kalkulus fraksional riemann-liouville dan fungsi...

i

KALKULUS FRAKSIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DAN

FUNGSI TRIGONOMETRI FRAKSIONAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Refael Rio Valerian

NIM: 153114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL CALCULUS AND

FRACTIONAL TRIGONOMETRIC FUNCTION

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :

Refael Rio Valerian

NIM: 153114007

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


vi

MOTTO

“Aku tahu, bahwa Engkau sanggup melakukan segala sesuatu, dan tidak ada

rencana-Mu yang gagal” (Ayub 42:2)

“Don’t be afraid, for I am with you! Don’t be frightened, for I am your God!

I strengthen you – yes, I help you – yes, I uphold you with my saving right

hand!” (Isaiah 41:10)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tuaku dan keluargaku.


viii

ABSTRAK

Kalkulus adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari konsep dan

perhitungan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan deret tak hingga. Dalam

kalkulus klasik, sebuah fungsi dapat diturunkan atau diintegralkan sekali, dua kali,

dan seterusnya. Kemudian, muncul sebuah pertanyaan terkait orde pecahan dari

turunan atau integral. Lebih jelasnya, apa yang dimaksud dengan turunan ke-

setengah dari sebuah fungsi dan bagaimana cara mencarinya. Dengan kata lain, orde

turunan dan integral dalam kalkulus klasik hanya terbatas pada bilangan asli. Dalam

konteks ini, lahirlah suatu pengembangan dari kalkulus klasik yang disebut kalkulus

fraksional. Kalkulus fraksional merupakan sebuah cabang matematika yang

memperluas orde dari turunan dan integral ke dalam orde bilangan rasional atau

bahkan bilangan real.

Kalkulus fraksional secara khusus versi Riemann-Liouville, juga

memberikan perumuman dalam fungsi yang terdapat dalam kalkulus klasik,

misalnya fungsi eksponensial dan fungsi trigonometri. Oleh karena itu, penulis

mempelajari fungsi trigonometri fraksional berdasarkan fungsi eksponensial

fraksional. Dalam mengembangkan fungsi trigonometri fraksional, terlebih dahulu

akan dibahas mengenai fungsi-fungsi dasar yang terkait kalkulus fraksional,

integral fraksional, turunan fraksional, dan transformasi Laplace. Kalkulus

fraksional juga memiliki penerapan salah satunya adalah model farmakokinetik

yang akan dibahas pada bab empat.

Kata kunci: integral fraksional, turunan fraksional, transformasi Laplace, fungsi

trigonometri fraksional.


ix

ABSTRACT

Calculus is a branch of mathematics that studies concepts and calculation of

limits, continuity, derivatives, integrals, and infinite series. In the classical calculus,

a function can be differentiated or integrated once, twice, and so on. Then, a

question arises related to the derivative or integral of fractional order, for example,

how to compute the 1 2⁄ -th derivative of the function. The order of derivative and

integral operations in classical calculus are only limited to natural numbers. In this

context, an extention of classical calculus called fractional calculus was born.

Fractional calculus is a branch of mathematics that extends the order of derivatives

and integrals into the order of rational numbers or even real numbers.

Fractional calculus in particular Riemann-Liouville version, can be used

also to generalize functions from the classical calculus, for example exponential

functions and trigonometric functions. In this thesis, the author studies fractional

trigonometric functions based on fractional exponential functions. In developing

fractional trigonometric function, we will first discuss basic functions which related

to fractional calculus, fractional integral, fractional derivative, and Laplace

transform. Fractional calculus has also a lot of applications, one of which is

pharmacokinetic model which will be discussed in chapter four.

Keywords: fractional integral, fractional derivative, Laplace transform, fractional

trigonometric function.


xi

KATA PENGANTAR

Ucapan puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala

pengurapan, hikmat, dan kebaikan-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan

dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia

membantu dalam berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan. Oleh karena

itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen

pembimbing skripsi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.

3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, dan

Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen – dosen Prodi

Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis

selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, kakak dan keluarga yang telah membantu dan mendukung

penulis selama proses pengerjaan skripsi.

7. T.R.A.P : Petra, Andhi, dan Thomas yang telah menjadi keluarga kedua dan

sahabat serta memberi dukungan dalam proses pengerjaan skripsi.

8. Frendy dan keluarga yang telah memberikan dukungan serta tempat tinggal

selama menjalani masa perkuliahan di Yogyakarta.

9. Kak Andreas D. A. P. dan seluruh anggota Kelompok Sel RISE UP yang

telah menjadi kakak rohani dan selalu memberi dukungan dalam doa.

10. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015, serta teman – teman dari

Prodi Matematika Angkatan 2016 dan 2017 baik yang mendukung penulis


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v

MOTTO ................................................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT .......................................................................................................... ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. x

KATA PENGANTAR .......................................................................................... xi

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 3

C. Batasan Masalah........................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 4

F. Metode Penulisan ......................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4

BAB II INTEGRAL DAN TURUNAN FRAKSIONAL .................................... 6

A. Sejarah Pengembangan Kalkulus Fraksional ............................................... 6

B. Beberapa Fungsi Khusus yang terkait Kalkulus Fraksional ........................ 8

C. Integral Fraksional versi Riemann-Liouville ............................................. 18

D. Sifat – sifat Integral Fraksional versi Riemann-Liouville .......................... 25

E. Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville ............................................ 27

F. Sifat – sifat Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville ......................... 29

G. Penerapan Integral Fraksional .................................................................... 31


xiv

BAB III TRANSFORMASI LAPLACE ........................................................... 35

A. Transformasi Laplace ................................................................................. 35

B. Sifat – sifat Transformasi Laplace ............................................................. 36

C. Transformasi Laplace dari Integral Fraksional .......................................... 39

D. Transformasi Laplace dari Turunan Fraksional ......................................... 40

BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI FRAKSIONAL ................................... 46

A. Fungsi Eksponensial Fraksional ................................................................. 46

B. Fungsi Trigonometri Fraksional ................................................................. 47

C. Sifat – sifat Fungsi Trigonometri Fraksional ............................................. 49

D. Transformasi Laplace dari Fungsi Trigonometri Fraksional ..................... 56

E. Perumuman Wronskian dan Kebebasan Linear ......................................... 57

F. Sistem Persamaan Diferensial Fraksional dengan Koefisien Matriks

Konstanta ........................................................................................................... 63

G. Penerapan Kalkulus Fraksional di Bidang Farmakokinetik ....................... 74

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 81

A. Kesimpulan ................................................................................................ 81

B. Saran ........................................................................................................... 81

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 83


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kalkulus adalah suatu cabang matematika yang mempelajari konsep dan

perhitungan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan deret tak hingga.

Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang sains, ekonomi, dan

teknik, serta dapat memecahkan berbagai masalah. Dalam kalkulus, suatu

fungsi dapat diturunkan atau diintegralkan sekali, dua kali, dan seterusnya.

Hal ini terkait dengan konsep turunan tingkat tinggi dan integral lipat.

Kemudian muncul sebuah pertanyaan terkait dengan orde pecahan turunan

atau integral, misalnya bagaimana turunan ke setengah dari fungsi tersebut.

Dalam hal ini, lahirlah suatu pengembangan kalkulus biasa yang disebut

kalkulus fraksional. Kalkulus fraksional adalah sebuah cabang matematika

yang memperluas orde dari turunan dan integral ke dalam orde bilangan

rasional. Topik yang dibahas dalam kalkulus fraksional meliputi fungsi –

fungsi dasar dalam kalkulus fraksional, integral fraksional dan turunan

fraksional, transformasi Laplace, dan persamaan diferensial fraksional.

Diingat kembali bahwa fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan

setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain. Trigonometri

adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara panjang sisi

dan sudut segitiga.

Gambar (1.1). Lingkaran satuan


2

Pada gambar (1.1) di atas, dibentuk segitiga dengan panjang 𝑂𝑃 = 1, 𝑂𝑀 =

𝑎, 𝑃𝑀 = 𝑏, dan ∠𝑃𝑂𝑀 = 𝑥. Kosinus sudut 𝑥 didefinisikan oleh

cos 𝑥 ≔𝑂𝑀

𝑂𝑃=

𝑎

1= 𝑎,

sinus sudut 𝑥 didefinisikan oleh

sin 𝑥 ≔𝑃𝑀

𝑂𝑃=

𝑏

1= 𝑏,

Setiap titik (𝑎, 𝑏) pada lingkaran satuan di atas dapat dinyatakan dalam

(cos 𝑥 , sin 𝑥). Fungsi trigonometri adalah fungsi yang dapat dinyatakan

dalam bentuk sinus dan kosinus.

Dalam kalkulus fraksional, salah satu fungsi paling penting adalah fungsi

Mittag-Leffler dengan dua parameter yaitu

𝐸𝛼,𝛽(𝑥) ≔ ∑𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0,

dengan Γ adalah fungsi gamma. Fungsi tersebut adalah sebuah perumuman

dari fungsi eksponensial, sebab untuk 𝛼 = 𝛽 = 1 diperoleh

𝐸1,1(𝑎𝑥) = ∑(𝑎𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= ∑(𝑎𝑥)𝑘

𝑘!=

∞

𝑘=0

𝑒𝑎𝑥.

Berdasarkan fungsi Mittag-Leffler, fungsi eksponensial fraksional

didefinisikan dengan

𝑒𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔ 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼), 𝑥 > 0.


3

Fungsi trigonometri fraksional adalah perluasan dari fungsi trigonometri

berdasarkan fungsi eksponensial fraksional. Dalam tugas akhir ini, akan

dibahas mengenai kalkulus fraksional versi Riemann-Liouville, fungsi

trigonometri fraksional, serta perumuman determinan Wronskian yang

dapat digunakan untuk menentukan kebebasan linear dari suatu himpunan

penyelesaian sistem persamaan diferensial fraksional.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibicarakan yaitu:

1. Bagaimana pengembangan kalkulus fraksional versi Riemann-

Liouville?

2. Bagaimana pengembangan fungsi trigonometri fraksional berdasarkan

fungsi eksponensial fraksional?

3. Bagaimana sifat-sifat dari fungsi trigonometri fraksional?

4. Bagaimana perumuman determinan Wronskian untuk menentukan

kebebasan linear dari suatu himpunan penyelesaian sistem persamaan

diferensial fraksional?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai kalkulus fraksional Riemann-

Liouville dan fungsi trigonometri fraksional yang dikembangkan

berdasarkan fungsi eksponensial fraksional.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Mempelajari pengembangan kalkulus fraksional versi Riemann-

Liouville.

2. Mempelajari pengembangan fungsi trigonometri fraksional berdasarkan

fungsi eksponensial fraksional.

3. Mengetahui sifat – sifat fungsi trigonometri fraksional.


4

4. Mempelajari perumuman determinan Wronskian untuk menentukan

kebebasan linear dari suatu himpunan penyelesaian sistem persamaan

diferensial fraksional.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah agar kita dapat mengenal dan

memahami kalkulus fraksional Riemann-Liouville dan fungsi trigonometri

fraksional.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah

studi pustaka dengan membaca buku, jurnal, skripsi, serta simulasi dengan

menggunakan aplikasi komputer yaitu MATLAB.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II INTEGRAL DAN TURUNAN FRAKSIONAL

A. Sejarah Pengembangan Kalkulus Fraksional

B. Beberapa Fungsi Khusus yang terkait Kalkulus Fraksional

C. Integral Fraksional versi Riemann-Liouville

D. Sifat – sifat Integral Fraksional versi Riemann-Liouville

E. Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville

F. Sifat – sifat Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville


5

G. Penerapan Integral Fraksional

BAB III TRANSFORMASI LAPLACE

A. Transformasi Laplace

B. Sifat – sifat Transformasi Laplace

C. Transformasi Laplace dari Integral Fraksional

D. Transformasi Laplace dari Turunan Fraksional

BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI FRAKSIONAL

A. Fungsi Eksponensial Fraksional

B. Fungsi Trigonometri Fraksional versi Riemann-Liouville

C. Sifat – sifat Fungsi Trigonometri Fraksional

D. Transformasi Laplace dari Fungsi Trigonometri Fraksional

E. Perumuman Wronskian dan Kebebasan Linear

F. Sistem Persamaan Diferensial Fraksional dengan koefisien Matriks

Konstanta

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

Daftar Pustaka


6

BAB II

INTEGRAL DAN TURUNAN FRAKSIONAL

Di dalam matematika, kita seringkali bertemu dengan masalah perluasan dari

konsep matematika. Contoh yang dikenal adalah perluasan dari bilangan bulat ke

bilangan rasional, bilangan rasional ke bilangan real, dan bilangan real ke bilangan

kompleks. Pertanyaan yang sering muncul mengenai perluasan dalam turunan dan

integral misalnya, diberikan sebarang fungsi 𝑓(𝑥), kemudian apakah turunan

𝑑𝑛𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝑛, 𝑛 > 0

dengan orde bilangan bulat 𝑛 dapat diperluas ke dalam orde bilangan rasional,

irasional, atau kompleks. Jawaban dari pertanyaan di atas dibahas dalam kalkulus

fraksional. Kalkulus fraksional adalah sebuah perluasan dari kalkulus klasik

(kalkulus Newton-Leibniz).

A. Sejarah Pengembangan Kalkulus Fraksional

Pada tanggal 30 September 1695, L’Hôpital mengirim surat kepada Leibniz yang

berisi pertanyaan mengenai notasi yang telah Leibniz gunakan dalam publikasinya

untuk turunan ke – 𝑛

𝑑𝑛𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝑛

dari fungsi linear 𝑓(𝑥) = 𝑥. Pertanyaan dari L’Hôpital kepada Leibniz adalah

apakah hasilnya jika 𝑛 =1

2? Peristiwa ini adalah awal lahirnya kalkulus fraksional.

Kemudian, banyak para matematikawan yang tertarik dan berkontribusi ke kalkulus

fraksional seperti Euler, Laplace, Fourier, Lacroix, Abel, Riemann, dan Liouville.

Pada tahun 1819, Lacroix berhasil mendefinisikan turunan fraksional dan menjadi

diskusi formal yang pertama dalam kalkulus fraksional. Diberikan fungsi


7

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑚

dengan 𝑚 adalah bilangan bulat positif, Lacroix menemukan bahwa turunan ke – 𝑛

dari 𝑥𝑚 adalah

𝑑𝑛𝑥𝑚

𝑑𝑥𝑛=

𝑚!

(𝑚 − 𝑛)!𝑥𝑚−𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛.

(2.1)

dengan 𝑚! ≔ 𝑚(𝑚 − 1) … 2 ∙ 1 adalah notasi faktorial.

Kemudian, Lacroix mensubstitusikan 𝑛 =1

2 dan 𝑚 = 1, untuk memperoleh turunan

ke – 1

2 dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 yaitu

𝑑12𝑥

𝑑𝑥12

=1!

(1 −12) !

𝑥1−12 =

𝑥12

(12) !

=2√𝑥

√𝜋.

dengan (1

2) ! =

√𝜋

2. Perhitungan (

1

2) ! =

√𝜋

2 diperoleh dengan menggunakan fungsi

gamma dan secara rinci akan dibahas pada subbab selanjutnya.

Penerapan kalkulus fraksional pertama kali dipelajari oleh Niels Henrik Abel pada

tahun 1823. Abel menerapkan kalkulus fraksional ke dalam penyelesaian

persamaan integral, yaitu pada masalah tautochrone. Masalah tautochrone

membahas mengenai pencarian bentuk dari sebuah kawat tanpa gesekan yang

terletak pada sebuah bidang vertikal sedemikian sehingga waktu yang diperlukan

bagi sebuah manik yang ditempatkan pada kawat untuk melucur ke titik terendah

dari kawat tidak bergantung pada titik awal di mana manik tersebut ditempatkan.

Pada tahun 1823, Liouville berhasil mendefinisikan turunan ke – 𝜈 dari 𝑥−𝛼 dengan

𝑥 dan 𝛼 bernilai positif yaitu


8

𝑑𝜈

𝑑𝑥𝜈𝑥−𝛼 ≔

(−1)𝜈Γ(𝜈)

Γ(𝛼)𝑥−𝛼−𝜈 .

(2.2)

Kemudian, Liouville kembali berhasil memperluas definisi (2.2) untuk

menyertakan nilai kompleks untuk 𝛼 dan 𝜈. Dengan menyatukan hasil – hasil dari

banyak matematikawan terkemuka, khususnya Liouville dan Riemann, analisis

modern dapat mendefinisikan integral dengan sebarang orde. Integral fraksional

orde 𝜈 didefinisikan melalui

𝐷𝑥−𝜈

𝑐 𝑓(𝑥) ≔ 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.

𝑥

𝑐

B. Beberapa Fungsi Khusus yang terkait Kalkulus Fraksional

Ada beberapa fungsi dasar yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus

fraksional, di antaranya adalah fungsi gamma, fungsi beta, fungsi galat, dan fungsi

Mittag-Leffler.

1. Fungsi Gamma

Fungsi gamma merupakan sebuah perluasan dari fungsi faktorial ke dalam nilai

yang bukan bilangan bulat positif. Fungsi gamma didefinisikan oleh integral tak

wajar

Γ(𝑥) ≔ ∫ 𝑒−𝑡∞

0

𝑡𝑥−1 𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℂ, 𝑅𝑒(𝑥) > 0. (2.3)

Hubungan antara fungsi gamma dengan faktorial adalah bahwa untuk setiap

bilangan asli 𝑛 berlaku

Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)!. (2.4)

Fungsi gamma juga memenuhi persamaan


9

Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥), 𝑥 ∈ ℂ, 𝑅𝑒(𝑥) > 0. (2.5)

Persamaan (2.5) di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan integral parsial,

yaitu

Γ(𝑥 + 1) = ∫ 𝑒−𝑡∞

0

𝑡𝑥 𝑑𝑡.

Misalkan 𝑢 = 𝑡𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑡𝑑𝑡, diperoleh 𝑑𝑢 = 𝑥𝑡𝑥−1 𝑑𝑡 dan 𝑣 = −𝑒−𝑡,

sehingga

Γ(𝑥 + 1) = −𝑡𝑥𝑒−𝑡|0∞ + 𝑥 ∫ 𝑒−𝑡

∞

0

𝑡𝑥−1 𝑑𝑡

= 𝑡𝑥𝑒−𝑡|0∞ + 𝑥Γ(𝑥)

= lim𝑏→∞

𝑡𝑥𝑒−𝑡|0𝑏 + 𝑥Γ(𝑥)

= 𝑥Γ(𝑥).

Persamaan (2.1) di atas dapat dinyatakan dalam fungsi gamma dan dengan

persamaan (2.4), yaitu

𝑑𝑛𝑥𝑚

𝑑𝑥𝑛=

Γ(𝑚 + 1)

Γ(𝑚 − 𝑛 + 1)𝑥𝑚−𝑛

(2.6)

Selanjutnya, akan dihitung nilai Γ (1

2) dan Γ (

3

2).

Menggunakan definisi (2.3) diperoleh

Γ (1

2) = ∫ 𝑒−𝑡

∞

0

𝑡−12 𝑑𝑡.

Misalkan 𝑡 = 𝑥2, diperoleh 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥, sehingga

Γ (1

2) = 2 ∫ 𝑒−𝑥2

∞

0

𝑑𝑥.


10

Persamaan di atas juga ekivalen dengan

Γ (1

2) = 2 ∫ 𝑒−𝑦2

∞

0

𝑑𝑦.

Kemudian, dengan mengalikan kedua persamaan di atas diperoleh

[Γ (1

2)]

2

= 4 ∫ ∫ 𝑒−(𝑥2+𝑦2)∞

0

𝑑𝑥 𝑑𝑦.∞

0

Persamaan di atas merupakan integral lipat dua yang berada di kuadran pertama dan

dapat dihitung dalam koordinat kutub. Misalkan 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃,

diperoleh

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2cos2𝜃 + 𝑟2sin2𝜃

= 𝑟2(cos2𝜃 + sin2𝜃)

= 𝑟2,

dan

𝑑𝑥 𝑑𝑦 = |

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

| 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = |cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃

| 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃,

sehingga

[Γ (1

2)]

2

= 4 ∫ ∫ 𝑒−𝑟2∞

0

𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃.

𝜋2

0

Misalkan 𝑢 = 𝑟2, diperoleh 𝑑𝑢 = 2𝑟 𝑑𝑟 atau 1

2𝑑𝑢 = 𝑟 𝑑𝑟, sehingga

[Γ (1

2)]

2

= 2 ∫ ∫ 𝑒−𝑢∞

0

𝑑𝑢 𝑑𝜃

𝜋2

0


11

= 2 ∫ lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑢𝑏

0

𝑑𝑢 𝑑𝜃

𝜋2

0

= 2 ∫ lim𝑏→∞

𝜋2

0

(−𝑒−𝑢)0𝑏 𝑑𝜃

= 2 ∫ ( lim𝑏→∞

𝑒−𝑏 + lim𝑏→∞

𝑒0 )

𝜋2

0

𝑑𝜃

= 2 ∫ 𝑑𝜃

𝜋2

0

= 2𝜃|0𝜋 2⁄

= 𝜋.

Jadi, Γ (1

2) = √𝜋.

Selanjutnya, akan dihitung nilai Γ (3

2).

Menggunakan persamaan (2.5) diperoleh

Γ (3

2) = Γ (

1

2+ 1) =

1

2Γ (

1

2) =

√𝜋

2.

Fungsi gamma yang diperumum disebut fungsi gamma tak lengkap (incomplete

gamma function) yang didefinisikan oleh

Γ∗(𝜈, 𝑥) ≔1

Γ(ν)𝑥𝜈∫ 𝑒−𝑡

𝑡

0

𝑡𝜈−1 𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℂ, 𝑅𝑒(𝑥) > 0. (2.7)

2. Fungsi Beta

Fungsi beta didefinisikan oleh integral tak wajar

𝐵(𝑥, 𝑦) ≔ ∫ (1 − 𝑢)𝑥−11

0

𝑢𝑦−1 𝑑𝑢, 𝑥, 𝑦 > 0. (2.8)


12

Fungsi beta juga dapat dinyatakan dalam perkalian dari fungsi gamma yaitu

𝐵(𝑥, 𝑦) =Γ(𝑥)Γ(𝑦)

Γ(𝑥 + 𝑦).

(2.9)

Persamaan di atas dapat diperoleh dengan menggunakan definisi dari fungsi

gamma. Apabila

Γ(𝑥) = ∫ 𝑒−𝑡∞

0

𝑡𝑥−1 𝑑𝑡

dan

Γ(𝑦) = ∫ 𝑒−𝑢∞

0

𝑢𝑦−1 𝑑𝑢,

maka

Γ(𝑥)Γ(𝑦) = ∫ ∫ 𝑡𝑥−1∞

0

∞

0

𝑢𝑦−1𝑒−(𝑡+𝑢) 𝑑𝑡 𝑑𝑢.

Misalkan 𝑡 = 𝑣𝑧, 𝑢 = 𝑣(1 − 𝑧), dan 𝐽 = (

𝜕𝑡

𝜕𝑣

𝜕𝑡

𝜕𝑧𝜕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑧

) = (𝑧 𝑣

1 − 𝑧 −𝑣), diperoleh

𝑡 + 𝑢 = 𝑣, sehingga

𝑑𝑡 𝑑𝑢 = det(𝐽) 𝑑𝑣 𝑑𝑧 = |𝑧 𝑣

1 − 𝑧 −𝑣| 𝑑𝑣 𝑑𝑧 = −𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑧.

Karena 𝑡, 𝑢 > 0, berakibat 𝑣 > 0, sehingga

𝑑𝑡 𝑑𝑢 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑧.

Selanjutnya ketika 𝑡, 𝑢 → ∞, berlaku 𝑣 → ∞ dan berakibat 𝑧 → 1 sehingga

Γ(𝑥)Γ(𝑦) = ∫ ∫ 𝑣𝑥−1∞

0

1

0

𝑧𝑥−1𝑣𝑦−1(1 − 𝑧)𝑦−1 𝑒−𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑧


13

= ∫ 𝑧𝑥−11

0

(1 − 𝑧)𝑦−1 𝑑𝑧 ∫ 𝑣𝑥+𝑦−1∞

0

𝑒−𝑣 𝑑𝑣

= 𝐵(𝑥, 𝑦) Γ(𝑥 + 𝑦).

Jadi, Γ(𝑥)Γ(𝑦) = 𝐵(𝑥, 𝑦) Γ(𝑥 + 𝑦) dan akibatnya diperoleh

𝐵(𝑥, 𝑦) =Γ(𝑥)Γ(𝑦)

Γ(𝑥 + 𝑦).

3. Fungsi Galat (Error Function)

Fungsi galat didefinisikan melalui

𝐸𝑟𝑓(𝑥) ≔2

√𝜋∫ 𝑒−𝑡2

𝑥

0

𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ ∪ {∞}. (2.10)

Komplemen dari fungsi galat didefinisikan

𝐸𝑟𝑓𝑐(𝑥) = 1 − 𝐸𝑟𝑓(𝑥).

Berdasarkan persamaan (2.10), diperoleh 𝐸𝑟𝑓(0) = 0 dan 𝐸𝑟𝑓(∞) = 1.

4. Fungsi Mittag-Leffler

Fungsi Mittag-Leffler pertama kali diperkenalkan oleh Gösta Mittag-Leffler pada

tahun 1903. Fungsi ini memegang peran penting dalam kalkulus fraksional,

khususnya dalam penyelesaian persamaan diferensial fraksional. Fungsi Mittag-

Leffler dengan satu parameter didefinisikan oleh

𝐸𝛼(𝑥) ≔ ∑𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

, 𝛼 > 0, 𝑥 ∈ ℂ. (2.11)


14

Dapat diperoleh ruas kanan dari persamaan (2.11) konvergen untuk setiap 𝛼 ∈ ℂ

dengan 𝑅𝑒(𝛼) > 0, bukti dapat dilihat misalnya pada [Gorenflo et al,2014,hal.18].

Dengan kata lain, fungsi Mittag-Leffler 𝐸𝛼(𝑥) terdefinisi dengan baik.

Secara khusus, jika 𝛼 =1

𝑛, 𝑛 ∈ ℕ\{1}, maka fungsi 𝐸𝛼(𝑥) menjadi

𝐸1𝑛

(𝑥) = 𝑒𝑥𝑛{1 + 𝑛 ∫ 𝑒−𝑧𝑛

𝑥

0

[∑𝑧𝑘−1

Γ(𝑘 𝑛⁄ )

𝑛−1

𝑘=1

] 𝑑𝑧}. (2.12)

Fungsi Mittag-Leffler dengan dua parameter didefinisikan oleh

𝐸𝛼,𝛽(𝑥) ≔ ∑𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0, 𝑥 ∈ ℂ. (2.13)

Ruas kanan dari persamaan (2.13) juga konvergen untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ dengan

𝑅𝑒(𝛼) > 0, bukti dapat dilihat pada [Gorenflo et al,2014,hal.56]. Dengan kata lain,

fungsi Mittag-Leffler 𝐸𝛼,𝛽(𝑥) terdefinisi dengan baik.

Diperhatikan bahwa jika 𝛽 = 1, maka 𝐸𝛼,1(𝑥) = 𝐸𝛼(𝑥). Lebih lanjut, jika 𝛼 = 1

dan 𝛽 = 1, maka

𝐸1,1(𝑥) = ∑𝑥𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= ∑𝑥𝑘

k!

∞

𝑘=0

= 𝑒𝑥.

Gambar (2.1) berikut adalah grafik fungsi Mittag-Leffler dengan dua parameter

untuk beberapa pasangan nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan 𝛼 = 𝛽.


15

Gambar (2.1). Grafik fungsi Mittag-Leffler


16

Gambar (2.1) di atas menunjukkan perilaku grafik dari fungsi Mittag-Leffler untuk

beberapa pasangan nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan 𝛼 = 𝛽. Grafik fungsi Mittag-Leffler

berbentuk menyerupai fungsi eksponensial. Untuk pasangan nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan

(𝛼, 𝛽) → (1,1), grafik fungsi Mittag-Leffler akan mendekati grafik fungsi

eksponensial. Dengan kata lain

lim(𝛼,𝛽)→(1,1)

𝐸𝛼,𝛽(𝑥) = lim(𝛼,𝛽)→(1,1)

∑𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

= ∑𝑥𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= ∑𝑥𝑘

k!

∞

𝑘=0

= 𝑒𝑥.

Lema 2.2.1

Fungsi Mittag-Leffler memenuhi sifat berikut:

1. 1

Γ(𝛽)+ 𝑥𝐸𝛼,𝛼+𝛽(𝑥) = 𝐸𝛼,𝛽(𝑥), dengan 𝑥 ∈ ℂ.

2. 𝑒𝑥2[1 + 𝐸𝑟𝑓(𝑥)] − 1 = 𝑥𝐸1 2⁄ ,3 2⁄ (𝑥).

3. 𝑑

𝑑𝑥[𝐸𝛼,𝛽(𝑥)] =

1

𝛼𝑥[𝐸𝛼,𝛽−1(𝑥) − (𝛽 − 1)𝐸𝛼,𝛽(𝑥)].

Bukti:

1. Dengan menggunakan persamaan (2.13), diperoleh

1

Γ(𝛽)+ 𝑥𝐸𝛼,𝛼+𝛽(𝑥) =

1

Γ(𝛽)+ 𝑥 ∑

𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼 + 𝛽)

∞

𝑘=0

=1

Γ(𝛽)+ ∑

𝑥𝑘+1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼 + 𝛽)

∞

𝑘=0

Misalkan 𝑚 = 𝑘 + 1, diperoleh

1

Γ(𝛽)+ 𝑥𝐸𝛼,𝛼+𝛽(𝑥) =

1

Γ(𝛽)+ ∑

𝑥𝑚

Γ(𝛼𝑚 + 𝛽)

∞

𝑚=1

=1

Γ(𝛽)+ ∑

𝑥𝑚

Γ(𝛼𝑚 + 𝛽)

∞

𝑚=0

−1

Γ(𝛽)


17

= ∑𝑥𝑚

Γ(𝛼𝑚 + 𝛽)

∞

𝑚=0

= 𝐸𝛼,𝛽(𝑥).

2. Dengan menggunakan persamaan (2.12), diperoleh

𝐸12

(𝑥) = 𝑒𝑥2{1 + 2 ∫ 𝑒−𝑧2

𝑥

0

[∑𝑧𝑘−1

Γ(1 2⁄ )

2−1

𝑘=1

] 𝑑𝑧}

= 𝑒𝑥2[1 +

2

Γ(1 2⁄ )∫ 𝑒−𝑧2

𝑥

0

𝑑𝑧]

= 𝑒𝑥2[1 +

2

√𝜋∫ 𝑒−𝑧2

𝑥

0

𝑑𝑧]

= 𝑒𝑥2[1 + 𝐸𝑟𝑓(𝑥)].

Menurut sifat 1, diperoleh

1

Γ(1)+ 𝑥𝐸1 2⁄ ,1 2⁄ +1(𝑥) = 𝐸1

2

(𝑥)

𝑥𝐸1 2⁄ ,3 2⁄ (𝑥) = 𝐸12

(𝑥) − 1

𝑥𝐸1 2⁄ ,3 2⁄ (𝑥) = 𝑒𝑥2[1 + 𝐸𝑟𝑓(𝑥)] − 1.

3. Akan dibuktikan sifat 3 dengan penjabaran kedua ruas.

Untuk ruas kiri,

𝑑


𝑑

𝑑𝑥[∑

𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

].

Karena fungsi Mittag-Leffler merupakan deret yang konvergen, berlaku

𝑑

𝑑𝑥[∑

𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

] = [∑1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑘] = ∑

𝑘𝑥𝑘−1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

.


18

Untuk ruas kanan,

1

𝛼𝑥[𝐸𝛼,𝛽−1(𝑥) − (𝛽 − 1)𝐸𝛼,𝛽(𝑥)]

=1

𝛼𝑥[∑

𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽 − 1)

∞

𝑘=0

− ∑(𝛽 − 1)𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

]

=1

𝛼𝑥[∑

𝑥𝑘(𝛼𝑘 + 𝛽 − 1)

(𝛼𝑘 + 𝛽 − 1)Γ(𝛼𝑘 + 𝛽 − 1)

∞

𝑘=0

− ∑𝛽𝑥𝑘 − 𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

]

=1

𝛼𝑥[∑

(𝛼𝑘)𝑥𝑘 + 𝛽𝑥𝑘 − 𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

− ∑𝛽𝑥𝑘 − 𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

]

=1

𝛼𝑥[∑

(𝛼𝑘)𝑥𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

]

= ∑𝑘𝑥𝑘−1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

.

Jadi,

𝑑


1

𝛼𝑥[𝐸𝛼,𝛽−1(𝑥) − (𝛽 − 1)𝐸𝛼,𝛽(𝑥)].

∎

C. Integral Fraksional versi Riemann-Liouville

Ada lebih dari satu versi integral fraksional, seperti versi Riemann, Liouville,

Riemann-Liouville, Weyl, dan lain-lain. Sebelumnya, telah diperkenalkan integral

fraksional yang didefinisikan dengan

𝐷𝑥−𝜈

𝑐 𝑓(𝑥) ≔ 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

𝑐

(2.14)

Persamaan (2.14) merupakan integral fraksional versi Riemann, dengan 𝐷𝑥−𝜈

𝑐

menotasikan integrasi fraksional dari sebuah fungsi dengan sebarang orde 𝜈, dan 𝜈

adalah bilangan rasional tak negatif. Dalam notasi ini, 𝑐 dan 𝑥 adalah batas dari


19

operator integrasi. Versi lain dari integral fraksional di atas disebut versi Liouville

yang didefinisikan oleh

𝐷𝑥−𝜈

−∞ 𝑓(𝑥) ≔ 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

−∞

(2.15)

Kasus khusus jika 𝑐 = 0 pada persamaan (2.14), maka didapatkan integral

fraksional versi Riemann-Liouville yang didefinisikan oleh

𝐷𝑥−𝜈

0 𝑓(𝑥) ≔ 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

0

(2.16)

Untuk menyederhanakan notasi, batas integrasi dari operator dihilangkan, yaitu

𝐷𝑥−𝜈

0 dapat ditulis menjadi 𝐷−𝜈.

Teorema 2.3.1 (Rumus Dirichlet)

Diberikan fungsi kontinu ℎ(𝑥, 𝑦) dan bilangan real positif 𝜇 dan 𝜈. Rumus Dirichlet

didefinisikan oleh

∫ (𝑡 − 𝑥)𝜇−1 𝑑𝑥 ∫ (𝑥 − 𝑦)𝜈−1 ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑥

0

𝑡

0

≔ ∫ 𝑑𝑦𝑡

0

∫ (𝑡 − 𝑥)𝜇−1(𝑥 − 𝑦)𝜈−1 ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥.𝑡

𝑦

Kasus khusus, jika ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑦) dan 𝑔(𝑥) = 1, maka

∫ (𝑡 − 𝑥)𝜇−1 𝑑𝑥 ∫ (𝑥 − 𝑦)𝜈−1 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑥

0

𝑡

0

= 𝐵(𝜇, 𝜈) ∫ (𝑡 − 𝑦)𝜇+𝜈−1 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦,𝑡

0

(2.17)

dengan 𝐵(𝜇, 𝜈) adalah fungsi beta.

Bukti teorema ini dapat dilihat pada [Whittaker,1927,hal.77].


20

Definisi 2.3.2

Diberikan sebuah bilangan real 𝜈 dan fungsi 𝑓 kontinu pada (0, ∞) dan terintegral

pada setiap subinterval dari 𝐽 = [0, ∞). Untuk setiap 𝑥 > 0

𝐷−𝜈 𝑓(𝑥) ≔ 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

0

(2.18)

disebut integral fraksional Riemann-Liouville orde 𝜈 fungsi 𝑓.

Definisi dari integral fraksional versi Riemann-Liouville dapat diperoleh dengan

beberapa cara. Salah satu cara untuk memperolehnya adalah dengan menggunakan

teori persamaan diferensial linear. Diberikan persamaan diferensial dengan nilai

awal

𝑦(𝑛)(𝑥) = 𝑓(𝑥),

𝑦(𝑐) = 0, 𝑦′(𝑐) = 0, … , 𝑦(𝑛−1)(𝑐) = 0.

(2.19)

Persamaan (2.19) di atas mempunyai penyelesaian tunggal yaitu

𝑦(𝑥) = ∫(𝑥 − 𝑡)𝑛−1

(𝑛 − 1)!

𝑥

𝑐

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.

Akan dibuktikan pernyataan di atas menggunakan induksi matematis.

Basis induksi:

Untuk 𝑛 = 1 diperoleh

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑦(𝑐) = 0,

dan diperoleh penyelesaian tunggal yaitu


21

∫ 𝑦′(𝑡)𝑥

𝑐

𝑑𝑡 = ∫(𝑥 − 𝑡)1−1

(1 − 1)!

𝑥

𝑐

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

𝑦(𝑥) − 𝑦(𝑐) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑐

𝑑𝑡.

Karena 𝑦(𝑐) = 0, diperoleh

𝑦(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑐

𝑑𝑡.

Hipotesa induksi:

Untuk 𝑛 = 𝑘 diperoleh

𝑦(𝑘)(𝑥) = 𝑓(𝑥),

𝑦(𝑐) = 0, 𝑦′(𝑐) = 0, … , 𝑦(𝑘−1)(𝑐) = 0.

dan penyelesaian tunggal

𝑦(𝑥) = ∫(𝑥 − 𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑥

𝑐


Langkah induksi:

Selanjutnya, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, diperoleh

𝑦(𝑘+1)(𝑥) = 𝑓(𝑥),

𝑦(𝑐) = 0, 𝑦′(𝑐) = 0, … , 𝑦(𝑘)(𝑐) = 0.

Karena 𝑦(𝑘+1)(𝑥) = (𝑦′)(𝑘)(𝑥), dan misalkan 𝑢(𝑥) = 𝑦′(𝑥), diperoleh

𝑢(𝑘)(𝑥) = 𝑓(𝑥),

𝑢(𝑐) = 0, 𝑢′(𝑐) = 0, … , 𝑢(𝑘−1)(𝑐) = 0.


22

Menggunakan hipotesa induksi diperoleh

𝑢(𝑥) = ∫(𝑥 − 𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑥

𝑐

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

𝑦′(𝑥) = ∫(𝑥 − 𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑥

𝑐


Kemudian, dengan mengambil integral tentu dengan batas bawah 𝑐 dan batas atas

𝑥, dan dengan menggunakan rumus Dirichlet diperoleh

∫ 𝑦′(𝑡)𝑥

𝑐

𝑑𝑡 = ∫ ∫(𝑧 − 𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑧

𝑡=𝑐

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑥

𝑧=𝑐

𝑑𝑧

𝑦(𝑥) − 𝑦(𝑐) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑡=𝑐

𝑑𝑡 ∫(𝑧 − 𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑥

𝑧=𝑡

𝑑𝑧

= ∫(𝑥 − 𝑡)𝑘

𝑘!

𝑥

𝑐


Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematis,

𝑦(𝑥) = ∫(𝑥 − 𝑡)𝑛−1

(𝑛 − 1)!

𝑥

𝑐

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

benar untuk setiap bilangan asli 𝑛. Karena 𝑓(𝑥) pada persamaan (2.19) di atas

merupakan turunan ke – 𝑛 dari 𝑦(𝑥), maka 𝑦(𝑥) dapat diinterpretasikan sebagai

integral ke – 𝑛 dari 𝑓(𝑥) yaitu

𝐷𝑥−𝑛

𝑐 𝑓(𝑥) = 1

(𝑛 − 1)!∫ (𝑥 − 𝑡)𝑛−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.

𝑥

𝑐

(2.20)


23

Kemudian, dengan mensubstitusi bilangan bulat 𝑛 dengan sebarang bilangan real

positif 𝜈 dan (𝑛 − 1)! dengan fungsi gamma dan 𝑐 = 0, persamaan (2.20) menjadi

persamaan (2.18), yaitu definisi integral fraksional versi Riemann-Liouville.

Contoh 2.3.2

Akan dihitung 𝐷−𝜈 𝑥𝜇, dengan 𝜇 > −1 dan 𝜈 > 0.

Dari Definisi 2.3.2 diperoleh

𝐷−𝜈 𝑥𝜇 =1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑡𝜇 𝑑𝑡

𝑥

0

=1

Γ(𝜈)∫ 𝑥𝜈−1 (1 −

𝑡

𝑥)

𝜈−1

𝑡𝜇 𝑑𝑡.𝑥

0

Misalkan 𝑢 =𝑡

𝑥, diperoleh 𝑑𝑢 =

𝑑𝑡

𝑥 atau 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡, sehingga

𝐷−𝜈 𝑥𝜇 =1

Γ(𝜈)∫ 𝑥𝜈 (1 − 𝑢)𝜈−1 (𝑥𝑢)𝜇 𝑑𝑢

1

0

=1

Γ(𝜈)𝑥𝜈+𝜇 ∫ (1 − 𝑢)𝜈−1 𝑢𝜇 𝑑𝑢

1

0

=1

Γ(𝜈)𝑥𝜈+𝜇𝐵(𝜈, 𝜇 + 1)

=1

Γ(𝜈)𝑥𝜈+𝜇

Γ(𝜇 + 1)Γ(𝜈)

Γ(𝜇 + 𝜈 + 1)

=Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 + 𝜈 + 1)𝑥𝜈+𝜇.

Jadi, disimpulkan bahwa

𝐷−𝜈 𝑥𝜇 = Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 + 𝜈 + 1)𝑥𝜈+𝜇.

(2.21)

Secara khusus, ketika 𝜈 = 1 berlaku


24

𝐷−1 𝑥𝜇 = Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 + 1 + 1)𝑥1+𝜇 =

Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 + 2)𝑥1+𝜇 =

𝑥1+𝜇

𝜇 + 1,

atau dalam kalkulus klasik ditulis

∫ 𝑥𝜇 𝑑𝑥 =𝑥1+𝜇

𝜇 + 1.

Jika 𝜇 = 0, maka 𝑥𝜇 = 𝑥0 = 1, dan

𝐷−𝜈 𝑥0 = Γ(1)

Γ(0 + 𝜈 + 1)𝑥𝜈+0 =

1

Γ(𝜈 + 1)𝑥𝜈 .

Dengan kata lain, integral fraksional orde 𝜈 dari fungsi konstan 𝑘 adalah

𝐷−𝜈 𝑘 = 𝑘

Γ(𝜈 + 1)𝑥𝜈 .

(2.22)

Secara khusus, jika 𝜈 =1

2, maka

𝐷−12 𝑥0 =

1

Γ (32)

𝑥12 = 2√

𝑥

𝜋.

(2.23)

Contoh 2.3.3

Diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥, dengan 𝑎 adalah sebarang konstanta. Akan dihitung

𝐷−𝜈 𝑒𝑎𝑡.

Dari Definisi 2.3.2, diperoleh

𝐷−𝜈𝑒𝑎𝑥 = 1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1 𝑒𝑎𝑡 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

0

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝑡, diperoleh 𝑑𝑢 = −𝑑𝑡, sehingga

𝐷−𝜈𝑒𝑎𝑥 = −𝑒𝑎𝑥

Γ(𝜈)∫ 𝑢𝜈−1 𝑒−𝑎𝑢 𝑑𝑢, 𝜈 > 0.

𝑥

0

(2.24)


25

Menurut persamaan (2.7), persamaan (2.24) dapat dinyatakan dalam fungsi gamma

tak lengkap yaitu

𝐷−𝜈𝑒𝑎𝑥 = 𝑥𝜈𝑒𝑎𝑥Γ∗(𝜈, 𝑎𝑥).

(2.25)

D. Sifat – sifat Integral Fraksional versi Riemann-Liouville

Teorema 2.4.1

Diberikan fungsi 𝑓 kontinu pada 𝐽 = [0, ∞) dan bilangan real positif 𝜇 dan 𝜈. Untuk

setiap 𝑥 > 0 berlaku

𝐷−𝜇[𝐷−𝜈𝑓(𝑥)] = 𝐷−(𝜇+𝜈)𝑓(𝑥) = 𝐷−𝜈[𝐷−𝜇𝑓(𝑥)].

(2.26)

Bukti:

Dari definisi integral fraksional diperoleh

𝐷−𝜇[𝐷−𝜈𝑓(𝑥)] =1

Γ(𝜇)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜇−1 [𝐷−𝜈𝑓(𝑥)] 𝑑𝑡

𝑥

0

=1

Γ(𝜇)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜇−1

𝑥

0

1

Γ(𝜈)∫ (𝑡 − 𝑦)𝜈−1

𝑡

0

𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑡

=1

Γ(𝜇)Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜇−1

𝑥

0

𝑑𝑡 ∫ (𝑡 − 𝑦)𝜈−1𝑡

0

𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

=1

Γ(𝜇)Γ(𝜈)𝐵(𝜇, 𝜈) ∫ (𝑥 − 𝑦)𝜇+𝜈−1

𝑥

0

𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

=𝐵(𝜇, 𝜈)

𝐵(𝜇, 𝜈)Γ(μ + ν)∫ (𝑥 − 𝑦)𝜇+𝜈−1

𝑥

0

𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

= 𝐷−(𝜇+𝜈)𝑓(𝑥).

Dengan cara yang sama, akan diperoleh 𝐷−𝜈[𝐷−𝜇𝑓(𝑥)] = 𝐷−(𝜇+𝜈)𝑓(𝑥).

∎


26

Aturan Leibniz untuk Integral

Diberikan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑡) sedemikian sehingga 𝑓(𝑥, 𝑡) dan 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑡) keduanya

kontinu di titik 𝑡 dan 𝑥 pada suatu daerah di bidang (𝑥, 𝑡), dan fungsi 𝑎(𝑥) dan 𝑏(𝑥)

keduanya kontinu dan mempunyai turunan yang kontinu untuk 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1. Untuk

setiap 𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥1] berlaku

𝑑

𝑑𝑥[∫ 𝑓(𝑥, 𝑡)

𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

𝑑𝑡]

= 𝑓(𝑥, 𝑏(𝑥)) ∙ 𝑏′(𝑥) − 𝑓(𝑥, 𝑎(𝑥)) ∙ 𝑎′(𝑥) + ∫𝜕

𝜕𝑥

𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡.

Teorema 2.4.2

Diberikan fungsi 𝑓 kontinu pada 𝐽 = [0, ∞) dan bilangan real positif 𝜈. Jika 𝐷𝑓

kontinu, maka untuk setiap 𝑥 > 0 berlaku

𝐷[𝐷−𝜈𝑓(𝑥)] = 𝐷−𝜈[𝐷𝑓(𝑥)] +𝑓(𝑥)|𝑥=0

Γ(𝜈)𝑥𝜈−1,

(2.27)

dengan 𝐷𝑓 adalah turunan pertama dari fungsi 𝑓.

Bukti:

Definisi 2.3.2 memberikan

𝐷−𝜈𝑓(𝑥) =1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1

𝑥

0


Misalkan 𝑡 = 𝑥 − 𝑧𝜆 dengan 𝜆 =1

𝜈, diperoleh 𝑑𝑡 = −𝜆𝑧𝜆−1 𝑑𝑧, sehingga

𝐷−𝜈𝑓(𝑥) =1

Γ(𝜈)∫ (𝑧𝜆)

𝜈−10

𝑥𝜈

𝑓(𝑥 − 𝑧𝜆)( −𝜆𝑧𝜆−1) 𝑑𝑧

=𝜆

Γ(𝜈)∫ 𝑧𝜆𝜈𝑧−𝜆

𝑥𝜈

0

𝑓(𝑥 − 𝑧𝜆)(𝑧𝜆−1) 𝑑𝑧


27

=1

Γ(𝜈 + 1)∫ 𝑓(𝑥 − 𝑧𝜆)

𝑥𝜈

0

𝑑𝑧.

Menurut aturan Leibniz untuk integral

𝐷[𝐷−𝜈𝑓(𝑥)] =1

Γ(𝜈 + 1)[𝑓(0)𝜈𝑥𝜈−1 + ∫

𝜕

𝜕𝑥

𝑥𝜈

0

𝑓(𝑥 − 𝑧𝜆) 𝑑𝑧]

=𝑓(0)

𝜈Γ(𝜈)𝜈𝑥𝜈−1 +

1

𝜈Γ(𝜈)∫

𝜕

𝜕𝑥

0

𝑥

𝑓(𝑡) (−1

𝜆𝑧1−𝜆) 𝑑𝑡

=𝑓(0)

Γ(𝜈)𝑥𝜈−1 +

1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1

𝜕

𝜕𝑥

𝑥

0

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

=1

Γ(𝜈)∫ (𝑥 − 𝑡)𝜈−1

𝑥

0

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 +

𝑓(0)

Γ(𝜈)𝑥𝜈−1

= 𝐷−𝜈[𝐷𝑓(𝑥)] +𝑓(0)

Γ(𝜈)𝑥𝜈−1.

∎

Secara khusus, ketika 𝜈 = 1 Teorema 2.4.2 kembali menjadi perhitungan turunan

dan integral dalam kalkulus klasik yaitu

𝐷[𝐷−1𝑓(𝑥)] = 𝐷−1[𝐷𝑓(𝑥)] +𝑓(𝑥)|𝑥=0

Γ(1)𝑥1−1

= 𝐷−1[𝐷𝑓(𝑥)] + 𝑐,

dengan 𝑐 = 𝑓(𝑥)|𝑥=0, atau dalam kalkulus klasik ditulis

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

E. Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville

Notasi untuk turunan fraksional adalah 𝐷𝛼𝑓(𝑥), di mana notasi tersebut

menyatakan turunan ke – 𝛼 dari fungsi 𝑓(𝑥) dengan 𝛼 sebarang bilangan real.


28

Definisi 2.5.1

Turunan fraksional Riemann-Liouville didefinisikan menggunakan integral

fraksional yaitu

𝐷𝛼𝑓(𝑥) ≔ 𝐷𝑛[𝐷−𝑢𝑓(𝑥)],

(2.28)

dengan 𝐷𝑛 adalah operator turunan biasa, 0 < 𝑢 < 1, dan 𝑛 adalah

bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari 𝛼 sedemikian sehingga 𝑢 =

𝑛 − 𝛼.

Contoh 2.5.1

Akan dihitung 𝐷𝛼𝑥𝜇, dengan 𝜇 ≥ 0.

Untuk 𝑛 = 1, diperoleh

𝐷𝛼𝑥𝜇 = 𝐷1[𝐷−(1−𝛼)𝑥𝜇]

= 𝐷1 [Γ(𝜇 + 1)

Γ((μ − α + 1) + 1)𝑥𝜇−𝛼+1]

= (μ − α + 1)Γ(𝜇 + 1)

(μ − α + 1)Γ(μ − α + 1)𝑥𝜇−𝛼

=Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 − 𝛼 + 1)𝑥𝜇−𝛼.


𝐷𝛼𝑥𝜇 = Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 − 𝛼 + 1)𝑥𝜇−𝛼.

(2.29)

Secara khusus, ketika 𝛼 = 1 berlaku

𝐷1𝑥𝜇 = Γ(𝜇 + 1)

Γ(𝜇 − 1 + 1)𝑥𝜇−1 = 𝜇𝑥𝜇−1,


29

atau dalam kalkulus klasik ditulis

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝜇 = 𝜇𝑥𝜇−1.

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, dengan 𝑘 adalah sebarang konstanta, maka turunan ke – 𝛼 dari

fungsi konstan adalah

𝐷𝛼𝑘 = 𝑘

Γ(−𝛼 + 1)𝑥−𝛼.

(2.30)

Jelas bahwa untuk setiap konstanta 𝑘, 𝐷𝛼𝑘 tidak nol untuk 0 < 𝛼 < 1. Sebagai

contoh, turunan ke – 1

2 dari 𝑘 adalah

𝐷12𝑘 =

𝑘

Γ (12)

𝑥−12 =

𝑘

√𝜋𝑥.

F. Sifat – sifat Turunan Fraksional versi Riemann-Liouville

Lema 2.6.1

Diberikan fungsi 𝑓 bernilai real. Untuk setiap bilangan real positif 𝛼 berlaku

𝐷𝛼𝐷−𝛼𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Bukti:

Dari Definisi 2.5.1 dan Teorema 2.4.1 diperoleh

𝐷𝛼𝐷−𝛼𝑓(𝑥) = 𝐷𝑛[𝐷−(𝑛−𝛼)(𝐷−𝛼𝑓(𝑥))]

= 𝐷𝑛[𝐷−(𝑛−𝛼+𝛼)𝑓(𝑥)]

= 𝐷𝑛𝐷−𝑛𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑥).

∎


30

Lema 2.6.2

Diberikan fungsi 𝑓 kontinu pada 𝐽 = [0, ∞). Berlaku

𝐷12𝐷

12𝑓(𝑥) = 𝐷𝑓(𝑥).

Bukti:

𝐷12𝐷

12𝑓(𝑥) = 𝐷

12 [𝐷 (𝐷

12𝑓(𝑥))] = 𝐷

12 [𝐷−

12 𝐷(𝑓(𝑥)) +

𝑓(𝑥)|𝑥=0

Γ (12)

𝑥−12]

Misalkan 𝑓(𝑥)|𝑥=0 = 0, diperoleh

𝐷12𝐷

12𝑓(𝑥) = 𝐷

12[𝐷−

12(𝐷(𝑓(𝑥))].

Menurut Lema 2.6.1

𝐷12𝐷

12𝑓(𝑥) = 𝐷𝑓(𝑥).

∎

Lema 2.6.3

Diberikan fungsi 𝑓 kontinu pada 𝐽 = [0, ∞). Persamaan diferensial fraksional

𝐷12𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = −1,

(2.31)

dapat diubah menjadi persamaan diferensial biasa

𝐷𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = −1 −1

√𝜋𝑥.

(2.32)

Bukti:

Dengan mengambil turunan ke -1

2 pada kedua ruas pada persamaan (2.31) diperoleh

𝐷12[𝐷

12𝑓(𝑥)] − 𝐷

12𝑓(𝑥) = 𝐷

12(−1).


31

Menurut Lema 2.6.2

𝐷𝑓(𝑥) − 𝐷12𝑓(𝑥) = −

1

√𝜋𝑥.

Dengan persamaan (2.31), persamaan di atas dapat ditulis sebagai

𝐷𝑓(𝑥) − (𝑓(𝑥) − 1) = −1

√𝜋𝑥

atau

𝐷𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = −1 −1

√𝜋𝑥.

∎

Lema 2.6.4

Turunan fraksional dari perkalian dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) diberikan oleh aturan

Leibniz yang diperumum yaitu

𝐷𝛼𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = ∑ (𝛼

𝑛)

∞

𝑛=0

𝐷𝑛𝑓(𝑥)𝐷𝛼−𝑛𝑔(𝑥),

(2.33)

dengan 𝐷𝑛 adalah operator turunan biasa, 𝐷𝛼−𝑛 adalah operator turunan fraksional

dan (𝛼𝑛

) adalah koefisien binomial yang diperumum yaitu Γ(𝛼+1)

𝑛!Γ(𝛼−𝑛+1).

G. Penerapan Integral Fraksional

Pada tahun 1823, Niels Henrik Abel pertama kali menerapkan kalkulus fraksional

dalam perumusannya yaitu masalah tautochrone. Diberikan sebuah manik pada

kawat tanpa gesekan yang terletak di sebarang titik pada kurva 𝐶 dan manik tersebut

meluncur karena pengaruh gaya gravitasi.


32

Pertanyaannya adalah bentuk kawat seperti apa yang mempunyai sifat bahwa waktu

yang diperlukan manik untuk meluncur ke titik terendah dari kawat tidak

bergantung pada titik awal dimana manik tersebut ditempatkan. Pertama, kita ingat

bahwa pertambahan energi kinetik sebanding dengan pengurangan energi potensial,

atau

1

2𝑚 (

𝑑𝜆

𝑑𝑡)

2

= 𝑚𝑔(𝑦0 − 𝑦)

dengan 𝜆 adalah jarak manik sepanjang kawat, 𝑚 adalah massa, dan 𝑔 adalah

percepatan gravitasi. Oleh karena itu

−𝑑𝜆

√𝑦0 − 𝑦= √2𝑔 𝑑𝑡.

Integral persamaan di atas dari 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 𝑇 adalah

√2𝑔𝑇 = ∫ (𝑦0 − 𝑦)−12

𝑦=𝑦0

𝑦=0

𝑑𝜆.


33

Masalah tautochrone memerlukan ruas kiri dari persamaan integral ini adalah

sebuah konstanta, yaitu misalkan √2𝑔𝑇 = 𝑘. Kemudian, panjang lintasan 𝜆 dapat

diekspresikan sebagai fungsi dari tinggi, misalkan 𝜆 = 𝐹(𝑦), sedemikian sehingga

𝑑𝜆

𝑑𝑦= 𝐹′(𝑦).

Jika variabel 𝑦0 dan 𝑦 diubah menjadi 𝑥 dan 𝑡, dan 𝐹′ diubah menjadi 𝑓, maka

persamaan integral tautochrone menjadi

𝑘 = ∫ (𝑥 − 𝑡)−12

𝑥

0


Kemudian, dengan mengalikan kedua ruas dengan 1 Γ(1/2)⁄ , diperoleh

𝑘

Γ (12)

=1

Γ (12)

∫ (𝑥 − 𝑡)−12

𝑥

0


Menurut Definisi 2.3.2

𝑘

Γ (12)

= 𝐷−12 𝑓(𝑥).

Dengan mengambil 𝐷1

2 maka kedua ruas, diperoleh

𝐷12(𝑘) = Γ (

1

2) 𝑓(𝑥)

𝑘

Γ (12)

𝑥−12 = √𝜋𝑓(𝑥)

𝑘√𝑥 = 𝜋𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) =𝑘

𝜋√𝑥.


34

Lebih lanjut, Abel menemukan bahwa penyelesaian dari masalah tautochrone

adalah sebuah sikloid, bukti dapat dilihat misalnya pada [Delkosh,2013,hal.116].


35

BAB III

TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah sebuah transformasi integral yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan persamaan atau sistem persamaan yang mengandung turunan

atau integral dengan cara mengubah persamaan tersebut dari variabel 𝑥 ke variabel

𝑠. Transformasi Laplace membuat persamaan tersebut lebih mudah untuk

diselesaikan dengan mengubah persamaan diferensial atau persamaan integral ke

dalam persamaan aljabar. Dalam bab ini, akan dibahas mengenai definisi

transformasi Laplace dan sifat – sifatnya, serta transformasi Laplace dari integral

fraksional dan transformasi Laplace dari turunan fraksional.

A. Transformasi Laplace

Definisi 3.1.1

Diberikan fungsi 𝑓 ∶ [0, ∞) → ℝ. Transformasi Laplace dari fungsi 𝑓 didefinisikan

oleh

ℒ{𝑓(𝑥)} ≔ ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑠), 𝑠 ∈ ℂ.

(3.1)

Transformasi Laplace dari 𝑓(𝑥) dikatakan ada jika persamaan (3.1) merupakan

integral tak wajar yang konvergen. Notasi ℒ−1{𝐹(𝑠)} digunakan untuk menotasikan

invers transformasi Laplace dari 𝐹(𝑠). Syarat perlu untuk eksistensi invers

transformasi Laplace dari 𝐹(𝑠) adalah 𝐹(𝑠) → 0 ketika 𝑠 → ∞ dan 𝐹(𝑠) memiliki

bentuk

𝐹(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠),

dengan derajat 𝑃(𝑠) kurang dari derajat 𝑄(𝑠), dan 𝑃(𝑠) dan 𝑄(𝑠) keduanya

memiliki faktor yang berbeda. Secara rinci, dapat dilihat pada [Schiff,1999,hal.35].

Dari Definisi 3.1.1, diperoleh transformasi Laplace dari beberapa fungsi berikut:


36

1. ℒ{𝑥𝜇} = ∫ 𝑒−𝑠𝑥

∞

0

𝑥𝜇 𝑑𝑥

=1

𝑠𝜇 + 1∫ 𝑒−𝑢𝑢𝜇 𝑑𝑢

∞

0

=Γ(𝜇 + 1)

𝑠𝜇 + 1, 𝜇 > −1.

2. ℒ{𝑒𝑎𝑥} = ∫ 𝑒−𝑠𝑥

∞

0

𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥

= lim𝑏→∞

∫ 𝑒(𝑎−𝑠)𝑥 𝑏

0

𝑑𝑥

= lim𝑏→∞

1

𝑎 − 𝑠𝑒(𝑎−𝑠)𝑏 − lim

𝑏→∞

1

𝑎 − 𝑠

=1

𝑠 − 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ, 𝑠 ≠ 𝑎.

Dengan definisi di atas dapat diperoleh juga

ℒ{cos(𝑎𝑥)} =𝑠

𝑠2 + 𝑎2, 𝑎 ∈ ℝ,

ℒ{sin(𝑎𝑥)} =𝑎

𝑠2 + 𝑎2, 𝑎 ∈ ℝ.

B. Sifat – sifat Transformasi Laplace

Jika transformasi Laplace dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) ada, maka

1. ℒ{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)} = ℒ{𝑓(𝑥)} + ℒ{𝑔(𝑥)}.

2. ℒ{𝑐𝑓(𝑥)} = 𝑐ℒ{𝑓(𝑥)}, dengan 𝑐 adalah sebarang konstanta.

3. Jika 𝐹(𝑠) dan 𝐺(𝑠) berturut-turut adalah transformasi Laplace dari 𝑓(𝑥) dan

𝑔(𝑥), maka

ℒ{𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)} = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠),

dengan operator ∗ adalah perkalian konvolusi yang didefinisikan oleh

𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) ≔ ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑧) 𝑔(𝑧) 𝑑𝑧.𝑥

0

4. Transformasi Laplace dari turunan ke – 𝑛 fungsi 𝑓(𝑥) adalah


37

ℒ{𝑓(𝑛)(𝑥)} = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑥)|𝑥=0,

dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif.

Bukti:

1. Akan dibuktikan ℒ{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)} = ℒ{𝑓(𝑥)} + ℒ{𝑔(𝑥)}.

Menggunakan Definisi 3.1 diperoleh

ℒ{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥

= ∫ (𝑒−𝑠𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑒−𝑠𝑥 𝑔(𝑥))∞

0

𝑑𝑥

= ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

= ℒ{𝑓(𝑥)} + ℒ{𝑔(𝑥)}.

2. Akan dibuktikan ℒ{𝑐𝑓(𝑥)} = 𝑐ℒ{𝑓(𝑥)}, dengan 𝑐 adalah sebarang konstanta.


ℒ{𝑐𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑒−𝑠𝑥∞

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐ℒ{𝑓(𝑥)}.

3. Akan dibuktikan ℒ{𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)} = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠), dengan

𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑧) 𝑔(𝑧) 𝑑𝑧.𝑥

0


ℒ{𝑓 ∗ 𝑔} = ∫ (𝑓 ∗ 𝑔) ∞

0

𝑒−𝑠𝑥 𝑑𝑥

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑧) 𝑔(𝑧)𝑥

0

∞

0

𝑒−𝑠𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥


38

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑧) 𝑔(𝑧)∞

𝑧

∞

0

𝑒−𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝑧, diperoleh 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, sehingga

= ∫ ∫ 𝑓(𝑢) 𝑔(𝑧)∞

0

∞

0

𝑒−𝑠(𝑢+𝑧) 𝑑𝑢 𝑑𝑧

= ∫ 𝑓(𝑢) 𝑒−𝑠𝑢∞

0

𝑑𝑢 ∫ 𝑔(𝑧) 𝑒−𝑠𝑧∞

0

𝑑𝑧

= 𝐹(𝑠) 𝐺(𝑠).

4. Akan dibuktikan

ℒ{𝑓(𝑛)(𝑥)} = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑥)|𝑥=0,

dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif menggunakan induksi matematis.

Basis induksi:

Untuk 𝑛 = 1, diperoleh

ℒ{𝑓(1)(𝑥)} = 𝑠1 𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠1−𝑘−1

1−1

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑥)|𝑥=0

= 𝑠 𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑘

0

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑥)|𝑥=0

= 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0).

Hipotesa induksi:

Misalkan 𝑓(𝑘)(𝑥) = 𝑔(𝑥), sehingga

ℒ{𝑔(𝑥)} = ℒ{𝑓(𝑘)(𝑥)} = 𝑠𝑘𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑘−𝑝−1

𝑘−1

𝑝=0

𝑓(𝑝)(𝑥)|𝑥=0.

Langkah induksi:

Menggunakan basis induksi, diperoleh


39

ℒ{𝑓(𝑘+1)(𝑥)} = ℒ{𝑔(1)(𝑥)}

= 𝑠 ℒ{𝑔(𝑥)} − 𝑔(0)

= 𝑠 (𝑠𝑘𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑘−𝑝−1

𝑘−1

𝑝=0

𝑓(𝑝)(𝑥)|𝑥=0) − 𝑓(𝑘)(0)

= (𝑠𝑘+1𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝑘−𝑝

𝑘−1

𝑝=0

𝑓(𝑝)(𝑥)|𝑥=0) − 𝑓(𝑘)(0).

Menurut Prinsip Induksi Matematis, pernyataan di atas benar untuk setiap bilangan

bulat positif 𝑛. ∎

C. Transformasi Laplace dari Integral Fraksional

Ingat bahwa integral fraksional Riemann-Liouville orde 𝛼 dari suatu fungsi 𝑓(𝑥)

didefinisikan melalui

𝐷−𝛼 𝑓(𝑥) = 1

Γ(𝛼)∫ (𝑥 − 𝑡)𝛼−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜈 > 0.

𝑥

0

Persamaan di atas merupakan sebuah perkalian konvolusi. Dengan mengambil

transformasi Laplace pada kedua ruas diperoleh

ℒ{𝐷−𝛼 𝑓(𝑥)} =1

Γ(𝛼)ℒ {∫ (𝑥 − 𝑡)𝛼−1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥

0

}

=1

Γ(𝛼)ℒ{𝑥𝛼−1 ∗ 𝑓(𝑥)}

=1

Γ(𝛼)ℒ{𝑥𝛼−1} ℒ{𝑓(𝑥)}

=1

Γ(𝛼)

Γ(𝛼)

𝑠αℒ{𝑓(𝑥)}

= 𝑠−α ℒ{𝑓(𝑥)}.

Jadi, transformasi Laplace dari integral fraksional orde 𝛼 fungsi 𝑓(𝑥) adalah


40

ℒ{𝐷−𝛼 𝑓(𝑥)} = 𝑠−α ℒ{𝑓(𝑥)}.

(3.2)

Dengan menggunakan persamaan (3.2), diperoleh beberapa transformasi Laplace

dari beberapa fungsi berikut:

1. ℒ{𝐷−𝛼 𝑥𝜇} = 𝑠−α ℒ{𝑥𝜇}

= 𝑠−αΓ(𝜇 + 1)

𝑠𝜇+1

=Γ(𝜇 + 1)

𝑠𝛼+𝜇+1,

2. ℒ{𝐷−𝛼 𝑒𝑎𝑥} = 𝑠−α ℒ{𝑒𝑎𝑥}

= 𝑠−α1

𝑠 − 𝑎

=1

𝑠α(𝑠 − 𝑎),

3. ℒ{𝐷−𝛼 cos (𝑎𝑥)} = 𝑠−α ℒ{cos(𝑎𝑥)}

= 𝑠−α𝑠

𝑠2 + 𝑎2

=1

𝑠𝛼−1(𝑠2 + 𝑎2),

4. ℒ{𝐷−𝛼 sin (𝑎𝑥)} = 𝑠−α ℒ{sin(𝑎𝑥)}

= 𝑠−α𝑎

𝑠2 + 𝑎2

=𝑎

𝑠α(𝑠2 + 𝑎2).

D. Transformasi Laplace dari Turunan Fraksional

Ingat bahwa turunan fraksional dari fungsi 𝑓(𝑥) orde 𝛼 didefinisikan oleh

𝐷𝛼𝑓(𝑥) = 𝐷𝑛[𝐷−𝑢𝑓(𝑥)],


41

dengan 0 < 𝑢 < 1, dan 𝑛 adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari 𝛼

sedemikian sehingga 𝑢 = 𝑛 − 𝛼. Kemudian, dengan mengambil transformasi

Laplace dari kedua ruas diperoleh

ℒ{𝐷𝛼𝑓(𝑥)} = ℒ{𝐷𝑛[𝐷−(𝑛−𝛼)𝑓(𝑥)]}

= 𝑠𝑛ℒ{𝐷−(𝑛−𝛼)𝑓(𝑥)} − ∑ 𝑠𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝐷𝑘[𝐷−(𝑛−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0]

= 𝑠𝑛𝑠𝑛−𝛼ℒ{𝑓(𝑥)} − ∑ 𝑠𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝐷𝑘−𝑛+𝛼𝑓(𝑥)|𝑥=0

= 𝑠𝛼ℒ{𝑓(𝑥)} − ∑ 𝑠𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝐷𝑘−𝑛+𝛼𝑓(𝑥)|𝑥=0.

Secara khusus, jika 0 < 𝛼 ≤ 1, maka 𝑛 = 1 sehingga transformasi Laplace dari

fungsi 𝑓(𝑥) menjadi

ℒ{𝐷𝛼𝑓(𝑥)} = 𝑠𝛼ℒ{𝑓(𝑥)} − 𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0

(3.3)

Tabel (3.4) berikut memberikan kesimpulan mengenai pasangan transformasi

Laplace yang penting. Tabel ini akan digunakan ketika menyelesaikan persamaan

diferensial fraksional yang akan dibahas pada bab berikutnya.

𝐹(𝑠) 𝑓(𝑥)

1

𝑠 1

1

𝑠2 𝑥

1

𝑠𝛼

𝑥𝛼−1

Γ(𝛼)


42

1

(𝑠 + 𝑎)𝛼

𝑥𝛼

Γ(𝛼)𝑒−𝑎𝑥

1

𝑠𝛼 − 𝑎 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼)

𝑠𝛼

𝑠(𝑠𝛼 + 𝑎) 𝐸𝛼(−𝑎𝑥𝛼)

𝑎

𝑎(𝑠𝛼 + 𝑎) 1 − 𝐸𝛼(−𝑎𝑥𝛼)

1

𝑠𝛼(𝑠 − 𝑎) 𝑥𝛼𝐸1,𝛼+1(𝑎𝑥)

𝑠𝛼−𝛽

𝑠𝛼 − 𝑎 𝑥𝛽−1𝐸𝛼,𝛽(𝑎𝑥𝛼)

1

𝑠 − 𝑎 𝑒𝑎𝑥

1

(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)

1

𝑏 − 𝑎(𝑒𝑎𝑥 − 𝑒𝑏𝑥)

Tabel 3.4. Fungsi dan Transformasi Laplacenya dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan

real dan 𝑎 ≠ 𝑏 serta 𝛼, 𝛽 > 0 adalah sebarang konstanta.

Teorema 3.4.1 (Teorema Hampiran Weierstrass)

Jika fungsi 𝑓 kontinu pada [0,1] dan 𝜀 > 0, maka terdapat sebuah polinomial 𝑃𝜀

sedemikian sehingga

sup𝑥∈[0,1]

|𝑃𝜀(𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝜀.

Bukti teorema ini dapat dilihat pada [Williams,1991,Teorema 7.4,hal.74].

Lema 3.4.2

Jika ℎ(𝑢) adalah fungsi kontinu pada [0,1] dan ∫ ℎ(𝑢)1

0𝑢𝑛 = 0 untuk 𝑛 = 0,1,2 …

maka ℎ(𝑢) = 0.

Bukti:


43

Karena ℎ(𝑢) kontinu pada [0,1], maka menurut Teorema Hampiran Weierstrass

terdapat polinomial 𝑃𝜀 sedemikian sehingga |ℎ(𝑢) − 𝑃𝜀(𝑢)| < 𝜀 untuk setiap 𝑢.

Anteseden memenuhi ∫ ℎ(𝑢)1

0𝑃𝜀(𝑢) = 0. Untuk 𝜀 → 0 berlaku ∫ ℎ(𝑢)

1

0ℎ(𝑢) = 0.

Karena (ℎ(𝑢))2 ≥ 0 berakibat ℎ(𝑢) = 0. ∎

Teorema 3.4.3 (Sifat ketunggalan transformasi Laplace)

Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi kontinu dan berlaku 𝑓(𝑥) < 𝑀𝑒𝑎𝑥 dan 𝑔(𝑥) <

𝑀𝑒𝑎𝑥 untuk suatu konstanta 𝑎 dan 𝑀. Jika 𝐹(𝑠) = 𝐺(𝑠) maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk

𝑅𝑒(𝑠) > 𝑎, dengan 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑥)} dan 𝐺(𝑠) = ℒ{𝑔(𝑥)}.

Bukti:

Menurut sifat (1), jika ℒ{𝑓(𝑥)} = ℒ{𝑔(𝑥)} maka ℒ{𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)} = 0. Jadi, cukup

dibuktikan bahwa jika ℒ{𝑓(𝑥)} = 0 maka 𝑓(𝑥) = 0.

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi dari transformasi Laplace diperoleh

ℒ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑥)∞

0

𝑒−𝑠𝑥𝑑𝑥 = 0,

untuk 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑎. Misalkan 𝑠0 ∈ ℝ+ dengan 𝑠0 > 𝑎 dan 𝑢 = 𝑒−𝑥, diperoleh 𝑑𝑢 =

−𝑒−𝑥 𝑑𝑥 dan saat 𝑠 = 𝑠0 + 𝑛 + 1, 𝑛 = 0,1,2, … berlaku

ℒ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑥)∞

0

𝑒−𝑛𝑥𝑒−𝑠0𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑛(𝑢𝑠0𝑓(− ln 𝑢))1

0

𝑑𝑢.

Menurut Lema 3.4.2, 𝑢𝑠0𝑓(− ln 𝑢) = 0. Karena 𝑠0 > 0 berakibat 𝑢𝑠0 > 0. Jadi

𝑓(− ln 𝑢) = 𝑓(𝑥) = 0. ∎

Lema 3.4.4

Untuk 0 < 𝛼 ≤ 1, berlaku


44

𝐷𝛼[𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼) − 1] = 𝑎𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼),

dengan 𝐸𝛼 adalah fungsi Mittag-Leffler dengan satu parameter.

Bukti:

Dengan mengambil transformasi Laplace pada ruas kiri diperoleh

ℒ{𝐷𝛼[𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼) − 1]} = 𝑠𝛼ℒ{𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼) − 1} − 𝐷−(1−𝛼)[𝐸𝛼(0) − 1]

= 𝑠𝛼 ℒ[{𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼) − ℒ{1}] − 𝐷−(1−𝛼) 0

= 𝑠𝛼 (𝑠𝛼

𝑠(𝑠𝛼 − 𝑎)−

1

𝑠) − 0

=𝑎𝑠𝛼

𝑠(𝑠𝛼 − 𝑎).

Dengan menerapkan invers transformasi Laplace pada kedua ruas pada persamaan

di atas, diperoleh

𝐷𝛼[𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼) − 1] = 𝑎𝐸𝛼(𝑎𝑥𝛼).

Contoh 3.4.1

Akan dicari penyelesaian dari persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝑓(𝑥) = 0,02𝑓(𝑥),

𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0 = 1,

dengan 0 < 𝛼 ≤ 1.

Penyelesaian:

Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas diperoleh

ℒ{𝐷𝛼𝑓(𝑥)} = 0,02ℒ{𝑓(𝑥)},

sehingga


45

𝑠𝛼𝐹(𝑠) − 𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0 = 0,02𝐹(𝑠),

dengan 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑥)}. Dengan mensubstitusi 𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0 dengan 1,

diperoleh

𝑠𝛼𝐹(𝑠) − 1 = 0,02𝐹(𝑠)

sehingga

𝐹(𝑠) =1

𝑠𝛼 − 0,02.

Menurut Tabel (3.4), invers transformasi Laplace dari 𝐹(𝑠) adalah

𝑓(𝑥) = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(0,02𝑥𝛼).

Catatan 3.4.1

Contoh 3.4.1 di atas menunjukkan bahwa jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼), maka

𝐷𝛼𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼),

dengan 𝑎 ≠ 0 dan 0 < 𝛼 ≤ 1.

Bukti:

Dengan mengambil transformasi Laplace pada ruas kiri diperoleh

ℒ{𝐷𝛼[𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼)]} = 𝑠𝛼ℒ{𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼)} − 𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0

= 𝑠𝛼1

𝑠𝛼 − 𝑎− 1

=𝑠𝛼 − (𝑠𝛼 − 𝑎)

𝑠𝛼 − 𝑎

=𝑎

𝑠𝛼 − 𝑎.

∎


46

BAB IV

FUNGSI TRIGONOMETRI FRAKSIONAL

Pada bab ini akan dibahas mengenai fungsi trigonometri yang dikembangkan

berdasarkan fungsi eksponensial yang diperumum, yaitu fungsi Mittag-Leffler.

Fungsi Mittag-Leffler memegang peran penting dalam penyelesaian persamaan

diferensial fraksional. Fungsi Mittag-Leffler dapat digunakan untuk memperumum

fungsi eksponensial, dan selanjutnya fungsi ini akan dipakai untuk memperumum

fungsi trigonometri fraksional.

A. Fungsi Eksponensial Fraksional

Fungsi eksponensial fraksional atau disebut juga dengan fungsi eksponensial yang

diperumum merupakan sebuah perumuman dari fungsi eksponensial. Pada bab II,

telah ditunjukkan bahwa

𝐸1,1(𝑥) = ∑𝑥𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= ∑𝑥𝑘

k!

∞

𝑘=0

= 𝑒𝑥.

Dengan kata lain, fungsi eksponensial dapat dinyatakan dalam fungsi Mittag-

Leffler yaitu

𝑒𝑎𝑥 = ∑(𝑎𝑥)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

= ∑(𝑎𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= 𝐸1,1(𝑎𝑥).

Berdasarkan fungsi Mittag-Leffler, fungsi eksponensial fraksional didefinisikan

oleh

𝑒𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔ 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼), 𝑥 > 0.

(4.1)

Kasus khusus, jika 𝛼 = 𝑎 = 1, maka


47

𝑒1,1(1, 𝑥) = 𝑥0𝐸1,1(𝑥1) = 𝑒𝑥.

B. Fungsi Trigonometri Fraksional

Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungi trigonometri fraksional atau disebut

juga fungsi trigonometri yang diperumum berdasarkan fungsi eksponensial

fraksional. Salah satu cara untuk mendefinisikan fungsi trigonometri adalah

berdasarkan relasi yang terdekat dengan fungsi eksponensial yaitu

cos 𝑥 =𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥

2,

(4.2)

dan

sin 𝑥 =𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥

2𝑖.

(4.3)

Persamaan (4.2) dan (4.3) dapat diperoleh dengan menggunakan deret MacLaurin

kompleks yaitu

𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥

2=

1

2(𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥)

=1

2[∑

(𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

+ ∑(−𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

]

=1

2[∑

(𝑖𝑥)𝑛 + (−𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

]

=1

2[∑

(−1)𝑛2𝑥2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

]

= ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

= cos 𝑥,


48

dan

𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥

2𝑖=

1

2𝑖(𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥)

=1

2𝑖[∑

(𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

− ∑(−𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

]

=1

2𝑖[∑

(𝑖𝑥)𝑛 − (−𝑖𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

]

=1

2𝑖[∑

(−1)𝑛+12𝑖𝑥2𝑛−1

(2𝑛 − 1)!

∞

𝑛=1

]

= ∑(−1)𝑛+1𝑥2𝑛−1

(2𝑛 − 1)!

∞

𝑛=1

= sin 𝑥.

Hal di atas memotivasi kita untuk mendefinisikan kosinus dan sinus fraksional

dengan menggunakan fungsi eksponensial fraksional, yaitu

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2, 𝑥 > 0,

(4.4)

dan

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖, 𝑥 > 0.

(4.5)

Berdasarkan persamaan (4.4) dan (4.5), fungsi trigonomteri yang lain didefinisikan

𝑡𝑎𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), 𝑥 > 0,

(4.6)

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔1

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), 𝑥 > 0,

(4.7)


49

𝑠𝑒𝑐𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔1

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), 𝑥 > 0,

(4.8)

𝑐𝑜𝑡𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), 𝑥 > 0.

(4.9)

C. Sifat – sifat Fungsi Trigonometri Fraksional

Teorema 4.3.1

Fungsi trigonometri fraksional memenuhi sifat

1. 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

2. 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) = −𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

3. 𝑡𝑎𝑛𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) = −𝑡𝑎𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

4. 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

5. 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥) = 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

6. 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) − 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥) =1

2[𝑒𝛼,𝛼

2 (𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼2 (−𝑎𝑖, 𝑥)].

Bukti:

1. Berdasarkan definisi 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), diperoleh

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) =𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)

2= 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).

2. Berdasarkan definisi 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥), diperoleh

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) =𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖

= − [𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖]

= −𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).

3. Berdasarkan sifat 1 dan 2, diperoleh


50

𝑡𝑎𝑛𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥) =𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥)=

−𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)= −𝑡𝑎𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).

4. Berdasarkan persamaan (4.4) dan (4.5), diperoleh

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

=𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2+

𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2

= 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥).

5. Berdasarkan persamaan (4.4) dan (5.5), diperoleh

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) =

1

4[𝑒𝛼,𝛼

2 (𝑎𝑖, 𝑥) + 2𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼2 (−𝑎𝑖, 𝑥)],

dan

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) = −

1

4[𝑒𝛼,𝛼

2 (𝑎𝑖, 𝑥) − 2𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼2 (−𝑎𝑖, 𝑥)].

Kemudian, dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas diperoleh

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥) = 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥).

6. Pada pembuktian sifat 5, telah dihitung 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) dan 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥). Dengan

mengurangkan kedua persamaan tersebut diperoleh

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) − 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥) =1

2[𝑒𝛼,𝛼

2 (𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼2 (−𝑎𝑖, 𝑥)].

∎

Kasus khusus, yakni ketika 𝛼 = 𝑎 = 1, sifat 5 dan 6 berturut – turut menjadi


51

𝑐𝑜𝑠1,12 (1, 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛1,1

2 (1, 𝑥) = 𝑒1,1(𝑖, 𝑥)𝑒1,1(−𝑖, 𝑥) = 𝑒𝑖𝑥𝑒−𝑖𝑥 = 1,

dan

𝑐𝑜𝑠1,12 (1, 𝑥) − 𝑠𝑖𝑛1,1

2 (1, 𝑥) =1

2[𝑒1,1

2 (𝑖, 𝑥) + 𝑒1,12 (−𝑖, 𝑥)]

=1

2(𝑒2𝑖𝑥 + 𝑒−2𝑖𝑥)

= cos 2𝑥.

Kemudian, fungsi hiperbolik fraksional juga dapat diperumum berdasarkan fungsi

eksponensial fraksional yakni

𝑐𝑜𝑠ℎ𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑒𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥)

2, 𝑥 > 0,

(4.10)

dan

𝑠𝑖𝑛ℎ𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) ≔𝑒𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎, 𝑥)

2, 𝑥 > 0.

(4.11)

Gambar (4.1) dan (4.2) di bawah ini menunjukkan grafik kosinus fraksional dan

sinus fraksional untuk beberapa nilai 𝛼 yang berbeda.


52

Gambar (4.1). Kosinus Fraksional


53

Gambar (4.2). Sinus Fraksional


54

Gambar di atas menunjukkan perilaku grafik kosinus fraksional dan sinus

fraksional dengan nilai 𝛼 yang berbeda. Grafik menunjukkan bahwa perubahan

nilai 𝛼 yang berbeda mengakibatkan perubahan yang signifikan pada grafik,

khususnya jika 𝛼 mendekati 1, maka grafik kosinus fraksional dan sinus fraksional

akan mendekati grafik kosinus dan sinus biasa. Dengan kata lain

lim𝛼→1

𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = lim𝛼→1

𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2

=1

2[lim

𝛼→1𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + lim

𝛼→1𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=1

2[lim

𝛼→1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼) + lim

𝛼→1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−𝑎𝑖𝑥𝛼)]

=1

2[lim

𝛼→1𝑥𝛼−1 ∑

(𝑎𝑖𝑥𝛼)𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

∞

𝑘=0

+ lim𝛼→1

𝑥𝛼−1 ∑(−𝑎𝑖𝑥𝛼)𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

∞

𝑘=0

]

=1

2[∑

(𝑎𝑖𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

+ ∑(−𝑎𝑖𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

]

=1

2[∑

(𝑎𝑖𝑥)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

+ ∑(−𝑎𝑖𝑥)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

]

=𝑒𝑎𝑖𝑥 + 𝑒−𝑎𝑖𝑥

2

= cos(𝑎𝑥),

dan

lim𝛼→1

𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = lim𝛼→1

𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖

=1

2𝑖[lim

𝛼→1𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − lim

𝛼→1𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=1

2𝑖[lim

𝛼→1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼) − lim

𝛼→1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−𝑎𝑖𝑥𝛼)]

=1

2𝑖[lim

𝛼→1𝑥𝛼−1 ∑

(𝑎𝑖𝑥𝛼)𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

∞

𝑘=0

− lim𝛼→1

𝑥𝛼−1 ∑(−𝑎𝑖𝑥𝛼)𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

∞

𝑘=0

]


55

=1

2𝑖[∑

(𝑎𝑖𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

− ∑(−𝑎𝑖𝑥)𝑘

Γ(𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

]

=1

2𝑖[∑

(𝑎𝑖𝑥)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

− ∑(−𝑎𝑖𝑥)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

]

=𝑒𝑎𝑖𝑥 − 𝑒−𝑎𝑖𝑥

2𝑖

= sin(𝑎𝑥).

Turunan Fraksional Fungsi Trigonometri

Akan dicari turunan fraksional dari fungsi trigonometri khususnya untuk fungsi

kosinus fraksional dan sinus fraksional.

𝐷𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = 𝐷𝛼 [𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2]

=1

2[𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=1

2[𝑎𝑖𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑎𝑖𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=−𝑎

2𝑖[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

= −𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).

𝐷𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = 𝐷𝛼 [𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖]

=1

2𝑖[𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=1

2𝑖[𝑎𝑖𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑎𝑖𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

=𝑎

2[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)]

= 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).



56

𝐷𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = −𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥),

dan

𝐷𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥).

D. Transformasi Laplace dari Fungsi Trigonometri Fraksional

Sebelum menghitung transformasi Laplace dari fungsi trigonometri fraksional

khususnya kosinus fraksional dan sinus fraksional, akan dihitung terlebih dahulu

transformasi Laplace dari fungsi eksponensial fraksional.

ℒ{𝑒𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)} = ℒ{𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑥𝛼)}

= ℒ {𝑥𝛼−1 ∑𝑎𝑛𝑥𝛼𝑛

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)

∞

𝑛=0

}

= ℒ {∑𝑎𝑛

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)

∞

𝑛=0

𝑥𝛼𝑛+𝛼−1}

= ∑𝑎𝑛

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)ℒ{𝑥𝛼𝑛+𝛼−1}

∞

𝑛=0

= ∑𝑎𝑛

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)

𝑠𝛼𝑛+𝛼

∞

𝑛=0

=1

𝑠𝛼∑ (

𝑎

𝑠𝛼)

𝑛∞

𝑛=0

=1

𝑠𝛼 − 𝑎∙

Dengan demikian, transformasi Laplace dari kosinus fraksional dan sinus fraksional

adalah

ℒ{𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)} = ℒ {𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2}

=1

2[ℒ{𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)} + ℒ{𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)}]


57

=1

2(

1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖+

1

𝑠𝛼 + 𝑎𝑖)

=1

2(

2𝑠2𝛼

𝑠2𝛼 + 𝑎2)

=𝑠2𝛼

𝑠2𝛼 + 𝑎2 ,

dan

ℒ{𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)} = ℒ {𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)

2𝑖}

=1

2𝑖[ℒ{𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)} + ℒ{𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)}]

=1

2𝑖(

1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖−

1

𝑠𝛼 + 𝑎𝑖)

=1

2𝑖(

2𝑎𝑖

𝑠2𝛼 + 𝑎2)

=𝑎

𝑠2𝛼 + 𝑎2∙

E. Perumuman Wronskian dan Kebebasan Linear

Pada subbab ini akan dibahas mengenai perumuman Wronskian untuk sistem

persamaan diferensial fraksional dan kebebasan linear untuk sebuah himpunan

fungsi penyelesaian. Misalkan sebuah persamaan diferensial fraksional linear

dengan bentuk

𝑎𝑛(𝐷𝛼)𝑛𝑦(𝑥) + 𝑎𝑛−1(𝐷𝛼)𝑛−1𝑦(𝑥) + ⋯ + 𝑎1𝐷𝛼𝑦(𝑥)

+ 𝑎0𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥),

(4.12)

dengan 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝑎𝑗 adalah sebarang konstanta dengan 𝑗 = 0,1,2 … , 𝑛, dan 𝑔(𝑥)

hanya bergantung pada variabel 𝑥. Jika 𝑔(𝑥) = 0, maka persamaan (4.12) disebut

persamaan diferensial fraksional homogen. Jika 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka persamaan (4.12)

dikatakan tak homogen.


58

Definisi 4.5.1

Diberikan {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛} adalah himpunan penyelesaian dari persamaan (4.12).

Determinan

n

nnn

n

n

n

yDyDyD

yDyDyD

yyy

yyyW

1

2

1

1

1

21

21

21

)()()(

],...,,[

disebut Wronskian yang diperumum dari himpunan penyelesaian yang diberikan,

dengan 0 < 𝛼 ≤ 1.

Teorema 4.5.2

Diberikan 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial

fraksional

{𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑝𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑞𝑦(𝑥) = 0,

𝐷−(1−𝛼)𝑦(𝑥0) = 0, 𝐷𝛼𝑦(𝑥0) = 0.

pada suatu interval 𝐼 dan 𝑝, 𝑞 adalah sebarang konstanta. Berlaku 𝑦1 dan 𝑦2 bebas

linear pada 𝐼 jika dan hanya jika 𝑊[𝑦1, 𝑦2] ≠ 0 untuk suatu 𝑥 pada 𝐼.

Bukti:

(⇐) Akan dibuktikan jika 𝑦1 dan 𝑦2 bergantung linear maka 𝑊 = 0.

Jika 𝑦1 dan 𝑦2 bergantung linear, maka 𝑦2 = 𝑘𝑦1 untuk suatu konstanta 𝑘 atau

sebaliknya. Dengan demikian,

𝑊[𝑦1, 𝑦2] = 𝑦1𝐷𝛼𝑦2 − 𝑦2𝐷𝛼𝑦1 = 𝑘𝑦1𝐷𝛼𝑦1 − 𝑘𝑦1𝐷𝛼𝑦1 = 0.

(⇒) Akan dibuktikan jika 𝑊 = 0, maka 𝑦1 dan 𝑦2 bergantung linear.

Asumsikan 𝑦1 ≠ 0 dan 𝑦2 ≠ 0. Karena 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan penyelesaian,

berakibat

𝑘1𝑦1(𝑥0) + 𝑘2𝑦2(𝑥0) = 0


59

𝑘1𝐷𝛼𝑦1(𝑥0) + 𝑘2𝐷𝛼𝑦2(𝑥0) = 0,

dengan nilai 𝑘1 dan 𝑘2 masih belum diketahui. Kemudian, sistem persamaan di atas

dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu

[𝑦1(𝑥0) 𝑦2(𝑥0)

𝐷𝛼𝑦1(𝑥0) 𝐷𝛼𝑦2(𝑥0)] [

𝑘1

𝑘2] = 0.

Karena

|𝑦1(𝑥0) 𝑦2(𝑥0)

𝐷𝛼𝑦1(𝑥0) 𝐷𝛼𝑦2(𝑥0)| = 0,

atau 𝑊 = 0, sistem persamaan di atas mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu 𝑘1

dan 𝑘2 tidak keduanya nol. Kemudian 𝑘1 dan 𝑘2 yang diperoleh digunakan untuk

mengkonstruksi fungsi

𝑦(𝑥) = 𝑘1𝑦1(𝑥) + 𝑘2𝑦2(𝑥).

Karena 𝑦1 dan 𝑦2 penyelesaian, berakibat kombinasi linear dari 𝑦1 dan 𝑦2 juga

merupakan penyelesaian yaitu

𝑦(𝑥) = 𝑘1𝑦1(𝑥) + 𝑘2𝑦2(𝑥).

Menurut Teorema Eksistensi dan Ketunggalan [Podlubny,1999,Teorema

3.1,hal.126], penyelesaian dari persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑝𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑞𝑦(𝑥) = 0,

𝐷−(1−𝛼)𝑦(𝑥0) = 0, 𝐷𝛼𝑦(𝑥0) = 0


60

adalah tunggal dan 𝑦 = 0 merupakan penyelesaian persamaan diferensial

fraksional di atas dengan nilai awal yang diberikan sedemikian sehingga

𝑘1𝑦1 + 𝑘2𝑦2 = 0.

Karena 𝑘1 dan 𝑘2 tidak keduanya nol, berakibat 𝑦1 dan 𝑦2 bergantung linear. ∎

Teorema 4.5.3

Diberikan 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛} adalah himpunan 𝑛 penyelesaian dari persamaan

diferensial fraksional

𝑎𝑛(𝐷𝛼)𝑛𝑦(𝑥) + 𝑎𝑛−1(𝐷𝛼)𝑛−1𝑦(𝑥) + ⋯ + 𝑎1𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑎0𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Himpunan 𝑌 bebas linear jika dan hanya jika Wronskian yang diperumum tidak

sama dengan nol.

Bukti dari teorema ini analog dengan bukti Teorema 4.5.2. Teorema 4.5.2 adalah

kasus khusus dari teorema 4.5.3 dengan 𝑛 = 2.

Persamaan Karakteristik

Misalkan persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑝𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑞𝑦(𝑥) = 0,

(4.13)

dengan 𝑝 dan 𝑞 adalah sebarang konstanta. Persamaan karakteristik dari persamaan

(4.13) adalah

𝜆2 + 𝑝𝜆 + 𝑞 = 0,

(4.14)

yang diperoleh dengan cara mensubstitusi 𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥), 𝐷𝛼𝑦(𝑥), dan 𝑦(𝑥) masing –

masing dengan 𝜆2, 𝜆, dan 𝜆0 = 1. Secara umum, persamaan karakteristik dari

persamaan (4.12) adalah


61

𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0.

(4.15)

Penyelesaian Persamaan Diferensial Fraksional Homogen

Jika 𝜆1 dan 𝜆2 adalah dua akar karakteristik yang berbeda dari persamaan (4.13),

maka penyelesaian (4.13) adalah kombinasi linear dari dua fungsi 𝑦1 dan 𝑦2 dengan

𝑦1 = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝜆1𝑥𝛼),

dan

𝑦2 = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝜆2𝑥𝛼).

Dengan kata lain, penyelesaian umum dari persamaan (4.13) adalah

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝜆1𝑥𝛼) + 𝑐2𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝜆2𝑥𝛼)

= 𝑐1𝑒𝛼,𝛼(𝜆1, 𝑥) + 𝑐2𝑒𝛼,𝛼(𝜆2, 𝑥),

dengan 𝑐1 dan 𝑐2 adalah sebarang konstanta.

Jika 𝜆1 dan 𝜆2 adalah dua akar karakteristik kembar dari persamaan (4.13), maka

penyelesaian (4.13) adalah

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒𝛼,𝛼(𝜆1, 𝑥) + 𝑐2𝑥𝛼𝑒𝛼,𝛼(𝜆2, 𝑥),


Jika 𝜆1 dan 𝜆2 adalah dua akar karakteristik yang kompleks konjugat dari

persamaan (4.13), maka penyelesaian (4.13) adalah

𝑦(𝑥) = 𝑒𝛼,𝛼(𝜆1, 𝑥)[𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝜆2, 𝑥) + 𝑐2𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝜆2, 𝑥)],



62

Contoh 4.5.1

Akan dicari penyelesaian umum untuk persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 5𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 6𝑦 = 0,

dengan 0 < 𝛼 ≤ 1 dan 𝑥 > 0.

Persamaan diferensial fraksional di atas memiliki persamaan karakteristik

𝜆2 + 5𝜆 + 6 = 0,

sehingga diperoleh akar – akar karakteristiknya 𝜆1 = −2 atau 𝜆2 = −3. Jadi,

penyelesaian persamaan diferensial fraksional di atas adalah

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2

= 𝑐1𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−2𝑥𝛼) + 𝑐2𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−3𝑥𝛼)

= 𝑐1𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) + 𝑐2𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥).

Akan ditunjukkan bahwa 𝑦1 = 𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) dan 𝑦2 = 𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) memenuhi

persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 5𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 6𝑦 = 0,

yaitu

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦1 + 5𝐷𝛼𝑦1 + 6𝑦1

= 𝐷𝛼𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) + 5𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥)

= (−2)𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) − 10𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥)

= 4𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) − 10𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−2, 𝑥)

= 0,

dan


63

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦2 + 5𝐷𝛼𝑦2 + 6𝑦2

= 𝐷𝛼𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) + 5𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥)

= (−3)𝐷𝛼𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) − 15𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥)

= 9𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) − 15𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥) + 6𝑒𝛼,𝛼(−3, 𝑥)

= 0.

F. Sistem Persamaan Diferensial Fraksional dengan Koefisien Matriks

Konstanta

Pada subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian sistem persamaan diferensial

fraksional

𝐷𝛼𝑌(𝑥) = 𝐴𝑌(𝑥) + 𝐹(𝑥)

𝐷−(1−𝛼)𝑌(𝑥)|𝑥=0 = 𝐶,

(4.16)

dengan 𝐷𝛼𝑌(𝑥) adalah turunan fraksional orde 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝐶 adalah vektor 𝑛 × 1,

𝑌(𝑥) dan 𝐹(𝑥) masing – masing adalah vektor 𝑛 × 1 bernilai fungsi, dan 𝐴 adalah

matriks konstanta berukuran 𝑛 × 𝑛. Akan dicari penyelesaian tunggal dari sistem

persamaan (4.16) menggunakan transformasi Laplace.

Misalkan ℒ{𝑌(𝑥)} = 𝑌∗(𝑠) dan ℒ{𝐹(𝑥)} = 𝐹∗(𝑠). Kemudian, dengan mengambil

transformasi Laplace pada kedua ruas pada sistem persamaan (4.16) diperoleh

ℒ{𝐷𝛼𝑌(𝑥)} = 𝐴ℒ{𝑌(𝑥)} + ℒ{𝐹(𝑥)}.

Menurut sifat transformasi Laplace

𝑠𝛼𝑌∗(𝑠) − 𝐷−(1−𝛼)𝑌(𝑥)|𝑥=0 = 𝐴𝑌∗(𝑠) + 𝐹∗(𝑠)

𝑠𝛼𝑌∗(𝑠) − 𝐶 = 𝐴𝑌∗(𝑠) + 𝐹∗(𝑠)

𝑠𝛼𝑌∗(𝑠) − 𝐴𝑌∗(𝑠) = 𝐶 + 𝐹∗(𝑠)

(𝐼𝑠𝛼 − 𝐴)𝑌∗(𝑠) = 𝐶 + 𝐹∗(𝑠).


64

Kemudian, dengan mengambil invers dari matriks (𝐼𝑠𝛼 − 𝐴) diperoleh

𝑌∗(𝑠) = (𝐼𝑠𝛼 − 𝐴)−1[𝐶 + 𝐹∗(𝑠)]

= (𝑠𝛼(𝐼 − 𝑠−𝛼𝐴))−1[𝐶 + 𝐹∗(𝑠)]

= 𝑠−𝛼(𝐼 − 𝑠−𝛼𝐴)−1[𝐶 + 𝐹∗(𝑠)].

Sebelum melanjutkan ke langkah berikutnya, kita memerlukan deret Neumann.

Definisi 4.6.1 (Deret Neumann)

Deret Neumann didefinisikan oleh

∑ 𝐴𝑘

∞

𝑘=0

dengan 𝐴 adalah sebuah operator linear yang berbentuk matriks.

Teorema 4.6.2

Diberikan matriks 𝐴 adalah operator linear terbatas pada ruang vektor bernorma 𝑋.

Jika deret Neumann konvergen terhadap norma operator, maka matriks 𝐼 − 𝐴

invertibel dan inversnya adalah

(𝐼 − 𝐴)−1 = ∑ 𝐴𝑘

∞

𝑘=0

dengan 𝐼 adalah operator identitas pada 𝑋.

Bukti dapat dilihat pada [Kreyzig,1978,Teorema 7.3.1,hal.375].

Kemudian, menurut Teorema 4.6.2

𝑠−𝛼(𝐼 − 𝑠−𝛼𝐴)−1[𝐶 + 𝐹∗(𝑠)]

= 𝑠−𝛼 ∑(𝐴𝑠−𝛼)𝑘

∞

𝑘=0

[𝐶 + 𝐹∗(𝑠)]


65

= ∑(𝐴𝑠−𝛼)𝑘

∞

𝑘=0

𝑠−𝛼𝐶 + 𝐹∗(𝑠) ∑(𝐴𝑠−𝛼)𝑘

∞

𝑘=0

𝑠−𝛼

= ∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

𝐶 + 𝐹∗(𝑠) ∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

.

Misalkan

∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

= 𝐺∗(𝑠),

sedemikian sehingga

𝐺(𝑥) = ℒ−1 {∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

}

= ∑ 𝐴𝑘

∞

𝑘=0

ℒ−1 {1

𝑠𝛼𝑘+𝛼}

= ∑ 𝐴𝑘

∞

𝑘=0

𝑥𝛼𝑘+𝛼−1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

= 𝑥𝛼−1 ∑(𝐴𝑥𝛼)𝑘

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)

∞

𝑘=0

= 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼).

Dengan demikian,

𝑌∗(𝑠) = ∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

𝐶 + 𝐺∗(𝑠)𝐹∗(𝑠)

= ∑𝐴𝑘

𝑠𝛼𝑘+𝛼

∞

𝑘=0

𝐶 + ℒ{𝐺(𝑥) ∗ 𝐹(𝑥)}.


66

Kemudian, dengan mengambil invers transformasi Laplace pada kedua ruas

diperoleh

𝑌(𝑥) = ∑ 𝐴𝑘

∞

𝑘=0

𝑥𝛼𝑘+𝛼−1

Γ(𝛼𝑘 + 𝛼)𝐶 + ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑧)

𝑥

0

𝐹(𝑧) 𝑑𝑧

= 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼)𝐶 + ∫ (𝑥 − 𝑧)𝛼−1𝑥

0

𝐸𝛼,𝛼(𝐴(𝑥 − 𝑧)𝛼) 𝐹(𝑧) 𝑑𝑧.

Pada proses mencari penyelesaian sistem persamaan (4.16), telah melibatkan

matriks fungsi Mittag-Leffler yaitu 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼). Lebih lanjut, akan dijelaskan

peran penting matriks fungsi Mittag-Leffler melalui teorema berikut.

Teorema 4.6.3 (Algoritma Putzer yang diperluas)

Jika 𝐴 adalah matriks konstanta berukuran 2 × 2, maka penyelesaian persamaan

diferensial fraksional

𝐷𝛼𝑌(𝑥) = 𝐴𝑌(𝑥)

𝐷−(1−𝛼)𝑌(𝑥)|𝑥=0 = 𝐶

(4.17)

dengan

𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] , 𝑌(𝑥) = [𝑦1(𝑥)𝑦2(𝑥)

] , 0 < 𝛼 ≤ 1

adalah

𝑌(𝑥) = 𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼)𝐶,

dengan

𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼),

dan 𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) adalah matriks fungsi Mittag-Leffler dan 𝐶 adalah vektor berukuran

2 × 1. Bukti teorema ini dapat dilihat pada [Kimeu,2009].

Teorema 4.6.4 (Teorema Cayley-Hamilton)

Jika matriks 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛, 𝑛) memiliki polinomial karakteristik


67

𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑐𝑛𝜆𝑛 + 𝑐𝑛−1𝜆𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝜆𝑛−2 + ⋯ + 𝑐0,

maka

𝑐𝑛𝐴𝑛 + 𝑐𝑛−1𝐴𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝐴𝑛−2 + ⋯ + 𝑐0𝐼 = 0.

Bukti teorema ini dapat dilihat pada [Axler,1997,Teorema 8.20,hal.173]

Teorema 4.6.5

Jika 𝜆1 dan 𝜆2 adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 berukuran 2 × 2, maka

𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) = 𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1,

dengan

𝑀0 = 𝐼 = [1 00 1

] , 𝑀1 = 𝐴 − 𝜆𝐼 = [𝑎 − 𝜆1 𝑏

𝑐 𝑑 − 𝜆1],

dan vektor fungsi 𝑝 yang didefinisikan

𝑝(𝑥) ≔ [𝑝1(𝑥)𝑝2(𝑥)

] , 𝑥 ∈ ℝ,

merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝑝(𝑥) = [𝜆1 01 𝜆2

] 𝑝(𝑥), [𝐷−(1−𝛼)𝑝1(𝑥)|𝑥=0

𝐷−(1−𝛼)𝑝2(𝑥)|𝑥=0

] = [10

].

Bukti:

Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) memenuhi

persamaan

𝐷𝛼𝑓(𝑥) = 𝐴𝑓(𝑥), 𝐷−(1−𝛼)𝑓(𝑥)|𝑥=0 = 𝐼.

Selanjutnya

𝐷𝛼𝑓(𝑥) − 𝐴𝑓(𝑥) = 𝐷𝛼𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝐷𝛼𝑝2(𝑥)𝑀1 − 𝐴[𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1]

= 𝜆1𝑝1(𝑥)𝑀0 + [𝑝1(𝑥) + 𝜆2𝑝2(𝑥)]𝑀1 − 𝐴[𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1]

= 𝜆1𝑝1(𝑥)𝑀0 + [𝑝1(𝑥) + 𝜆2𝑝2(𝑥)]𝑀1 − (𝑀1 + 𝜆1𝐼)[𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1]

= 𝜆2𝑝2(𝑥)𝑀1 − (𝑀1 + 𝜆1𝐼)𝑝2(𝑥)𝑀1


68

= (𝜆2𝐼 − 𝑀1 − 𝜆1𝐼)𝑝2(𝑥)𝑀1

= (𝜆2𝐼 − 𝐴)𝑝2(𝑥)𝑀1

= −𝑝2(𝑥)(𝐴 − 𝜆2𝐼)(𝐴 − 𝜆1𝐼).

Menurut Teorema Cayley-Hamilton,

(𝐴 − 𝜆2𝐼)(𝐴 − 𝜆1𝐼) = 0,

sehingga

𝐷𝛼𝑓(𝑥) − 𝐴𝑓(𝑥) = 0

atau

𝐷𝛼𝑓(𝑥) = 𝐴𝑓(𝑥).

∎

Contoh 4.6.1

Diberikan 0 < 𝛼 ≤ 1 dan persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑎2𝑦(𝑥) = 0

𝐷−(1−𝛼)𝑦(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐1, 𝐷𝛼𝑦(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐2.

Akan dicari penyelesaian umum persamaan diferensial fraksional di atas.

Persamaan diferensial di atas dapat diubah menjadi sebuah sistem persamaan

diferensial fraksional dengan mengubah variabel 𝑦1 = 𝑦 dan 𝑦2 = 𝐷𝛼𝑦 sedemikian

sehingga

𝐷𝛼𝑦1 = 𝐷𝛼𝑦 = 𝑦2

dan

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦 = −𝑎2𝑦 = −𝑎2𝑦1,

dengan 𝑦1(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐1 dan 𝑦2(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐2. Kemudian, terbentuk sistem

persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝑌(𝑥) = 𝐴𝑌(𝑥)


69

𝐷−(1−𝛼)𝑌(𝑥)|𝑥=0 = 𝐶

dengan

𝐴 = [0 1

−𝑎2 0] , 𝑌(𝑥) = [

𝑦1(𝑥)𝑦2(𝑥)

] , 𝐶 = [𝑐1

𝑐2].

Menurut Teorema 4.6.3, sistem persamaan diferensial di atas mempunyai

penyelesaian

𝑌(𝑥) = 𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼)𝐶.

Akan dihitung 𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) menggunakan Algoritma Putzer. Terlebih dahulu akan

dicari nilai eigen dari matriks 𝐴.

|−𝜆 1

−𝑎2 −𝜆| = 0

𝜆2 + 𝑎2 = 0.

Diperoleh 𝜆1 = 𝑎𝑖 dan 𝜆2 = −𝑎𝑖. Kemudian,

𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) = 𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1,

dengan

𝑀0 = 𝐼 = [1 00 1

] , 𝑀1 = 𝐴 − 𝜆𝐼 = [−𝑎𝑖 1−𝑎2 𝑎𝑖

],

dan vektor fungsi

𝑝(𝑥) = [𝑝1(𝑥)𝑝2(𝑥)

] , 𝑥 ∈ ℝ

merupakan penyelesaian persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝑝(𝑥) = [𝜆1 01 𝜆2

] 𝑝(𝑥), [𝐷−(1−𝛼)𝑝1(𝑥)|𝑥=0

𝐷−(1−𝛼)𝑝2(𝑥)|𝑥=0

] = [10

].


70

Akan dicari 𝑝1(𝑥) dan 𝑝2(𝑥). Komponen pertama 𝑝1(𝑥) memenuhi

𝐷𝛼𝑝1(𝑥) = 𝑎𝑖𝑝1(𝑥), 𝐷−(1−𝛼)𝑝1(𝑥)|𝑥=0 = 1.


ℒ{𝐷𝛼𝑝1(𝑥)} = 𝑎𝑖ℒ{𝑝1(𝑥)}

𝑠𝛼𝑃1(𝑠) − 𝐷−(1−𝛼)𝑝1(𝑥)|𝑥=0 = 𝑎𝑖𝑃1(𝑠)

𝑠𝛼𝑃1(𝑠) − 1 = 𝑎𝑖𝑃1(𝑠)

𝑃1(𝑠) =1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖,

dengan ℒ{𝑝1(𝑥)} = 𝑃1(𝑠).

Menurut Tabel (3.4),

𝑝1(𝑥) = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼) = 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡).

Komponen kedua 𝑝2(𝑥) memenuhi

𝐷𝛼𝑝2(𝑥) = 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼) − 𝑎𝑖𝑝2(𝑥), 𝐷−(1−𝛼)𝑝2(𝑥)|𝑥=0 = 0.


ℒ{𝐷𝛼𝑝2(𝑥)} = ℒ{𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼)} − 𝑎𝑖ℒ{𝑝2(𝑥)}

𝑠𝛼𝑃2(𝑠) − 𝐷−(1−𝛼)𝑝2(𝑥)|𝑥=0 =1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖− 𝑎𝑖𝑃2(𝑠)

𝑠𝛼𝑃2(𝑠) =1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖− 𝑎𝑖𝑃2(𝑠)

𝑃2(𝑠) =1

(𝑠𝛼 − 𝑎𝑖)(𝑠𝛼 + 𝑎𝑖),

dengan ℒ{𝑝2(𝑥)} = 𝑃2(𝑠).

Kemudian,


71

𝑃2(𝑠) =1

(𝑠𝛼 − 𝑎𝑖)(𝑠𝛼 + 𝑎𝑖)= −

1

2𝑎𝑖[

1

𝑠𝛼 + 𝑎𝑖−

1

𝑠𝛼 − 𝑎𝑖].

Menurut Tabel (3.4),

𝑝2(𝑥) = −1

2𝑎𝑖[𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−𝑎𝑖𝑥𝛼) − 𝑥𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(𝑎𝑖𝑥𝛼)]

= −1

2𝑎𝑖[𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)].

Dengan demikian,

𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼) = 𝑝1(𝑥)𝑀0 + 𝑝2(𝑥)𝑀1

= [𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡) 0

0 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)]

+ [

1

2[𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)] −

1

2𝑎𝑖[𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)]

𝑎

2𝑖[𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)]

1

2[𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡)]

]

= [

1

2[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡) + 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡)]

1

2𝑎𝑖[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡)]

−𝑎

2𝑖[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡)]

1

2[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑡) − 𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑡)]

]

= [𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)

1

𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)

−𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)]

= [𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)

1


𝐷𝛼[𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)] 𝐷𝛼 [1

𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)]

].


72

Jadi,

𝑌(𝑥) = 𝑘𝛼,𝛼(𝐴𝑥𝛼)𝐶 = [𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)

1


𝐷𝛼[𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)] 𝐷𝛼 [1

𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡)]

] 𝐶.

Oleh karena itu, penyelesaian umum persamaan diferensial fraksional

𝐷𝛼𝐷𝛼𝑦(𝑥) + 𝑎2𝑦(𝑥) = 0

𝐷−(1−𝛼)𝑦(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐1, 𝐷𝛼𝑦(𝑥)|𝑥=0 = 𝑐2.

adalah

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡) +𝑐2

𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑡),


Gambar (4.3) berikut adalah grafik solusi persamaan di atas dengan nilai 𝛼 yang

berbeda, dan 𝑎 = 𝑐1 = 𝑐2 = 1.


73

Gambar (4.3). Solusi grafik contoh 4.6.1


74

Gambar di atas menunjukkan perilaku grafik solusi contoh 4.6.1 dengan nilai 𝛼

yang berbeda. Grafik menunjukkan bahwa perubahan nilai 𝛼 yang berbeda

mengakibatkan perubahan yang signifikan pada grafik. Karena solusi contoh 4.6.1

merupakan kombinasi linear dari kosinus dan sinus fraksional, berakibat untuk 𝛼 →

1, grafik akan mendekati

𝑦(𝑥) = cos(𝑥) + sin(𝑥).

Teorema 4.6.6

Fungsi kosinus fraksional dan sinus fraksional adalah dua fungsi yang bebas linear

untuk setiap 𝑥 > 0.

Bukti:

Akan dibuktikan Wronskian 𝑊 ≠ 0 sebagai berikut

𝑊[𝑦1, 𝑦2] = |𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

𝐷𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) 𝐷𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)|

= |𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)

−𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥) 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼(𝑎, 𝑥)|

= 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) + 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥)

= 𝑎[𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼2 (𝑎, 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼

2 (𝑎, 𝑥)]

= 𝑎[𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥)].

Karena 𝑒𝛼,𝛼(𝑎𝑖, 𝑥)𝑒𝛼,𝛼(−𝑎𝑖, 𝑥) ≠ 0 untuk setiap 𝑥 > 0, berakibat 𝑊[𝑦1, 𝑦2] ≠ 0.

Dengan kata lain, kosinus fraksional dan sinus fraksional bebas linear. ∎

G. Penerapan Kalkulus Fraksional di Bidang Farmakokinetik

Farmakokinetik adalah sebuah cabang farmakologi yang mempelajari mekanisme

penyerapan dan penyebaran obat yang diberikan. Umumnya sejumlah fase yang

dilalui ketika obat masuk ke dalam tubuh dan memulai kontak dengan organ tubuh

yaitu absorbsi, distribusi, dan biotransformasi. Farmakokinetik memegang peran

penting dalam menentukan dosis yang tepat untuk pasien. Analisis farmakokinetik


75

dilakukan dengan metode non-kompartemen atau kompartemen. Metode non-

kompartemen memperkirakan luas daerah di bawah kurva dari grafik konsentrasi

waktu, sedangkan metode kompartemen memperkirakan grafik konsentrasi waktu.

Kemudian, ada dua model dari metode kompartemen yaitu model satu

kompartemen dan model dua kompartemen. Pada model satu kompartemen,

diasumsikan tubuh adalah seperti satu ruang yang sama dan obat terdistribusi secara

cepat ke seluruh jaringan, sedangkan model dua kompartemen, diasumsikan tubuh

terdiri dari dua bagian yaitu kompartemen sentral dan kompartemen perifer. Pada

tugas akhir ini hanya akan dibahas mengenai model satu kompartemen dengan

menerapkan kalkulus fraksional.

Pada model satu kompartemen, obat yang telah dikonsumsi dalam tubuh sesuai

model satu kompartemen hilang dengan kinetik orde pertama. Laju kehilangan obat

dalam tubuh diberikan oleh

𝑑𝑐𝑝(𝑡)

𝑑𝑡= −𝛾𝑐𝑝(𝑡),

(4.18)

dengan 𝑐𝑝 adalah konsentrasi obat pada tubuh pada waktu 𝑡 setelah dikonsumsi, 𝛾

adalah konstanta laju kehilangan obat orde pertama. Tanda negatif menunjukkan

bahwa konsentrasi obat dalam tubuh hilang seiring bertambahnya 𝑡. Penyelesaian

dari persamaan (4.18) adalah

𝑐𝑝(𝑡) = 𝑐𝑝0𝑒−𝛾𝑡,

dengan 𝑐𝑝0 adalah konsentrasi awal saat 𝑡 = 0.

Sebuah pengembangan model (4.18) adalah melalui persamaan diferensial

fraksional. Diberikan

𝐷𝛼𝑐𝑝(𝑡) = −𝑘𝑐𝑝(𝑡) (4.19)


76

𝐷−(1−𝛼)𝑐𝑝(𝑡)|𝑡=0 = 𝑐𝑝0,

dengan 0 < 𝛼 ≤ 1, dan 𝑘 = 𝛾. Dengan menggunakan transformasi Laplace pada

persamaan (4.19) diperoleh

ℒ{𝐷𝛼𝑐𝑝(𝑡)} = −𝑘ℒ{𝑐𝑝(𝑡)}

𝑠𝛼ℒ{𝑐𝑝(𝑡)} − 𝐷−(1−𝛼)𝑐𝑝(𝑡)|𝑡=0 = −𝑘ℒ{𝑐𝑝(𝑡)}

𝑠𝛼ℒ{𝑐𝑝(𝑡)} − 𝑐𝑝0 = −𝑘ℒ{𝑐𝑝(𝑡)}

ℒ{𝑐𝑝(𝑡)}(𝑠𝛼 + 𝑘) = 𝑐𝑝0.

Misalkan ℒ{𝑐𝑝(𝑡)} = 𝐶𝑝(𝑠), sehingga

𝐶𝑝(𝑠)(𝑠𝛼 + 𝑘) = 𝑐𝑝0,

atau

𝐶𝑝(𝑠) =𝑐𝑝0

𝑠𝛼 + 𝑘.

Kemudian, dengan mengambil invers transformasi Laplace pada kedua ruas

diperoleh

𝑐𝑝(𝑡) = 𝑐𝑝0𝑡𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−𝑘𝑡𝛼).

Khususnya untuk 𝛼 = 1 diperoleh

𝑐𝑝(𝑡) = 𝑐𝑝0𝑒−𝑘𝑡.

Selanjutnya, akan ditunjukkan perilaku grafik model fraksional untuk beberapa

nilai 𝛼 yang berbeda. Misalkan 𝑐𝑝0 = 1002,42 dan 𝑘 = 0,011. Gambar (4.4) di

bawah ini menunjukkan grafik model fraksional dengan nilai – nilai 𝛼 yang

berbeda.


77

Gambar (4.4). Grafik konsentrasi obat


78

Pada gambar (4.4) di atas, nilai 𝛼 yang berbeda menunjukkan perilaku yang berbeda

dari kurva model. Kurva akan turun semakin cepat untuk nilai – nilai 𝛼 yang

semakin kecil, serta untuk 𝛼 → 1 model fraksional akan mendekati model orde

pertama. Dengan kata lain

lim𝛼→1

𝑐𝑝0𝑡𝛼−1𝐸𝛼,𝛼(−𝑘𝑡𝛼) = lim𝛼→1

𝑐𝑝0𝑡𝛼−1 ∑(−𝑘𝑡𝛼)𝑛

Γ(𝛼𝑛 + 𝛼)

∞

𝑛=0

= 𝑐𝑝0 ∑(−𝑘𝑡)𝑛

Γ(𝑛 + 1)

∞

𝑛=0

= 𝑐𝑝0 ∑(−𝑘𝑡)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

= 𝑐𝑝0𝑒−𝑘𝑡.

Kemudian, diberikan data observasi yang diambil dari [Almusharrf, 2011] berikut:

𝑡 Konsentrasi

10 920

20 800

30 750

40 630

50 610

60 530

70 520

90 380

110 350

150 200

Gambar (4.5) di bawah ini menunjukkan data observasi dengan grafik model

fraksional dengan nilai 𝛼 yang berbeda.


79

Gambar (4.5). Grafik konsentrasi obat dan data observasi


80

Pada gambar (4.5), dapat dilihat bahwa data observasi cenderung lebih dekat

dengan kurva dengan nilai 𝛼 = 0,99 dan 𝛼 = 0,98 dibandingkan dengan 𝛼 = 1.

Dengan kata lain, kalkulus fraksional memberikan kebebasan yang lebih untuk

memilih nilai 𝛼 dalam pencocokan data, sehingga memungkinkan untuk

memperoleh hasil yang lebih akurat berdasarkan data observasi.


81

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kalkulus fraksional adalah sebuah perluasan dari kalkulus klasik. Operasi dalam

kalkulus klasik, yakni turunan dan integral terbatas hanya untuk orde bilangan

bulat, tetapi kalkulus fraksional mampu memperluas orde turunan dan integral

hingga ke bilangan real. Pada tugas akhir ini, telah dikembangkan fungsi

trigonometri fraksional versi Riemann-Liouville berdasarkan fungsi eksponensial

fraksional. Fungsi trigonometri fraksional adalah sebuah perumuman dari fungsi

trigonometri biasa sebab untuk 𝛼 = 1, fungsi trigonometri fraksional adalah fungsi

trigonometri biasa. Sifat – sifat dari fungsi trigonometri fraksional juga merupakan

sebuah perumuman dari fungsi trigonometri biasa. Pada tugas akhir ini juga dibahas

persamaan diferensial fraksional yang didasarkan pada kalkulus fraksional serta

penerapan kalkulus fraksional dalam bidang farmakokinetik. Kalkulus fraksional

juga dapat memberikan keakuratan lebih dalam pencocokan data, khususnya dalam

bidang farmakokinetik, sebab dapat dipilih nilai 𝛼 secara fleksibel berdasarkan data

observasi. Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa kalkulus fraksional memiliki

peran yang lebih luas dibandingkan dengan kalkulus klasik.

B. Saran

Banyak permasalahan dalam kalkulus fraksional yang belum dipelajari di dalam

skripsi ini, khususnya dalam fungsi trigonometri fraksional, seperti bagaimana

invers dari fungsi trigonometri fraksional, bagaimana turunan fraksional dari tangen

fraksional, kosekan fraksional, sekan fraksional, dan kotangen fraksional,

kemudian bagaimana aturan pembagian dalam turunan fraksional. Saran bagi

penulis yang ingin melanjutkan tugas akhir ini adalah menggunakan dasar teori dari

kalkulus fraksional serta mencari sumber – sumber lain yang belum tercakup dalam

tugas akhir ini khususnya dalam mengembangkan sifat – sifat dari fungsi

trigonometri fraksional lainnya.


82

Hal lain yang dapat dipelajari lebih lanjut misalnya pengembangan kalkulus

fraksional, khususnya fungsi trigonometri fraksional, menggunakan versi selain

Riemann-Liouville, misalnya versi Weyl, versi Caputo, versi Jumarie, dan

sebagainya.


83

DAFTAR PUSTAKA

Almusharrf, Amera. (2011). Development of Fractional Trigonometry and an

Application of Fractional Calculus to Pharmacokinetic Model (Master

Thesis). Kentucky: Western Kentucky University.

Axler, Sheldon. (1997). Linear Algebra Done Right. New York: Springer.

Delkosh, Mehdi. (2013). Introduction of Derivatives and Integrals of Fractional

Order and Its Applications. Applied Mathematics and Physics. 1(4): 103 –

119.

Ghosh, Uttam, et al. (2015). Solution of System of Linear Fractional Differential

Equations with Modified Derivative of Jumarie Type. American Journal of

Mathematical Analysis. 3(3): 72 – 84.

Gorenflo, Rudolf, et al. (2014). Mittag-Leffler Functions, Related Topics and

Applications. Berlin: Springer.

Green's Formula, Laplace Transform of Convolution

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-

2011/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/transfer-system-and-weight-

functions-greens-formula/MIT18_03SCF11_s30_5text.pdf

Kilbas, A. Anatoly, et al. (2006). Theory and Applications of Fractional

Differential Equations. Amsterdam: Elsevier.

Kimeu, Joseph M. (2009). Fractional Calculus: Definitions and Applications

(Master Thesis). Kentucky: Western Kentucky University.


https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/transfer-system-and-weight-functions-greens-formula/MIT18_03SCF11_s30_5text.pdf



84

Kreyszig, Erwin. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. New

York: John Wiley & Sons.

Podlubny, Igor. (1999). Fractional Differential Equations. Kosice: Academic

Press.

Schiff, Joel L. (1999). The Laplace Transform, Theory and Applications. Auckland:

Springer.

Spiegel, Murray R. (1985). Transformasi Laplace. Jakarta: Erlangga.

The Gamma and The Beta Function

https://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/wi4006/gammabeta.pdf

Uniqueness of Laplace Transform

http://web.mit.edu/jorloff/www/18.03-esg/notes/extra/laplaceuniqueness.pdf

Whittaker, E.T. and G. N. Watson. (1927). A Course of Modern Analysis. New

York: Cambridge University Press.

Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge

University Press.


https://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/wi4006/gammabeta.pdf

http://web.mit.edu/jorloff/www/18.03-esg/notes/extra/laplaceuniqueness.pdf

kalkulus fraksional riemann-liouville dan fungsi...

Documents