materi kalkulus

17
Salis Ambar Wibowati Kalkulus I

Upload: tri-mulyono

Post on 24-Jul-2015

229 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: Materi kalkulus

Salis Ambar Wibowati

Kalkulus I

Page 2: Materi kalkulus

Bilangan Asli contohnya : 1, 2, 3, 4, 5, ...

Bilangan Bulat contohnya : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Bilangan Rasional Bilangan ini terbentuk karena bilangan asli dan bilangan bulat tidak memadai untuk keperluan pengukuran.Bentuk umumnya :

dimana m merupakan bil. bulat n merupakan bil. bukan nol

Page 3: Materi kalkulus

Bilangan Tak Rasional Bilangan ini terbentuk karena bilangan rasional tidak bisa digunakan untuk mengukur semua panjang.Fakta :

contoh bilangan tak rasional : , , , ...

Menurut pythagoras

a

b maka

Jika :a= 1b= 1maka panjang sisi miring =

: bilangan tak rasional

Page 4: Materi kalkulus

Bilangan Komplexbilangan ini didefinisikan dengan formula berikut :

a + b a + b i

Bil. riil sendiri termasuk bil. Komplex b = 0contoh bil. Komplex :4+3i, -7+5i, 9-i, 3, 1000, 8, 0, dll

B. Riil

B. Riil

i

Page 5: Materi kalkulus

Aturan Operasi Matematik pada Bil Komplex :( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i( a + bi ) - ( c + di ) = ( a - c ) + ( b - d )i( a + bi ) . ( c + di ) = ac + bc i + ad i + bd i2

; i2 = -1 = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i

; asal c & d ≠ 0

Page 6: Materi kalkulus

Empat Operasi Hitungan1. Penambahan (+)2. Perkalian ( x atau . )

Sifat – sifat penambahan dan perkalian : Hukum Komutatif

x + y = y + x dan xy = yx Hukum Asosiatif

x + ( y + z ) = ( x + y ) + z dan x(yz) = (xy)z Hukum Distribusi

x (y + z ) = (xy) + (xz)

Page 7: Materi kalkulus

Elemen – elemen Identitas ada 2 yaitu 0 dan 1x + 0 = x dan x.1 = x

Balikan (Invers)o Setiap bilangan x mempunyai balikan

aditif (negatif x) yang memenuhi : x + (-x) = 0o Setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai

balikan perkalian (seper x) yang memenuhi :

Page 8: Materi kalkulus

3. Pengurangan (-)Dapat dipandang sebagai penambahan, karena :

Sehingga pengurangan memiliki sifat-sifat di atas.

4. Pembagian ( : )Dapat dipandang sebagai perkalian karena :

sehingga pembagian memiliki sifat-sifat di atas.

Page 9: Materi kalkulus

Urutan pada Garis Bilangan

Misalkan x < y berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil.

x y

Page 10: Materi kalkulus

sifat – sifat urutan :

Page 11: Materi kalkulus

Desimal, Kerapatan, Kalkulator

Desimal Semua bilangan rasional dapat ditulis dalam desimal. Contohnya :

Pola desimal ada 2 :Desimal tak berulang

contohnya : Desimal berulango Tak mempunyai akhir. Ex :o Mempunyai akhir. Ex :

Page 12: Materi kalkulus

KerapatanDiantara 2 bilangan riil sembarang yg berlainan x dan y terdapat bilangan riil lainnya, khususnya z = (x+y)/2 adalah bilangan pertengahan antara x dan y.

x

z

y

antara 2 bilangan riil yg berlinan (berapapun dekatnya) terdapat tak terhingga bilangan riil lainnya.

rasional

Tak rasional

Page 13: Materi kalkulus

KalkulatorPanjang desimal pada kalkulator telah ditentukan sebelumnya(oleh pembuat) sehingga bila berhadapan dengan desimal yg melebihi panjang desimal kalkulator (berhadapan dengan bilangan tak rasional) maka kalkulator akan melakukan pembulatan.Contohnya:kalkulator 10 digitmaka :

dll..

Page 14: Materi kalkulus

KetaksamaanMenyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari

semua himpunan bilangan riil yg membuat ketaksamaan berlaku.

Himpunan pemecahan suatu ketaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan.

Selang / Interval :o Selang terbuka a < x < b a & b tdk termasuk

dlm xo Selang tertutup a ≤ x ≤ b a & b termasuk dlm xo Selang campuran a ≤ x < b a termasuk dlm x, b

tdk

a < x ≤ b a tdk, b termasuk dlm x

Page 15: Materi kalkulus

Menyelesaikan KetaksamaanOperasi berikut dpt digunakan dalam proses penyelesaian ketaksamaan :

1) Menambahkan bilangan yg sama pada kedua sisi ketaksamaan.

2)Mengalikan kedua sisi ketaksamaan dengan suatu bilangan positif.

3)Mengalikan kedua sisi ketaksmaan dengan suatu bilangan negatif, kemudian membalikkan arah tanda ketaksamaan.

Page 16: Materi kalkulus

Sebagai contoh :1.

Penyelesaian :

Penyelesaian : atau Secara grafik :

(ditambahkan 7)

(tambahkan -4x)

(kalikan dengan )

-3

-5/2 -2

Page 17: Materi kalkulus

Nilai MutlakNilai mutlak suatu bilangan riil x dinyatakan oleh |x|, didefinisikan sebagai :

|x| = x jika x ≥ 0|x| = -x jika x < 0

Sifat – sifat Nilai Mutlak :|ab| = |a| |b| |a – b|≥ ||a| - |b|| |a + b| ≤ |a| + |b| ketaksamaan segitiga