anakom kelomok 6 persamaan cauchy riemann

8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann

http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 1/12

N LISIS KOMPLEKS

Persamaan Cauchy reimann

Kelompok 6

OLEH :

Alfi Mulyahadi (1001125006)

Mika Melina (1001125105)

Winda Trisnawati (1001125194)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

JAKARTA

2014



BAB 1

PERSAMAAN CAUCHY REIMANN

A. PENDAHULUAN

Persamaan Cauchy – Reimann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis

kompleks karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w =

f(z) = u (x,y) + iv (x,y). Pada pasal ini akan mengembangkan syarat perlu dan cukup agar suatu

fungsi yang diberikan mempunyai turunan. Hal ini dicapai melalui dua teorema. Teorema pertama

memberikan rumus untuk turunan asal turunan itu ada. Sedangkan teorema kedua memuat syarat

cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan akan menjamin adanya adanya turunan fungsi

dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu berada. Sebelum membahas kedua teorema

tersebut perhatikan gejala berikut.

Misalkan diberikan ,

2

z z f dengan mengunakan definisi turunan diperoleh:

1. ................. 2limlim22

' z z w

z w

z w

z f w f z f

z w z w

Misalkan ,iy x z diperoleh

xyi y xiy x z z f 22222

Jadi, 22, y x y xu dan xy y xv 2,

Turunan parsial pertama dari u dan v adalah

x y xv y y xv y y xu x y xu y x y x 2,dan,2, ,2, ,2,

Fungsi u, v, u x , u y , v x dan v y semuanya kontinu pada R 2, karena masing-masing merupakan fungsi

polinom. Dari turunan parsial pertama dapat dibentuk hubungan berikut

2................... 2dan2 yvu xvu x y y x

Dari persamaan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa jika ,2' z z f diperoleh

y y x x iuvivuiy xiy x z f 222'

Dengan melihat gejala tersebut di atas diturunkan suatu teorema yang disajikan di bawah ini yang

disebut dengan persamaan Cauchy Reimann.

B. PERSAMAAN CAUCHY REIMANN

1. Definisi

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u

dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu

x y y x vuvu

dengan y

vv

x

vv

y

uu

x

uu y x y x

.

2. Teorema

Teorema 1

Diberikan ),(),()( y xiv y xu z f terdefinisi pad region D C dan

Diy x z 000 . Jika )( 0 z f ada, maka



),(),(),(),()( 000000000 y x y

vi y x

y

u y x

x

vi y x

x

u z f

sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu

),(),(),(),( 00000000 y x

x

vi y x

y

udan y x

y

v y x

x

u

Bukti :

Karena )( 0 z f ada, maka sepanjang y = 0 diperoleh :

),(),()(

),(,),(,)(

),(,),(,)(

),(),(,,)(

)()()(

00000

0000

0

0000

00

00000000

0

0

00000000

)0,0(),(0

00

00

limlim

lim

lim

lim

y x x

vi y x

x

u z f

x

y xv y x xvi

x

y xu y x xu z f

x

y xv y x xvi y xu y x xu z f

x

y xiv y xu y y x xiv y y x xu z f

z

z f z z f z f

x x

x

x x

z

Dengan memilih kurva x = 0, secara sama akan diperoleh bahwa

),(),()( 00000 y x x

vi y x

x

u z f

Teorema kedua memuat syarat cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan

akan menjamin adanya turunan fungsi dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu

berada.

Teorema 2

Diberikan y xiv y xu z f ,, terdefinisi pada region C D dan .000 Diy x z

Jika

000000000

'

0

'

00000000

000

,,,,

,, ,,

Re 2

,

,, ,, ,, ,, ,, ,, 1

y xiu y xv y xiv y xu z f

danada z f maka

y xv y xudan y xv y xu

imannCauchy persamaanmemenuhi

y x z titik di

kontinu semuanya y xvdan y xv y xu y xu y xv y xu fungsi

y y x x

x y y x

y x y x

Bukti:

Misalkan ,,,' y xiv y xu z f maka untuk sebarang titik y y x x 00 , pada

r z N ,0 diperoleh

y y x x y x y y

u xv

uu

y xu y y x xuu

,,

,, 0000



dengan

0y, lim0,0,

x y x

dan

0y, lim0,0,

x y x

Selain itu, diperoleh

y y x x y x y y

v

x x

v

v

y xw y y x xvv

,,

,, 0000

Dengan () () () dan () () ()

Menurut hipotesis (2), dua relasi diatas menjadi:

∆u =∆x+

∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y .. . . . . . . . . (i)

dan

∆v =∆x+

∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y . . . . . . . . . (ii)

Oleh karena itu, diperoleh

f(z 0 + ∆z ) – f(z 0 )

= [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x,y0 + ∆y)] – [u(x0 ,y0 ) + iv(x0 ,y0 )]= [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – u(x0 ,y0 )] + i[v(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – v(x0 ,y0 )]

= ∆u + i∆v

Menurut (i) dan (ii), persamaan itu menghasilkan

z

z f z z f

00

=

+ ( + i ) + ( + i )

=

+ ( + i ) + ( + i )

= + ( + i ) + ( + i ) . . . . . . . . . (iii)

Berasarkan relasi (iii), diambil limitnya untuk ∆z → 0 sehingga diperoleh:

( )() = *

( )

( ) +

f’(z0) = *

( ) ( )

+ karena ∆z → 0 maka ∆ x → 0 dan ∆ y → 0 serta semua ,,, → 0, sehinga diperoleh + i

→ 0 dan + i → 0.

Karena | ≤ 1 dan ≤ 1, diperoleh

f’(z 0 ) =

Dengan cara sama , diperoleh

f’(z 0 ) =

Catatan:

(a) Pada teorema 2 terdapat beberapa hal penting untuk diperhatika, yaitu

- konvers dari teorema tersebut salah

- dapat terjadi persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, tetapi f’(Z 0 ). - syarat (2) yaitu persamaan cauchy reimann merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup

untuk eksitensi f’(Z 0 )



(b) Teorema 2 menyatakan sebagai konverse dari teorema 1, yaitu jika f’(z0) ada, maka

persamaan Cauchy Reimann dipenuhi. Tetapi terdapat suatu fungsi yang mempunyai

turunan tetapi fungsi komponennya u dan v serta turunan parsial tidak semuanya kontinu.

Bentuk Polar Persamaan Cauchy-Reimann

Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks ,, r ivr u z f dengan

. sin dancos , dimana ,sincos r vr r uir re z i Sehingga

sin dansin

cos dancos

r u

r

v

r v

r

u

maka

u

r r

vv

r r

u 1

dan

1

C. CONTOH SOAL

1. Diberikan fungsi f(z) = { ( ) ()

( ) ()

Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi tak kontinu di (0,0)

0

1sinlim

sinlim

0

0,00,lim0,00'

,, lim'

0

12

00

000000

0

x x

x

x

x

u xu

x

u f

y x x

ui y x

x

u

z

z f z z f z f

x

x

x x

z

Penyelesaian :

Misalkan u(x,y) = { ( ) ()

( ) ()

Dan v(x,y) = 0, untuk setiap (x,y).

Diperoleh :

01

sinlim0sin

lim0

0,00, lim0,0

0

12

00

x

x x

x

x

u xu

x

u

x

x

x x

dan

x x x

x

u

x x x

x x

x

u

1 cos

1sin2

1

1 cos

1sin2

2

x x

x x x

x

q

q p

x p p x

xu f

11

111

2

12

cos'

cos' sin

2' Misal

sin

2

2



x x x x x

x x x pqq p

x

u111

2

21 cossin2cos1

sin2''

Sehingga diperoleh

x x

x x y x y x

1 cos

1sin2lim

u lim

0,0,0,0,

ada tidak

1cos lim

1cos lim0

1cos lim1 sin2 lim

0,0,

0,0,

0,0,0,0,

x

x

x x x

y x

y x

y x y x

Karena ()() ( ) () maka

tak kontinu di (0,0)

Tetapi,

z

z

z

z f

z

f z f

f z z z

z12

000

sin

lim lim

00

lim0'

0sin0limsinz lim0'011

0 z

z f

2.

0, 0

0,

fungsiDiberikan

2 _

z

z z

z

z f

Tunjukkan bahwa persamaan Cauchy Reimann dipenuhi di ,0 z tetapi 0' f tidak ada.

Penyelesaian:

0 , 0

0,2

3 _

z

z z

z

z f =

0,0, ,0

0,0,,33

22

23

22

23

y x

y x y x

y x y

y x

xy x

Diperoleh:

0,0,, 0

0,0,,3

,

22

23

y x

y x y x

xy x

y xu

dan



0,0,, 0

0,0,,3

,

22

23

y x

y x y x

y x y

y xv

Oleh karena itu, diperoleh

0y

0 lim

0

0,0,0 lim0,0

11 lim

0

lim0

0,00, lim0,0

00

0

2

3

00

y y

x x x

y

u yu

y

u

x

x

x

x

u xu

x

u

11 limy

0y

lim0

0,0,0 lim0,0

00

lim

0

0,00, lim0,0

0

2

3

00

00

y y y

x x

y

y

v yv

y

v

x x

v xv

x

v

Karena ,0,000,0dan0,010,0 x

v

y

u

y

v

x

u

maka persamaan C-R dipenuhi

di (0, 0), tetapi

2

2

0,0,2

2 _

0

_

00

' limlim

z

lim0

0 lim0iy xiy x

z z

z z

z f z f f

y x z z z

Sepanjang kurva y = 0,

1 lim lim2

2

02

2

0,0,

x

x

iy x

iy x

x y x

Sepanjang kurva y = x,

12

2 lim lim

2

2

02

2

0,0,

ix

ix

iy x

iy x

x y x

3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya

a. 22)( iy x z f

b. z z f )(

c. 2)( z z f

Penyelesaian :

a. 22)( iy x z f .Df = C.

Misalkan22 ),(),( y y xvdan x y xu maka

y

v

x

v

y

u

x

u

vudan y y

v

x

v

y

u

x x

u

,,,,,2,00,2 semuanya kontinu

untuk setiap (x,y) R 2



Misalkan persamaan C-R dipenuhi, yaitu

00

22 x y y x

xv

yu

y

v

x

u

)( 0 z f ada hanya untuk satu titik ),( 000 y x z

Jadi x y x x

vi y x

x

u z f 2),(),()( 00000

Akibatnya diperoleh x z f 2)(

b.

iy x z z f )( .Df = C.Misalkan y y xvdan x y xu ),(),( maka

y

v

x

v

y

u

x

uvudan

y

v

x

v

y

u

x

u

,,,,,1,00,1 semuanya kontinu untuk

setiap (x,y) R 2

Karena 11

y

v

x

uuntuk setiap(x,y) R 2maka z z f )( tidak mempunyai turunan

pada C.

c. 222

)( y x z z f .Df = C.

Misalkan 0),(),( 22 y xvdan y x y xu maka

y

v

x

v

y

u

x

uvudan

y

v

x

v y

y

u x

x

u

,,,,,0,02,2 semuanya kontinu untuk

setiap (x,y) R 2

Misalkan persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, yaitu

0

0

02

02

y

x

y

x

x

v

y

u

y

v

x

u

_

1apakahSelidiki er z f

Persamaan Cauchy Riemann hanya dipenuhi di titik (0,0) R 2. jadi )( z f ada hanyauntuk

z = 0 dan 000)0,0()0,0()(

i

x

vi

x

u z f

tidak sin,dancos1,Maka .sincosr11 _

r r vr r uir er z f

1dildiferensia 1apakahSelidiki .4 _

z er z f



1zdildiferensia

tidak 1Jadi.0dan1r 1diReimann-Cauchy persamaan berlaku _

er z f z

D. LATIHAN SOAL

1. Tentukan semua nilai C z sehingga z f ' tidak ada

a. _

z z z f

b. 22 ixy x z f

2. Tunjukkan bahwa ' f dan '' f ada setiap C z , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan

pertama dan keduanya

a. 2 iz z f

b. 3 z z f

3. Tunjukkan bahwa fungsi

0, 0

0, 22

33

22

33

z

z i y x

y x

y x

y x

z f

Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di 0 z , tetapi tidak mempunyai turunan di C.

4. Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut

a. i y x z f 22

b. iy x

z f

1

c. yi xe z f y sincos



LAMPIRAN

Penyelesaian Latihan Soal

1. Tentukan semua nilai C z sehingga z f ' tidak ada

a. _

z z z f

adatidaksehingga

ReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena

2 0

0 0

2, 0,

2,

z f

uvvu

vu

vu

y y xv y xu

iyiyiy x xiy xiy x y x f

y x y x

y y

x x

b. 22 ixy x z f

adatidaksehingga

ReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena

2 0

2

, 2,

2,

2

2

2

z f

uvvu

xyvu

yvu

xy y xv x y xu

ixy x y x f

y x y x

y y

x x

2. Tunjukkan bahwa ' f dan '' f ada setiap C z , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan

pertama dan keduanya

a. 2 iz z f

0''

0'

analitik sehingga

ReimannCauchy persamaan berlakumaka dankarena

0 1 ,

1 0 2,

2222, 2

z f

iivu z f

z f

uvvu

vv x y xv

uu y y xu

xi y y xi yi xiiy xi y x f

x x

y x y x

y x

y x

b. 3 z z f

persamaan berlakumaka 6dan33karena

33 6 3,

6 33 3,

33

33323

222

22

2232

2223

3223

2332233222332

222232222

xyuv y xvu

y xv xyv y y x y xv

xyu y xu xy x y xu

i y yi x xy x z f

xy xi y xy yi x xi y xy xy yi x x z if y xy

i xy yi x yi x xiy x yi xyi xiy xiy x z f

y x y x

y x

y x



yi x yi x z f

xyi y xivu z f

z f

x x

66''

633'

analitik sehinggaReimannCauchy

22

3. Tunjukkan bahwa fungsi

0, 0

0, 22

33

22

33

z

z i y x

y x

y x

y x

z f

Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di 0 z , tetapi tidak mempunyai turunan di C.

diperolehitu,karenaOleh

0,0,, 0

0,0,,

,

dan

0,0,, 0

0,0,,

,

22

33

22

33

y x

y x y x

y x

y xv

y x

y x y x

y x

y xu

11 lim lim lim0

0,0,0 lim0,0

11 lim lim lim0

0,00, lim0,0

002

3

00

002

3

00

y y y y

x x x x

y

y

y

y

y

y

u yu

y

u

x

x

x

x

x

x

u xu

x

u

i

y x

y x

y x

y x

z

f z f f

x

v

y

u

y

v

x

u

y

y

y

y

y

y

v yv

y

v

x

x

x

x

x

x

v xv

x

v

y x z

y y y y

x x x x

22

33

22

33

0,0,0

002

3

00

002

3

00

lim0

0 lim0'

tetapi,0,0didipenuhiReimannCauchy persamaan

maka,0,010,0dan0,010,0karena

11 lim lim lim0

0,0,0 lim0,0

11 lim lim lim0

0,00, lim0,0



ada.tidak0'Jadi, ada. tidaklim

maka berbeda,limitnyanilaidan0kurvasepanjangKarena

2

2 lim

22

33

22

33

0,0,

2

3

0,0,

f i

y x

y x

y x

y x

x y y

x x

x

y x

y x

4. Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut

a. i y x z f 22

l.diferensiamemilikitidak

sehinggaReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena

2 0 ,

0 2 ,

2

2

y x y x

y x

y x

uvvu

yvv y y xv

u xu x y xu

b. iy x z f 1

singular.ikadalah tit Titik

titikdikecualititikdisetiapanalitikFungsi.untuk1

'2

i z

i z f i z iy x

z f

c. yi xe z f y sincos

ldiferensiamemilikitidak

sehinggaReimannCauchy persamaan berlakutidakmaka dankarena os 0 sin,

os sin cos,

sincos,

x y y x

y

y x

y

y

y

y

x

y

y y

vuvu ycevv yie y xv

xceu xeu xe y xu

yie xe y x f

anakom kelomok 6 persamaan cauchy riemann

Documents