teori geometri non-euclidean riemann · pdf file232 /geometri riemann teorema pada geometri...

/Geometri Riemann 230

BAB 9

TEORI GEOMETRI NON-EUCLIDEAN RIEMANN

Beliau lahir di perkumpulan pedagang di Saint

Petersburg, Rusia. Georg adalah anak tertua dari 6

bersaudara, Ia juga berbalkat seni. Garis keturunan Cantor

dari ayahnya bermula dari Copenhagen. Ayah Cantor, Georg

Woldemar Cantor, yang dulunya bersekolah di Saint

Peterburg adalah seorang anggota “ Saint Peterburg Stock

Exchange”. Ketika dia sakit, keluarganya pindah ke Jerman

pada tahun 1856, di Wiesbaden lalu Frankfurt. Ayahnya

meninggal pada tahun 1863.

Penelitian Cantor di,mulai dari keahliannya di

matematika terutama dalam hal Geometri oleh karena itu

pada tahun 1862, Cantor memmutuskan untuk bersekolah di

Institut pokiteknik Federal di Zurich, ETH Zurich. Pada

tahun 1863, dia menghabiskan waktu belajar di Universitas

Berlin dan di tahun 1866 di Universitas Gottingen. Tahun

1867 dia menyelesaikan tesisnya di Berlin dengan

mengambil sebuah penelitian tentang teori bilangan.

Teorema Cantor menyatakan secara tidak langsung

yaitu bilangan terhingga dari tak terhingga. Teori Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Cantor ( 3 Maret 1845 – 6 Januari

1918) adalah seorang matema

tikawan Jerman. Dia pencetus

teori himpunan terkemuka. Cantor

mencetuskan teori tentang kores

pondensi satu–satu, penjelasan

tentang himpunan bilangan tak

hingga dan urutan himpunan,

pembuktian bahwa bilangan real

lebih banyak dari pada bilangan

asli.

Geometri Riemann/ 231

tentang bilanagn ini mendapat banyak perlawanan dari

teman sebayanya yaitu Leopold Kronecker, Henri

Poincare,hermann Weyl dan L. E. J. Brouwer sedang

Ludwig Wittgenstein mengembangakan pilosofinya.

Beberapa Tologian Kristiani melihat Teori Cantor seperti

ketidakterbatasan mutlak dalam kekuasaan Tuhan, yang

hampir sama dengan Panteisme. Namun di lain pihak

Poincare justru mengangap bahwa teori tersebut merupakan

ancaman bagi matematika dan Kronecker secara pribadi da

golongan menyebut Cantor sebagai Dukun Ilmuwan.

Wakaupun medapat perlawana dari beberapa pihak, Cantor

tidak pernah putus asa, Dia terus maju dan berkembang

sampai akhirnya dia mendapat penghargaan dari dunia

Internasional p[ada tahun 1904, yaitu dari Royal society of

London. Dia memdapatkan mendali perak dan honor yang

tinggi.

Ketika Bolyai dan Lobachevsky berhasil

menantang postulat kesejajaran Euclid,

matematikawan terdorong membangun teori geometri

non-Euclide lain. Yang pertama dan yang sangat

terkenal dirancang oleh Riemann ada tahun 1854. Toeri

Riemann bertentangan dengan postulat kesejajaran

Euclid dengan mengasumsikan prinsip-prinsip berikut:

Postulat Kesejajaran Riemann. Tidak terdapat garis

sejajar

Teori Riemann tidak hanya meninggalkan

postulat kesejajaran Euclid tetapi juga meninggalkan

postulat lain. Sebagaimana yang telah kita lihat bahwa

garis sejajar itu ada, tanpa mengasumsikan sebarang

postulat kesejajaran, (bab 2, teorema 2, corollary 3);

selanjutnya keberadaan garis sejajar itu merupakan


teorema pada geometri netral. Dengan kata lain

postulat Riemann, yang menyatakan tidak terdapat

garis sejajar, tidak konsisten dengan postulat geometri

netral. Akibatnya, kita harus menemukan postulat-

postulat geometri netral yang mana yang berkenaan

dengan adanya garis sejajar, lalu menghapusnya dari

daftar kita.

Prosedur utama untuk melaksanakannya adalah

menganalisa bukti keberadaan garis sejajar untuk

melihat pada sifat-sifat mana bukti tersebut

bergantung. Dengan meninjau sekilas pada

pembuktian, kita lihat bahwa bukti tersebut mengikuti

secara langsung sifat berikut:

(A) Dua garis saling tegak lurus pada garis yang sama

adalah sejajar (bab 2, teorema 2, corollary 1).

Sifat (A) merupakan konsekuensi langsung dari

teorema sudut eksterior, jadi kita harus menentukan

teorema sudut eksterior bergantung pada postulat

mana. Tetapi pembuktian teorema sudut eksterior

kompleks dan melibatkan penerimaan secara tersirat

akan sifat-sifat grafik dari suatu diagram. Akibatnya

sangat sulit menentukan sifat-sifat penting mana yang

dimaksud. Akan tetapi, terdapat alternatif pembuktian

sifat (A) yang sederhana dan tidak memerlukan

teorema sudut eksterior. Kita menyajikannya dan

menganalisanya untuk memperoleh sifat-sifat yang

penting tersebut.

Teorema 8.1

Dua garis yang saling tegak lurus pada garis yang

sama adalah sejajar.


Diberikan. Dua garis berbeda L dan M yang saling

tegak lurus pada garis N (gambar 4.14(a)).

Buktikan: L sejajar dengan M.

Bukti:

Andaikan L sejajar dengan M merupakan

pernyataan yang salah. Maka L dan M akan

berpotongan pada titik C Misalkan L, M memotong

N masing-masing di A, B.

Pernyataan Alasan

Perpanjang CA

melalui A hingga

C‟ dengan CA =

AC‟

Panjang ruas garis dapat

digandakan

Tarik garis C‟B Dua titik menentukan

suatu garis

'ABCABC s, sd, s

'ABCABC Bagian-bagian yang ber-

sesuaian

Dengan demikian 'ABC merupakan sudut

siku-siku karena ABC merupakan sudut

siku-siku; dan BC dan BC‟ saling tegak lurus

dengan AB

BC dan BC‟ garis

yang sama

Hanya terdapat satu

garis tegak lurus

terhadap suatu garis

yang diberikan melalui

A B

N

L M

A

B

C’

C

N

L M


titik pada garis yang

diberikan tersebut

Dengan demikian C dan C‟ adalah titik

persekutuan AC dan BC atau L dan M.

Karena itu L dan

M yang sama

Dua titik menentukan

suatu garis

Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa L dan M

merupakan garis yang berbeda. Dengan demikian

pengandaian kita salah dan teorema berlaku.

Jika postulat kesejajaran Riemann

dipertahankan, teorema ini harus diabaikan begitu

saja. Dengan demikian kita harus membuang (selain

postulat kesejajaran Euclid) satu dari prinsip yang

digunakan dalam pembuktian. Tentu saja kita ingin

mempertahankan sifat-sifat yang berkenaan dengan

segitiga yang konruen dan garis tegak lurus – kita akan

bermain-main dengan sifat ini. Kita akan menganalisis

pembuktian dengan sifat-sifat ini dalam benak kita.

Titik kritisnya kelihatan ada pada langkah 6, yakni L

dan M adalah garis yang sama karena memiliki dua

titik persekutuan yang berbeda. Langkah ini (juga

pembuktian) akan gagal jika C dan C‟ dua titik yang

sama (berimpit). Bagaimana mungkin kedua titik itu

berimpit? Sama saja dengan menanyakan bagaimana

kita tahu kalau kedua titik itu berbeda. Titik kritis

dalam pembuktian ini tidak dibuktikan secara formal,

tetapi kelihatannya ditentukan melalui gambar.

Dapatkah kita menentukan prinsip geometri yang

membenarkan pernyataan tersebut?

Untuk menjawab ini, ingat bahwa Euclid secara

tersirat mengasumsikan bahwa setiap garis membagi

bidang menjadi dua bagian yang berbeda. Lebih tepat

dinyatakan sebagai berikut: Jika diberikan garis L, titik-


titik pada bidang yang tidak terletak pada garis L

membentuk dua bangun atau himpunan

titik, disebut tepi/sisi garis. Sisi-sisi ini tidak

mempunyai titik persekutuan, dan memiliki sifat

bahwa setiap garis yang suatu titik pada satu sisi

dengan titik pada sisi yang lain memotong L. Dengan

memandang sifat “membagi” ini, konstruksi pada

langkah 1 dari pembuktian (memperpanjang CA

melalui A hingga C‟ , dengan CA = AC”) menjamin

bahwa C dan C‟ berada pada sisi yang berlainan dari

N, dan dengan demikian merupakan titik yang

berbeda. Tanpa sifat membagi ini tidak ada yang

membenarkan bahwa C berbeda dengan C‟, dan

pembuktian gagal. Ini menunjukkan bahwa kita dapat

menyusun teori geometri Riemann dengan

menghilangkan postulat yang berbunyi setiap garis

membagi bidang.

Jika anda merasa bahwa membuang prinsip

membagi itu terlalu berat, kita dapat atur untuk

mempertahankannya asal saja kita membayarnya

dengan mengorbankan sesuatu yang lain. Jika prinsip

membagi diterima, C dan C‟ haruslah titik-titik yang

berbeda. Tetapi kita masih dapat menghindari

kontradiksi pada langkah 6, jika kita membuang

prinsip yang menyatakan bahwa dua titik menntukan

sebuah garis, dan mengijinkan dua garis berpotongan

di dua titik. Pada pandangan awal ini mungkin terlihat

sebagai bayaran yang berlebihan, tetapi mengarahkan

kepada teori geometri yang menarik dan lebih

sederhana.

Ringkasan


Ada dua teori geometri yang mengasumsikan

postulat kesejajaran Riemann. Yang pertama, setiap

garis berpotongan tepat di satu titik, tetapi tidak ada

garis yang membagi bidang. Yang kedua, dua garis

berpotongan tepat di dua titik, dan setiap garis

membagi bidang. Teori-teori ini masing-masing

disebut, geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik

ganda. (Istilah „tunggal‟ dan „ganda‟ menunjukkan sifat

titik potong dari dua garis pada geometri tersebut; dan

istilah „eliptik‟ digunakan untuk menghaluskan sesuai

dengan pengklasifikasian yang didasarkan pada

bangunan geometri dimana geometri Euclid dan

Lobacevsky disebut parabolik dan hiperbolik).

Tidak berarti bahwa Riemann memperkenalkan

teori geometri yang benar-benar berbeda yang

membangun sifat-sifat ruang secara luas dengan

meneliti sifat jarak antara titik yang berdekatan. Teori

ini disebut geometri Riemann, berguna dalam

matematika terapan dan fisika, dan merupakan dasar

matematis dari teori umum relativitas Einstein.

A. Garis Sebagai Gambar Tertutup

Dalam dua geometri eliptik ini sifat lain yang

familiar dan penting yang juga dibuang, yaitu bahwa

suatu garis merupakan gambar terbuka yang tak

terbatas yang dibagi menjadi dua bagian (sinar atau

setengah garis) oleh setiap titiknya.

Pertama-tama perhatikan geometri eliptik

tunggal. Dengan menguji situasi yang ditunjukkan

oleh gambar 4.14(b) dalam pembuktian teorema yakni,

bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang

sama adalah sejajar, kita lihat bahwa jika teori dari

geometri eliptik tunggal berlaku secara keseluruhan,


titik C‟ harus berimpit dengan titik C. Sehingga dengan

memperpanjang CA sepanjang dirinya sendiri ke C‟

kita akan kembali ke titik C. Dengan kata lain, kita

telah melalui keseluruhan garis CA yang terdiri dari

ruas garis CA dan perpanjangannya. Akibatnya, suatu

garis dipandang sebagai suatu bangun yang tertutup.

Hal ini sesuai dengan sifat bahwa satu titik tidak dapat

membagi garis menjadi dua bagian, tetapi dua titik

dalam suatu garis membagi garis tersebut menjadi dua

ruas garis, dan dengan demikian dua titik menentukan

dua ruas garis, bukan satu ruas garis, sehingga kedua

titik itu merupakan titik akhir persekutuan.

Konsepsi dari garis ini dapat digunakan dalam

geometri eliptik ganda dengan cara berikut. Misal

diberikan garis L dan misal A titik di L Misal M tegak

lurus garis L di A. Kemudian L dan M bertemu di titik

lain sebut B. Apapun konsep kita tentang garis, maka

A dan B haruslah menjadi titik akhir dari suatu ruas

garis, paling sedikit yang dimuat oleh garis L. Misal S

sebuah ruas gari yang menghubungkan A dan B,

dimuat dalam L. Karena M membagi bidang dan M

memotong L tepat di dua titik, S haruslah (selain titik

akhir) semuanya berada pada salah satu sisi M.

Selanjutnya kita ingin menunjukkan bahwa

setiap titik di L pada sisi M yang diberikan terletak

pada S. Konsep garis kita menuntut bahwa setiap titik

di L yang tidak terletak pada ruas garis S harus terletak

pada perpanjangan S melewati satu dari titik akhir A

atau B.

A B

S L

M


Tetapi jika S diperpanjang melewati A atau B, garis L

akan memotong M, dan memasuki sisi M

berseberangan dengan S. Dengan demikian sebarang

titik yang terletak di garis L pada sisi M yang sama

dengan S, pasti terletak pada garis S, dan kita

simpulkan bahwa S merupakan bagian L pada sisi M

yang ditentukan.

Kita mungkin akan memberi pendapat bahwa

ada ruas garis S‟ yang bersesuaian, yang termuat

dalam garis L, serta menggabungkan A dan B pada sisi

lain dari M dan merupakan bagian L pada sisi M yang

lain itu. Untuk ini, ingat kembali ide pokok dari

geometri bidang Euclid (lebih tepat lagi dalam

geometri netral) yakni bahwa sebarang bangun F dapat

dicermainkan (secara tegak lurus) terhadap suatu garis

tertentu untuk menghasilkan bangun F‟ yang simetris.

Kita ingin teori kesimetrian ini dipertahankan dalam

geometri eliptik ganda. Jadi akan ada suatu bangun S‟

yang simetris dengan ruas garis S, yang

menghubungkan A dan B pada sisi M yang

berseberangan dengan S. Karena S adalah ruas garis,

maka S‟ juga merupakan ruas garis. Karena S tegak

lurus terhadap M di titik A maka S‟ juga tegak lurus

dengan garis M di titik yang sama. Karena S dan S‟

merupakan ruas garis yang tegak lurus terhadap garis

yang sama pada titik yang sama, maka kedua garis

tersebut harus terletak pada satu garis, dengan kata

lain, S‟ termuat di L. Dengan argumen pada paragraf

terakhir maka sebarang titik di L pada sisi M yang

sama dengan S‟ pasti terletak pada S‟. Kita simpulkan

bahwa L dibentuk oleh ruas garis S dan S‟. Dengan

demikian kita dapat menerima bahwa garis


merupakan bangun yang tertutup, seperti dalam

geometri eliptik tunggal.

B. Representatif Pada Bola Euclide

Pada kesan pertama geometri eliptik mungkin

terlihat sebagai teori geometri yang aneh, tetapi kita

dapat menyajikannya dengan tepat menggunakan

konsep Euclid. Penyajian ini meliputi geometri bola

Euclide dan secara khusus sederhana untuk geometri

eliptik ganda. Berikut daftar tabel beberapa konsep

dasar geometri eliptik ganda dan representasi yang

bersesuaian pada bola Euclide.

Geometri Eliptik

Ganda

Representasi Euclide

Titik Titik pada bola S

Garis Lingkaran besar pada S

Bidang Bola S

Ruas garis Busur dari lingkaran besar

pada S

Jarak antara dua

titik

Panjang busur terpendek

lingkaran besar pada S yang

menghubungkan dua titik

Sudut (dibentuk

oleh dua garis)

Sudut pada bola (dibentuk

oleh dua lingkaran besar)

Besar sudut Besar sudut pada bola


Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann

dipenuhi dengan representasi ini: setiap dua garis

(lingkaran besar) berpotongan, dan sesuai fakta tepat

di dua titik. Lebih lanjut, postulat membagi juga

dipenuhi, karena setiap lingkaran besar membagi bola

menjadi dua belahan setengah bola. Contoh, equator

membagi globe menjadi belahan utara dan selatan

setingga setiap busur dari lingkaran besar yang

menghubungkan sebuah titik pada satu belahan

dengan titik pada belahan lain memotong equator.

Akhirnya perhatikan bahwa setiap garis merupakan

bangun tertutup.

Hati-hati terperangkap dalam pemikiran bahwa

geometri eliptik ganda Riemann adalah geomteri bola

Euclide dengan nama baru, sehingga kita hanya

menyebut lingkaran besar sebagai garis, sebuah busur

dari lingkaran besar sebagai ruas garis. Sangat

berlawanan. Riemann telah menyediakan teori abstrak

yang baru tentang bagaimana sifat-sifat garis. Kita

mungkin berkata, teori baru tentang garis lurus

bertentangan dengan teori Euclid dalam beberapa hal.

Sebagai akibatnya, garis Riemann tidak dapat disajikan

dengan tepat sebagai garis pada bidang Euclid, dan

sungguh tapat kalau garis Riemann disajikan dengan

sebagai lingkaran besar pada bola Euclid.

A B

B’ A’


Representatif dari geometri eliptik tunggal

diturunkan dari geometri ganda dengan alat yang lebih

pintar. Lingkaran besar pada bola tidak mewakili

dengan tepat garis pada geometri eliptik tunggal,

karena dua lingkaran besar selalu berpotongan di dua

titik yang berseberangan menurut diameternya. Untuk

mengatasi kesulitan ini, misalkan kita memandang

bahwa dua titik yang berseberangan pada bola adalah

sama. Atau kita dapat mengatakan, ditentukan bahwa

sebarang titik dengan titik yang berseberangan

dengannya adalah sama. Maka kita dapat

mempresentasikan geometri eliptik tunggal sama

seperti kita mempresentasikan geometri eliptik ganda.

Dengan demikian garis pada geometri eliptik tunggal

disajikan dengan lingkaran besar (dengan kesepakatan

bahwa titik yang berseberangan sama). Sebuah ruas

garis disajikan dengan busur minor dari lingkaran

besar (karena busur mayor atau setengah lingkaran

sudah mewakili garis). Untuk menentukan jarak antara

dua titik yang diwakili oleh A dan B, ingat bahwa A

dan A‟ yang berseberangan dengannya mewakili titik

yang sama, begitu juga halnya dengan B dan B‟

(gambar 4.17). Dengan begitu jarak yang dimaksud

adalah panjang dari busur minor terkecil antara busur

AB, busurAB‟ (atau equivalent dengan busur minor

busur A‟B, busur A‟B‟). Sudut dan besar sudut

disajikan seperti dalam geometri eliptik ganda.

Perhatikan bahwa dalam penyejian ini,

sebagaimana dalam penyajian terdahulu, garis adalah

bangun tertutup dan postulat kesejajaran Riemann

dipenuhi. Tetapi sekarang, karena titik yang

berseberangan telah ditentukan sama, dua garis

berpotongan hanya di satu titik. Demikian juga


ternyata postulat, dua titik menentukan sebuah garis,

dipenuhi. Lebih lagi, tidak sulit melihat bahwa postulat

membagi gagal (tidak dipenuhi).

C. Kritik

Anda mungkin merasa bahwa dasar dari

penyajian geometri eliptik tunggal menentukan bahwa

sebuah titik sama dengan titik di seberangnya – tak

kokoh. Anda boleh berargumen: Jika memang identik

tidak perlu menetapkannya demikian, jika berbeda

maka tidak mungkin untuk menetapkannya demikian.

Kelihatannya tidak mungkin untuk menjawab

pendapati ini. Tanpa mencoba untuk menjawabnya,

mari kita periksa masalah penyajian geometri eliptik

tunggal dan melihat apa yang mengarahkan kita untuk

memperkenalkan ide penetapan tersebut. Titik pada

eliptik tunggal tidak disajikan dengan satu titik unik

pada bola, seperti titik pada eliptik ganda. Kita harus

membayangkan bahwa titik itu diwakili sama baiknya

oleh salah satu dari pasangan titik yang berseberangan

menurut diameternya. Tetapkita menginginkan setiap

titik pada eliptik tunggal memiliki penyajian yang

unik. Inilah yang mendorong kita untuk menyetujui

bahwa pasangan titik yang berseberangan pada bola

itu ditetapkan sama, dan dengan demikian

memasukkan kita dalam keulitan di atas. Dapatkah

kita menentukan penyajian yang unik untuk titik pada

geometri eliptik tunggal? Sangat mudah, asalkan kita

tidak menggunakan ide bahwa titik pada geometri

eliptik tunggal harus disajikan dengan titik pada bola.

Kita hanya menyajikan titik dari geometri eliptik

tunggal dengan satu pasangan titik, yang terdiri atas

dua titik yang berseberangan pada bola. Tentu saja


penyajian dari garis, bidang, ruas garis harus

dimodifikasi agar sesuai. Sebagai contoh, sebuah garis

disajikan dengan himpunan dari pasangan titik yang

berseberangan yang dimuat dalam lingkaran besar.

Akibatnya, ini membenarkan yang sebelumnya, secara

intuitif penyajian yang lebih sederhana dengan

menempatkannya pada dasar yang tidak dapat

disangkal secara logis. Perhatikan bahwa saat kita

mengambil dua titik berseberangan A dan A‟ dan

membentuk pasangan (A, A‟), kita telah

mengkonstruksi satu kesatuan tunggal dari dua unsur,

yang mungkin diuraikan dalam pengertian tertentu,

sebagai proses menentukan dua titik sama.

D. Penyajian Dari System Matematika

Sebelumnya kita melanjutkan pembahasan

mengenai geometri eliptik kita akan menyediakan

beberapa garis-garis terhadap ide umum tentang

penyajian system matematika. Penyajian geometri

eliptik dalam geometri Euclide mungkin kelihatan

sepele atau sesuatu yang terisolasi, seperti membuat

foto dengan lensa yang menyimpang, tetapi

pandangan ini belum dibenarkan. Kita harus

memperkenalkan penyajian ini agar geometri eliptik

yang lebih diterima dan memberikan gambar grafik

dalam terminologi yang lebih dikenal dari teori yang

tidak dikenal (dan yang diuraikannya tidak lengkap).

Tetapi dugaan atas penyajian dari sebuah system

matematika ke dalam bentuk lain adalah ide intrinsic

yang penting dari matematika modern. Dengan

mempertimbangkan bahwa geometri eliptik ganda dan

geometri Euclides adalah teori yang bertentangan,

mengejutkan bahwa setiap sifat dari geometri eliptik


ganda selalu dapat digambarkan dengan sifat yang

berkorespondensi dari geometri bola Euclide. Ini

mengindikasikan hubungan timbal-balik yang dlam

antara geometri eliptik ganda dan geometri Euclid,

yang mungkin kelihatannya tidak mungkin. Perlu

dicatat bahwa geometri Lobachevski juga selalu dapat

disajikan dalam geometri Euclidian.

Sekali kita telah menetapkan penyajian dari

sebuah system matematika dalam bentuk yang lain,

kita dapat menginterpretasi dalil-dalil dalam bentuk

sebelumnya dengan menggunakan dalil yang

berkorespondensi pada bentuk yang kedua dan

dengan demikian menghasilkan cara pandang yang

lebih mendalam ke dalam masing-masing sistem

daripada yang dapat diperoleh dengan

mempelajarinya secara terpisah. Proses mempelajari

suatu sistem melalui representasinya ini bukanlah

sesuatu yang benar-benar tidak dikenal. Belajar tentang

geometri analitik (Euclidean) didasarkan pada

penyajian geometri Euclidean dalam sistem bilangan

real yang menggambarkan sifat-sifat titik dan garis

dalam geometri dengan sifat-sifat aljabar yang

berkorespondensi mengenai pasangan berurutan

bilangan real (x, y) dan persamaan linear ax + by + c =

0.

Dalam bab 5 kita akan menghadapi masalah

konsistensi dari geometri non Euclidean,

menggunakan penyajian mereka dalam geometri

Euclidean.

E. Kesulitan-Kesulitan Yang Terdapat Dalam

Perlakuan Formal Teori Riemann


Merupakan keberuntungan jika kita dapat

menampilkan suatu perlakuan formal dari teori

Riemann dibandingkan dengan perlakuan formal yang

telah dibuat untuk teori Bolyai dan Labachevsky.

Namun hal itu tidak mungkin. Terdapat banyak

kesulitan yang membuat perlakuan pengenalan dasar

tidak memungkinkan. Ingat bahwa semua hasil yang

dikenal pada geometri netral dapat digunakan sebagai

dasar pada geometri Lobanchevsky. Kekongruenan

Euclid yang terkenal, sifat grafis dan sifat membagi

tetap dipertahankan, dan hanya postulat kesejajaran

yang diubah. Pada teori Riemann titik dan garis sangat

berbeda dibanding dengan geometri netral. Seperti

yang telah kita lihat (bagian 10) sebuah garis

merupakan bangun tertutup dan dua titik pada garis

itu membagi garis menjadi dua ruas garis. Sulit untuk

mendefinisikan sudut, karena kita tidak mempunyai

pengertian tentang sinar dan setengah garis seperti

pada geometri Netral. Bahkan pertanyaan tentang

rumusan definisi segitiga yang sesuai juga merupakan

masalah. Sebaai contoh misal A, B, C adalah tiga titik

tidak segaris dan misalkan AYCAXC , adalah dua ruas

garis dari garis AC yang ditentukan oleh titik A dan C

(gambar 4.18). Kemudian jika BCAB, , dan AXC

membentuk segitiga, apakah kita juga dapat

memandang BCAB, , AYC sebagai segitiga? Jika bisa,

apakah prinsip sisi-sudut-sisi tetap valid? Dalam

geometri Euclid atau Lobachevski kesulitan seperti ini

tidak muncul, karena segitiga-segitiga yang berbeda

tidak mungkin memiliki titik sudut yang sama. Dalam

geometri eliptik tunggal kemungkinan yang

membingungkan lainnya juga ada. Karena sebuah


garis tidak membagi bidang, apakah segitiga membagi

bidang? Apakah mungkin segitiga memiliki titik

interior?

Kesulitan-kesulitan ini dapat dipecahkan.

Faktanya, dengan adanya representasi bola dari

geometri eliptik memberikan sebuah petunjuk penting

untuk memecahkan kesulitan-kesulitan itu. Akan

tetapi diskusi kita menunjukkan bahwa perlakuan

formal dari geometri eliptik memerlukan studi

pendahuluan yang cermat mengenai sifat-sifat grafis

dari titik dan garis, dan hakekat dari sudut dan

segitiga. Kajian tersebut sepertinya diluar dari

pembahasan buku ini, dan kita akan menyimpulkan

bahwa pengantar teori Riemann di sini dengan suatu

diskusi informal mengenai beberapa sifat-sifat penting.

F. Sifat-Sifat Kutub Dalam Geometri Eliptik Bidang

Dalam geometri bidang eliptik (seperti dalam

geometri bidang Euclid dan Lobachevskian) hanya

terdapat satu garis tegak lurus terhadap suatu garis

tertentu melalui satu titik yang diketahui, jika titik

tersebut berada pada garis. Akan tetapi jika titik itu

tidak berada pada garis, maka sifat ini mungkin tidak

berlaku, karena setiap dua garis yang tegak lurus pada

garis yang sama harus berpotongan. Sifat tersebut

gagal dengan cara yang agak menarik, merupakan

A Y C X

B


kekhasan dari geometri eliptik, yakni: untuk setiap

garis L terdapat sebuah titik kutub P sedemikian

hingga semua garis yang melalui P tegak lurus

terhadap L, sebagaimana halnya semua lingkaran

besar pada globe yang melalui kutub utara tegak lurus

terhadap equator.

Untuk melihat mengapa ini terjadi, pikirkanlah

suatu geometri bidang eliptik (untuk setiap jenis).

Misal L sebarang garis dan misalkan garis M dan N

tegak lurus terhadap L pada titik yang berbeda A dan

B (gambar 4.19). Berdasarkan postulat kesejajaran

Riemann M dan N bertemu pada titik P, sehingga

segitiga PAB adalah segitiga yang dibentuk dari sisi

,, PBPA dan AB , karena PAB memiliki dua sudut

yang sama maka segitiga tersebut samakaki, sehingga

PBPA . Andai C adalah titik tengah dari ruas garis

AB . Maka, seperti pada geometri Netral, diperoleh

segitiga yang kongruen yaitu PAC dan PBC dengan

PBPA, adalah sisi yang bersesuaian dan rsu garis PC

sebagai sisi persekutuan. Akibatnya garis PC tegak

lurus terhadap AB. Dengan argumen ini PAC dan

PBC adalah segitiga samakaki, sehingga

PCPBPA

Jelaslah, argumen tersebut dapat diulangi dengan

membagi dua sisi ketiga dari PAC (atau PBC ) dan

dapat ditemukan titik pada L sebanyak yang

diinginkan yang dihubungkan dengan P oleh ruas

garis yang sama panjang dan tegak lurus dengan L.

Dengan demikian muncullah sifat berikut:


Sifat Kutub

Misal L sebarang garis. Maka terdapat sebuah titik P yang

disebut kutub L, sehingga:

(a) setia ruas garis yang menghubungkan P dengan titik

pada L, tegak lurus terhadap L

(b) P berjarak sama pada semua titik di L

Kita mempertimbangkan beberapa akibat dari

sifat kutub. Pertama, perlu diperhatikan bahwa karena

dua titik dihubungkan oleh lebih dari satu ruas garis,

maka jarak dari 2 titik tersebut adalah panjang ruas

garis terpendek yang menghubungkan titik itu.

Berikut kita tinjau bahwa jika P adalah kutub

garis L, tiap garis yang tegak lurus terhadap L

melewati P. Andaikan M tegak lurus terhadap L pada

titik Q. Pasti ada titik M‟ yang melalui P dan Q.

Dengan menggunakan sifat kutub, maka M‟ tegak

lurus terhadap L pada titik Q. Karena L memiliki garis

tegak lurus yang tunggal di Q, M dan M‟ berimpit dan

M haruslah melalui P.

Sekarang kita perkenalkan istilah jarak polar,

untuk menunjukkan jarak konstan dari P ke titik pada

L. Misal garis M menghubungkan P ke sebuah titik Q

di L. Kita tunjukkan bahwa ada ruas garis M yang

menghubungkan P dan Q yang panjangnya sama

dengan jarak polar P dari L. Dengan sifat polar, M

tegak lurus terhadap L di Q dan satu-satunya garis

A

N

C

P

B

M

L

P

M M

L

Q


yang menghubungkan P dan Q, karena hanya ada satu

garis tegak lurus L yang melalui Q. Sehingga hanya

ada dua ruas garis yang menghubungkan P dan Q.

Jarak P dan Q adalah yang terpendek antara dua ruas

garis ini yang merupakan jarak polar dari P ke L.

Sekarang kita lihat suatu konstruksi yang

menyebutkan bahwa satu garis mempunyai dua kutub.

Misal P adalah kutub L dan Q adalah titik di L.

PQ adalah ruas garis polar, yaitu ruas garis

yang menghubungkan P dan Q yang panjangnya

adalah jarak polar dari P ke L. Perpanjang PQ

sepanjang dirinya sendiri melalui Q ke P‟. Dengan sifat

simetris P‟ juga kutub dari L, dan jarak polar L dari P

dan P‟ adalah sama. Kita pegang ini sebagai jaminan.

Selanjutnya dapatkah kita menyimpulkan bahwa

setiap garis mempunyai setidaknya dua kutub? Tidak

karena kita tidak mempunyai ijin untuk

mengasumsikan dari gambar bahwa P‟ dan P adalah

titik yang berbeda.

Periksa situasi tersebut dengan lebih rinci,

pertama kita pertimbangkan kasus geometri eliptik

P

M

Q

P’

L


tunggal. Andaikan P dan P‟ tidak berimpit, maka

berdasarkan sifat kutub (seperti kita lihat di atas)

bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap L akan

berpotongan di titik yang berbeda P dan P‟. Karena ini

tidak mungkin P dan P‟ harus berimpit. Dengan

demikian dengan memperpanjang PQ sepanjang

dirinya sendiri sampai ke P‟, kita telah melalui

keseluruhan garis PQ dan terlihat bahwa panjang garis

PQ dua kali jarak polar dari P ke L.

Sekarang kita perhatikan untuk kasus eliptik

ganda. Dengan mengingat bahwa L membagi bidang,

kita tahu bahwa P dan P‟ berada pada sisi yang

berseberangan dari garis L dan tak mungkin berimpit.

Dengan demikian setiap garis memiliki sedikitnya dua

kutub. Sebagaimana yang telah kita lihat satu garis

tidak mungkin mempunyai lebih dari dua kutub,

karena semua garis yang tegak lurus terhadap garis

tersebut melalui kutubnya.

Selanjutnya kita periksa struktur dari garis PQ.

Pada saat memperpanjang PQ sepanjang dirinya

sendiri ke P‟ kita telah membentuk ruas garis QP'

yang simetris terhadap PQ memuat garis L. PQ dan

QP' hanya mempunyai titik persekutuan Q dan

merupakan suatu ruas garis 'PQP dengan panjang dua

kali jarak polar dari P ke L.

Ini memaksa hubungan dari kutub P dan P‟

terhadap L dan Q. Tetapi L memotong garis PQ di titik

kedua Q‟ (gambar 4.22). Bagaimana Q‟ dihubungkan

terhadap P, Q dan Q‟? pertama kita perhatikan bahwa

Q‟ tidak berada pada 'PQP , jika demikian adanya jarak

dari P atau P‟ ke Q‟ akan kurang dari jarak polar.


Dengan demikian P dan P‟ membagi garis PQ menjadi

ruas garis 'PQP dan ruas garis ''PPQ yang memuat Q‟.

Misal 'PQ dan ''QP adalah ruas garis yang dibagi oleh

Q‟ dari ''PPQ . Kita menyatakan bahwa 'PQ adalah

ruas garis polar, pada garis PQ yang menghubungkan

P dan Q‟ tidak mungkin menjadi ruas garis yang

berkomplemen terhadap 'PQ , karena yang terakhir

memuat PQ dan dengan demikian mempunyai

panjang yang lebih dari jarak polar. Dengan cara yang

sama ''QP adalah ruas garis polar. Dengan demikian

garis PQ dibagi oleh P, Q, P‟, Q‟ menjadi 4 garis polar

dan panjangnya 4 kali jarak polar dari P ke L. Akhirnya

dapat kita katakan bahwa dalam geometri eliptik

untuk kedua jenis jarak polar adalah tetap demikian

dengan panjang satu garis.

G. Uraian Lebih Lanjut Mengenai Geometri Eliptik

Pada geometri eliptik jumlah sudut dari suatu

segitiga lebih besar dari 1800. Hal ini dibuktikan

dengan keberadaan segitiga dengan dua sudut siku-

siku yang telah kita diskusikan di atas. Itu berarti

bahwa jumlah sudut dari suatu segiempat adalah lebih

besar dari 3600. Kemudian teori tentang similaritas

diturunkan seperti dalam geometri Lobachevski.

Sehingga kita dapat membuktikan sudut-sudut-sudut,

L

P

Q

P’

Q’


yaitu dua segitiga itu kongruen jika sudut-sudutnya

yang bersesuaian sama. Pada dasarnya pembuktian

dalam geometri Lobachevski diterapkan di sini. Pada

akhirnya kita dapat melihat bahwa luas segitiga dapat

didefinisikan sebagaimana didefinisikan pada geometri

Lobachevski: luas daerah suatu segitiga adalah excess-

nya, yaitu jumlah sudut segitiga itu dikurangi dengan

1800. Tentu saja ini merupakan metode pengukuran

daerah segitiga pada bola yang sudah dikenal di

geometri bola Euclid.

H. Kesimpulan

Dalam perkembangannya selanjutnya geometri

Non-Euclid setidaknya sama kompleksnya dengan

geometri Euclid. Dalam geometri Lobachevski dan

geometri Riemann juga terdapat geometri ruang,

trigonometri dan geometri analitik. Permasalahan

dalam pegukuran kurva, bidang, ruang dan masalah-

masalah yang melibatkan sifat-sifat lokal seperti

kemiringan dan kelengkungan, memerlukan

penggunaan integral dan kalkulus differensial.

Jika kita tinjau kembali teori geometri yang telah

kita periksa, maka kita berhadapan dengan

pertanyaan, teori mana yang benar. Bab ini tidak akan

diperpanjang dengan mendiskusikan masalah yang

sulit ini, tapi kita akan mempersembahkan dua bab

berikut untuk dua aspeknya: pertanyaan untuk

konsistensi logis dari geometri non Euclid dan

pertanyaan tentang validitas empirisnya.

Pada kesimpulan, kita memuji miskonsepsi

yang umum bahwa geometri Euclid merupakan teori

yang benar mengenai garis lurus dan bahwa geometri

non Euclid sesungguhnya mengkaji tentang garis


lengkung. Dengan demikian dua garis sejajar pada

Lobachevski yang memiliki garis tegak lurus

persekutuan dan divergen (lihat latihan 1, no.9 di

bawah) jelas merupakan garis lengkung, karena garis

sejajar haruslah berjarak sama dimana-mana. Dari garis

di Riemann jelas merupakan kurva karena seperti yang

kita ketahui bahwa garis lurus tidak tertutup.

Ketiga teori tersebut adalah teori tentang garis

lurus, tetapi mereka tidak sepakat tentang sifat-sifat

garis lurus. Sangatlah tidak adil bila menyatakan suatu

teori salah karena tidak konsisten dengan teori yang

kita miliki. Dalam pandangan Lobachevski, dua garis

sejajar Euclid punya jarak yang sama dimana-mana,

tidak mungkin keduannya merupakan garis lurus,

seperti yang telah dibuktikan pada teorema 9 bahwa

dua garis sejajar tidak mungkin punya jarak yang sama

pada lebih dari dua titik.

Untuk melihat perbandingan dari ketiga

pandangan yang menarik dan komplek ini tentang

sifat-sifat titik dan garis maka disajikan tabel berikut:

Tabel perbandingan antara Geometri Euclide dan Non-

Euclide EUCLIDEAN LOBACHEVSKIAN RIEMANN

Dua garis yang

berbeda akan

berpotongan

pada

Paling banyak

satu titik

Paling banyak satu

titik

Sati titik (Elliptik

tunggal), dua titik

(Elliptik ganda)

Diberikan garis

L dan titik P di

luar L, maka

ada

Satu dan hanya

satu garis melalui

P sejajar dengan

L

Sekurang-kurang

nya dua garis mela

lui P sejajar dengan

L

Tidak ada garis

mela lui P sejajar

dengan L

Sebuah garis

Dibagi menjadi

dua bagian oleh

sebuah titik

Dibagi menjadi dua

bagian oleh sebuah

titik

Tidak dibagi

menjadi dua bagian

oleh sebuah titik


Garis sejajar Jaraknya sama

dimana-mana

Jaraknya tidak

pernah sama

dimana-mana

Tidak ada

Jika sebuah

garis

memotong satu

dari dua garis

sejajar, maka

Harus memotong

yang lain

Boleh ya, boleh

tidak memotong

yang lain

_____

Hipotesis

Sacherri yang

valid adalah

Sudut siku-siku Sudut lancip Sudut tumpul

Dua garis yang

berbea dan

tegak lurus

pada garis

yang sama

Sejajar Sejajar Berpotongan

Jumlah sudut

suatu segitiga

adalah

= 1800 <1800 > 1800

Luas suatu

segitiga adalah

Tidak bergantung

pada jumlah

sudut

Proposional

terhadap defect

Proporsional

terhadap excess

Dua segitiga

dengan sudut-

sudut yang

bersesuaian

sama adalah

sebangun kongruen kongruen

teori geometri non-euclidean riemann · pdf file232 /geometri riemann teorema pada geometri...

Documents