pengantar kalkulus

KALKULUS (4 sks)

Oleh Siti Rohmah Rohimah

Instrumen Evaluasi 1. Tugas kelompok 2. Tugas perorangan (PR) 3. Kuis 4. Ujian Tengah Semester 5. Ujian Akhir Semester

Penilaian

No Komponen Bobot 1. Tugas kelompok 2. Tugas perorangan (PR) 30 % 3. Kuis 4. Ujian Tengah Semester 35 % 5. Ujian Akhir Semester 35 %

Total 100 %

Komponen Evaluasi

Tidak boleh memakai sandal Tidak boleh mencontek. Tertangkap

mencontek akan diberi nilai E. Bila anda merasa perlu mengikuti kuliah

untuk suatu materi lebih dari satu kali, anda dapat masuk ke

kelas lain di jadwal yang berbeda, dengan meminta izin kepada dosen pengampunya.

Aturan Kelas

Buku Ajar Utama: [1] E. J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon,

Calculus and Analytical Geometry 8th Edition, Wiley, 2004.

[2] K.A. Stroud, Engineering Mathematics 6th Edition, Palgrave Macmillan; 2007

Referensi

1.1. Sistem bilangan riil 1.2. Ketidaksamaan 1.3. Nilai mutlak,akar kuadrat ,kuadrat 1.4. Sistem koordinat cartesius 1.5. Induksi matematik

Bab 1 Pendahuluan

1.Mahasiswa dapat mendefinisikan jenis-jenis bilangan yang membentuk sistem bilangan real dan

menjelaskan hubungan antara bilangan-bilangan tersebut.

2. Mahasiswa dapat menjelaskan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real dan menghubungkan

sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan ketidaksamaan. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan definisi dan sifat-sifat

nilai mutlak serta mengidentifikasikan hubungan antara nilai mutlak dan akar kuadrat. 4. Mahasiswa dapat menyelesaikan pembuktian dengan

induksi matematika.

Sasaran pembelajaran

Sistem bilangan riil

N : bilangan asli

Z : bilangan bulatQ : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1,2,3,….Z :…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbabaq

Q :

IrasionalQR

,3,2

Contoh Bil Irasional

Sifat–sifat bilangan real Sifat-sifat urutan :

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti

berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <

yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)

-32

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selangSelang : a. selang terbuka b. Selang tertutup

Selang

SelangHimpunan selang

{ }axx < ( )a,¥-

{ }axx £ ( ]a,¥-

{ }bxax << ( )ba,

{ }bxax ££ [ ]ba,

{ }bxx > ( )¥,b

{ }bxx ³ [ )¥,b

{ }Âxx ( )¥¥,

Jenis-jenis selang

Grafik

a

a

a b

a b

b

b

Pertidaksamaan Peubah (variable) adalah lambang yang

digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan.

Pertidaksamaan adalah pernyataan matematis yang memuat satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).

Himpunan semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan disebut Himpunan Penyelesaian

pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan

adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku.

Cara menentukan HP :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0

)()(

<xQxP

lanjutan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan

bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang

dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

53213 ³-³ x

352313 ³³ x

8216 ³³ x48 ³³x

84 ££x

[ ]8,4Hp = 4 8

1


8462 £-<- x248 £-<- x

248 -³> x842 <£- x

221

<£- x

- 2,

21

22

1-

Hp 2


0352 2 <-- xx

( )( ) 0312 <- xxTitik Pemecah (TP) : 2

1-x dan 3x

3++ ++--

21-

3

Hp =

- 3,

21


637642 £-£- xxxxx 7642 -£- 6376 £- xxdan

4672 £ xx dan 6637 -£-- xx

4

109 £x 010 £- xdan

910

£x 010 ³xdan

910

£x dan 0³x

Hp = [ )¥

¥- ,0

910,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

910,0


132

11

-<

xx

013

21

1<

--

xx( ) ( )

( )( ) 0131

2213<

---

xxxx

5.

( )( ) 0131

3<

--xx

x

TP : -1, 31 , 3

3++

++

---1

--

31

Hp = ( )

-¥- 3,

311,

Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai

jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

<-³

0,0,

xxxx

x

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

yx

yx

2xx axaaax ££-³£ 0,

axaax ³³³ 0, atau ax -£

£ yx 22 yx £

6. Ketaksamaan segitiga yxyx £

1234

5

yxyx -³-

Soal Latihan

5432 ³ xx

2221 2 ³ xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 £-- xx

1

2

3

xx

x-³

- 1242

4

312

2

£-

xx

xx

523 £ xx6

Contoh Tentukan HP dari

Pertidaksamaan bentuk akar

Tentukan HP dari :

Pertidaksamaan kuadratContoh :

0352 2 <-- xx( )( ) 0312 <- xx

Titik Pemecah (TP) : 2

1-x dan 3x

3++ ++--

21-

Hp =

- 3,

21

Rumus Jarak Rumus titik tengah Persamaan lingkaran Persamaan linear umum

Sistem koordinat cartesius

Prinsip1. Misalkan {Pn} adalah suatu barisan

proposisi (pernyataaan yang memenuhi kedua persyaratan berikut:

i) PN adalah benar (biasanya N adalah 1)ii) Kebenaran Pi mengimplikasikan

kebenaran Pi+1, i≥N.maka, Pn adalah benar untuk setiap bilangan bulat n≥N.

Induksi matematika

Contoh Soal No. 1Use mathematical induction to prove that the sum of the first n odd positive integers is n2

Jawab :

Akan dibuktikan menggunakan induksi matematik:Misalkan {Pn} adalah suatu barisan proposisi (pernyataaan yang memenuhi kedua persyaratan berikut:

i) P(N=1)adalah benar yaitu 1=1^2=1ii) Asumsikan bahwa P(N=k) yaitu benar maka akan mengakibatkan P(N=k+1) yaitu

juga benar, untuk k≥N.

maka, Pn adalah benar untuk setiap bilangan bulat n≥N.

Bukti: 2n)1n2(531 -

2)1()12(531 - kk

22 )1(12)1)1(2()12(531 -- kkkkk

1. Use mathematical induction to prove that n3 – n is divisible by 3 whenever n is a positive integer

12. Use mathematical induction to prove that 22n – 1 is divisible by 3 for n³ 1

Latihan

Lat bab 1

Tugas individu harus dikerjakan

Sub bab1.1 38,421.2 141.3 24,351.4 341.5 411.6 521.7 131.8 20

pengantar kalkulus

Documents