4. Sebuah jembatan panjangnya 260 m. Suatu titik

pada permukaan air tepat berada di bawah

jembatan. Jika titik itu dipandang dari ujung

B A600 m

Kaki gunung

d

118o 124o

Garis pantai

Menara mercusuar

S

TBB

U

69,2o 65,2o

h

260 m

jembatan, memberikan sudut depresi seperti ditunjukan pada gambar.

Berapakah tinggi jembatan dari permukaa air?

5. Garis bagi sudut A dalam segitiga ABC memotong sisi si seberangnya di

titik D, seperti ditunjukana pada gambar. Jika BD = x dan CD = y,

gunakanlah atura sinusdalam kedua segitiga untuk menunjukkan bahwa

!

6. Sebuah segitiga samasisi terdapat dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari

10 cm. Tentukan keliling segitiga tersebut?

7. Sebuah Derek ditunjukkan pada gambar berikut.

Hitunglah panjang BC?

8. Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran yang

berjari-jari 10 cm, 5 cm, dan x cm. Tentukan x!

9. Dalam

a. Tunjukkan bahwa !

1,5 mA B

C

10 m

A

CB D

bc

x y

b. AD adalah salah satu garis tinggi, yaitu garis yang ditarik A tegak lurus

terhadap BC. Jika AD= , tentukan x!

10. Nilai

11. Tentukan luas sebuah heptagon yang titik-titik sudutnya terletak pada suatu

lingkaran yang berjari-jari 20 cm!

12. Diketahui jari-jari lingkaran luar segitiga PQR adalah . Jika

, tentukan panjang PQ!

13. Di dalam suatu lingkaran dibuat suatu segitiga samasisi, seperti ditunjukkan

pada gambar.

a. Tentukan nilai perbandingan antara luas yang diarsir dan luas

lingkaran!

b. Jika luas lingkaran = 600 dm2, tentukan luas segitiga!

14. Dua sisi sebuah segitiga adalah 8 m dan 7 m dan luasnya m2. Dengan

menggunakan Rumus Heron, tentukanlah panjang sisi yang ketiga!

15. adalah suatu segitiga samakaki dengan AB = AC = 1, dan sudut BAC

= a. dengan menentukan luas segitiga dalam dua cara tunjukkan bahwa sin 2

a = 2 sin a cos a. untuk nilai a berapakah pertanyaan tersebut berlaku!

1

1

2