materi kalkulus ii
TRANSCRIPT
Kalkulus II 1
BAB IRUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
A. Pendahuluan
Konsep integral yang termuat dalam pokok bahasan ini akan membahas
materi-materi dasar yang pokok, khususnya materi dasar mengenai pengembangan
konsep integral tak tentu. Dalam kegiatan belajar pertama akan di bahas tentang
pengertian/ definisi tentang integral tak tentu, lalu dilanjutkan dengan mengenal
berbagai rumus-rumus dasar integrasi yang kemudian digunakan untuk
menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan rumus-rumus dasar
integrasi tersebut. Kemudian dalam kegiatan belajar yang kedua yang merupakan
kelanjutan dari kegiatan belajar yang pertama akan di bahas mengenai integral
parsial atau yang lebih dikenal dengan istilah integral sebagian-sebagian.
Agar materi pada pokok bahasan ini dapat dikuasai dengan baik maka
sangat diharapkan penguasaan materi khususnya materi Kalkulus I, Trigonometri,
Aljabar Elementer dan sebagainya. Adapun tujuan pembelajarannya setelah
perkuliahan materi pada pokok bahasan ini diharapkan:
a. Dapat menjelaskan konsep dasar integral tak tentu
b. Dapat menggunakan rumus-rumus dasar integrasi
c. Dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan rumus-rumus dasar
integrasi
d. Dapat menjelaskan definisi dari Integral Parsial
e. Dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan penggunaan Integral
Parsial
Kalkulus II 2
B. Kegiatan Belajar 1
1. Integral Tak Tertentu (INDEFINITE INTEGRAL)
Bila F(x) suatu fungsi yang mempunyai derivative F’(x) = f(x), maka F(x)
disebut anti-derivative atau integral tak tertentu (indefinite integral) dari f(x),
sedang f(x) disebut integran. Integral tak tertentu dari suatu fungsi yang diketahui
tidak tunggal.
Contoh: x3 adalah integral tak tertentu dari f(x) = 3x2
x3 + 7 adalah integral tak tertentu dari f(x) = 3x2
x3 – 9 adalah integral tak tertentu dari f(x) = 3x2, karena
3 3 3 2( ) ( 7) ( 9) 3 .d d dx x x xdx dx dx
Maka integral tak tertentu dari f(x) = 3x2
dapat ditulis secara umum x3 + C, di mana C disebut konstanta integrasi
(constant of integration) yang sembarang. Untuk menyatakan integral tak tertentu
dari f(x) ditulis dengan bentuk:
( )f x dxJadi,
2 33 C.x dx x 2. Rumus-Rumus Integrasi
1) ( ) ( ) C.d f x dx f xdx
2) ( )u v dx u dx v dx
3) , setiap konstantak u dx k u dx k
Kalkulus II 3
4)1
C, m 11
mm uu du
m
5) ln Cdu uu
6) C, 0, 1ln
uu aa du a a
a
7) Cu ue du e
8) sin cos Cu du u
9) cos sin Cu du u
10) tg ln sec Cu du u
11) ctg ln sin Cu du u
12) sec ln sec tg Cu du u u
13) cosec ln cosec ctg Cu du u u
14)2sec tg Cu du u
15)2cosec ctg Cu du u
16) sec tg sec Cu u du u
17) cosec ctg cosec Cu u du u
Kalkulus II 4
18) 2 2
1 arc tg Cdu ua u a a
19) 2 2arc sin Cdu u
aa u
20) 2 2
1 arc sec Cdu ua au u a
21) 2 2
1 ln C2
du u au a a u a
22) 2 2
1 ln C2
du u aa u a u a
23)2 2
2 2ln Cdu u u a
u a
24)2 2
2 2ln Cdu u u a
u a
25)2 2 2 2 21 1 arcsin C2 2 a
ua u du u a u a 26)
2 2 2 2 2 2 21 1 ln C2 2u a du u u a a u u a
27)2 2 2 2 2 2 21 1 ln C2 2u a du u u a a u u a
3. CONTOH-CONTOH PENYELESAIAN SOAL
Soal-Soal sesuai dengan rumus 1 s/d 4
1.7
6 C7xx dx
2.3 1
33 2
1C C3 1 2
dx xx dxx x
Kalkulus II 5
3.
431 43 3 33C C443
zz dz z dz z
4.
232 1
3 33 2
C 3 C13
dx xx dx xx
5. 2 2(2 5 3) 2 5 3x x dx x dx x dx dx
3 22 5 3 C3 2
x x x
6.31
2 2(1 )x x dx x dx x dx 3 5
2 22 2 C3 5
x x
7. 2 2(3 4) (9 24 16)x dx x x dx 2 23 12 16 Cx x x
8.3 2
22
5 4 ( 5 4 )x x dx x x dxx
21 45 C2
x xx
9. Hitunglah:
a) 3 2 2( 2) 3 ;x x dx
b)13 22( 2) ;x x dx
c)2
3 2
8( 2)
x dxx
d)2
34 2x dxx
Kalkulus II 6
Penyelesaian:
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan: u = x3 + 2, maka diferensial dari
u adalah: du = 3x2 dx.
a) 3 2 2( 2) 3x x dx2 3 3 31 1C ( 2) C.3 3u du u x
b)31 13 22 2 221( 2) C3 9
x x dx u du u
33 22 ( +2) C9
x
c)2 2
3 2 3 2 2
8 88( 2) ( 2) 3
x dx x dx dux x u
13
8 8C C3 3( 2)
ux
d)2
3 3 2 3
34
81 ( 2) 33 32x dx x x dx u dux
314 4
33 4
41 ( ) C3 94 ( 2) C9
u du u
x
10. 23 1 2x x dx
Penyelesaian: Misalkan u = 1 – 2x2 = u.
Maka du = - 4 x dx x dx = -1/4 du
12 2
3 322 2
33 1 2 41 1C (1 2 ) C2 2
x x dx u du
u x
Kalkulus II 7
11. Hitung:
13
( 3)
( 2 6 )
x dx
x x
Penyelesaian:
Misalkan: u = x2 + 6x, maka
du = (2x + 6) dx atau du = 2 (x + 3) dx atau (x + 3) dx = ½ du
13
13
2 223 3
( 3) 1. 2( 2 6 )
3 3C ( 6 ) C4 4
x dx u dux x
u x x
12.2 13 23
33
( 1) 1 ( 3 ) (3 3)3( 3 )x dx x x x dx
x x
13 33
23 3
23 3
1 ( 3 ) ( 3 )331 ( 3 ) C3 2
1 ( 3 ) C2
x x d x x
x x
x x
13.2 12 2( ) ( )a x dx a x x dx
x
2
3
2 ( ) ( )
2 ( ) C3
a x d a x
a x
14. 2( )x a x dx
3 522 2
( 2 )
( 2 )
2 2 C3 5
x a ax x dx
a x x a x x dx
ax x a x
Kalkulus II 8
15.2 2
2 2
2 2 1 1( 1) ( 1)x x x xdx dxx x
2
2 2
( 1) 1 11( 1) ( 1)
1 C1
x dx dxx x
xx
Soal-soal sesuai dengan rumus 5 s/d 7
16. ln Cdx xx
17. 3132 3 2 3
dx dxx x
(2 3 )1 1 ln 2 3 C3 32 3d x x
x
18. (2 ln )x dxx
2
(2 ln ) (ln ) (2 ln ) (2 ln )3
1 (2 ln ) C2
x d x x d x
x
19.2
2 2 2
2 ( 1)1 12 21 1 1
x dx x dx d xx x x
21 ln 1 C2 x
20. 32 2
3 3 3
1 21 6 11 2 6 1 2 6 1 2
xx dx x dxx x x
31 ln 1 2 C6
x
21. (2 3) 122 2
x dx dxx x
2 ln 2x x C
Kalkulus II 9
22. 2 3 5( 4) 1 2 8 12 3 2 2 3 2 2 3
xx dx x dx dxx x x
1 2 3 1 52 2 3 2 2 3
x dxx x
1 5 1 5 ln 2 32 2 2 3 2 2
dxdx x x Cx
23. xx xe dx e d x e C
24. 1010ln10
xxdx C
25. 2 2x xxe dx e d x e Cx
26. 3 3 36 2 3 2x x xe dx e d x e C
27. ln
xxx x ae
a e dx ae dx Cae
1 ln
x xa e Ca
28. 31 ,x xe e dx
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan 1 du = dxx xe u e
Maka:
3
43 4
1
1 1u du = u 14 4
x x
x
e e dx
C e C
29.2
2 22 , misalkan 1 u du 2 .
1
xx x
xe dx e e dxe
Kalkulus II 10
2x
2
Maka :e 1 du 1 ln u +C
1 2 u 2xdx
e
21 ln 12
xe C
30. 2x x x
x xae b ae ae bdx dxae b ae b
2 2lnx x
x xae b ae bdx dx Cae b e
31. ln 11 1
xx
x xdx e dx e C
e e
ln1
oleh karena itu 1 0 untuk semua harga ,maka hasil integrasi dapat ditulis:
ln1 1
x
x
x
x
x x
e Ce
e x
dx e Ce e
32. 1
1 1 1
2 21d x
xx x xe dx dxe e e C
x x
33. 5
5 5 515 5ln a
xx x x ae a dx e C
Soal-soal sesuai dengan rumus 8 s/d 17
34. 1 1 1 1sin 2 sin . 2cos2 2 2 2
x dx x dx x C
35. 1 1sin 4 sin 4 d 4x cos 44 4
x dx x x C
Kalkulus II 11
36. 2cos 2 sin 2 dxx x
21 cos 2 sin 2 d 2x2
x x
21 cos 2 (sin 2 d 2x)2
x x
21 cos 2 d( cos 2 )2
x x
31 cos 26
x C
37.
38.
39.
40.
41.
42.
1 1cos 3 cos3 (3 ) sin 33 3
ax dx ax d ax ax Ca a
cos 21 sin 2 1tg 2 (2 )2 cos 2 2 cos 21 ln cos 22
d xxx dx d xx x
x C
2 2 2 21 1ctg c tg ( ) ln sin2 2
x x dx x d x x C
2 2 3
2 3 3 3
sec
1 1sec tg3 3
x x dx
x dx x C
1sec3 tg 3 sec3 tg 3 (3 )31 sec33
t t dt t t d t
t C
2
2
2
2
tg 2 1
tg 2 2 tg 2 1
sec 2 1 2 tan 2
sec 2 2 tan 2
1 2tan 2 ln sec 22 21 = tan 2 ln sec 22
x dx
x x dx
x dx x dx dx
x dx dx x dx dx
x x x x C
x x C
Kalkulus II 12
43.
44.
45.
46.
47. sin 2 d (cos 2x)1 2 1 2 ln (1-cos 2x) + Ccos ec 2 ctg 2x 1 cos 2 1-cos 2x
dx x dxx x
Soal-soal sesuai dengan rumus 18 s/d 20
48. 2 1 3 arc tg9 3
dx x Cx
49.2
d arc sin525
C
50.2
1 3 arcsin39
dx x Cx x
51. 2 2 arc tg1 1 ( )
x xx
x xe dx de e C
e e
52.2
2
4 2 2
5 5 5 arcsin2 21 1 ( )
x dx dx x Cx x
53. 2 4 13dx
x x pandang bentuk 2 4 13x x , dapat ditulis menjadi
2 24 4 9 ( 2) 9x x x maka:
2 1cosec 3 ctg 33x dx x C
2
2 2
2
sec tg
sec 2sec tg tg
2sec 2sec tg 1
2 tg 2sec
d
d
d
C
sin 2 sin 2cosx dx x d x x Cx
2sec (tg ) 1 2 tg1 2 tg 1+2 tg
dd C
Kalkulus II 13
2 2 2 2
( 2)4 13 ( 2) 9 ( 2) 3dx dx d x
x x x x
21 3 arc tg3
x C
54. 2 2 2
( 1) 11 22 5 ( 1) 2 2dx d x xarc tg C
x x x
55.2 2
2
2 2 292 - 2 ( ) ( 1 2)4
dx dx dxx x x x x
1 2 2x 12 arc sin 2 arc sin3 32
x C C
Soal-soal sesuai dengan rumus 21 s/d 27
56. 2
21 44 2
dx xln Cx x
57. 2 2
(3 ) 1 3 21 3 ln9 4 9 4 12 3 2
dx d x x Cx x x
58. 2 2 2
(3 ) 1 2 31 34 9 2 (3 ) 12 2 3
dt d t tIn Ct t t
59. 2 2
cos d d sin 2 + sin1 4 In4 sin 4 sin 2 sin
C
60. 2
2 2
2 1 2 11 ( 1 2) 3 4
dx dx In x x x Cx x x
61. 2
2 2 2
2 22 ( )
dx dx In x a ax x Cax x x a a
62. 2 2 21 4 1 1 1 (2 ) (2 ) 1 4 1 4 arc sin 2x + C2xx dx x d x x
Kalkulus II 14
63. 2 2 5 35 3 5 3 arc sin (x ) + C2 52 3xx dx x
64. 2 2 219 1 9 1 In 3 9 12 6xx dx x x x C
65. 2 2 294 9 4 9 In 2 4 92 4xx dx x x x C
66. 2 2 28 8 4In 82xx dx x x x C
67. 22 2 2
(1 2 ) 1 2 (1 )1 1 1
x x dxdx dx arc tg x In x Cx x x
68. 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1 In( 1) + C1 1 1
x x dxdx dx x x xx x x
69. 2
2 2 2
( 1) 1 arc sin + C1 1 1x x dx dxdx x x
x x x
70. 2 2
2 2 2
( 3) 3 4 3 In ( 4 + C4 4 4
x x dx dxdx x x xx x x
71. 2 2 210 4 10 4 ( 2) 6 ( 2)x x dx x x dx x dx
2 22 10 4 3 In ( 2 10 4 ) + C2
x x x x x x
72. 2 2 21 13 2 4 ( 1) 3 2 2arcsin2 2
x xx x dx x dx x x C
73. 2 2
(1 ) 1 8 4 44 4 3 8 4 4 3
x dx x dxx x x x
2 2
1 (8 4) 1 28 4 4 3 (2 1) 4
x dx dxx x x
21 1 2 3In (4 4 3) + In8 16 2 3
xx x Cx
Kalkulus II 15
74. 2 2 2
(3 2) 1 (18 12) 1 ( 18 6)1 6 9 6 1 6 9 6 1 6 9
x dx x dx xx x x x x x
2 2 2
1 ( 18 6) 18 1 ( 18 6) 36 1 6 9 6 1 6 9 2 (3 1)
x x dx dxdx dxx x x x x
21 1 3 1 2In 1 6 9 In6 2 2 3 1 2
xx x Cx
75.2 2 2
2 2 4 ( 2 4) 81 2 1 24 4 4x x xdx dx dx
x x x x x x
2
2 2 2
4 2 24 4 4arcsin24 ( 2)
x dx xdx x x Cx x x x
76. 2 2 2
(2 3) 1 (18 27) 1 (18 12) 399 12 8 9 9 12 8 9 9 12 8
x dx x dx x dxx x x x x x
2 2
1 18 12 139 9 12 8 3 (3 2) 4
x dxdxx x x
77.2 2 2
3 ( 2 6) ( 2 4) 21 2 1 25 4 5 4 5 4
x x dx xdx dx dxx x x x x x
2 2
( 2 4)1 2 1 25 4 9 ( 2)
x dx dxx x x
2 25 4 + arc sin3
xx x C
78.4 2
2 32 2 2
2 1( 1 ) 1 32 2 2 1 2 1x x dxdx x dx x x Cx x x
31 3 1 2 2 arc tg 2x x x C
Kalkulus II 16
79.2 2
(In )4 9 In 4 9 In
dx d xdxx x x
31 3 arc sin (In )2
x C
31 3 arc sin (In )2
x C
80. 4 4 4
sin 8 sin 4 cos 4 sin 4 (sin 4 )2 1 49 sin 4 9 sin 4 9 sin 4
x x x x d xdx dxx x x
2
4
(sin 4 ) 1 sin 41 4 arc tg9 sin 4 12 3d x x C
x
C. Kegiatan Belajar 2
1. Integral Parsil (INTEGRATION BY PARTS)
Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya
merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang
lain.
Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :
u dvDalam hitungan differensial telah diketahui, bahwa :
( . )d u v u dv v du atau
( . )u dv d u v v du
Maka :
Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk integral dari integral yang
diketahui, harus dibuat menjadi dua bagian: satu bagian sesuai dengan u dan
bagian yang lain bersama-sama dengan dx sesuai dengan dv.
.u d v u v v d u
Kalkulus II 17
Untuk jelasnya, kita ambil beberapa contoh soal:
1. Tentukan cos 2x x dxPenyelesaiannya :
Disini ada beberapa pilihan atau kemungkinan :
a) cos 2 ,u x x dv dx
b) cos 2 ,u x dv x dx
c) , cos 2u x dv x dx
a) Untuk cos 2 , (cos 2 2 sin 2 )u x x du x x x dx
dv = dx v = x
Maka : .u d v u v v d u
cos 2 . cos 2 (cos 2 2 sin 2 )x x dx x x x x x x x dx Ternyata hasil integralnya tidak lebih sederhana dari pada integral yang
semula dengan bentuk ini tidak dipilih.
b) Untuk u = cos 2x , du = -2 sin 2x dx21 2dv x dx dx 21 2v x
Maka : .u d v u v v d u 2 2cos 2 1 2 cos 2 sin 2 .x x dx x x x x dx
Ternyata hasil integralnya juga tidak lebih sederhana dari pada integral
yang semula, dan bentuk ini tidak diambil (dipilih).
c) Untuk u = x , du = dx
dv = cos 2x dx , v = 1 2 sin 2v x
Maka : .u d v u v v d u cos 2 1 2 sin 2 1 2 sin 2x x dx dx x x dx
= 1 2 sin 2 1 4 cos 2x x C
Kalkulus II 18
2. Tentukan : xx e dxPenyelesaian :
Diambil : u = x , du = dx
dv = x xe dx de , v = xe
Maka : .u d v u v v d u xx e dx = x xx e e dx
= x xx e e C
3. Tentukan : 2 Inx x dxPenyelesaian :
Diambil : u = In x ,1du dxx
dv = 2 3(1 3 )x dx d x , v = 31 3 x
Maka : .u d v u v v d u 2 3 3 1In 1 3 In 1 3x x dx x x x dx
x
= 3 311 3 In9
x x x C
4. Tentukan : arc sin x dxPenyelesaian :
Diambil : u = arc sin x ,2
11
du dxx
dv = dx , v = x.
Maka : .u d v u v v d u
2
1arc sin arc sin .1
x dx x x x dxx
2arc sin 1 .x x x C
Kalkulus II 19
5. Tentukan : arc tg x dxPenyelesaian :
Diambil : u = 2
1arc tg ,1
u x du dxx
,dv dx v x
Maka :.u d v u v v d u
arc tg x dx 2
1arc tg .1
x x x dxx
2arc tg 1 2 In (1 )x x x C
6. Tentukan : 3sec x dxPenyelesaian :
Diambil : u = sec , sec tgx du x x dx
2sec (tg ) , tgdv x dx d x v x
Maka :.u d v u v v d u
3 2sec sec secx dx x tg x x tg x dx 2sec sec (sec 1)x tg x x x dx
3sec tg sec secx x x dx x dx Suku kedua bagian sebelah kanan, dibawah kiri, maka terdapat :
32 sec sec secx dx x tg x x dx 3sec 1 2 sec In (sec )x dx x tg x x tg x C
7. Tentukan : 2 sinx x dxPenyelesaian :
2 2 2sin cos cos 2 cosx x dx x x x x x x dx 2 cos 2 sinx x x x 2 cos 2 sin 2 sinx x x x x dx 2 cos 2 sin 2 cos .x x x x x C
Kalkulus II 20
8. Tentukan : 2 sinxe x dxPenyelesaian : Bentuk integral diatas ini dapat diselesaikan dengan
menggunakan dua cara.
a) Bila diambil 2 2, 2 .x xu e du e dx
sin dcos , cosdv x dx x v x
Maka:.u d v u v v d u
2 2 2sin cos 2 cosx x xe x dx e e x dx Kemudian diambil lagi : 2 , sinxu e v x
2 2 2 2sin cos 2 4 sinx x x xe x dx e x e siin x e x dx .
Suku ketiga dari bagian kanan dibawah kiri, maka terdapat :2 25 sin (2 sin cos ).x xe x dx e x x
Jadi :
2 21sin (2 sin cos )5
x xe x dx e x x C b) Bila diambil sin , cosu x du x dx
2 2, 1 2x xdv e dx v e
Maka :.u d v u v v d u
2 2 2sin 1 2 sin 1 2 cosx x xe xx dx e x e x dx Kemudian diambil lagi : cos , sinu x du x dx
2 2, 1 2x xdv e dx v e
Maka : .u d v u v v d u 2 2 2 2sin 1 2 sin 1 4 cos 1 4 sinx x x xe x dx e x e x e x dx .
Suku ketiga dari bagian kanan dibawa kiri, maka terdapat :
2 25 sin 1 4 (2 sin cos )4
x xe x dx e x x C
Kalkulus II 21
Jadi :
2 21sin (2 sin cos )5
x xe x dx e x x C
9. Tentukan :2
1In11
x x dxxx
Penyelesaian :
Diambil : 2
1 + 1 + (1 ). (1 )( 1)In ,1 1 (1 )
x x x xu du dxx x x
2 2
2( 1 ) , 1
1xdv dx d x v x
x
Maka : .u d v u v v d u
2
1In11
x xdx dxxx
22
2
111 In 21
xxx dxx x
2
2
11 In 21 1
x dxxx x
2 11 In 2 arc sin +1
xx Cx
10. Tentukan :2
arc sin1
x x dxx
Penyelesaian :
Diambil : u =2
1arc sin ,1
u x du dxx
2 2
21 , 1
1xdv dx d x v x
x
Maka : .u d v u v v d u 2
2
2 2
1arc sin 1 arc sin1 1
xx x dx x x dxx x
Kalkulus II 22
21 arc sinx x dx 21 arc sin + .x x x C
11. Tentukan : 5sec x dxPenyelesaian :
Diambil : u = 3 3sec , 3secu x du x tg x dx
2sec ,dv x dx dtg x v tg x
Maka : .u d v u v v d u 5 3 3 2sec sec 3 secx dx x tg x x tg x dx
Sedangkan 2 2sec 1,tg x x
5 3 3 3sec sec 3 sec (sec 1)x dx x tg x x x dx 3 5 3sec 3 sec 3 secx tg x x dx x dx
Suku kedua dari bagian kanan dibawah kiri, maka terdapat :
3sec 1 2 sec In (sec )x dx x tg x x tg x C (lihat contoh soal no.6), maka :
5 3 34 sec sec sec In (sec )2
x dx x tg x x tg x x tg x C Jadi :
5 31sec 2 sec 3 sec In (sec )8
x dx x tg x x tg x x tg x C
Kalkulus II 23
D. Rangkuman Materi
a. Jika F x adalah fungsi dengan turunannya 'F x f x pada interval
tertentu dari sumbu x, maka Anti-Derivative atau Integral Tak Tentu dari
f x diberikan oleh:
F x C
Dengan C sebarang konstanta, yang disebut sebagai Konstanta Integrasi
b. Anti Diferensiasi adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi,
dimana simbol menyatakan operasi anti-diferensiasi dan ditulis dalam
bentuk:
f x dx F x C Dengan 'F x f x ekivalen dengan d F x f x dx
c. Karena anti-diferensiasi adalah operasi invers dari diferensiasi, maka rumus-
rumus anti-diferensiasi atau dengan kata lain rumus integralnya sebgai
berikut:
1) ( ) ( ) C.d f x dx f xdx
2) ( )u v dx u dx v dx
3) , setiap konstantak u dx k u dx k
4)1
C, m 11
mm uu du
m
5) ln Cdu uu
6) C, 0, 1ln
uu aa du a a
a
Kalkulus II 24
7) Cu ue du e
8) sin cos Cu du u
9) cos sin Cu du u
10) tg ln sec Cu du u
11) ctg ln sin Cu du u
12) sec ln sec tg Cu du u u
13) cosec ln cosec ctg Cu du u u
14)2sec tg Cu du u
15)2cosec ctg Cu du u
16) sec tg sec Cu u du u
17) cosec ctg cosec Cu u du u
18) 2 2
1 arc tg Cdu ua u a a
19) 2 2arc sin Cdu u
aa u
20) 2 2
1 arc sec Cdu ua au u a
Kalkulus II 25
21) 2 2
1 ln C2
du u au a a u a
22) 2 2
1 ln C2
du u aa u a u a
23)2 2
2 2ln Cdu u u a
u a
24)2 2
2 2ln Cdu u u a
u a
25)2 2 2 2 21 1 arcsin C2 2 a
ua u du u a u a 26)
2 2 2 2 2 2 21 1 ln C2 2u a du u u a a u u a d. Integral Parsial biasa disebut sebagai Integral Sebagian-sebagian yang secara
sederhana integral parsial merupakan suatu bentuk integral yang separuhnya
diintegralkan dan separuhnya lagi dideferensialkan. Jika u dan v merupakan
fungsi yang dapat dideferensialkan terhadap x , maka secara simbolis integral
parsial dirumuskan sebagai berikut:
e. Dalam integral parsial yang perlu diperhatikan bahwa, jika memilih substitusi
u dan dv biasanya kita menginginkan dv sebagai faktor integrasi yang paling
rumit yang dapat langsung diintegralkan dan u sebagai fungsi yang
turunannya merupakan fungsi yang lebih sederhana.
.u d v u v v d u
Kalkulus II 26
E. Soal Latihan 1 (Rumus Dasar Integral)
1.3
1 dxx
Kunci :233
2x C
2. ax dxKunci : 2
3x ax C
3.24 2x x dx
x
Kunci : 22 4x x C
4. 2 2( 1)t t dtKunci : 2 31 ( 1)
6t C
5.3
2 2( 9)x x dxKunci : 2 2 21 ( 9) 9
5x x C
6. 2
2 11
x dxx x
Kunci : 2ln 1x x C
7.2 4x dxx
Kunci : 21 4 ln
2x x C
8.2dy
y
Kunci : 2 (2 ) 23
y y C
9.2
3 3
48
x dxx
Kunci : 3 232 ( 8)x C
10.2
3 3
( 1)3
x dxx x
Kunci : 3 231 ( 3 )2
x x C
Kalkulus II 27
11. 1n nx a bx dx Kunci : 2 ( )
3n na bx a bx C
bn
12. ( ln )x x dxx
Kunci : 1 ln
2x x C
13. 4
22
sin x dxcos x
Kunci : 12 cos 2
Cx
14.2
1sec x dx
tan x
Kunci : 11
Ctan x
15.
2 23 3
13
a x dxx
Kunci :2 2 2 23 3 3 3( )a x a x C
16. 321 ln x
dxx
Kunci : 22 (1 ln ) 1 ln
5x x C
17. ln(ln ) ln
x dxx x
Kunci : 21 ln ln2
x C
18. 5(1 )x xe e dxKunci : 61 (1 )
6xe C
19. 1 x
xe dx
e
Kunci : 2 (1 ) 1
3x xe e C
Kalkulus II 28
20.2 4
1x dxx
Kunci : 21 ( 1) 5ln 12
x x C
21. 2 tan 23 2 2
sec x x dxsec x
Kunci : 1 ln 3 s 2 26
ec x C
22. 2 2cos xe sin x dxKunci : 21
2cos xe C
23.2
2xx dxKunci :
1 22ln 2
x
C
24. 24 xdxKunci : 1 4
12 ln 4x C
25. tan 3 210 cos ec 3co x x dxKunci :
tan 3103 ln 10
co x
C
26. 4 32 5 2
1
x x x
x
e e edx
e
Kunci : 3 21 3 3 2 4 ln 1
3 2x x x xe e e x e C
27. 121
x
x
e dxe
Kunci :1 12 22 2 ln 1
x xe e C
28. 2 2 2 c sinx os x x dxKunci : 3 21
6sin x C
29. 2
1 sin dxx x
Kunci : 1 cos C
x
Kalkulus II 29
30. 2
cos z sin z dzsin z
Kunci : sec ln sec tanco z co z co z C
31. 22
1 22
tan xdx
cos x
Kunci : 31 (1 2 )
6tan x C
32. 3 tan 3
dxsin x x
Kunci : 13 s 3
Cin x
33.3
1cos x dx
sin xKunci : 1 1
2sin x sin x C
34.3
1sin x dx
cos xKunci : 1 1
2cos x cos x C
35.1
dxcos x
Kunci : 1tanco x Csin x
36.1
dxsec ax
Kunci : 1 1tan sin
co ax x Ca a ax
37.2
2
13
x
xe dxe
Kunci : 22 ln 1 33
xx e C
38.2 5
dxx x
Kunci : 1 55 5
xarc sec C
Kalkulus II 30
39.2
41
x
xe dx
eKunci : 21
2xarc tan e C
40.24 9
dxx
Kunci : 1 33 2
xarc sin C
41. 4
189 9
sin x dxsin x
Kunci :21 9
27 3sin xarc tan C
42.2
21 4sec x dx
tan x
Kunci : 1 2 t2
arc sin an x C
43.24 31 ln 2
dxx x
Kunci : 1 31 ln 231 s31 2
xarc in C
44. 2
22 1
cos x dxsin x
Kunci : 1 22
arc tan sin x C
45.23 2
dxx x
Kunci : (3 2 )arc sin x C
46. 22 10dx
x x Kunci : 1 1
3 3xarc tan C
47. 21dxx x
Kunci : 2 3 2 33 t3 3
xarc an C
Kalkulus II 31
48. 2
(2 3)6 13x dx
x x
Kunci : 2 9 3ln 6 132 2
xx x arc tan C
49.227 6
x dxx x
Kunci : 1 233 27 66
xarc sin x x C
50.2
(5 4 )12 4 8
x dxx x
Kunci : 2 112 4 8 (3 2 )2
x x arc sin x C
51. 2
4 31
x dxx
Kunci : 22 ln 1 3 tanx arc x C
52. 24dx
x x
Kunci : 1 ln4 4
x Cx
53. 2 3 1dy
y y
Kunci : 1 2 3 55 ln5 2 3 5
y Cy
54.23 2
dyy y
Kunci : 1 4 32 s2 3
yarc in C
55. 2 2 3dt
t t
Kunci : 1 3ln4 1
t Ct
56.28 8 15
duu u
Kunci : 21 2 ln 2(2 1) 8 8 154
u u u C
Kalkulus II 32
57. 23 4 1dx
x x
Kunci : 1 3 1ln2 3 3
x Cx
58.2
316
x dxx
Kunci : 2 216 3ln 16x x x C
59.2
(5 1)3 9
x dxx
Kunci : 2 25 13 9 3 ln 3 3 93 3
x x x C
60. 2
( 1)6
x dxx x
Kunci : 22 1ln ln 63 6 2
x x x Cx
61.2
(3 2)19 5
x dxx x
Kunci :2
2 19 2 5 5 513 19 5 ln2 2 2 4
xx x x C
62. 2
(3 4)4 3
x dxx
Kunci : 21 1 3 2ln 4 3 3 ln2 3 3 2
xx Cx
63.2
(4 1)3 5
x dxx
Kunci : 2 24 13 5 5 ln 5 3 55 5
x x x C
64.2
(3 4 )3 2
x dxx x
Kunci : 24 3 2 3 s (2 3)x x arc in x C
65. 216 9x dxKunci : 21 8 316 9
2 3 4xx x arc sin C
Kalkulus II 33
66. 25 2x x dx Kunci : 2 28 1 1 1 8 1 1ln
16 4 128 8 4x xx x x x C
67. 22x x dxKunci : 2 21
5 2 2ln 1 5 22
xx x x x x C
68. 22x x dxKunci : 21 1( 1) 2 ( 1)
2 2x x x arc sin x C
69. 28 3x dxKunci : 21 4 68 3 3
2 3 4xx x arc sin C
70. 25 4x x dx Kunci : 2 11 9 21 5 4
2 2 3xx x x Sin C
71. 2
(8 3 )1
x dxx x
Kunci : 23 19 3 2 1 3ln 1 ln2 6 2 1 3
xx x Cx
72. 2
(2 7)2 2 1
x dxx x
Kunci : 21 1 (2 1 3)ln 2 2 1 3 ln2 8 (2 1 3)
xx x Cx
73. 2
(3 8)9 3 1
x dxx x
Kunci : 21 51 6 1 5ln 2 2 1 ln6 12 6 1 5
xx x Cx
74. 212 4x x dx Kunci : 21 2( 2) 12 4 8
2 4xx x x arc sin C
75. 2 4x x dxKunci : 2 21 ( 2) 4 2 ln ( 2) 4
2x x x x x x C
Kalkulus II 34
76. 2 6 7x x dx Kunci : 2 21 ( 3) 6 7 8ln 3 6 7
2x x x x x x C
77. 3
2 21x x dx
Kunci :22 1 1 2 1 3
2 3 2 4x x
2 21 2 1 3 2 11 ln 12 2 8 2
x xx x x x C
78.121
xxe e dxKunci :
1 12 21 11 ln 1
2 2x xx xe e e e C
79. 23 2x x dx Kunci : 2 11 1( 1) 3 2 2
2 2xx x x Sin C
80. 2 6 11x x dx Kunci : 2 21 ( 3) 6 11 ln ( 3) 6 11
2x x x x x x C
Kalkulus II 35
F. Soal Latihan 2 (Integral Parsial)
1. ln( 1) 1
x dxx x
Kunci : 12
2ln 1 12ln1 1( 1)
x x Cxx
2. 2x sec x dxKunci : ln Cosx tan x x C
3. 3 21x x dxKunci :
3 52 2 22 21 2(1 ) (1 )
3 15x x x C
4.2ln x dxx
Kunci : 31 ln3
x C
5. x arc sec x dxKunci : 2 21 1 1
2 2x arc sec x x C
6. 3 2xe sin x dxKunci : 3 32 3 2 2
13 13x xe cos x e sin x C
7. 3cos ec x dxKunci : 1 1tan c sec ln sec tan
2 2co x o x co x co x C
8. 2ln x dxKunci : 2(ln 2ln 2)x x x C
9. 1x x dxKunci :
3 52 22 4( 1) ( 1)
3 15x x x C
10.23 xx e dx
Kunci :2 221 1
2 2x xx e e C
11. 2 3xx e dxKunci : 3 21 ( 6 2)
27xe x x C
Kalkulus II 36
12. ln ( 1)1
x dxx
Kunci : 2 1 ln 1 4 1x x x C
13. 2
ln( 1)
x dxx
Kunci :ln
ln1 1x x C
x x
14. 2 xx e dxKunci : 2( 2 2)xe x x C
15. arc tan x dxKunci : x arc tan x x arc tan x C
16. sec2xarc co dx
Kunci : 2 sec 2 ln 42xx arc co x x C
17. 2arc cos x dxKunci : 21 2 1 4
2x cos x x C
18. lnnx x dxKunci : 11 1ln
1 1nx x C
n n
19. xx a dxKunci :
ln ln
xa ax Ca a
20. 2 Cos 2x x dxKunci : 21 1 1 4 4
2 8 32x x sin x cos x C
21. 4
4
t te Sin dt
Kunci :4
2
41 4 4
t
e t tcos sin C
22. 2( 2 5) xx x e dx Kunci : 2( 5)xe x C
Kalkulus II 37
23. 2( 5 6) 2x x cos x dx Kunci : 21 1 1( 5 6) 2 (2 5) 2 2
2 4 4x x sin x x cos x sin x C
24. (ln )sin x dxKunci : 1 ln ln
2x sin x cos x C
25. 1 ln1
xx dxx
Kunci : 21 1 1 1ln ln2 1 2 1
x xx x Cx x
26. 2 1x x dxKunci :
3 5 72 2 2 22 8 16(1 ) (1 ) (1 )
3 15 105x x x x x C
27. 2( )arc sin x dxKunci : 2 2 2 2 1x arc sin x x x arc sin x C
28. 2y sin y dyKunci : 2 2 2y cos y y sin y cos y C
29. 2 3x sin x dxKunci : 21 1 1 6 6
2 12 72x x sin x cos x C
30. 3x arc sin x dxKunci :
34 2 2 21 3 5 1 1 (1 )
4 32 32 16x arc sin x arc sin x x x x x C
31. 3
3x xe cos dx
Kunci : 3 33 2728 3 28 3
x xx xe sin e cos C
32. 2x Cos x dxKunci : 2 2 2x sin x x cos x sin x C
33.2xarc sin dx
Kunci : 21 4 2 22 2 2x xx sin x x arc sin C
Kalkulus II 38
34.1
arc sin x dxx
Kunci : 2 1 2x arc sin x x C 35. 2x arc sin x dx
Kunci : 2 2 41 12
x arc sin x x C
36. 2 ( )x arc tan x dxKunci : 2 2 21 1 1 ln 1
2 2arc tan x x x arc tan x x C
37. 2( 2 3) lnx x x dx Kunci : 3 2 3 21 1 1ln 3 3
3 9 2x x x x x x x C
38. 2ln ( 1 )x x dx Kunci : 2 2ln 1 1x x x x C
39. 321
x dxx
Kunci :2
1 1ln2 11
arc sin x x Cxx
40. 2(1 )
xxe dxx
Kunci :1
xxxe e C
x
41. 2 2(1 )x arc tan x dx
x
Kunci : 2 2
142 1 4 1
arc tan x xarc tan x Cx x
42.1
2
Sin x dxx
Kunci :1
1 21Sin x Sin x Cx