turunan fungsi kompleks dan persamaan cauchy riemann
DESCRIPTION
hhhaTRANSCRIPT
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN3.1. Turunan Fungsi Kompleks
Turunan dari fungsi kompleks f pada titik z0 di tuliskan f(z0) di nyatakan dengan : f(z0)=
Atau dapat di
tuliskan :
f(z0)=
fungsi f(z) di sebut diferensial ( dapat di turunkan ) di z0 bila limit di atas ada.
Contoh soal:
Tentukan turunan dari fungsi berikut :
1. f(z) = c
Jawab :
f(z)=
2. f(z) = z2Jawab :
Atau gunakan sifat-sifat turunan :
f(z)=z2 maka f(z)= 2z2-1
f(z) = 2z
3. f(z) =
Jawab :
f(x) =
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 3.2. Persamaan Cauchy Riemann
A. Fungsi Analitik Suatu fungsi f(z) di katakan analitik di suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan dapat di turunkan pada setiap titik dari D. Fungsi f(z) analitik pada z=z0 di D, jika f(z) analitik di dalam lingkungan dari z0. Jadi keanalitikan f(z) di z0 berarti bawa f(z) mempunyai turunan pada setiap titik di dalam suatu lingkaran dari z0 ( termasuk z0 sendiri)
B. Persamaan Cauchy Riemann
Andaikan suatu fungsi kompleks f(z) = u(x,y)+iv(x,y) mempunyai turunan pada titik z0 = (a,b) atau fungsi analitik, maka
f(z)=ux+ivx terhadap x
f(z)=vy-ivy terhadap y
Jadi :
Atau dapat di tulis :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Contoh soal:
Tunjukkan bahwa f(z) = z2+5i z+3-i analitik !
Jawab :
Misal : z = x + iy
f(z) = (x+iy)2 + 5i (x+iy)+ 3 i
f(z) =
u
v
U (x,y)=x2 y2 5y + 3
dan
terpenuhi
V (x,y)=2xy + 5x -1
terpenuhi
dan
Jadi, f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann
C. Turunan Fungsi Elementer Turunan Eksponensial
(ez) = e
Fungsi Trigonometri dan hiperbolik
1. (cos z) = - sin z
2. (sin z)= coz z
3. (tan z)= sec2 z
4. (cosh z) = sinh z
5. (sinh z) = cosh z
6. (tanh z) = sech2 z
Contoh soal:
Diferensialkan fungsi-fungsi berikut :
1. sin maka; sin
2. sinh (z2) maka; (sinh z2)=2z cosh zD. Persamaan Laplace dan Fungsi Harmonik
Andaikan suatu fungsi kompleks yang analitik dalam domain D, maka memenihi persamaan Laplace jika :
Atau
Bila mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam D. Maka fungsi kompleks tersebut merupakan fungsi harmonik.Contoh Soal :
1. Selidiki bahwa harmonik!
Jawab :
Persamaan Laplace :
fungsi harmonik.2. Selidiki apakah harmonik atau tidak? Kemudian tentukan !
Jawab :
Jadi merupakan fungsi harmonik. Persamaan Cauchy Riemann;
SOAL-SOAL LATIHAN1. Carilah dengan menggunakan definisi :
a.
b.
2. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan berikut :
a.
b.
c.
3. Selidikilah apakah fungsi merupakan fungsi harmonik, lalu cari nya!
4. Tentukan fungsi analitik apabila diketahui :
a.
b.
5. deferensialkan fungsi berikut :a.
b.
Penyelesaian Soal Soal Latihan
1. a. f(z) = z2 + 3z
f(z +) = (z + (z +z)+3(z + )-(z2+3z)
= z2 + 2z+2+3z+3-z2-3z
= 2zz++3z
=
=
= 2z++3
= 2z+3b. f(z) = 2z 1
f(z + = 2(z +-1
= 2z + 2-1
=
=
=
= 02. a.
Misal :
u v
Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann
b. f(z) = 3z +4iz-5+i
maka :
f(z) = 3(x+iy)(x+iy)+4i(x+iy)-5+i
= 3(x
= 3x
= 3x
= (3x
u
v
3x
Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann
c. f(z) = z+3 - i
misal : z = x + iy
f(z) =
f(z) = (x
u(x,y) = x
Jadi, f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Rieman.
3.
Maka:
f(u) = x
= 2
= 2 + ( - 2 )
= 0
Jadi, fungsi f(x) fungsi harmonic
Persamaan Cauchy Riemen
2x + 2y 3 =
v =
v = 2xy + y- 3y + jadi, f(z) = u + iv
= (x
4. a. u = x
Konjugat harus memenuhi dan ,
Sehingga;
Jadi,
v = 2xy + 1
= 2xy + x + c
Fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv (x,y)
= x
= z
b. u = x
Konjugat harus memenuhi dan ,
Sehingga;
v = , h(y) = o
maka; v = 4x
fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv(x,y)
f(z) =
= z+ ic
5. a.
Sin z = cos z
b.
Missal:
u = sin z v = cos z
u= cos z v= - sin z
maka:
=
EMBED Equation.3 = secz
EMBED Equation.3
= sec
sec
= sec
PERTANYAAN-PERTANYAAN SAAT DISKUSI1. Pertanyaan dari Riyani (2008121311)a. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan f(z) = (1 + i )z2
Jawab :
Misal : z = x + iy
Misal :
Untuk
Jadi f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Riemannb. Tentukan fungsi analitik f(z) = u(x,y) + v(x,y) apabila diketahui u = y2 - x2
Jawab :
Jadi f(u) merupakan fungsi harmonic
Persamaan Cauchy Riemann
2. Pertanyaan dari Siti Asiah (2008121372)
Diketahui f(z) = cos z. Tentukan turunan dari fungsi tersebut dengan menggunakan rumus
Jawab :
3. pertanyaan dari Nurlena (2008121310)
Carilah f(z) dengan menggunakan definisi :
a.
b.
Jawab :
a.
=
b.
4. Pertanyaan dari Rani Tartillah (2008121313)
Buktikan apakah merupakan fungsi harmonic?
Jawab :
harmonik
5. Pertanyaan dari Mita Parlia Sari
Tunjukan apakah analitik!
Jawab :
Misal :
Misal :
u = cos 2x
v = cos 2y
tidak analitik
6. Pertanyaan dari Indah Marta Kumala Dewi (2008121328)
Selidiki bahwa harmonic atau tidak dan tentukan f(z)!
Jawab :
Jadi f(u) bukan fungsi harmonic
Persamaan Cauchy Riemann
f(z) = u + iv
7. Pertanyaan dari Yaumil Agus Akhir(2008121301)
Buktikan apakah merupakan fungsi harmonic lalu cari f(z)nya!Jawab :
Jadi f(v) bukan merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann 2
8. hhhh
ux = vy dan vx = -uy
EMBED Equation.3
Persamaan Cauchy Riemann
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
PAGE 19
_1332021486.unknown
_1332027877.unknown
_1334965601.unknown
_1335051029.unknown
_1335052048.unknown
_1335052636.unknown
_1335052946.unknown
_1335053220.unknown
_1335053597.unknown
_1335054167.unknown
_1335053533.unknown
_1335053060.unknown
_1335052784.unknown
_1335052325.unknown
_1335052571.unknown
_1335052170.unknown
_1335051525.unknown
_1335051675.unknown
_1335051815.unknown
_1335051608.unknown
_1335051330.unknown
_1335051414.unknown
_1335051169.unknown
_1335049510.unknown
_1335050842.unknown
_1335050860.unknown
_1335050911.unknown
_1335050852.unknown
_1335050000.unknown
_1335050299.unknown
_1335049906.unknown
_1335048361.unknown
_1335048885.unknown
_1335049480.unknown
_1335048792.unknown
_1335048145.unknown
_1335048222.unknown
_1335048106.unknown
_1332029663.unknown
_1334962899.unknown
_1334964161.unknown
_1334965143.unknown
_1334965205.unknown
_1334964853.unknown
_1334963766.unknown
_1334963919.unknown
_1334963333.unknown
_1332041449.unknown
_1334962654.unknown
_1334962880.unknown
_1332041560.unknown
_1334960181.unknown
_1332029709.unknown
_1332029810.unknown
_1332029835.unknown
_1332029790.unknown
_1332029673.unknown
_1332029022.unknown
_1332029462.unknown
_1332029622.unknown
_1332029644.unknown
_1332029557.unknown
_1332029261.unknown
_1332029411.unknown
_1332029229.unknown
_1332028544.unknown
_1332028876.unknown
_1332028953.unknown
_1332028821.unknown
_1332028822.unknown
_1332028273.unknown
_1332028418.unknown
_1332027968.unknown
_1332025506.unknown
_1332026790.unknown
_1332027388.unknown
_1332027711.unknown
_1332027853.unknown
_1332027644.unknown
_1332027166.unknown
_1332027331.unknown
_1332027095.unknown
_1332025956.unknown
_1332026084.unknown
_1332026238.unknown
_1332025994.unknown
_1332025822.unknown
_1332025852.unknown
_1332025786.unknown
_1332023534.unknown
_1332025149.unknown
_1332025385.unknown
_1332025438.unknown
_1332025252.unknown
_1332023796.unknown
_1332024591.unknown
_1332023725.unknown
_1332021977.unknown
_1332023311.unknown
_1332023369.unknown
_1332023487.unknown
_1332022551.unknown
_1332021684.unknown
_1332021888.unknown
_1332021833.unknown
_1332021603.unknown
_1332016075.unknown
_1332018281.unknown
_1332019288.unknown
_1332020177.unknown
_1332021241.unknown
_1332021371.unknown
_1332020483.unknown
_1332020105.unknown
_1332020160.unknown
_1332019532.unknown
_1332018971.unknown
_1332019134.unknown
_1332019240.unknown
_1332019022.unknown
_1332018541.unknown
_1332018926.unknown
_1332018461.unknown
_1332017544.unknown
_1332017842.unknown
_1332018004.unknown
_1332018035.unknown
_1332017913.unknown
_1332017713.unknown
_1332017746.unknown
_1332017589.unknown
_1332016237.unknown
_1332017470.unknown
_1332017494.unknown
_1332017332.unknown
_1332016169.unknown
_1332016187.unknown
_1332016093.unknown
_1332012277.unknown
_1332015704.unknown
_1332015908.unknown
_1332015971.unknown
_1332016055.unknown
_1332015948.unknown
_1332015859.unknown
_1332015889.unknown
_1332015801.unknown
_1332012285.unknown
_1332012292.unknown
_1332012294.unknown
_1332012300.unknown
_1332014793.unknown
_1332012299.unknown
_1332012293.unknown
_1332012288.unknown
_1332012289.unknown
_1332012287.unknown
_1332012281.unknown
_1332012283.unknown
_1332012284.unknown
_1332012282.unknown
_1332012279.unknown
_1332012280.unknown
_1332012278.unknown
_1332012175.unknown
_1332012179.unknown
_1332012273.unknown
_1332012275.unknown
_1332012276.unknown
_1332012274.unknown
_1332012180.unknown
_1332012177.unknown
_1332012178.unknown
_1332012176.unknown
_1332012170.unknown
_1332012173.unknown
_1332012174.unknown
_1332012172.unknown
_1332012168.unknown
_1332012169.unknown
_1331957287.unknown
_1332012167.unknown
_1331957325.unknown
_1331957051.unknown