TUGAS KELOMPOK I MATA KULIAH ANALISA

Nama Anggota Kelompok :

Arman EfendiAlmanBudyanita Asrun

PASCA SARJANAUNIVERSITAS HASANUDDIN

2011

1

BAB 7

INTEGRAL RIEMANN

Pendahuluan

Integral merupakan salah satu cabang dari matematika yang banyak

diaplikasikan pada bidang matematika maupun pada bidang ilmu yang lain. Pada tahun

1850, Bernhard Riemann untuk pertama kalinya memberikan defenisi modern tentang

integral tentu yang sekarang disebut dengan integral rieamnn. Setelah itu penelitian

tentang integral terus berlanjut.

Pendefinisian integral Riemann dimulai dari sebuah pemartisian domain dari

sebuah fungsi yang berbentuk interval menjadi subinterval-subinterval. Kemudian

ditentukan jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah fungsi tersebut.

Misal adalah interval tertutup dan terbatas di R. Kemudian P dari

adalah himpunan dengan P = sedemikian sehingga

, dan . Misalkan f adalah sebuah fungsi

terbatas di dengan dengan . Didefenisikan

dan

Jumlah Riemann atas didefenisikan

Jumlah Riemann bawah didefenisikan

2

Selanjutnya, integral Riemann suatu fungsi dapat ditentukan jika nilai limit dari

jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah bernilai sama. Himpunan semua

fungsi yang diintegralkan Riemann dinotasikan dengan “R”, lebih khusus himpunan

semua fungsi yang terintegralkan Riemann pada interval [a,b] dinotasikan dengan

“R[a,b]”.

Gambar : Jumlah Riemann

7.1 Integral Riemann

Partisi dan Partisi Tag

Jika I:= [a,b] adalah sebuah interval tertutup dan terbatas di R, maka sebuah

partisi pada I adalah berhingga, himpunan terurut P:=(x0, x1, …,xn-1 , xn) pada titik di I,

sedemikian sehingga

a = x0< x1<…xn-1 < xn = b.

Titik-titik pada P digunakan untuk membagi I = [a,b] ke dalam sub-sub interval yang

tidak saling tumpang tindih.

Gambar : Partisi pada [a,b]

3

Sering Partisi P dinotasikan dengan P = . Untuk setiap partisi P

pada [a,b], norm partisi P dinotasikan dengan didefinisikan sebagai panjang

interval bagian terpanjang yang terbentuk dari partisi P. Jadi = Max

Jika sebuah titik ti dipilih dari tiap-tiap subinterval Ii =[xi-1, xi], untuk I = 1,2,

…,n, maka titik-titik tersebut dinamakan Tag-tag dari subinterval Ii. Suatu himpunan

dari pasangan berurutan

Pada sub-sub interval dan berhungan dengan tag-tag dinamakan Partisi Tag pada I.

Titik-tik tag dapat ditempatkan pada titik akhir bagian kiri atau titik kanan bagian akhir

dan bisa juga ditempatkan pada tengah-tengah interval.

Gambar : Tag Partisi pada [a,b]

Jika P yang telah disebutkan sebelumnya adalah sebuah Tag Partisi, maka dapat

didefinisikan Jumlah Riemann pada sebuah fungsi f : [a,b] sebagai,

4

Gambar : Jumlah Riemann

Definisi Integral Riemann

Definisi 7.1.1 Diberikan interval tertutup [a,b], fungsi bernilai real R

dikatakan terintegral Riemann jika tredapat bilangan L R sehingga untuk setiap

bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap Tag Partisi pada

[a,b] dengan , maka

Himpunan dari semua fungsi yang terintegral Riemann pada [a,b] dinotasikan dengan

R[a,b] dan ditulis

5

Defenisi integral Riemann di atas dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan

Teorema 7.1.2 Jika maka nilai integralnya adalah tunggal.

Bukti : Misalkan L1 dan L2 keduanya merupakan nilai integral Riemann fungsi f , maka

cukup dibuktikan L1=L2. Diketahui .

Misalkan bilangan

L1 adalah nilai integral f pada [a,b], maka terdapat bilangan sehingga untuk

setiap partisi P1 pada [a,b] dengan sifat berlaku

Dan juga jika L2 merupakan nilai integral f pada [a,b], maka terdapat bilangan

sehingga untuk setiap partisi P2 pada [a,b] dengan sifat berlaku

Dipilih > 0, akibatnya P merupakan Tag Partisi pada [a,b] dengan

sifat berlaku dan . Sehingga

dan

6

Selanjutnya dengan mengikuti Aturan “Ketaksamaan Segitiga” bahwa :

Karena sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan L1 = L2

7

Beberapa Contoh Soal Integral Rienmann

Jika kita hanya menggunakan defenisi dalam menunjukkan bahwa Integral

Riemann maka kita harus tahu :

i. Nilai L dari integral

ii. Membuat nilai yang memenuhi

Contoh :

1. Setiap fungsi konstan pada adalah berada pada

Jawaban

Jika untuk semua x . Jika P = adalah beberapa

partisi tag dari , maka dengan jelas bahwa

Maka untuk setiap , kita dapat memilih sehingga , maka

Dari maka kita menyimpulkan bahwa dan

2. Misalkan g : didefenisikan g(x) untuk dan g(x)

untuk . Pada gambar berikut merupakan gambar dari fungsi g.

Perhitungan awal kita perkirakan

8

Misalkan P adalah tag partisi pada dengan norm kita akan memperlihatkan

bagaimana menentukan untuk . Misalkan P1 adalah subset dari

P yang memiliki tag di dimana g(x) = 2, dan P2 adalah subset dari P dengan

partisi tag di (1,3] dimana g(x) = 3 dengan jelas membentuk

(i)

Dari , jika dan maka sehingga

dimana .Karena interval termuat dalam

gabungan subinterval di P dengan tag-tag . Gabungan ini termuat di

. Mengapa ? dari g(ti) = 2 untuk tag ini kita dapatkan

Dengan alasan yang sama kita memperlihatkan bahwa gabungan seluruh subinterval

dengan termuat dalam interval dengan panjang dan

termuat di dengan panjang sehingga

Tambahkan ketidaksamaan dan gunakan persamaan (i) dan menjadi

Sehingga

.Kemudian dengan mengambil maka kita mendapatkan

dengan . Dengan sembarang kita dapat

membuktikan bahwa dan

3. Misalkan untuk ; Tunjukkan bahwa

9

Dengan menggunakan partisi pada interval dan kita memilih tag

partisi dari interval dengan titik tengah maka

jumlahan rienmann menjadi

Kita akan menjumlahkan bentuk diatas sehingga menjadi

Misalkan P adalah tag partisi dari dengan sehingga

untuk . Misalkan Q mempunyai partisi yang sama

kemudian kit amemilih sebagai titik tengah dari . Dari dan dalam

interval, kemudian kita membentuk . Gunakan ketaksamaan

Segitiga sehingga membentuk

dari , kita ketahui bahwa maka dengan

mengambil maka kita bisa mengatakan bahwa dan

4. Misal F(x) := 1 untuk x = dan F(x) := 0 untuk yang lain di . Kita

akan menunjukkan bahwa F dan

Kita memiliki empat titik, setiap titik memiliki dua sub interval dalam partisi P .

Misalkan kit amemilih . Jika dan misalkan adalah subset

10

dari P dengan tag berbeda dari dan misalkan adalah subset dari P

dengan tag di titik – titik lain . Dari hal ini menunjukkan bahwa

);(;;; 110 PFSPFSPFSPFS

Dari 8 sub interval di dan setiap interval < 1 . Kita menyimpulkan bahwa

Dengan demikian dan

5. Misal G(x) := untuk x = dan G(x) := 0 untuk yang lain di

Diberikan , misalkan adalah himpunan titik – titik berhingga dimana

G(x) , misalkan adalah jumlah titik – titik di dan misalkan

. Dan misalkan P adalah tag partisi sedemikian sehingga . Misalkan

adalah subset dari P dengan tag luar dari dan adalah subset dari P dengan

tag di dalam maka kita mempunyai

Dari sembarang kita menyimpulkan bahwa dan

11

BEBERAPA SIFAT INTEGRAL

Teorema 7.1.4 Misalkan , maka :

1.

Bukti :

.

Akan ditunjukkan :

Dengan menggunakan Teorema 7.1.2

12

2. Fungsi , dan

Akan ditunjukkan

Akan dibuktikan :

Perhatikan:

13

Perhatikan ;

Karena ,maka ;

14

Dengan demikian ; terbukti

3. Jika

Diketahui sebelumnya

Jadi ,

15

Karena , maka diperoleh :

Jadi,

Sekarang akan ditunjukkan :

Bukti :

Dengan menggunakan kontradiksi

Andaikan :

Ambil :

16

17

Jadi , Kontradiksi.

Sehingga dapat disimpulkan :

Teorema Terbatas

Teorema 7.1.5 Jika maka terbatas di

Bukti :

Asumsikan bahwa adalah fungsi tidak terbatas di dengan integral . Maka

terdapat , sehingga jika adalah tagged partisi di dengan , maka

diperoleh

………………..*)

Misalkan adalah partisi di dengan

Jika tidak terbatas di , maka terdapat paling sedikit satu subinterval di

. di tidak terbatas.

Jika terbatas di masing-masing subinterval oleh M, maka terbatas di

,

18

Akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi ( persamaan *) .

Ambil , dan pilih , sehingga

Dengan Ketidaksamaan Segitiga ( , diperoleh :

Latihan :

Exercises for Section 7.1

8. Jika dan

Tunjukkan .

Penyelesaian :

Buktikan dengan menggunakan Integral Riemann

19

20